1. Плоскаясистема сходящихся сил
Системасходящихся сил находится в равновесии, когда алгебраические суммыпроекций ее слагаемых на каждую из двух координатных осей равны нулю.
/> />
Проекция силына ось.
Осью называют прямую линию,которой приписано определенное направление. Проекция вектора на ось являетсяскалярной величиной.
Проекциявектора считается положительной (+), если направление от начала к ее концусовпадает с положительным направлением оси. Проекция вектора считаетсяотрицательной (-), если направление от начала проекции к ее концупротивоположно положительному направлению оси.
Если силасовпадает с положительным направлением оси, но угол будет тупой – тогдапроекция силы на ось будет отрицательною.
/>
Итак,проекция силы на ось координат равна произведению модуля силы на косинус илисинус угла между вектором силы и положительным направлением оси.
Силу,расположенную на плоскости хОу, можно спроецировать на две координатные оси Охи Оу:
/>; />; />.
Проекциявекторной суммы на ось.
Геометрическаясумма, или равнодействующая, этих сил /> определяетсязамыкающей стороной силового многоугольника:
/>,
где п – числослагаемых векторов.
Итак,проекция векторной суммы или равнодействующей на какую-либо ось равнаалгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.
2. Парасил
Суммапроекций пары сил на ось х и на ось у равна нулю, поэтому пара сил не имеетравнодействующей. Несмотря на это тело под действием пары сил находится вравновесии.
Способностьпары сил производить вращение определяется моментом пары, равнымпроизведению силы на кратчайшее расстояние между линиями действия сил.Обозначим момент пары М, а кратчайшее расстояние между силами а,тогда абсолютное значение момента:
/> />
Кратчайшеерасстояние между линиями действия сил называется – плечом пары, поэтомуможно сказать, что момент пары сил по абсолютному значению равенпроизведению одной из сил на ее плечо.
Момент пары силможно показывать дугообразной стрелкой, указывающей направление вращения.
Момент парысил будем считать положительным, если пара стремится повернуть тело понаправлению хода часовой стрелки, и отрицательным, если – против часовойстрелки.
Две парысил считаются эквивалентными в том случае, если после замены одной парыдругой механическое состояние тела не изменяется, т.е. не изменяется движение телаили не нарушается его равновесие.
Эффектдействия пары сил на твердое тело не зависит от ее положения в плоскости. Такимобразом, пару сил можно переносить в плоскости ее действия в любое положение.
Еще односвойство пары сил, которое является основой для сложения пар:
− ненарушая состояния тела, можно как угодно изменять модули сил и плечо пары,только бы момент пары оставался неизменным.
Поопределению пары сил эквивалентны, т.е. производят одинаковое действие, если ихмоменты равны.
Если, изменивзначения сил и плечо новой пары, мы сохраним равенство их моментов М1= М 2 или F1 a = F 2 b, то состояние тела оттакой замены не нарушится.
Подобно силампары можно складывать. Пара, заменяющая собой действие данных пар, называется результирующей.Действие пары сил полностью определяется ее моментом и направлением вращения.Исходя из этого, сложение пар производится алгебраическим суммированием их моментов,т.е. момент результирующей пары равен алгебраической сумме моментовсоставляющих пар.
Момент результирующейпары определится по формуле:
М= М 1 +М 2 +.… + М п.= />М і,
Где моменты пар,вращающие по часовой стрелке, принимаются положительными, а против часовойстрелки – отрицательными. На основании приведенного правила сложения парустанавливается условие равновесия системы пар лежащих в одной плоскости, аименно: для равновесия системы пар необходимо и достаточно, чтобы моментрезультирующей пары равнялся нулю или чтобы алгебраическая сумма моментов парравнялась нулю:
/>
Момент силыотносительно точки и оси.
Момент силыотносительно точки определяется произведением модуля силы на длинуперпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы.
Призакреплении тела в точке О сила /> стремитсяповорачивать его вокруг этой точки. Точка О, относительно которой беретсямомент, называется центром момента, а длина перпендикуляра а – плечомотносительно центра момента.
Момент силы /> относительно Оопределяется произведением силы на плечо: />/> />.
Моментпринято считать положительным, если сила стремится вращать тело по часовойстрелке, а отрицательным — против часовой стрелки. Между моментом пары имоментом силы есть одно существенное различие. Численное значение и направлениемомента пары сил не зависит от положения этой пары в плоскости. Значение инаправление (знак) момента силы зависит от положения точки, относительнокоторой определяется момент.
Если сила /> расположена вплоскости, перпендикулярной к оси, момент этой силы определяется произведением еевеличины на плечо /> относительноточки пересечения оси и плоскости:
/>
Следовательно,для определения момента силы относительно оси нужно спроектировать силу наплоскость, перпендикулярную оси, и найти момент проекции силы относительноточки пересечения оси с этой плоскостью.
3. Методкинетостатики
Представимсебе материальную точку массой т, движущуюся сускорением а под действием какой-то системы активных и реактивных сил,равнодействующая которых равна F.
Воспользуемсяодной из известных нам формул (основным уравнением динамики) для того, чтобыуравнения движения записать в форме уравнений равновесия (метод кинетостатики):
F = ma.
Перепишем это уравнение вследующем виде:
F + (-/ma) = 0.
Выражениеобозначается Кин и называется силой инерции:
Kин= -mа.
Сила инерции есть вектор,равный произведению массы точки на ее ускорение и направленный в сторону,противоположную ускорению.
Это равенство, являющеесяматематическим выражением принципа, который носит имя французского ученогоДаламбера (1717—1783), можно рассматривать как уравнение равновесияматериальной точки. Следует подчеркнуть, что полученное равенство, хотя иназвано уравнением равновесия, в действительности является видоизмененнымуравнением движения материальной точки.
Принцип Даламбераформулируется гак: активные и реактивные силы, действующие на материальную точку,вместе с силами инерции образуют систему взаимно уравновешенных сил,удовлетворяющую всем условиям равновесия.
Следуетпомнить, что сила инерции приложена к рассматриваемой материальной точке условно, но для связи,вызывающей ускорение, она в определенном смысле является реальной. Обладая свойством инерции,всякое тело стремится сохранять свою скорость по модулю и направлениюнеизменной, в результате чего оно будет действовать на связь, вызывающуюускорение, с силой, равной силе инерции. В качестве примера действия силинерции можно привести случаи разрушения маховиков при достижении имикритической угловой скорости. Во всяком вращающемся теле действуют силыинерции, так как каждая частица этого тела имеет ускорение, а соседние частицыявляются для нее связями. Отметим, что весом тела называется сила, с которойтело вследствие притяжения Земли действует на опору (или подвес), удерживающуюего от свободного падения. Еслитело и опора неподвижны, то вес тела равен его силе тяжести.
4. Моментсилы относительно точки
Рассмотримгайку, которую затягивают гаечным ключом определенной длины, прикладывая кконцу ключа мускульное усилие. Если взять гаечный ключ в несколько раз длиннее,то прилагая то же усилие, гайку можно затянуть значительно сильнее. Из этогоследует, что одна и та же сила может оказывать различное вращательное действие.Вращательное действие силы характеризуется моментом силы.
Понятиемомента силы относительно точки ввел в механику итальянский ученый и художникэпохи Возрождения Леонардо да Винчи (1452—1519).
Моментом силыотносительно точки называется произведение модуля силы на ее плечо:
М0(¥)= РИ.
Точка,относительно которой берется момент, называется центром момента. Плечом силы относительноточки называется кратчайшеерасстояние от центра момента до линии действия силы.
Единица момента силы:
[М] = [У7] [/;] = сила х длина = ньютон х метр = Н • м.
Условимся считать момент силы положительным, если сила стремитсявращать свое плечо вокруг центра момента против часовой стрелки, и наоборот (рис. 3.4).
Одна и та жесила относительно разных точек может давать и положительный и отрицательныймомент.
Момент силы относительноточки, лежащейна линиидействия этой силы, равен нулю,так как в этом случае плечо равно нулю.
Момент силы относительноточки не меняется при перенесении силы вдоль линии ее действия, так как модульсилы и плечо остаются неизменными.
5. Проекциясилы на координатную ось
В техслучаях, когда на тело действует более трех сил, а также когда неизвестнынаправления некоторых сил, удобнее при решении задач пользоваться негеометрическим, а аналитическим условием равновесия, которое основано на методепроекций.
Проекцией силы на осьназывается отрезок оси, заключенный между двумя перпендикулярами, опущенными наось из начала и конца вектора силы.
Пусть даныкоординатные оси х, у,сила Р, приложенная в точке Аи расположенная в плоскости координатных осей.
Проекциямисилы Р на оси будут отрезки аЬи а'Ь'. Обозначимэти проекции соответственно Рхи Ру.Тогда
РХ= Р cos(x); Ру = Рsin(x).
Проекция силына ось есть величина алгебраическая, которая может быть положительной илиотрицательной, что устанавливается по направлению проекции. За направление проекции примем направлениеот проекции начала к проекции конца вектора силы.
Установимследующее правило знаков: если направление проекции силы на ось совпадает сположительным направлением оси, то эта проекция считается положительной, инаоборот.
Если векторсилы параллелен оси,то он проецируется на эту ось внатуральную величину.
Если векторсилы перпендикуляреноси, то его проекция на эту осьравна нулю Зная две проекции Рх и Ру, из треугольника ЛВС определяем модуль инаправление вектора силы Р по следующим формулам:
Р= у/Р* + Р*, направляющий тангенс угла между вектором силы Р и осьюх 1ёа = Ру/Рх.
Отметим, чтосилу Р можно представить как равнодействующую двух составляющих сил Рх и Р, параллельных осямкоординат (рис. 2.3). Составляющие Рхи Ру ипроекции Рх и Ру принципиальноотличны друг от друга, так как составляющая есть величина векторная, а проекция— величина алгебраическая;но проекции силы на две взаимно перпендикулярные оси х и у и модули составляющих той же силысоответственно численно равны, когда сила разлагается по двум взаимноперпендикулярным направлениям, параллельным осям х и у.
Очевидно,что, согласно третьему закону Ньютона (аксиома взаимодействия), внутренниесилы, действующие в сечении оставшейся и отброшенной частей тела, равны помодулю, но противоположны по направлению. Таким образом, рассматриваяравновесие любой из двух частей рассеченного тела, мы получим одно и то жезначение внутренних сил, однако выгоднее рассматривать ту часть тела, длякоторой уравнения равновесия проще.
Далееперейдем к рассмотрению основныхдеформаций. Из практики известно, что в процессе эксплуатацииэлементы конструкций испытывают следующие основные деформации:
1. растяжение;эту деформацию испытывают, например, канаты, тросы, цепи, шток протяжногостанка;
2. сжатие;на сжатие работают, например, колонны, кирпичная кладка, пуансоны штампов;
3. сдвиг;деформацию сдвига испытывают заклепки, болты, шпонки, швы сварных соединений.Деформацию сдвига, до- веденнуюдо разрушенияматериала, называют срезом. Срез возникает, например, при резке ножницами илиштамповке деталей из листового материала;
4. кручение;на кручение работают валы, передающие мощность при вращательном движении.Обычно деформация кручения сопровождается другими деформациями, напримеризгибом;
5. изгиб;на изгиб работают балки, оси, зубья зубчатых колес и другие элементыконструкций.
Очень частоэлементы конструкций подвергаются действию нагрузок, вызывающих одновременнонесколько основных деформаций. Так, например, в теоретической механике мырассмотрели усилия, действующие на колесо червячной передачи. Очевидно, что вэтом случае возникают следующие деформации вала червячного колеса:
Напряжения идеформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, котораяназывается законом Гука, по имени установившего этот закон английского физикаРоберта Гука (1635 — 1703).
Закон Гука при растяжении и сжатии справедлив лишь в определенных пределах нагружения и формулируется так: нормальное напряжениепрямо пропорционально относительному удлинению или укорочению.
Коэффициентпропорциональности Ехарактеризует жесткость материала, т.е. его способность сопротивляться упругимдеформациям растяжения или сжатия, и называется модулем продольной упругостиили модулем упругости первого рода.
Модульупругости и напряжение выражаются в одинаковых единицах:
[£] = [а]/[8] = Па.
Значения Е, МПа, для некоторых материалов:
Чугун… (1,5...1,6)105
Сталь… (1,96...2,16)105
Медь… (1,0...1,3)105
Сплавы алюминия… (0,69...0,71)105
Дерево (вдоль волокон) (0,1...0,16)105
Текстолит… (0,06...0,1)105
Капрон… (0,01…0,02) 105
Если в формулу закона Гука подставим выражения a = N/A, 8 = А///, то получим
M=Nl/(EA).
ПроизведениеЕА, стоящее в знаменателе, называется жесткостью сечения при растяжении исжатии; оно характеризует одновременно физико-механические свойства материала игеометрические размеры поперечного сечения бруса.
Эта формула читается так: абсолютное удлинение илиукорочение прямо пропорционально продольной силе, длине и обратнопропорционально жесткости сечения бруса.
Отношение называется жесткостьюбруса при растяжении или сжатии.
Приведенныевыше формулы закона Гука применимы только для брусьев или их участковпостоянного поперечного сечения, изготовленных из одного материала и припостоянной продольной силе.
Для бруса, имеющегонесколько участков, отличающихся материалом, размерами поперечного сечения,продольной силой, изменение длины всего бруса равно алгебраической суммеудлинений и укорочений отдельных участков.
Диаграммарастяжения низкоуглеродистой стали представлена на рис. 19.6. Эта диаграммаимеет следующие характерные точки.
Точка А практическисоответствует и другому пределу, который называется пределом упругости.
Пределомупругости ауп называется то наибольшее напряжение, до которогодеформации практически остаются упругими.
Точка С соответствуетпределу текучести.
Пределомтекучести ат называется такое напряжение, при котором в образцепоявляется заметное удлинение без увеличения нагрузки.
Придостижении предела текучести поверхность образца становится матовой, так как наней появляется сетка линий Людерса-Чернова, наклоненных к оси под углом 45°.
Эти линиивпервые были описаны в 1859 г. немецким металлургом Людерсом и независимо отнего в 1884 г. русским металлургом Д.К. Черновым (1839—1921), предложившим использоватьих при экспериментальном изучении напряжений в сложных деталях.
Пределтекучести является основной механической характеристикой при оценке прочности пластичных материалов. ТочкаВ соответствует временному сопротивлению или пределу прочности.
Временнымсопротивлением ав называется условное напряжение, равное отношениюмаксимальной силы, которую выдерживает образец, к первоначальной площади егопоперечного сечения (для стали СтЗ ав400МПа).
Придостижении временного сопротивления на растягиваемом образце образуется местноесужение — шейка, т. е. начинается разрушение образца.
В определениивременного сопротивления говорится об условном напряжении, так как в сеченияхшейки напряжения будут больше.
Пределомпрочности апч называется временное сопротивление образца,разрушающегося без образования шейки. Предел прочности является основноймеханической характеристикой при оценке прочности хрупких материалов.
Точка Исоответствует напряжению, возникающему в образце в момент разрыва во всехпоперечных сечениях, кроме сечений шейки.
Точка М соответствуетнапряжению, возникающему в наименьшем поперечном сечении шейки в моментразрыва. Это напряжение можно назвать напряжением разрыва.
6. Расчетнаяформула при растяжении и сжатии
Предельнымнапряжением при статической нагрузке для пластичных материалов является предел текучести, для хрупких — предел прочности. Дляобеспечения прочности деталей необходимо, чтобы возникающие в них в процессеэксплуатации напряжения были меньше предельных.
Отношениепредельного напряжения к напряжению, возникающему в процессе работы детали,называют коэффициентом запаса прочности и обозначают буквой я:
Очевидно, чтонедостаточный коэффициент запаса прочности не обеспечит надежности конструкции,а чрезмерный запас прочности приведет к перерасходу материала и утяжелениюконструкции. Сечение, длякоторого коэффициент запаса прочности наименьший, называется опасным.
Минимальнонеобходимый коэффициент запаса прочности называют допускаемым и обозначают [д].Допускаемый коэффициент запаса прочности зависит от свойств, качества иоднородности материала, точности представления о нагрузках, действующих наконструкцию, ответственности конструкции и многих других причин. Для пластичныхматериалов [л] = 1,2...2,5, для хрупких [я] = 2...5, для древесины [я] =8...12.
Отношениепредельного напряжения к допускаемому коэффициенту запаса прочности называютдопускаемым напряжением и обозначают [ст].
Расчетнаяформула при растяжении и сжатии имеет вид: и читается следующим образом: нормальноенапряжение в опасном сечении,вычисленное по формуле а = Лт/А, не должно превышать допускаемое.