РЕФЕРАТ
на тему:
Параметричний резонанс
Розглянемо рух математичного маятника, точка підвісу якого zколивається вертикально з частотою со і амплітудою а:z= = acos/>t. Внаслідок коливань точки підвісу система координат, початок якої збігається з точкою підвісу, неінерціальна. Тому, слід врахувати силу інерції, яка в розглядуваному випадку дорівнює
lz= — m/>= m/>2a cos />t.
Потенціал цієї сили виражається формулою
U = —lzz= —mla/>2cos />cos/>,
де 8 — кут відхилення маятника від вертикалі, вибраний за узагальнену координату. Функція Лагранжа в цьому разі має вигляд
L = />+ mgl cos />+ mla/>2cos />t cos/>,
а рівняння Лагранжа
/>
Для малих коливань (/>1) це рівняння зводиться до лінійного рівняння
/>
де />= g/l.
Таким чином, коливання точки підвісу математичного маятника еквівалентне зміні з часом його параметрів:
/>
Параметром, що залежить від часу, тут є частота
/>
Ця залежність за певних умов, як буде показано нижче, приводить до наростання з часом амплітуди коливань, тобто до параметричного резонансу або параметричної нестійкості.
Розглянемо спочатку загальний випадок, коли функція />(t) в рівнянні (40.1) є довільною періодичною функцією часу
/>(t + Т) = />(t)
з періодом Т — 2/>//>. У зв'язку з цим можна сказати, що рівняння (40.1) інваріантне відносно перетворення t→t+T. Звідси випливає, що коли />(t) є розв'язком рівняння то функція />(t — Т) теж має бути його розв'язком. З курсу диференціальних рівнянь відомо, що рівняння другого порядку завжди має два лінійно незалежні розв'язки Ql(t) і 92 (t), а будь-який інший розв'язок можна подати у вигляді лінійної комбінації цих двох розв'язків. Зокрема,
/>1 (t + T)= а11/>1(t) + а12/>2(t),
/>2(t + T) = а21/>1(t) + a22/>2(t).
Завжди можна вибрати систему лінійно незалежних розв'язків так, щоб вони були дійсними. Оскільки аргумент tфункцій />1(t+ T) і />2(t+ T) дійсний, то />1(t+ T) і />2(t+ T) також будуть дійсними. Звідси випливає, що коефіцієнти а11в формулах дійсні; крім того, їхній визначник відмінний від нуля, інакше функції />1(t+ T) і />2(t+ T) були б лінійно залежними. Справді, якщо припустити, що визначник
/>
то а11=/>, а
/>1 (t + T)= />/>1 (t)+ а12/>2(t + T)=/>[a21/>1 (t)+a22/>2 (t)] = />/>2 (t + T)
що означає лінійну залежність функцій />1 (t + T) і />2 (t + T)/ Покажемо, що завжди можна вибрати два таких лінійно незалежних розв'язки рівняння, що зміна їх при заміні t на t + Т зводиться до множення на деякий сталий.множник, тобто />(t + T) = />. Справді, нехай />1 (t) і />2 (t) не мають такої властивості. Тоді помножимо першу рівність на деяку величину />, а другу — на />і додамо їх:
/>’(t + T)/>
Підберемо числа />і />так, щоб виконувалися різності
/>
Це система однорідних рівнянь відносно величин />і />, розв'язок якої існує, якщо
/>
Звідси знаходимо два, взагалі кажучи, комплексно спряжених значення величини />: />1і />2, кожному з яких відповідає оди:І розв'язок системи однорідних рівнянь. Поклавши в />= />1, знаходимо />Тоді із співвідношення
/>1’(t + T)/>
Аналогічно для />= />2, маємо
/>2’ (t + T)/>--PAGE_BREAK--
Отже, завжди можна вибрати два таких лінійно незалежних розв'язки рівняння, щоб зміна їх при заміні t на t + Т зводилась до множення на сталий множник:
/>1’(t + T)/>, />2’(t + T)/>
Такі ж співвідношення справедливі для похідних за часом
/>1’(t + T)/>, />2’(t + T)/>
Формули можна записати тотожно так:
/>; />
Звідси випливає, що функції
П1(t) = />; П2(t) = />
є періодичними з періодом Т. Отже, система лінійно незалежних розв'язків рівняння має вигляд
/>1(t + T)/>, />2’(t + T)/>,
Сталі />1і />2, зв'язані між собою співвідношенням, яке можна вивести так. Помножимо рівняння, які задовольняють функції />1і />2,
/>; />
відповідно на />1і />2 і віднімемо від першого друге. В результаті дістанемо
/>/>/>/>
звідки випливає, що вираз l(t) = />/>= const не залежить від часу. Тому l(t + Т) = l(t). Оскільки з одного боку l(t+ T) = />1(t+T) />2(t+ T) = />1/>2l(t), а з іншого — l(t+ T) = = l(t), то
/>1/>2=1
Оскільки коефіцієнти визначника аіjдійсні, то величини />1і />2, або дійсні, або комплексно-спряжені. Тоді, враховуючи співвідношення, покладемо />1= еzT, />2= е-zTде z— комплексна число, яке можна знайти, розв'язавши рівняння.
Таким чином, використовуючи співвідношення, робимо висновок, що два лінійно незалежних розв'язки рівняння з періодичним коефіцієнтом />(t) = />(t+ T) можна записати-у вигляді (теорема Флоке):
/>1(t + T)/>, />2’(t + T)/>,
Тут П1(t)і П2(t)— періодичні функції з періодом Т, внаслідок чого їх можна розкласти в ряд Фуh'є
П (t)=/>
Якщо Re z/> 0, то одна з двох функцій експоненціальне зростатиме з часом. Це означає, що стан рівноваги />/>/>= 0 не е стійким. Досить будь-якого малого відхилення від положення рівноваги, щоб це відхилення потім експоненціальне збільшувалося з часом. Це явище було названо параметричним резонансом або параметричною нестійкістю.