АГЕНСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ
УЗБЕКИСТАНА
ФЕРГАНСКИЙ ФИЛИАЛ
ТАШКЕНТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
КАФЕДРАЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
TATU
по физике
Студента гр. 617-07 ИТ ДаутоваСалавата
Тема: «Потенциал поля»
Фергана — 2008 г.
Тема: «Потенциал поля»
План:
1. Работа силэлектрического поля. Циркуляция вектора напряжённости электрического поля.
2. Потенциал поляточечного заряда и системы зарядов.
3. Связь междунапряжённостью и потенциалом электрического поля. Эквипотенциальныеповерхности.
Выясним, как можно найти работу электрических сил приперемещении заряда qв однородном электрическом поле (Е=const). Пусть заряд qнаходится в точке В однородного электрического поля (рис.1).
SHAPE * MERGEFORMAT
Рис.1.Работа сил электрического поля по перемещению заряда q из точки В вточку С не зависит от формы пути.
Из механики известно, что работа равна произведениюсилы на путь и на косинус угла между ними. Поэтому работа электрических сил приперемещении заряда qв точку С по прямой BnCвыразится следующим образом:
ABnC= F • BC • cos α = qE • BC • cos α
Так как BC•cosα=BD(см. рис. 1), то имеем
ABnC= qE• BD.
Работа сил поля при перемещении заряда qвточку С по пути BDCравна сумме работ на отрезках BDи DC, т. е.
ABDC = ABD+ ADC = qE • BD + qE • DC • cos 90º.
Поскольку cos90º=0, работа сил поляна участке DCравна нулю. Поэтому
ABDC=qE•BD.
Следовательно, когда перемещение заряда происходит полинии напряжённости, а затем перпендикулярно к ней, то силы поля совершаютработу только при перемещении заряда вдоль линии напряжённости поля.
Выясним теперь, чему будет равна работа сил поля накриволинейном участке BmC. Разобьём этот участок на малые отрезки, сто каждыйиз них можно принять за прямую линию (см. рис. 1). По доказанному выше работана каждом таком участке будет равна работе на соответствующем отрезке линиинапряжённости li. Тогда вся работа на пути BmCбудет равна сумме работ на отрезках l1, l2и т. д.Таким образом,
ABmC= qE • (l1 + l2 +…+ lk).
Поскольку сумма в скобках равна длине BD, имеем
ABmC= qE• BD.
Итак, мы доказали, что в однородном электрическом поле работа электрических сил не зависит отформы пути. Например, при перемещении заряда qмежду точками В и С эта работа во всех случаях равна qE•BD. Можнодоказать, что этот вывод справедлив и для неоднородного поля. Следовательно,если распределение а пространстве электрических зарядов, создающихэлектрическое поле, не изменяется со временем, то силы поля являются консервативными.
Поскольку работа сил поля на участке BnCи BmCодинакова (см. рис.2), то на замкнутом пути работасил поля равна нулю. Действительно, если на участке BmCработа сил поля положительна, то на участке CnBона отрицательна. Итак, работа сил электрического поля по замкнутому контуру всегда равна нулю.
SHAPE * MERGEFORMAT
Рис.2. Работа электрических сил на замкнутом пути равна нулю.
При действии только консервативной силы работаявляется единственной мерой изменения энергии. Поле консервативной силы, т. е.поле, в котором работа не зависит от формы пути, называется потенциальным. Примерами потенциальныхполей являются поле тяготения и электрическое поле.
Поскольку силы электрического поля консервативные, торабота сил этого поля при перемещении заряда из точки В вС (см. рис. 2) может служить мерой изменения потенциальной энергии заряда вэлектрическом поле. Если обозначить потенциальную энергию заряда в точке Вчерез ПВ, а в точке С – через ПС, то
ABC=ПВ — ПС. (1)
В более общем случае, если заряд перемещается вэлектрическом поле из точки 1, где его потенциальная энергия была П1,в точку 2, где его энергия оказывается равной П2, работа сил поля
А1 2 = П1 — П2 = — (П2 — П1) = — ∆П2 1,
Где ∆П2 1=П2-П1представляет собой приращение потенциальной энергии заряда при его перемещениииз точки 1 в точку 2. Итак
А1 2 = — ∆П2 1. (1а)
Из формулы (1а) видно, что А1 2 и ∆П21 всегда имеют противоположные знаки.
Действительно, если заряд qперемещается под действием сил поля (т. е. работа силполя А1 2 положительна), то при этом потенциальная энергия зарядауменьшается (т. е. П2 0).
Изформулы (1) видно, что с помощью измерения работы можно узнать лишь изменениепотенциальной энергии заряда qмежду двумяточками В и С, но нет способов, позволяющих однозначно оценить величину егопотенциальной энергии в какой-либо точке поля. Чтобы устранить этунеопределённость, можно условно принять за нуль потенциальную энергию в любойпроизвольно выбранной точке поля. Тогда и во всех других точках потенциальнаяэнергия будет определена однозначно. Условилисьпотенциальную энергию заряда, находящегося в точке, бесконечно отдалённой отзаряженного тела, создающего поле, считать за нуль:
П∞ = 0. (2)
Тогда для случая перемещения заряда qИз точки В в бесконечностьполучим
АВ∞ = Пв– П∞ = ПВ. (2а)
Следовательно, при таком условии потенциальная энергия заряда, находящегося в какой-либо точке поля,будет численно равна работе, совершаемой силами поля при перемещении данногозаряда из этой точки в бесконечность. Таким образом, если поле созданоположительным зарядом, то потенциальная энергия другого положительного заряда,находящегося в какой-либо точке этого поля, будет положительной, а если полесоздано отрицательным зарядом, то потенциальная энергия положительного заряда вэтом поле будет отрицательной. Для отрицательного заряда, помещённого вэлектрическое поле, будет всё наоборот.
Когда поле создано сразу несколькими зарядами, топотенциальная энергия заряда q, помещённого вкакую-либо точку В такого поля, равна алгебраической сумме энергий,обусловленных полем (в точке В) каждого заряда в отдельности. Вспомним, чтонапряжённости электрических полей отдельных зарядов в каждой точке пространстватоже складываются (геометрически). Таким образом, если в пространствеодновременно существуют поля нескольких зарядов, то эти поля простонакладываются друг на друга. Такое свойство полей называется суперпозицией.
Отметим ещё, что вэлектротехнике за нуль часто принимают потенциальную энергию заряда,находящегося на Земле. В этом случае потенциальная энергия заряда вкакой-либо точке поля В численно равна работе, совершаемой силами поля приперемещении этого заряда из точки В на поверхность Земли.
Было установлено, что потенциальная энергияэлектрического заряда зависит от его положения в электрическом поле. Поэтомуцелесообразно ввести энергетическую характеристику точек электрического поля.
Поскольку сила, действующая на заряд qв электрическом поле, прямо пропорциональна величинезаряда q, то работа сил поля при перемещении заряда такжепрямо пропорциональна величине заряда q.Следовательно, и потенциальная энергия заряда в произвольной точке Вэлектрического поля прямо пропорциональна величине этого заряда:
ПВ = φВq. (3)
Коэффициент пропорциональности φВдля каждой определённой точки поля остаётся постоянным и может служитьэнергетической характеристикой поля в этой точке.
Энергетическаяхарактеристика электрического поля в данной точке называется потенциалом поля вэтой точке. Потенциал измеряется потенциальной энергией единичногоположительного заряда, находящегося в заданной точке поля:
φВ= ПВ/q. (3а)
Потенциалполя электрического поля численно равен работе, совершаемой силами поля при перемещенииединичного положительного заряда из этой точки в бесконечность.
SHAPE * MERGEFORMAT
φ2
Рис.3. Во всех точках, находящихся на одинаковом расстоянии от точечного заряда,потенциал одинаков.
Потенциал поля в данной точке может быть рассчитантеоретически. Он определяется величиной и расположением зарядов, создающихполе, а также окружающей средой. Ввиду сложности таких расчётов здесь мы ихприводить не будем. Запишем лишь формулу для потенциала поля точечного заряда q, полученную в результате такого расчёта.
Если расстояние от заряда qдо точки 1, в которой вычисляется потенциал,обозначить через r1(рис. 3), то можно показать, что потенциал в этойточке
φ1= q/4πεcr1. (4)
Отметим, что по этой же формуле вычисляется потенциал поля,созданного зарядом q, который равномерно распределёнпо поверхности шара, для всех точек, находящихся вне шара. В этом случае r1обозначаетрасстояние от центра шара до точки 1.
Следует обратить внимание на то, что потенциал поляположительного заряда уменьшается при удалении от заряда, а потенциал поляотрицательного заряда – увеличивается. Поскольку потенциал является величинойскалярной, то, когда поле создано многими зарядами, потенциал в любой точке поля равен алгебраической сумме потенциалов, созданныхв этой точке каждым зарядом в отдельности.
Работу сил поля можно выразить с помощью разности потенциалов. Вспомни, чторабота при перемещении заряда между точками 1 и 2 (см. рис. 3) определяетсяформулой (1а):
А1 2 = — ∆П2 1 = — (П2– П1).
Заменив П его значением из формулы (3), получим
А1 2 = — (φ2qПр– φ1qПр) = — qПр(φ2– φ1) = — qПр∆φ.
Но это можно записать и так:
А1 2 = qПр(φ1 – φ2).
Разностьпотенциалов (φ1– φ2) называют напряжением между точками 1 и 2 и обозначается U1 2. Такимобразом,
А1 2 = qПрU1 2.
Опустив индексы, получим
А = qU. (5)
Следовательно, работасил поля при перемещении заряда qмежду двумяточками поля прямо пропорциональна напряжению между этими точками.
Выведем из (5) единицу напряжения:
U= A/q; U= 1 Дж/1Кл = кг • м2/с3• А = 1 В (вольт).
В системе СИ за единицу измерения напряженияпринимается вольт. Вольтом называется такое напряжение (разность потенциалов)между двумя точками поля, при котором, перемещая заряд в 1 Кл из одной точки вдругую, поле совершает работу в 1 Дж. Отметим, что на практике заряды всегдаперемещаются между двумя определёнными точками поля, поэтому чаще важно знатьнапряжение между отдельными точками, а не их потенциалы.
Из формулы (4) видно, что во всех точках поля, находящихсяна расстоянии r1от точечного заряда q(см. рис. 3), потенциал φ1будет одинаковый. Все эти точки находятся на поверхности сферы, описаннойрадиусом r1из точки, в которой находится точечный заряд q.
Поверхность,все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной (от латинского «экви» — равный). Разрезы таких поверхностей с потенциалами φ1и φ2 на рис. 3 показаны окружностями.Для эквипотенциальной поверхности справедливо соотношение
φ= const. (6)
Оказывается, что линиинапряжённости электрического поля всегда нормальны к эквипотенциальнымповерхностям. Это означает, что работасил поля при перемещении заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю.
Поскольку работа сил поля при перемещении заряда qопределяется только разностью потенциалов междуначалом и концом пути, то при перемещении заряда qс одной эквипотенциальной поверхности на другую(потенциалы которых φ1 и φ2) эта работа не зависит от формы пути иравна А = q(φ1– φ2).
В дальнейшем следует помнить, что под действием силполя положительные заряды всегда перемещаются от большего потенциала кменьшему, а отрицательные – наоборот.
Литература.
Л.С. Жданов «Учебник по физике для средних специальныхучебных заведений», изд. «Наука», 1977г.