Курсоваробота з теми:
Плоскідіелектричні хвилеводи
дляТІ поляризації
Зміст
Введення
1. Зміннеелектромагнітне поле в однорідному середовищі або вакуумі
2. Параметрисередовища
3. Граничніумови
4. ФормулиФренеля
5. Відбивнай пропускна здатність. Кут Брюстера
6. Повневнутрішнє відбиття
7. Рівняння,що описують поширення електромагнітних хвиль у плоскому оптичному хвилеводі
8. Дисперсійнірівняння тришарового діелектричного хвилеводу
Висновок
Список літератури
Введення
У роботіпоставлені завдання вивчення принципу роботи тонких діелектричних хвилеводів.Для цього потрібно намалювати картину поширення хвиль у хвилеводі. Але до цьогопотрібно вивчити самі електромагнітні хвилі, їхньої властивості (тобтоповодження хвиль на границях розділу), окремі випадки (такі як геометричнаоптика й рівняння Френеля). І потім уже приступитися до розгляду питанняпоширення електромагнітних хвиль у тонкому хвилеводі. Тонко плівковий хвилевід являє собоюнанесену на підложку смужку тонкої плівки, показник переломлення якої більшепоказника переломлення підложки.
1. Змінне електромагнітне поле
Запишемо системурівнянь Максвелла для однорідного поля або вакууму:
/> (1)
/> (2)
/> (3)
/> (4)
/> (5)
/> (6)
Якщо в просторівідсутні струми й заряди, то рівняння
(1) і (2)переходять до виду:
/> и./>
Тепер беремо доуваги, що /> й /> - постійні, повну системуможна записати так:
/>/> (7)
/> (8)
/> (9)
/> (10)
/>, /> (11,12)
Диференціювавши(7) по />, маємо:
/> (13).
З огляду на другерівняння, одержуємо:
/> (14)
Тому що />, те />.
Звідси маємо:
/> (15)
— це хвильоверівняння, що описує поширення хвиль зі швидкістю />.
Рішення цьогорівняння записується найбільше просто випадку, коли /> залежитьлише від /> і />.Тоді рівняння зводиться донаступного:
/>
зробимо замінузмінних /> і />, відповідно до якої
/>, />/>
одержимо:
/> (16).
Робимо висновок,що загальне рішення має вигляд:
/>,
де /> й /> довільні функції. Цесуперпозиція двох збурювань, що поширюються зі швидкістю />.
Тепер урахуємо,що діелектрична й магнітна проникності — це комплексні величини:
/> (17)
/> (18)
значить
/> і />/>,
де />, /> — вектор щільностіелектричного струму />, де /> - сумарна щільністьоб'ємного заряду в досліджуваному об'ємі. Тимчасову залежність можнапредставити у вигляді експоненти />.Тодідиференціальні рівняння для E і H приймуть вид:
/>
/>
Або
/>
/>,
де /> - комплексна діелектричнапроникність, що враховує ефекти розсіювання.
Одержали ще однехвильове рівняння, у скалярному виді. Його рішення буде мати вигляд: />, де /> - комплексна постійнапоширення, а k – одиничний вектор у напрямку поширенні хвилі. Дійсна частинапостійної поширення являє собою коефіцієнт поглинання по амплітуді, а мнимачастина – модуль хвильового вектора />.
У випадку плоскоїхвилі вектори E,H,k ортогональні й відношення модулів векторів E,H:
/>
єхарактеристичний хвильовий імпеданс.
2. Параметри середовища
При описіпоширення хвилі в середовищі, крім /> і /> часто використовуютьсяінші параметри, наприклад: /> -довжина хвилі у вакуумі, що відрізняється від />-довжини хвилі в середовищі./>/> - показник переломлення всередовищі.
3. Граничні умови
Виходячи з умовМаксвелла в інтегральній формі, можна визначити умови для векторів E,D,H,B награниці роздягнула двох середовищ, з різними /> й/>.
/> (19)
/> (20)
/> (21)
/> (22)
Де індексом iпозначені частки векторів, дотичні до поверхні роздягнула двох середовищ 1 і 2.А індексом n – частки нормальні до цієї поверхні. Величина J – щільністьповерхневих струмів провідності, а /> -щільність електричних зарядів, причому в тих випадках, які ми будеморозглядати, вони дорівнюють нулю. Цього ж рівняння можна представити увекторній формі, якщо ввести в розгляд одиничний вектор нормалі до границіроздягнула.
У такий спосіб:
/>
4. Формули Френеля
Нехай А — амплітуда електричного вектора поля падаючої хвилі. Будемо вважати їїкомплексною величиною з фазою, рівної постійної частини аргументу хвильовоїфункції. Змінна її частина має вигляд:
/>
Тепер розкладемовектор на паралельну й перпендикулярну тридцятилітні:
/>
Компонентимагнітного вектора виходять зі співвідношення
/>
Звідси
/>
/>
Граничні умови /> й /> вимагають щоб на границітангенціальна тридцятилітні векторів E і H були безперервні. Отже, потрібнозажадати виконання наступних співвідношень
/>/>
/>
Тепер можнаодержати важливі співвідношення (рівняння):
/> (23)
/> (24)
/> (25)
/> (26)
Вирішуючи цірівняння, одержуємо рівняння Френеля:
/> (27)
/> (28)
/> (29)
/> (30)
де />.
5. Відбивна й пропускна здатність. КутБрюстера
Розглянемо тепер,як енергія поля падаючої хвилі розподіляється між двома вторинними полями.
Інтенсивністьсвітла при /> дорівнює
/>
Кількість енергіїв первинній хвилі, що падає на поверхню роздягнула за одну секунду дорівнює:
/>
Відповідно длявідбитої й переломленої хвиль:
/>
Якщо /> й /> розділити на /> вийдуть відбивна йпропускна здатності відповідно.
Якщо ж вектор Eутворить із площиною падіння кут />, то
/>
Тоді
/>
/>
Зауважуємо, що увипадку
/> />.
Кут /> у цьому випадкуназивається кутом Брюстера. І якщо світло падає під кутом Брюстера, теелектричний вектор відбитої хвилі не має крапки в площині падіння.
/>
6. Повне внутрішні відбиття
При поширеннісвітла з більше щільного оптичного середовища в менш. Т.е. коли
/>
За умови, що кутпадіння перевершує критичне значення />/>
Представленевираженням />.
Якщо />, те/>, так що напрямок поширеннясвітла відносно до поверхні першого розділу. Якщо />перевищує90, світло не входить у друге середовище. Все світло відбивається назад у першесередовище, і ми говоримо про повне внутрішнє відбиття.
Алеелектромагнітне поле не дорівнює нулю в другому середовищі, відсутній лишепотік енергії через границю. Якщо у фазовому множнику минулої хвилі покладемо:
/> і />
те одержимо
/>
Це вираженняописує неоднорідну хвилю, що поширюється уздовж поверхні роздягнула в площиніпадіння й міняється експоненціальне зі зміною відстані від цієї поверхні.
Залежністьамплітуди електричного вектора від кута падіння, для двох випадків. Першийвипадок: падіння з більше щільного середовища в менш щільну; другий випадок:падіння з менш щільного середовища в більше щільну.
/>
Для випадку n=1,6
Видно, що при 38градусах (критичний кут) енергія не проходить у друге середовище.
/>
Для випадкуn=0.625
Чітко видний кутБрюстера (62 градуса). Із графіка видно, що відсутній R пара. Електричнийвектор відбитої хвилі не має тридцятилітньому в площині падіння.
7. Рівняння, що описують поширенняелектромагнітних хвиль у плоскому оптичному хвилеводі
У даній роботірозглядається ТІ поляризацію. Її відмінність від ТМ полягає в тім, що в ТІхвилях електричний вектор лежить у площині падіння.
У пасивнихоптичних хвилеводах відсутні сторонні струми й заряди, і рівняння Максвелла, якговорилося на початку, мають нульову праву частину. Уважаючи, щоелектромагнітне поле змінюється в часі за гармонійним законом, тобто />/>
/> , />.
РівнянняМаксвелла для комплексних амплітуд можна записати так:
/> (31)
/> (32)
/>і /> абсолютноїдіелектричні й магнітні проникності середовища.
Розглянемоплоский хвилевід.
Цей хвилевідутворений плоскою діелектричною плівкою, вона однорідна в напрямках X і Y. Унапрямку Z хвилевід неоднорідний. Якщо розглядати ТІ хвилі, то
/> />/>
/>/>/>.
Покладемо длявизначеності, що хвиля поширюється уздовж осі Y.
Одержалиспіввідношення, що виражають зв'язок між E і H компонент:
/>
У результатіпідстановки цих рівнянь в
/>
можна одержатихвильове рівняння для електричного компонента поля:
/> (33).
Одержали рівнянняпоширення, що описує, хвилі в оптичному хвилеводі. Це рівняння з змінними ійого рішення варто шукати у вигляді добутку двох функцій, одна й з якихзалежить тільки від y, а друга тільки від z. Розподіл амплітуди поля покоординаті x передбачається рівномірним.
/>
Т.е. можназаписати:
/>, де />,а />
Оскільки ліва йправа частини вираження залежать від різних змінних, то рівність можедотримуватися тільки в тому випадку, коли кожна із частин рівності єконстантою. Нехай ця константа позначена />,одержимо:
/>,
для i-ойсередовища (усього 3 середовища)
Конкретний видфункції Y(y) визначається із цього рівняння з урахуванням граничних умов іописує розподіл амплітуд фаз у поперечному перерізі шару й прилягаючихсередовищ. Повний же вид рішення визначається як добуток Y(y)Z(z) і зурахуванням тимчасової залежності /> маєвигляд
/>.
Таким чином,рішення має вигляд гармонійної хвилі, що поширюється уздовж осі Y і має амплітуднийрозподіл Y(y) у напрямку, поперечному стосовно напрямку поширення.
Отже, потрібнознайти граничні умови, що задовольняють рівнянням безперервності дотичних E і Hтридцятимільйонний компонент електромагнітного поля для ТІ хвиль мають вигляд:
/> при y=0
/> при y=-h.
Помітимо, щоумови безперервності H- на границях еквівалентна умовам безперервності похіднихвід розподілу E- поля на границях шарів 1 і 2, 2 і 3. Нехай у розглянутійсистемі із трьох шарів виконується необхідна умова існування режиму, тобто /> . Фізично це означає, щохвилі, що біжать у шарі 2 можуть випробовувати повне внутрішнє відбиття відграниць із шарами 1 і 3. Для рішення рівнянь розглянемо величину />. Якщо величина виявитьсянегативної, то рішення являє собою експоненту з дійсним показником. Якщо ж цявеличина — позитивна, то рішення являє собою гармонійну функцію або експонентуіз мнимим показником. Розглянемо властивості рішень:
Умова А. />.
/>
При цьому свідомовиконуються умови/> й />, і з рівнянь (15-17)треба, що /> у всіх трьох областях.Очевидно, що /> є експонентною функцією увсіх трьох областях. З огляду на необхідність безперервності похідній розподілуполя на границях роздягнула між шарами, одержимо розподіл поля, що необмеженозростає при видаленні від границі між шарами хвилеводу. Отже, рішення, щовідповідають області А, фізично нездійсненна.
Умова В. />.
/>
В області 2рішення може бути представлене у вигляді гармонійної функції, оскільки />, при цьому розподіл поляпо координаті в у перетині шару 2 може мати характер парної або непарноїфункції.
В областяхрішення буде мати вигляд експонент із дійсним показником ступеня. Очевидно, щофізично реалізований випадок відповідає експонентам, що спадають при видаленнівід границі 1 у позитивному напрямку й від границі 3 у негативному напрямку. Яквидно, у цьому випадку максимальна напруженість поля спостерігається усерединіцентрального шару хвилеводу. Напруженість поля спадає при видаленні від йогограниць, при цьому основна частка енергії хвилі переноситься в самому шарі 2 іприлеглих областях шарів, що обрамляють, 1 і 3, без випромінювання внавколишній простір. Такий режим називається хвиле водним, а центральний шар 2часто називають несучим шаром хвилеводу.
Умова С. /> і, мабуть, />.
/>
Рішення маєекспонентний характер в області 1 і гармонійний характер в областях 2 і 3. Полеє експоненціальне спадаючої при видаленні від границі в середовищі 1. поява осциляціїв середовищі 3 може бути інтерпретоване як результат інтерференції двох плоскихелектромагнітних хвиль, що біжать: однієї хвилі — випромінюваної із хвилеводу,інший, рівної по амплітуді, що набігає на хвилевід з нескінченності. Припущенняпро існування хвилі, що набігає, знадобилося тут, щоб зберегти стаціонарністьзавдання уздовж осі z, тобто як би компенсувати втрати енергії навипромінювання, що з'являється при />. Такімоди називають випромінювальними модами підложки.
Умова D. />.
/>
Рішення маєсинусоїдальний характер для всіх трьох областей; має місце випромінювання ізхвилеводу як у третю, так і в першу середовища, що обрамляють. Такі модиназивають випромінювальними модами хвилеводу.
Основнірезультати аналізу. У системі, що складається із трьох діелектричних шарів зпоказниками переломлення n1, n2, n3 за умови n2>n1,n2>n3 можливе поширення хвилі уздовж шару 2, при цьомурозподіл електромагнітного поля в поперечному перерізі має максимальне значенняусередині центрального шару 2 (можливе існування декількох максимумів) і експоненциальнеспадає при видаленні від границь шару 2 у напрямку осі ОУ (або — ОУ). Хвиля знеоднорідним розподілом по координаті в поширюється уздовж площини хвилеводу йхарактеризується постійної поширення />, прицьому />.
8. Дисперсійні рівняння тришаровогодіелектричного хвилеводу
Розглянемотришаровий хвилевід.
/>
Припустимо, щовін нескінченно протяжний, тобто />. Якщопідставити ці висновки в співвідношення, що зв'язують поздовжніх і поперечніполів:
/>
Одержимо наступнірівняння:
/> (33)
/> (34)
/> (35)
/> (36)
Звідси видно, щодля ТІ хвилі, тільки компоненти/> відміннівід нуля. У випадку плоского хвилеводу граничні умови такі:
/>
/>
/>
/>
Знайдемо рішеннярівнянь у вигляді:
/>
де A, B, C, D, q,h, p – постійні, які потрібно визначити. Із граничних умов для />одержуємо співвідношення
/>
Крім того,величина /> повинна задовольнятихвильовому рівнянню. Звідси треба умова
/>,
що разом ізграничними умовами дозволяє одержати додаткову систему рівнянь
/>
звідси треба
/>,
де m – індексмоди. Оскільки тангенс – функція періодична з періодом π, те при данійтовщині хвилеводу буде існувати безліч рішень (мод) характеристичного рівняння.Підставляючи у хвильове рівняння вираження для EY, одержимододаткове співвідношення
/>
/>
/>
Тепер дляпростоти будемо вважати, що середовища не мають втрат.
Прийдемо тимсамим до таких рівнянь
/>, />,/>
Підставивши цірівняння в характеристичне рівняння, одержимо дисперсійне рівняння длянесиметричного хвилеводу:
/> (37)
Висновок
На початку роботибуло поставлене завдання вивчення тонкого діелектричного хвилеводу для ТІполяризації. Були розглянуті рівняння Максвелла, які використовуються длязнаходження рівнянь Френеля, і для опису поширення електромагнітної хвилі ухвилеводі. Були отримані вираження для відбивної й пропускної здатності, атакож розглянутий окремий випадок геометричної оптики — кут Брюстера. Отриманодисперсійне рівняння, що показує залежність коефіцієнта вповільнення відпоказника переломлення й товщини хвилеводу. Графіки розраховувалися в програмахExcel і MathCAD.
Список літератури
1. Дияконів В. Mathcad 8/2000:спеціальний довідник. – К., 2007
2. Попов В.П. Основы теории цепей.-М., 1997
3. Електротехнічний довідник // заред. В.Г. Герасимова. – К., 2006
4. Руководящие указания по релейной защите. Вып. 13В. Релейнаязащита понижающих трансформаторов и автотрансформаторов 110-500 кВ. Расчеты.М., 1985.
5. Шабад М.А. Расчеты релейной защитыи автоматики распределительных сетей. – Л., 1989