Моделирование процессов тепло- и массопереноса при закачке радиоактивных растворов в глубокозалегающие пласты

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Стерлитамакскаягосударственная педагогическая академия
на правах рукописи
МИХАЙЛИЧЕНКО ИГОРЬ НИКОЛАЕВИЧ
МОДЕЛИРОВАНИЕПРОЦЕСОВ
ТЕПЛО- ИМАССОПЕРЕНОСА
ПРИЗАКАЧКЕ РАДИОАКТИВНЫХ РАСТВОРОВ
ВГЛУБОКОЗАЛЕГАЮЩИЕ ПЛАСТЫ
Диссертация
на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
05.13.18 – математическоемоделирование, численные методы
и комплексы программ
Научные руководители –
доктор технических наук,
профессор Филиппов А.И.;
кандидат
физико-математических наук,
доцент Михайлов П.Н.
Стерлитамак 2006

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ. 4
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ… 12
Глава I.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА ПРИ   ФИЛЬТРАЦИИЖИДКОСТИ С РАДИОАКТИВНЫМ ЗАГРЯЗНИТЕЛЕМ В ГЛУБОКО ЗАЛЕГАЮЩИХ ПЛАСТАХ… 14
1.1. Некоторые аспекты развития методов расчётов температурных и концентрационных полей в пластах. 14
1.2. Основные физические процессы при фильтрации жидкостив глубоко залегающих пластах. 16
1.3. Уравнение конвективной диффузии с учетом радиоактивного распада и обмена жидкости со скелетом. 17
1.4. Задача теплопереноса. 20
1.4.1.Математическая постановка задачи теплопереноса и её обезразмеривание  20
1.4.1. Разложение задачи теплопереноса поасимптотическому параметру. 26
1.4.3. Математическая постановка задачитеплопереноса в нулевом приближении  28
1.4.4. Постановка задачи теплопереноса впервом приближении. 31
1.5. Задача массопереноса. 32
1.5.1. Математическая постановка задачимассопереноса и её обезразмеривание  32
1.5.2.Разложение задачи массопереноса поасимптотическому параметру. 36
1.5.3. Математическая постановка задачимассопереноса в нулевом приближении  38
1.5.4. Математическая постановка задачимассообмена в первом приближении. 41
1.5.5. Дополнительное интегральное условиедля первого приближения. 45
1.6. Выводы… 48
Глава II. РЕШЕНИЕЗАДАЧИ МАССОПЕРЕНОСА В НУЛЕВОМ И ПЕРВОМПРИБЛИЖЕНИЯХ, СТАЦИОНАРНОЕ РЕШЕНИЕ. 50
2.1 Решение задачи массопереноса в нулевом приближении. 50
2.2. Анализ результатов расчетов в нулевом приближении. 63
2.3. Бездиффузионное приближение в задаче массообмена. 66
2.4. Решение задачи массообмена в первом приближении. 70
2.5. Анализ результатов расчетов в первом приближении. 77
2.6. Стационарное решение задачи массопереноса в нулевом ипервом приближении  87
2.7. Анализ результатов расчёта стационарной задачи. 96
2.8. Выводы… 100
Глава III.РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В НУЛЕВОМ И ПЕРВОМ ПРИБЛИЖЕНИЯХ… 102
3.1. Нулевое приближение. 102
3.2. Переход в пространство оригиналов для нулевогопредставления плотности загрязнителя. 111
3.3. Анализ результатов расчетов по нулевому приближению… 114
3.4. Решение задачи теплообмена в пространстве изображений
 в первом приближении. 116
3.5. Сопоставление радиусов зон химического и тепловоговозмущений. 122
3.6. Выводы… 129
ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 130
ЛИТЕРАТУРА… 132

ВВЕДЕНИЕ
Актуальностьпроблемы. Внастоящее время наиболее распространённым видом утилизации радиоактивныхотходов предприятий атомной промышленности и химических производств являетсязакачка их в виде жидких растворов в глубокозалегающие подземные пласты.Поэтому чрезвычайно важной экологической задачей является прогнозирование иконтроль поведения зон, охваченных воздействием вредных примесей, особенно сучётом того, что глубокозалегающие пласты обычно имеют выходы на поверхность.Указанный прогноз осуществляется, в основном, расчётным путём, так как возможностиэкспериментального определения размеров глубоко залегающих зон загрязнения весьмаограничены.
При закачке вредных примесей нарушается естественноетемпературное поле, что определяется как отличием температуры закачиваемойжидкости от пластовой, так и выделением тепла за счет радиоактивного распада ихимических реакций. При этом поля концентраций примесей и температуры являютсявзаимосвязанными, поэтому на основе измерений температуры в контрольныхскважинах, проведённых в зоне влияния закачки отходов, можно создать методыконтроля за зоной заражения.
Вопросызахоронения радиоактивных отходов в геологических формациях и возникающие при этомэкологические проблемы подробно рассматривались многими исследователями, средикоторых можно выделить Белицкого А.С., Орлову Е.И. [5], Рыбальченко, А.И.,Пименова М.К. [64]. Исследованию полей концентрации радиоактивного загрязнителяв пористых пластах посвящено большое число работ Ф.М. Бочевера, Н.Н. Веригина,В.М. Гольдберга.
Результатыисследования температурных полей представлены в статьях и монографиях научныхшкол Башкирского, Казанского, Латвийского госуниверситетов,научно-исследовательских и проектных институтов нефтегазовой промышленности, атакже зарубежных ученых. В подавляющем большинстве в этих работах в основуисследований положена “схема сосредоточенной ёмкости”, которая предполагает,что поле температуры в интервале пласта не зависит от вертикальной координаты.Однако в последние годы, в связи с повышением разрешающей способноститермометрической аппаратуры, встал вопрос о методах расчётов температуры сучётом зависимости от вертикальной координаты.
Расчётпространственно-временных распределений концентрации вредных примесей в глубокозалегающих пластах сводится к решению краевых задач конвективной диффузии впористых средах. Соответствующие задачи обладают большим разнообразием, ирешение их зачастую сопряжено со значительными трудностями. В настоящее времяновые перспективы в исследовании динамики полей температур открываетиспользование модификации асимптотических методов, ориентированной на задачискважинной термодинамики (А.И. Филиппов). Она была использована для создания теориитемпературных и массообменных процессов при закачке жидкости в пласты (О.И.Коркешко) и баротермического эффекта (Н.П. Миколайчук), при моделированиифильтрации газожидкостных смесей и аномальной жидкости (Е.М Девяткин, Г.Я.Хусаинова), движения жидкости по скважине (П.Н. Михайлов, О.В. Ахметова),термического воздействия на пласт на основе фильтрационно-волновых процессов (М.Р.Минлибаев, Г.Ф. Ефимова).
Целью диссертационной работы является разработка методов расчётаполей температур и концентраций радиоактивных примесей при закачке растворов,содержащих радиоактивный загрязнитель, в глубоко залегающие проницаемые пластына основе асимптотических разложений.
Основные задачи исследования:
- анализ вклада основных физическихпроцессов, обуславливающих динамику распространения радиоактивных примесей итемпературных полей, постановка соответствующих математических задач;
- применение асимптотического методак многослойным задачам, построение задач для коэффициентов разложения искомогорешения в виде ряда по параметру;
- получение аналитических решенийзадач для коэффициентов разложения нулевого и первого порядков;
- проведение расчетовпространственно-временных распределений полей концентраций загрязнителя итемпературы и изучение влияния различных физических параметров на этираспределения;
- сопоставление полученныхрезультатов с экспериментальными данными и результатами других исследователей.
Научная новизна:
– С помощьюмодификации асимптотического метода полученыновые приближённые решения задач, описывающих динамику температурных полей ираспространения радиоактивных примесей в проницаемых пластах с учетом ихраспада и осаждения на скелет.
– Найденостационарное решение задачи о распространении плотности радиоактивногозагрязнителя, установлена область применимости задачи в бездиффузионномприближении для расчетов полей в реальных условиях.
– Получено соотношение между размерамизон очищенной воды, загрязненной радиоактивными примесями и температурныхвозмущений. Установлено, что при больших коэффициентах Генри размеры последнейво много раз превосходят размеры зоны загрязнения и поэтому регистрациятемпературных полей может быть использована для прогнозирования положения зонырадиоактивного заражения.
Практическая значимость. На основе полученных решений созданыновые способы расчётов экологической безопасности природных глубоко залегающихобъектов, используемых для захоронения радиоактивных отходов АЭС и промышленныхпредприятий. Определена зависимость величины и положения максимуматемпературного поля от параметров закачки, энергетической активностизагрязнителя и теплофизических свойств пластов, что очень важно для предотвращениянеблагоприятных последствий, в частности, «теплового взрыва».
Достоверность полученных результатов обоснована тем, что в основу исследованийположены уравнения, выведенные из фундаментальных законов сохранения. Полученныерешения в частных случаях сопоставлены с результатами других исследователей, атакже удовлетворительно согласуются с результатами экспериментальных исследований,опубликованными в печати.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Построенная с использованиеммодификации асимптотического метода математическая модель температурного поляжидкости с радиоактивным загрязнителем, текущей по проводящему пласту,окружённому «кровлей» и «подошвой», в нулевом и первом приближениях.Обоснование утверждения, заключающегося в том, что дополнительное нелокальноеинтегральное условие приводит к построению в «среднем точного» асимптотическогорешения.
2. Аналитические выражения длярасчётов полей температуры и концентрации вредных примесей при их закачке вподземные пласты, представленные в виде разложения по параметруасимптотического разложения для задач массо- и теплопроводности, содержащиеслагаемые нулевого и первого порядков.
3. Результатырасчётов пространственно-временных распределений плотности и температурызагрязнителя (в частности, с помощью стационарного решения), которыепоказывают, что при отсутствии в пористом пласте естественной миграции жидкостиимеются предельные размеры зоны загрязнения, определяемые периодом полураспадануклида и темпами закачки; аналитические зависимости для размеров зон радиоактивного заражения, термическоговлияния и очищенной воды.
Краткая характеристика содержанияработы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения исписка используемой литературы.
Во введении обоснована актуальность проблемы, сформулированы цельи задачи диссертационной работы, обоснованы научная новизна и практическаязначимость результатов исследования.
В первой главе приведен краткий обзор литературы. Произведено описаниеосновных физических процессов, происходящих при фильтрации жидкостей вглубокозалегающих пластах, проведена оценка вкладов этих физических процессов,и на этой основе осуществлена постановка задачи о фильтрации жидкости срадиоактивными примесями в глубоко залегающих пластах.
Выписаны уравнения, определяющие изменениетемпературного поля. Произведено обезразмеривание задачи о распространении полятемператур. Произведена оценка вклада радиальной температуропроводности впроцессы теплопереноса, и сделан вывод о возможности пренебрежения соответствующимисоставляющими в уравнении теплопереноса. Введён параметр асимптотическогоразложения, определена математическая постановка задачи для нулевого и первогоприближений. Сделан вывод о необходимости первоначального решения задачи,определяющей зависимость плотности загрязнителя от времени и координат.
Выписаны уравнения массопереноса длярадиоактивного загрязнителя. Произведено их обезразмеривание. Обоснованавозможность пренебрежения слагаемыми, определяющими радиальную диффузию (всравнении с конвективным переносом загрязнителя). Произведено асимптотическоеразложение массопереносной задачи. Записана математическая постановка задачи внулевом и первом приближениях.
Вовторой главерешеназадача массопереноса в нулевом и первом приближениях. Обоснована возможностьпренебрежения радиоактивным распадом в «кровле» и «подошве». Рассмотренобездиффузионное приближение, оценены границы его применимости. Найденостационарное решение, определены максимальные размеры зоны заражения. Обосновановведение среднеинтегрального условия для первого коэффициента разложения.
Третья глава посвящена решению задачи теплообмена в нулевом ипервом приближении. При этом, как и во второй главе, использован методинтегральных преобразований Лапласа-Карсона. Построено решение в нулевомприближении, показано, что оно определяется только нулевым приближением полязагрязнителя. Проанализированы полученные решения. Для первого коэффициентаразложения получено решение в пространстве изображений. Рассмотрены исопоставлены радиусы зон химического и теплового влияния, найдены соотношения,определяющие относительные размеры этих зон. Построен алгоритм получениярешения любого требуемого приближения.
В заключении подводены итоги проведенного исследования.
В процессе выполнения работы широко использованы асимптотические методы,методы интегральных преобразований Лапласа – Карсона. Численные расчетытепловых полей осуществлены с помощью программного пакета MathCAD.Графические иллюстрации выполнены с использованием программы CorelDraw.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9научных работах. Постановка задачи в работах принадлежит профессору ФилипповуА.И. В остальном вклад авторов равный. Результаты, выносимые на защиту,принадлежат автору.
1. Михайличенко,И.Н. и др. Поле концентрации при закачке водныхрастворов радиоактивных примесей в глубокозалегающие пласты / А.И. Филиппов,П.Н. Михайлов, И.Н. Михайличенко // Современные проблемы физики иматематики. Труды Всероссийской научной конференции (16 – 18 сентября 2004 г., г. Стерлитамак). – Уфа: Гилем, 2004. С. 89 – 97.
2. Михайличенко, И.Н. и др. Температурныеполя при закачке водных растворов радиоактивных примесей в подземные горизонты / Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Михайличенко И.Н.// Обозрение прикладной и промышленной математики / Тезисы докладов VВсероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике. – М., 2004.– Т. 11, – В.3. – С. 596 – 597.
3. Михайличенко,И.Н. и др.Поле концентрации при закачке водныхрастворов радиоактивных примесей в глубокозалегающие пласты / А.И. Филиппов,П.Н. Михайлов, И.Н. Михайличенко // Обозрение прикладной и промышленнойматематики / Тезисы докладов V Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике. –М., 2004. – Т. 11, – В.3. – С. 595 – 596.
4. Михайличенко,И.Н. и др.Оценка погрешности бездиффузионногоприближения в задачах тепломассопереноса / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов,И.Н. Михайличенко // Математические модели в образовании, науке ипромышленности: Сб. науч. трудов. – СПб.: Санкт-Петербургское отделение МАН ВШ,2005. – С. 101 – 105.
5. Михайличенко,И.Н. Способрасчёта концентрации загрязнителя при захоронении растворённых веществ / И.Н.Михайличенко // ЭВТ в обучении и моделировании. Труды IV Региональной научно –методической конференции. (16 – 17 декабря 2005 г., г. Бирск). – Бирск: изд-во БГСПА, 2005. – С. 294 – 303.
6. Михайличенко,И.Н. и др. Определение зоны заражения при подземномзахоронении растворённых радиоактивных веществ / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов,И.Н. Михайличенко // Вестник Херсонского национального техническогоуниверситета. Вып. 2(25). – Херсон: ХНТУ, 2006. – С. 508 – 512.
7. Михайличенко,И.Н. и др. Расчет полей концентрации при подземномзахоронении растворенных радиоактивных веществ / А.И. Филиппов, П.Н.Михайлов, А.Г. Крупинов, И.Н. Михайличенко // Экологические системы иприборы. – 2006. – №5. – С. 27 – 35.
8. Михайличенко,И.Н. Расчет полей концентрации приподземном захоронении растворенных радиоактивных веществ / Д.А. Гюнтер, И.Н.Михайличенко// Региональная школа – конференция молодых учёных:тезисы докладов. – Уфа: Гилем, 2006. – С. 44 – 45.
9. Михайличенко,И.Н, Погранслойное решение в задаче озакачке радиоактивных примесей в пористый пласт/ Е.М. Девяткин, И.Н.Михайличенко // VI Региональнаяшкола – конференция для студентов, аспирантов и молодых учёных по математике,физике и химии. Тезисы докладов. – Уфа: РИО БашГУ, 2006. – С. 141 – 142.
                                    
СПИСОКОБОЗНАЧЕНИЙ
a                    – коэффициенттемпературопроводности, м2/с;
/>             – удельныетеплоёмкости пластов, Дж/(кг·К);
/>, />, /> – коэффициентыдиффузии в вертикальном и радиальном
/>, />, />, направлениях, м2/с;
h                   – полувысота пористого пласта, м;
/>                  – коэффициентпроницаемости, м2;
/>                          – удельная теплота радиоактивногораспада, Дж/кг;
m                 – пористость;
/>                  – радиусскважины закачки, м;
Rp                 – положение фронта загрязнения, м;
Rw                 – положение фронта закачиваемой жидкости, м;
RТ                – положение фронта термического влияния, м;
/> – температураносителя (загрязнителя) в различных пластах, К;
/>  – удельная теплоёмкость и плотность пористогопласта, Дж/(кг·К), кг/м3;
/>                 – скоростьконвективного переноса примесей, м/с;
/>                 – скоростьфильтрации жидкости, м/с;
/>                – истиннаяскорость движения жидкости, м/с;
/>                                         – постояннаярадиоактивного распада, с-1;.
/>                 – вязкость несущейжидкости, Па с;
/>         – химические потенциалыпримесей в скелете и жидкости
/>         – плотности загрязнителя в скелете и жидкости, кг/м3;
/>   – плотности пластов, кг/м3;
/>                 – время, с;
/>– коэффициенты теплопроводности в радиальном направлении,Вт/(м·К);
/>– коэффициенты теплопроводности в вертикальном направлении,Вт/(м·К);
/>– плотности загрязнителя в различных пластах, кг/м3.

Глава I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА ПРИ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ С РАДИОАКТИВНЫМ ЗАГРЯЗНИТЕЛЕМ ВГЛУБОКО ЗАЛЕГАЮЩИХ ПЛАСТАХ1.1. Некоторые аспекты развития методов расчётов температурных иконцентрационных полей в пластах
Закачка растворов радиоактивных примесей вглубоко залегающие пористые пласты создает необходимость расчётавзаимосвязанных полей концентрации и температуры, что сводится к решению задачконвективной теплопроводности и конвективной диффузии. Это приводит к системеуравнений, включающей в себя уравнения непрерывности, Навье-Стокса, энергии и состояниявещества. Получающиеся дифференциальные уравнения в частных производных, накоторые накладываются начальные и граничные условия, не могут быть решены безвведения упрощений.
Одним из такихупрощений в задачах конвективной теплопроводности и диффузии является методсосредоточенной ёмкости [50, 51, 52, 73], который заключается ввыделении областей с мало изменяющейся вдоль одной или нескольких координат величиной,что позволяет заменять искомый параметр средним значением его в этих областях.Причем уравнения, описывающие физические процессы в указанных областях,заменяются соответствующим граничным условием в виде дифференциальногоуравнения в частных производных.
Температурные поля в нефтегазовых пластахв приближении сосредоточенной емкости рассмотрены в большом числе работ научныхшкол Башкирского, Казанского, Латвийского госуниверситетов.
Необходимо отметить работу Х.А. Ловерье [98],в которой рассмотрена термически анизотропная среда, обладающая следующимисвойствами: пористый пласт, в который нагнетается вода, имеет бесконечнобольшую теплопроводность в вертикальном направлении и не проводит тепло посредствомтеплопроводности в горизонтальном направлении, породы, окружающие этот пласт,имеют конечную теплопроводность в вертикальном направлении и не проводят теплов горизонтальном направлении. Как было показано Г.Е. Малофеевым [42]и Н.А. Авдониным [1], схема Ловерье даёт вполне удовлетворительныерезультаты, несмотря на упрощённые условия теплопереноса.
Большой вклад визучение температурных полей в нефтяных пластах внёс Л.И. Рубинштейн [64].Он разработал схемы, названные “точной схемой” и “схемой сосредоточеннойёмкости”. В “точной схеме” пласт и окружающие его породы считаются термическиизотропными, имеющими теплофизические характеристики, совпадающие с характеристикамиреального пласта, его кровли и подошвы. “Схема сосредоточенной ёмкости” близкак схеме Ловерье.
Считается, что пластимеет бесконечно большую теплопроводность в вертикальном направлении, атеплопроводность пласта в направлении его простирания считается конечной,совпадающей с теплопроводностью реального пласта. Породы считаются термическиизотропными с реальным значением коэффициента теплопроводности.
Теоретические изучения температурных полейпри нагнетании в пласт воды проводились также М.А. Пудовкиным [63].
Вопросы захоронениярадиоактивных отходов в геологических формациях и возникающие при этомэкологические проблемы подробно рассматривались многими исследователями, средикоторых можно выделить А.С. Белицкого, Е.И. Орлову [5], А.И. Рыбальченко,М.К. Пименова [65]. Исследованию гидродинамики и массопереносазагрязнителя посвящено большое число научных работ сотрудников ВНИИВодгео. Наиболееценные результаты получены при проведении численных расчётов на ЭВМ по методуконечных разностей.1.2. Основные физические процессы при фильтрации жидкости вглубоко залегающих пластах
Построение механики смесей осуществлено наоснове физических законов сохранения массы, импульса и энергии. Вместе систинной скоростью движения жидкости /> впористой среде вводится скорость фильтрации />
/>. (1.2.1)
Здесь m – коэффициент пористости(точнее эффективной пористости), который обуславливает фильтрацию впороде жидкости или газа и зависит от объёма пор />,через которые осуществляется фильтрация по отношению ко всему объему /> образца />.
Скорость фильтрации безынерционногодвижения жидких фаз определяется законом Дарси
/>. (1.2.3)
В большинстве встречающихся (и, что важно,“рассчитываемых”) фильтрационных процессов деформация пористого скелета,сжимаемость и связанные с этим изменения температур жидкостей являются малыми. Основнымиэффектами, определяющими движение системы, являются неравновесное совместноедвижение нескольких жидких фаз, молекулярная и конвективная диффузия растворённыхв фазах компонент, поглощение твёрдой фазой или сорбция компонент, массообменмежду фазами и т.д.
Ограничимся рассмотрением задачи дляодного загрязнителя, который является радиоактивным или химически активным.Стоит отметить, что концентрации загрязнителя в скелете пористой среды и внасыщающем её несжимаемом растворе быстро выравниваются в силу большойповерхности соприкосновения. Как было показано в работе О.И. Коркешко [30],время протекания массообмена между жидкостью и скелетом оказывается порядка 0.1с. Растворы, рассматриваемые в работе, считаются идеальными, что соответствуетслучаю одинакового взаимодействия молекул между собой независимо от того,одинаковы они или различны.
При рассмотрении температурной задачисчитается, что нагнетание теплоносителя не сопровождается никакими процессамиизменения фазового состояния пластовых жидкостей; теплофизическиехарактеристики жидкости, насыщавшей пласт до начала нагнетания, совпадают схарактеристиками нагнетаемой жидкости; начальная температура пласта иокружающих его пород стационарна. Полагаем, что температуры скелета пористойсреды и насыщающей её несжимаемой жидкости одинаковы, так как теплообмен (нарядус массообменом) между скелетом и жидкостью осуществляется сравнительно быстро.Это допущение выполняется вследствие большой удельной поверхности пористых средглубоко залегающих пластов (~/>).
Жидкость считается несжимаемой, капиллярными силами, силой тяжести, атакже температурными изменениями объёмов и тепловых свойств рассматриваемойсистемы пренебрегаем.1.3. Уравнение конвективной диффузии с учетом радиоактивного распадаи обмена жидкости со скелетом
 
Постановка задачи ораспределении концентрации вредных примесей при закачке растворов в глубокозалегающие пористые пласты основана на законе сохранения массы входящих всостав примесей. Для загрязнителя, находящегося в скелете пласта, справедливоуравнение неразрывности
/> (1.3.1)
где /> –диффузионный поток вещества в скелете, /> –соответственно плотность и коэффициент диффузии радиоактивного вещества вскелете, m – пористость скелета, /> –функция массообмена между скелетом и жидкостью, показывающая изменениеплотности вещества в скелете за счёт диффузии молекул примеси из жидкости вскелет, /> – функция источниковконцентрации, определяющая потери загрязнителя за счёт радиоактивного распада.
Для загрязнителя,находящегося в жидкости, уравнение неразрывности принимает вид
/>, (1.3.2)
где /> –диффузионный поток радиоактивного вещества в жидкости, текущей в пласте, /> – соответственно плотностьи коэффициент диффузии радиоактивного вещества в жидкости. Будем считать, чтопроцесс перехода молекул примеси из жидкости в скелет и её переход из скелета вжидкость определяется соотношением химических потенциалов />. При этом, из законасохранения следует, что потоки вещества из жидкости в скелет и обратно равны,но противоположны по знаку. Это приводит к появлению в правых частях уравненийодной и той же функции />, но с противоположнымзнаком. Полагая далее пористость mпостоянной, и складывая уравнения (1.3.1) и (1.3.2), получим
/> (1.3.3)
Равновесные концентрации примеси в скелетеи в жидкости связаны между собой соотношением /> (изотермасорбции), где /> – некотораяфункция концентрации примеси в жидкости.
Будем считать, что зависимостьконцентрации примеси в скелете от концентрации её в жидкости линейна (изотермаГенри), что является хорошим приближением при сравнительно небольших концентрацияхмигранта
/>, (1.3.4)
где />–коэффициент распределения загрязнителя междуносителем и скелетом.
Тогда последнее уравнение принимает вид
/> (1.3.5)
Учитывая, что для несжимаемой жидкости />, а следовательно, />, из последнего уравненияполучим
/>. (1.3.6)
Здесь введено обозначение
/>  (1.3.7)
– эффективный коэффициент диффузии в пласте. Из (1.3.6) следует, чтов уравнении, описывающем миграцию загрязнителя, необходимо учитыватьконвективный перенос загрязнителя, “осложнённый” наличием пористости в скелетеи протекающими массообменными процессами между загрязнителем и скелетом. Уравнение(1.3.6) позволяет определить скорость конвективногопереноса примесей в пористой среде по аналогии со скоростью конвективногопереноса тепла и скоростью фильтрации />
/>. (1.3.8)
Скорость конвективного переноса примеси /> определяет положение фронта загрязнения Rd подобно тому, как скоростьфильтрации /> определяет положение фронта закачиваемой жидкости Rw. Приэтом положение фронта закачиваемой жидкости определяется из баланса массызакачиваемой жидкости. В случае закачки с постоянной скоростью /> через скважину радиуса r0 выражение для Rw имеет вид
/>. (1.3.9)
Соответствующие радиусы зоны загрязнения итермических возмущений определяются в пунктах 2.1 и 3.1.1.4. Задачатеплопереноса1.4.1. Математическаяпостановка задачи теплопереноса и её обезразмеривание
Рассмотрим задачу о распространениирадиоактивных примесей в пористом глубоко залегающем пласте, в которыйзакачивается жидкость с растворёнными радиоактивными веществами. Такая задачаявляется фундаментальной для подземного захоронения радиоактивных отходов иотходов химических производств.
Одним из способов прогнозирования динамикиповедения радиоактивных и химических примесей в глубокозалегающих пластах,является исследование их температурных полей. Современные приборы и методикиизмерения температуры позволяют проводить оперативные измерения с точностью,превосходящей тысячные доли градуса. Температурные измерения в таких условияхможно использовать для контроля продвижения радиоактивной зоны.
Соответствующиетемпературные аномалии возникают как за счет отличия температуры закачиваемойжидкости от естественной температуры пластов, так и за счет энергии,выделяющейся при распаде радиоактивных веществ.
В результате одного акта радиоактивногораспада выделяется энергия ~ 1 МэВ. Согласнодействующим в России Нормам радиационной безопасности и санитарным правиламвысокоактивными жидкими радиоактивными отходами (РАО) признаются отходы,активность которых > 1 Ки/л. Следовательно, для высокоактивных отходоввыделяемая мощность оказывается порядка ~ /> ~ 5 Вт/м3. Причём, для средне- и долгоживущих нуклидов этамощность мало меняется на протяжении лет и даже десятилетий. Выделяемая энергияявляется весьма существенной и приводит к значительному изменениютемпературного поля.
На рис. 1.1 представлена геометрия задачив цилиндрической системе координат, ось z которойсовпадает с осью скважины. Среда представлена тремя областями с плоскими границамираздела z=±h. Закачка примесей в область ‑hzh производится из скважины радиуса r0; покрывающий (кровля) иподстилающий (подошва) пласты считаются непроницаемыми; средняя область толщины2h является пористой; все пласты считаются однородными ианизотропными по теплофизическим свойствам.
/>
Рис. 1.1. Геометриязадачи теплопереноса
Через скважину малого (по сравнению срасстоянием до точки наблюдения) радиуса /> вгоризонтальный бесконечный пласт толщиной /> закачиваетсявода с радиоактивным загрязнителем.
В поступающей в пласт жидкости (при />) поддерживаются постояннаятемпература /> и концентрация примеси />. В общем случае температураи концентрация загрязнителя в пласте изменяются за счёт конвективного переносавдоль направления />, радиальной теплопроводности и диффузии вдоль />, теплопроводности и диффузии вдоль />,за счёт наличия тепловых источников и источников концентрации (в нашем случае такимиисточниками является радиоактивный распад загрязнителя).
В окружающих средах имеет местотеплопроводность и диффузия вдоль /> и радиальная теплопроводность и диффузия вдоль />. В пласте концентрацияпримеси />, температура – />, коэффициент диффузиивдоль /> равен />, коэффициенттеплопроводности – />, коэффициентрадиальной диффузии – />, коэффициентрадиальной теплопроводности – />, в покрывающихпласт породах соответственно – />, />, />, />, />, />, в подстилающих породах – />, />,/>, />, />, />. Кроме того, постулируютсяусловия равенства температур и концентраций, а также плотностей тепловых идиффузионных потоков на границах соприкосновения, накладываются начальные играничные условия. В начальный момент времени везде и в бесконечноудалённых точках всегда концентрации примеси в пласте и в окружающих средахравны нулю.
Математическаяпостановка задачи теплопереноса для всех областей, таким образом, включаетуравнение теплопроводности с учётом радиоактивного распада в покрывающем
/> (1.4.1)
и подстилающем
/> (1.4.2)
пластах, а также уравнение конвективногопереноса с учётом радиоактивного распада в пористом пласте
/> (1.4.3)
Сомножитель при /> во втором слагаемом в левой части уравнения (1.4.3) в развёрнутом виде
/>.
Условия сопряжения включают в себя равенствотемператур
/>,  /> (1.4.4)
и потоков тепла на границах разделапластов
/> />. (1.4.5)
В уравнениях (1.4.1) – (1.4.3) учтено, чтоплотность радиоактивного нуклида в данной точке пространства определяетсясуммой плотностей в носителе и в скелете, которые связаны соотношением (1.3.4).
В начальный момент времени температурапластов /> является естественной невозмущённойтемпературой Земли на данной глубине. Рассматривая глубины, превышающие порогвлияния сезонных температур (~100 м), будем считать, что всилу малой величины градиента температурного поля Земли (~0.01 К/м) и небольшой толщины пористого пласта (~10 м)
/> /> />,
/>. (1.4.6)
Температура загрязнителя в скважине,радиус которой мы считаем малым по сравнению с расстоянием до точки наблюдения,равна />
/>. (1.4.7)
Будем в дальнейшем искать превышениетемпературы в пластах над естественной температурой, выраженное в единицах геотермическойтемпературы в пористом пласте />.
При решении задачи удобно перейти кбезразмерным координатам, определяемым соотношениями
/>,  />,  />,  />,  />,
/>,   />,   />,   />,
/>,    />,    />. (1.4.8)
Сразу заметим, что в силу (1.3.7)
/>. (1.4.9)
Безразмерный параметр Atпредставляет собой отношение времени тепловой релаксации слоёв к среднемувремени жизни радиоактивного нуклида. Выражение Pt являетсяаналогом параметра Пекле, поскольку определяется аналогично последнему, но черезтемпературопроводность настилающего, а не несущего пласта. Величина /> определяет отношениеизменения температуры, вызванного «мгновенным» распадом радиоактивного нуклидак разности температур закачиваемой жидкости и естественной геотермическойтемпературы пласта.
 Для больших /> температурноеполе определяется в основном энергией радиоактивного распада, для малых –конвективным переносом тепла, обусловленного различием температур закачиваемойжидкости и пласта.
В силу большого значения аналога параметраПекле (Рt ~ />),в пористом пласте можно пренебречь радиальной кондуктивной теплопроводностью посравнению с конвективным переносом тепла.
Аналогично, для настилающего иподстилающего пластов изменение радиальной составляющей температурного полябудет в значительной мере определяться конвективным переносом тепла в пористомпласте, что позволяет пренебречь для них вкладом соответствующих радиальныхтеплопроводностей.
Таким образом, во всех уравнениях,получающихся из (1.4.1) – (1.4.3) исчезнут слагаемые, содержащие /> и интересующие насуравнения запишутся в виде (соответственно для настилающего, подстилающего ипористого пластов):
/>, (1.4.10)
/>, (1.4.11)
/>, (1.4.12)
а условия сопряжения, граничные иначальные условия принимают вид
/> />, (1.4.13)
/>,  />, (1.4.14)
/>, (1.4.15)
/>,  />,  />, (1.4.16)
/>,  />,  />. (1.4.17)
Уравнения и равенства (1.4.10) – (1.4.17) представляютматематическую постановку задачи теплопереноса.1.3.1.  Разложение задачи теплопереноса по асимптотическомупараметру
Рассмотрим более общую задачу,получающуюся введением произвольного асимптотического параметра /> путем формальной замены /> на /> и, соответственно, /> на />, а /> на />. Задача (1.4.10) – (1.4.17)является, таким образом, частным случаем более общей задачи при />.
/>, (1.4.18)
/>, (1.4.19)
/>, (1.4.20)
/>  />, (1.4.21)
/>,  />, (1.4.22)
/>, (1.4.23)
/>,  />,  />, (1.4.24)
/>,  />,  />. (1.4.25)
Будем искать решение задачи (1.4.18) – (1.4.25),разлагая каждое /> в ряд по параметру/>. При этом асимптотическиеформулы с остаточным членом для данных разложений имеют вид
/>,   />,   /> . (1.4.26)
Решение исходной задачи будет получено изрешения параметризованной задачи при />. Подставив(1.4.26) в (1.4.18) – (1.4.25) и сгруппировав слагаемые по степеням параметраразложения />, получим следующую постановкупараметризованной задачи (вместе с граничными условиями)
/> (1.4.27)
/> (1.4.28)
/> (1.4.29)
/>,
/>, (1.4.30)
/>,
/>, (1.4.31)
/>,  />, />, (1.4.32)
/>, (1.4.33)
/>, />,
/> (1.4.34)
При этом плотность загрязнителя, входящаяв (1.4.27) – (1.4.29), также будет разлагаться по параметру асимптотическогоразложения />, причём это разложениепроизводится независимо от разложения (1.4.26), хотя и по тому же принципу.1.3.2.  Математическая постановка задачи теплопереноса внулевом приближении
Из (1.4.29) для коэффициентов при /> (нулевое приближение)получим />, тогда />. Таким образом, в нулевомприближении температура загрязнителя является функцией только от rи t. Из условий сопряжения (1.4.30) />. Следовательно,температура загрязнителя в каждом вертикальном сечении одинакова по всей высотенесущего пласта />. Приравниваякоэффициенты при /> к нулю в уравнении(1.4.29), получим
/>. (1.4.35)
Сумму первых двух слагаемых в правой частиэтого уравнения, не зависящую от z, обозначим через />
/>. (1.4.36)
Тогда
/>, (1.4.37)
следовательно,
/>. (1.4.38)
При z= 1, воспользовавшись (1.4.30)
/>, (1.4.39)
при z= – 1
/>. (1.4.40)
Вычитая и складывая два последних уравнения, получимдля функций /> и />следующие выражения:
/>, (1.4.41)
/>. (1.4.42)
Проинтегрировав (1.4.38), получим
/>, (1.4.43)
здесь /> функция,не зависящая от z, значение которой предстоит найти.
Подставив выражение /> из(1.4.41) в (1.4.36), получим для нулевого приближения уравнениегиперболического типа со следами производных из внешних областей
/> (1.4.44)
Окончательная постановка задачи в нулевомприближении наряду с (1.4.44) включает также уравнения для окружающих сред,начальные, граничные условия и условия сопряжения
/>, (1.4.45)
/>, (1.4.46)
/>, (1.4.47)
/> (1.4.48)
/>, (1.4.49)
/>,  />,  />. (1.4.50)
Последнее слагаемое в правой частиуравнения (1.4.44) устанавливает изменение температуры за счёт энергии,выделяющейся при радиоактивном распаде. Отметим, что температурное поле внулевом приближении определяется не значениями плотностей радиоактивногозагрязнителя в точках, а усреднёнными значениями по вертикальной координате винтервале пласта. Как будет показано ниже, усреднённое таким образом значениеплотности совпадает с нулевым приближением соответствующей задачи массопереноса(см. пункт 1.5.3).
Для определения в нулевом приближении полятемператур в среде, как следует из (1.4.44) – (1.4.50), необходимо заданиефункции плотности радиоактивного загрязнителя. Постановка этой задачи осуществленав пункте 1.5, а её решению посвящена глава II.1.3.3.  Постановка задачи теплопереноса в первом приближении
Уравнения (1.4.27), (1.4.28) для коэффициентов при />(первое приближение)принимают вид
/>, (1.4.51)
/>. (1.4.52)
Для коэффициентов при /> в (1.4.29)
/>. (1.4.53)
Условия сопряжения, начальные и граничныеусловия
/>,  />, (1.4.54)
/>,   />, (1.4.55)
/>, (1.4.56)
/>, (1.4.57)
/>, />, /> (1.4.58)
Решение /> отыскиваетсяв виде квадратного многочлена относительно z(1.4.43), где /> и/> определяются как (1.4.41),(1.4.42), а значение /> предстоит найти.
Уравнения (1.4.51) – (1.4.58) определяютпостановку задачи теплообмена в первом приближении. Здесь /> также зависит от плотностизагрязнителя, что обусловливается выражениями для />,/>.1.5. Задачамассопереноса1.5.1.Математическая постановка задачи массопереноса и её обезразмеривание
Геометрия задачи массопереноса практическиничем не отличается от температурной задачи и представлена на рис. 1.2.
/>Рис. 1.2. Геометрия задачи массопереноса
Математическаяпостановка задачи массопереноса для всех областей включает уравнение диффузии сучётом радиоактивного распада в покрывающем
/> (1.5.1)
и подстилающем
/> (1.5.2)
пластах, а также уравнение конвективнойдиффузии с учётом радиоактивного распада в пористом пласте
/> (1.5.3)
При этом граничные условия включают в себяравенства плотностей и потоков растворённого вещества на границах раздела пластов
/>  />, (1.5.4)
/>  /> (1.5.5)
Плотность загрязнителя в скважине, радиускоторой мы считаем малым по сравнению с расстояниями до точки наблюдения, равна/>, т.е.
/>. (1.5.6)
В начальный момент времени полагаемплотность загрязнителя равной нулю
/>  />  />. (1.5.7)
Кроме того, на бесконечности выполняютсяусловия регулярности
/>,  />,  />. (1.5.8)
Перейдём к безразмерным координатам (1.4.8).При этом получим следующую постановку задачи: для покрывающего пласта
/> (1.5.9)
для пористого пласта
/> (1.5.10)
для подстилающего пласта
/> (1.5.11)
При этом во втором слагаемом в левой частиуравнения (1.5.9) появляется отношение коэффициента диффузии к коэффициентутемпературопроводности
/>, (1.5.12)
величина которого оказывается порядка ~/>÷/>.
Вновь, как и в задаче теплопереноса,последнее слагаемое в левой части уравнения (1.5.10) содержит сомножитель Рdкоторый при существующих объёмах закачки имеет порядок ~ 102, так что конвективная составляющая (вдоль координатыr) для поля концентраций оказывается много значимей,чем диффузионная составляющая. Поэтому в уравнениях (1.5.9) – (1.5.11) пренебрежёммолекулярной диффузией вдоль оси r.
Вводя обозначения
/>,  />, (1.5.13)
выпишем окончательно интересующие насуравнения:
/> (1.5.14)
/> (1.5.15)
/> (1.5.16)
Условия сопряжения, граничные и начальные условияпри этом принимают вид
/>,  />, (1.5.17)
/>,  />, (1.5.18)
/>, (1.5.19)
/>,  />,  />, (1.5.20)
/>,  />,  />. (1.5.21)
Уравнения (1.5.14) – (1.5.21) определяетматематическую постановку задачи массопереноса.1.5.2.Разложение задачи массопереноса по асимптотическому параметру
Рассмотрим более общую задачу,получающуюся введением произвольного асимптотического параметра /> путём формальной заменыкоэффициента диффузии /> на частное />. В соответствии спринятыми обозначениями это отвечает следующим заменам: />, />. Задача (1.5.14) – (1.5.16)становится, таким образом, частным случаем (при />)более общей задачи, содержащей параметр асимптотического разложения как вуравнении для пласта, так и в условиях сопряжения:
/>, (1.5.22)
/>, (1.5.23)
/> (1.5.24)
с условиями сопряжения, граничными иначальными условиями
/>,  />, (1.5.25)
/>,  />, (1.5.26)
/>,  />,  />, (1.5.27)
/>, (1.5.28)
/>,  />,  /> (1.5.29)
Будем искать решение задачи (1.5.22) – (1.5.29),разлагая значение плотности /> каждойиз областей в ряд по параметру />. Приэтом для данных разложений асимптотические формулы с остаточным членом имеютвид
/>,
/>,
/>. (1.5.30)
Решение исходной задачи получается изрешения параметризованной задачи при />. Подставиввыражения (1.5.30) в (1.5.22) – (1.5.29) и сгруппировав слагаемые по степенямпараметра разложения />, получим следующуюпостановку параметризованной задачи
/> (1.5.31)
/> (1.5.32)
/> (1.5.33)
/>
/> (1.5.34)
/>,
/>, (1.5.35)
/>, (1.5.36)
/>, (1.5.37)
/>. (1.5.38)
Анализ постановки задачи показывает, чтоусловия сопряжения (1.5.34) позволяют связать между собой решения разныхприближений в пласте проводимости, “подошве” и “кровле”. Это и определяетвозможность “расцепления” получающихся уравнений, содержащих коэффициентыразложения соседних порядков.1.5.3. Математическаяпостановка задачи массопереноса в нулевом приближении
Приравнивая коэффициенты при сомножителях /> (нулевое приближение) вуравнении (1.5.33), получим
/>, (1.5.39)
а, следовательно, после интегрирования
/>. (1.5.40)
Таким образом, в нулевом приближенииплотность загрязнителя является функцией только от rи t. Далее, из условий сопряжения (1.5.34) получаем />. Следовательно, в нулевомприближении плотность загрязнителя в каждом вертикальном сечении одинакова повсей высоте несущего пласта />.
Приравнивая к нулю коэффициенты при /> в (1.5.33), получим
/>. (1.5.41)
Левую часть этого уравнения, в силувышеизложенного не зависящую от z, обозначим через />:
/>, (1.5.42)
тогда
/>. (1.5.43)
Интегрируя это уравнение по z, получим
/>. (1.5.44)
Повторное интегрирование позволяетпредставить первый коэффициент разложения в виде квадратного трехчленаотносительно z, коэффициенты которого являются функциями от радиальнойпеременной и времени, но не зависят от z
/>. (1.5.45)
Задача сводится к поиску функций />, /> и />, не зависящих от z,значения которых определяются через следы производных из внешних областей спомощью процедуры расцепления, описанной ниже.
Подставляя выражения (1.5.44) при z = 1
/> (1.5.46)
и при z= –1
/> (1.5.47)
в условия сопряжения (1.5.34) для />, найдём два алгебраическихуравнения, решая которые, получим для функций /> и/>следующие выражения:
/>, (1.5.48)
/>. (1.5.49)
С учетом (1.5.48) выражение (1.5.42) принимает вид
/>. (1.5.50)
(1.5.50) представляет искомое уравнениедля определения нулевого приближения плотности примесей в пласте.
Окончательная постановка задачи в нулевомприближении включает также уравнения в покрывающих и подстилающих породах
/>, (1.5.51)
/>, (1.5.52)
/>. (1.5.53)
При этом условия сопряжения, начальные играничные условия
/>, (1.5.54)
/> , (1.5.55)
/>, (1.5.56)
/>,  />,  />. (1.5.57)
Выражения (1.5.51) – (1.5.57)представляют смешанную краевую задачу в нулевом приближении. Отметим, что вотличие от исходной задачи, которая представляет задачу сопряжения дляуравнений параболического типа, она является смешанной, так как уравнение для пористогопласта не является параболическим. Кроме того, это уравнение содержит следыпроизводных из внешних областей.1.5.4.Математическая постановка задачи массообмена в первом приближении
Уравнения (1.5.31), (1.5.32) длякоэффициентов первого приближения принимают вид
/> (1.5.58)
/>. (1.5.59)
Коэффициенты при /> в уравнении (1.5.33) дают
/>. (1.5.60)
Начальные, граничные условия и условиясопряжения
/>, (1.5.61)
/>,   />, (1.5.62)
/>,   />, (1.5.63)
/>. (1.5.64)
Причем, решение /> отыскивается в формеквадратного многочлена относительно z(1.5.45), где /> и /> задаются выражениями (1.5.48)и (1.5.49), а /> неизвестно. Дляего определения перепишем (1.5.60) в виде
/>, (1.5.65)
где оператор
/> (1.5.66)
введён для более компактной записи получающихся соотношений и удобства преобразований.Отметим, что из (1.5.42) следует
/>. (1.5.67)
Учитывая (1.5.45), (1.5.65), а такжелинейность оператора />, получим
/>. (1.5.68)
Проинтегрировавпоследнее выражение по вертикальной координате z, получим выражениепроизводной для второго коэффициента разложения в виде кубического многочленапо вертикальной координате z
 
/>, (1.5.69)
используя которое определим выражения дляследов производных на границах сопряжения (1.5.63) через вспомогательныефункции, не зависящие от вертикальной координаты z
/>, (1.5.70)
/>. (1.5.71)
Умножая левую и правую части (1.5.71) на /> и вычитая полученное из (1.5.70),приходим к уравнению для определения функции />, входящей в квадратичное представление первого коэффициента разложения
/>. (1.5.72)
Уравнение для определения первогокоэффициента разложения получается путем подстановки (1.5.68), (1.5.72), (1.5.48),(1.5.49) в (1.5.60)
/> (1.5.73)
В задачу для определения первогокоэффициента разложения входят также уравнения для окружающей среды
/>, (1.5.74)
/>. (1.5.75)
Начальные условия, условия сопряжения играничные условия
/>, (1.5.76)
/>,   />, (1.5.77)
/>,  />,  />, (1.5.78)
/>. (1.5.79)
Уравнения (1.5.73) – (1.5.79) представляютсобой математическую постановку задачи массопереноса для коэффициентов первогоприближения.
Как будет показано в процессе решениязадачи для первого приближения, условие (1.5.79) является избыточным, и должнобыть заменено среднеинтегральным условием, которое получено в следующем пункте.
Такая замена возможна благодаря следующимсоображениям. Решение в нулевом приближении, как показано в пункте 1.5.5описывает средние значения и справедливо для больших и малых времён. Первоеприближение является поправкой к нулевому. Эта поправка может быть измененапутём использования видоизменённых граничных условий. Область высокой точностирасчётов при этом меняется. Однако, для определения «области высокой точности»необходимо решение задачи для остаточного члена, на основании которого и делаетсязаключение о точности первого приближения.1.5.5. Дополнительное интегральное условие дляпервого приближения
Усредним равенство (1.5.15) по zв пределах несущего пласта согласно
/>. (1.5.80)
Последовательно для каждого слагаемого
/>, (1.5.81)
/>, (1.5.82)
/> (1.5.83)
Окончательно, после усреднения, получимследующую постановку задачи осреднённого по несущему пласту поля плотностейзагрязнителя
/> (1.5.84)
/> (1.5.85)
/>. (1.5.86)
Условия сопряжения, начальные и граничныеусловия при этом принимают вид
/>, (1.5.87)
/>, (1.5.88)
/>,  />,  />, (1.5.89)
/>,  />,  />. (1.5.90)
Полученная задача совпадает с задачей (1.5.51)– (1.5.57) для нулевого приближения плотности загрязнителя. В силуединственности решения следует, что />.
Аналогичное соотношение получается при усреднениипараметризованной задачи (1.5.22) – (1.5.29). Покажем это. Усреднениепроизводных по времени и радиальной координате совпадает с предыдущим
/>, (1.5.91)
/>. (1.5.92)
Производная по вертикальной координате z содержитдополнительный множитель />, который сокращается при использовании условиясопряжения для производных, поэтому в итоге получим выражение, совпадающее с предыдущим
/> (1.5.93)
Окончательно после усредненияпараметризованной задачи получим следующую постановку задачи
/> (1.5.94)
/> (1.5.95)
/>, (1.5.96)
/>, (1.5.97)
/>, (1.5.98)
/>,  />,  />, (1.5.99)
/>,  />,  />, (1.5.100)
которая полностьюсовпадает с предыдущей и с задачей для нулевого приближения поля плотностейзагрязнителя. Совпадение усредненных значений исходной и параметризованнойзадачи существенно выделяет используемую в данной работе параметризацию отпроизвольной, которая почти всегда приводит к зависимости усредненных значенийот параметра асимптотического разложения.
Совпадение задач для усредненных значенийпараметризованной и для нулевого приближения, как и выше, в силу единственностирешения позволяет утверждать, что />. Далеепроцедура усреднения по z асимптотического представления параметризованнойзадачи (1.5.30) в пласте на линии r= 0 приводит к следующему равенству
/>
Отсюда с учетом />следует, что средние потолщине пласта значения коэффициентов разложения первого и более высокихпорядков равны нулю
/>. (1.5.101)
Установление равенства нулевого приближенияи средних значений исходной и параметризованной задачи /> имеет принципиальное значениедля решения температурной задачи, поскольку входящую в правую часть уравнения (1.4.43)среднюю плотность можно заменить на равное ей нулевое приближение. Этоиспользовано при решении задачи теплопереноса в пункте 3.1.
При решении задачи массопереноса в первомприближении (1.5.73) – (1.5.79), возникает необходимость использованиядополнительного интегрального условия (1.5.101), поскольку условие (1.5.79)является избыточным и должно быть заменено (1.5.101). Если потребоватьвыполнения этого интегрального условия при любых значениях r,то оно также оказывается избыточным. Для построения аналитического решениядостаточно заданий интегрального условия на одной поверхности для заданногозначения r. Ранее показано, что наилучшим первое приближениеявляется в случае, когда поверхность осреднения совпадает с поверхностью, накоторой заданы граничные условия.
 1.6.Выводы
В главе I на основеуравнения конвективной диффузии для несжимаемой жидкости с учетомрадиоактивного распада и обмена загрязнителя со скелетом, осуществлена постановка термодиффузионной задачи овзаимосвязанных полях концентрации и температуры в глубокозалегающихгоризонтах, возникающих при закачке в пористый пласт растворенных радиоактивныхвеществ. С использованием параметра асимптотического разложения температурная идиффузионная задачи представлены в виде бесконечной последовательности краевыхзадач для коэффициентов разложения искомого решения в асимптотический ряд.Произведено «расцепление» соответствующей цепочки уравнений и на этой основеосуществлена постановка краевых задач смешанного типа со следами производных извнешних областей для нулевого и первого коэффициентов разложения.
При построении решения задачи для первого коэффициентаиспользовано нелокальное граничное условие, заключающееся в том, что средние значениятемпературы и плотности примесей по толщине пласта на оси скважины равны нулю.
 

Глава II. РЕШЕНИЕЗАДАЧИ МАССОПЕРЕНОСА В НУЛЕВОМ
 И ПЕРВОМ ПРИБЛИЖЕНИЯХ, СТАЦИОНАРНОЕ РЕШЕНИЕ
 2.1. Решениезадачи массопереноса в нулевом приближении
В пространствеизображений Лапласа – Карсона
/>,
длянулевого приближения вместо (1.5.51) – (1.5.57) получим следующую задачу:
/>, z > 1, r >0, (2.1.1)
/>,
|z| r >0, (2.1.2)
/>,  z r >0, (2.1.3)
/>, (2.1.4)
/> , (2.1.5)
/>, (2.1.6)
/>,  />,  />. (2.1.7)
Решение уравнения (2.1.1) имеет вид
/>. (2.1.8)
Учитывая второе из граничных условий (2.1.5),получим />. Тогда
/>. (2.1.9)
Аналогично, для подстилающего пласта в пространстве изображений из (2.1.3)и (2.1.5) получим
/>. (2.1.10)
Учитывая граничные условия (2.1.4), атакже то, что в нулевом приближении плотность загрязнителя в пористом пласте независит от zиявляется функцией только от r и t, эти решения можно переписать в виде
/>, (2.1.11)
/>. (2.1.12)
Эти выражения позволяют определитьзначения следов производных из внешних областей, входящих в уравнение дляпласта, через плотность примеси в нем
/>,  />. (2.1.13)
Подставляя найденные значения производных(2.1.11), (2.1.12) в уравнение (2.1.2), соответствующее (1.5.52) в пространствеизображений, получим
/>. (2.1.14)
Группируя слагаемые и учитывая, что в последнем уравнении производнаяберётся только по одной переменной, перепишем (2.1.2) в виде
/>. (2.1.15)
Решение уравнения (2.1.15)
/>. (2.1.16)
Граничное условие (2.1.6) позволяет получить значение постояннойинтегрирования />. Окончательно впространстве изображений в нулевом приближении для пористого пласта получим
/>. (2.1.17)
Введём обозначение для выражения, стоящегов квадратных скобках
/>, (2.1.18)
при этом
/>. (2.1.19)
С учетом (2.1.11) и (2.1.12) полноерешение задачи в пространстве изображений представляется как
/>, (2.1.20)
/>, (2.1.21)
/>. (2.1.22)
Для удобства перехода в пространствооригиналов, полученные решения с учётом (2.1.18) представим в форме
/>, (2.1.23)
/>, (2.1.24)
/>. (2.1.25)
Переход в пространство оригиналовосуществим, используя формулы обратного преобразования Лапласа – Карсона [23]:
/>,
где /> - единичная функция Хевисайда
/> (2.1.26)
/> (2.1.27)
В нашем случае, совершив обратное преобразование Лапласа – Карсона, иперейдя в пространство оригиналов, решение задачи в нулевом приближении представимв виде
/> (2.1.28)
/> (2.1.29)
/> (2.1.30)
соответственно для пористого, настилающего и подстилающего пластов.
Первый сомножитель в решении (2.1.28) – (2.1.30) описывает уменьшениеплотности загрязнителя в результате радиоактивного распада, второй – функцияХевисайда, определяет радиус распространения зоны заражения и третий (выражениев фигурных скобках) учитывает изменение плотности из-за диффузии загрязнителя ирадиоактивного распада продиффузирующего нуклида.
Рассмотрим упрощённую модель в которой не учитывается радиоактивныйраспад в накрывающем и подстилающем пластах. В этом случае в правых частяхуравнений (1.5.51), (1.5.53) будет стоять нуль, граничные условия и условиясопряжения не изменятся. Аналогично, в пространстве изображений равны нулюправые части (2.1.1) и (2.1.3). Математическая постановка соответствующейзадачи в пространстве изображений
/>,  z > 1, r >0, (2.1.31)
/>,
|z| r >0, (2.1.32)
/>,  z r >0, (2.1.33)
/>, (2.1.34)
/> , (2.1.35)
/>, (2.1.36)
/>,  />,  />. (2.1.37)
Ход решения идентичен решению задачи сучётом распада в «кровле» и «подошве».
Учитывая граничные условия (2.1.34) и то,что в нулевом приближении плотность загрязнителя в пористом пласте не зависитот zиявляется функцией только от r и t, решения уравнений (2.2.31), (2.1.33) можно записатьв виде
/>, (2.1.38)
/>. (2.1.39)
Тогда для следов производных, входящих в(2.1.32)
/>,  />. (2.1.40)
Подставляя найденные значения производныхв уравнение (2.1.32), получим
/>. (2.1.41)
Решение уравнения (2.1.41) с учётом граничного условия (2.1.36) имеет вид
/>. (2.1.42)
Введём обозначение
/>. (2.1.43)
Тогда полное решение задачи в пространстве изображений
/>. (2.1.44)
/>, (2.1.45)
/>. (2.1.46)
Для удобства перехода в пространствооригиналов, решения с учётом (2.1.43) запишем в виде
/>, (2.1.47)
/>, (2.1.48)
/>. (2.1.49)
Перейдем в пространствооригиналов, используя формулы обратного преобразования Лапласа – Карсона [23]
/>,
/>. (2.1.50)
В нашем случае имеем
/>. (2.1.51)
Совершив обратное преобразование Лапласа – Карсона, и перейдя впространство оригиналов, решение задачи в нулевом приближении представим в виде
/> (2.1.52)
/> (2.1.53)
/> (2.1.54)
Учтём, что наиболее важные физические результаты обусловливаются нулевымприближением асимптотического разложения, первый и последующий коэффициентыопределяют «поправки». Кроме того, в силу малости коэффициента диффузии (/>~10-9÷10-11) распространение загрязнителя вводоупорных пластах в вертикальном направлении ничтожно (по сравнению сконвективном переносом в пористом пласте) и слабо влияет на размеры зонызаражения, поэтому проведём сравнение полученных результатов только дляпористого пласта (2.1.28), (2.1.52).
На рис. 2.1 показана зависимость разности между плотностями загрязнителяв пористом пласте без учёта и с учетом радиоактивного распада в водоупорныхпластах от координаты r. График 1 соответствует периоду полураспада Т1/2=100лет, 2 – 10 лет, 3 – 1 год. Вычисления проведены для времени />=30 лет, интенсивностьзакачки – 100 м3/сут.
/>
Рис. 2.1. Зависимость разности (для нулевого приближения) между плотностями загрязнителя в пористом пласте без учёта и с учетом радиоактивного распада в водоупорных пластах от координаты rпри различных постоянных распада 1 – At = 0.1, 2 – 1, 3 – 10. Другие расчётные параметры t = 10, />, />, Pd = 102
Из рис. 2.2 следует, что возникающая при замене (2.1.28) на (2.1.52)относительная разность />,возрастает при увеличении постоянной распада (уменьшении периода полураспада) идля короткоживущих нуклидов (T1/2 ~ 100 сут.) на фронтезагрязнителя составляет более 0,4. Однако, абсолютная разность плотностей приэтом уменьшается с ростом At и для тех же короткоживущих нуклидов становится ничтожномалой (рис. 2.1). Расчёты приведены для безразмерного времени t = 10,что соответствует размерному времени ~ 30 лет. Приуменьшении расчётного времени погрешности также уменьшаются.
/>
Рис. 2.2. Зависимость относительной разности (для нулевого приближения) между плотностями загрязнителя в пористом пласте без учёта и с учетом радиоактивного распада в водоупорных пластах от координаты rпри различных постоянных распада 1 – At = 0.1, 2 – 1, 3 – 10. Другие расчётные параметры t = 10, />, />, Pd = 102
На рис. 2.3 видно, что и сами абсолютные значения плотностей короткоживущихзагрязнителей для указанного момента времени на границе зоны загрязненияпрактически обращаются в ноль. При увеличении периода полураспада нуклида до ~ 30 лет абсолютное значение плотности его на границе зонызагрязнения остаётся весьма значительным (рис. 2.3), но относительная разностьмежду результатами (2.1.28) и (2.1.52) составляет несколько процентов(рис. 2.2). Уменьшение при расчётах коэффициента δ на порядок (/>) приводит к уменьшению абсолютнойи относительной разности ещё примерно вдвое.
/>
Рис. 2.3 Зависимость нулевого приближения плотности радиоактивного загрязнителя в пористом пласте от координаты r без учёта распада в окружающих пластах. при различных постоянных распада 1 – At = 0.1, 2 – 1, 3 – 10. Другие расчётные параметры t = 10, />, />, Pd = 102
Всё это позволяет для практических расчётов пренебречь радиоактивнымраспадом в водоупорных пластах, что существенно упрощает расчётные формулы.Поэтому в дальнейшем мы и в массо- и в теплообменной задаче будем игнорироватьэтот распад.
Поскольку вклад радиоактивного распада описывается сомножителем />, то можно утверждать, чтоконцентрация радиоактивного загрязнителя уменьшается в е раз за счет распада нарасстояниях, определяемых простым соотношением Re=h/>=/>. Отсюда следует, что для короткоживущихизотопов зона загрязнения невелика. С другой стороны, для уменьшения зонывлияния долгоживущих радиоактивных изотопов следует уменьшать скорость фильтрации.
Полученное решениесодержит функцию Хевисайда, которая позволяет указать, что плотностьрадиоактивных изотопов обращается в ноль при r ≥/>. Это соотношение позволяетопределить радиус зоны радиоактивного заражения
Rp=h/>=/>. (2.1.55)
При Аt = 0 из (2.1.52) – (2.1.54) следуютрешения без учета радиоактивного распада
/> (2.1.56)
/> (2.1.57)
/> (2.1.58)
Пренебрежение влиянием массообмена с окружающей средой на плотность примесейв пласте в (2.1.52) – (2.1.54), позволяет получить приближение, которое можно свысокой точностью использовать для расчета тепловых полей в подземных горизонтах
/> (2.1.59)
/> (2.1.60)
/> (2.1.61)
Устремляя δ → 0 в (2.1.59) – (2.1.61), получим такназываемое «бездиффузионное приближение»
/> (2.1.62)
/> (2.1.63)
/> (2.1.64)
границы применимости которого обсуждается в 2.3.
2.2.Анализ результатов расчетов в нулевом приближении
На рис.2.4 показаны расчёты зависимости в нулевом приближении плотности радиоактивногозагрязнителя от расстояния до оси скважины. С увеличением времени возрастаетрадиус зоны загрязнения.
/>
Рис 2.4. Зависимость плотности радиоактивных примесей (нулевое приближение) от расстояния до оси скважины для различных моментов времени: 1 – t = 1, 2 – 10, 3 – 100. Другие расчётные параметры At = 0.1, />, />, Pd = 102
На рис. 2.5 приведенырезультаты расчётов плотности радиоактивных примесей в нулевом приближении взависимости от безразмерной пространственной координаты, отнесённой к радиусузоны загрязнения (/>). Как видно из сопоставления кривых уменьшениеконцентрации загрязнителя определяется не только диффузионными процессами(кривая 1), но и, в значительной степени, радиоактивным распадом (кривые2 – 4).
/>
Рис 2.5. Зависимость плотности радиоактивных примесей (нулевое приближение) от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязнения, для различных постоянных распада 1 – At = 0, 2 – 0.01, 3 – 0.1, 4 – 1. Другие расчётные параметры t = 10, />, />, Pd = 102
Несмотря на то, что обычно вклад диффузионных процессов очень мал, врассматриваемом случае происходят значительные изменения концентрации на фронтезоны возмущений (кривая 1 на обоих рисунках). Главными причинами этогоэффекта являются повышенные градиенты концентрации между пластом и окружающимипородами и большие времена закачки, которая осуществляется обычно десятки лет.При постоянных распада At >0.01 становится существенным вкладрадиоактивного распада. При At > 0.1 процесс радиоактивногораспада является преобладающим и практически полностью определяет распределениеконцентрации радиоактивных примесей. Отметим, что при больших временах в пластеустанавливается стационарное поле, определяемое соотношением />, следующим из (2.1.52).
Графики, представленныена рис. 2.6 аналогичны предыдущим (рис. 2.5). однако вклад диффузионныхпроцессов в данном случае становится меньшим в силу уменьшения d. При этом общие тенденцииостаются прежними.
/>
Рис 2.6. Зависимость плотности радиоактивных примесей (нулевое приближение) от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязнения, для различных постоянных распада 1 – At = 0, 2 – 0.01, 3 – 0.1, 4 – 1. Другие расчётные параметры t = 10, />, />, Pd = 102
На рис 2.7 представлена зависимость вклада диффузионного массообмена сокружающей средой от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зонызагрязненияRd. Из рисунка следует, что влияние диффузионногомассообмена для больших времён (~10 лет) вблизифронта загрязнения является весьма существенным. В расчетах приято Pd = 100,δ = 10-3, At = 0. Последнее соответствуетпренебрежению радиоактивным распадом.
/>
Рис. 2.7. Вклад диффузионного массообмена с окружающей средой от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязнения, при различных временах закачки:1 – t = 0.1,  2 – 1, 3 – 10. At = 0, />, />, Pd = 102
На рис 2.8 приведена зависимость плотности радиоактивного загрязнителя внулевом приближении от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зонызагрязненияRd для различных времён закачки и постоянных распада.Причём, значения t и Atвыбраны таким образом, что t∙At=1. При этом графики плотностейоказываются весьма близкими друг к другу. Различие между ними определяется лишьналичием диффузионных процессов. Это подчёркивает физическую разумностьвыбранной системы обезразмеривания.
/>
Рис. 2.8. зависимость плотности загрязнителя (нулевое приближение) от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязнения, при различных временах закачки и постоянных распада1 – t = 0.1, At = 10, 2 – t = 10, At = 0.1, 3 – t = 100, At = 0.01, />, />, Pd = 102
Если строить зависимость />, то заметить «близость»графиков затруднительно, поскольку радиус зоны загрязнения растёт, согласно(2.1.55) пропорционально />.2.3. Бездиффузионноеприближение в задаче массообмена
В силу того, что отношение коэффициентовдиффузии (/>) и температуропроводности(/>) является малой величинойпорядка ~ />÷/> (см. (1.5.12)), появляетсявозможность упростить взаимосвязанную задачу тепломассопереноса, рассмотрев бездиффузионноеприближение, суть которого заключается в пренебрежении диффузионнымислагаемыми в соответствующей задаче массопереноса.
Преимущество такого подхода в значительномупрощении процедуры построения решения тепломассообменной задачи. Однако, прииспользовании бездиффузионного приближения необходимо разрешение вопросов, связанныхс оценкой его применимости.
Рассматривая найденное нами выражение для /> (2.1.52) как функцию от />, разложим его в рядМаклорена по малому параметру />, причёмограничимся первыми двумя членами разложения
/>. (2.3.1)
Из (2.2.1), учитывая, что />, получим
/>. (2.3.2)
Далее, вычислив производную
/> (2.3.3)
и подставляя (2.3.2) и (2.3.3) в (2.3.1),окончательно получим
/>. (2.3.4)
В случае бездиффузионного приближения вуравнении (1.5.41) сразу пренебрегаем диффузионной составляющей, и оно принимаетвид
/> (2.3.5)
или, проведя преобразование Лапласа –Карсона, в пространстве изображений
/>. (2.3.6)
Решение этого уравнения (в пространствеоригиналов)
/>, (2.3.7)
что совпадает с нулевым приближением (по />) для задачи массопереносас учётом вертикальной диффузии.
Относительная погрешность, возникающая припренебрежении вторым слагаемым в квадратных скобках в выражении (2.3.4), иопределяет погрешность бездиффузионного приближения
/>. (2.3.8)
Анализ рис.2.9, на котором показана зависимостьотносительной погрешности бездиффузионного приближения от расстояния до осискважины, отнесенного к радиусу зоны загрязнения, показывает, что за время />~30 лет погрешность данного приближения на расстоянияхдо 0,9Rd не превышаетнескольких процентов и лишь для значительных времён />~300 лет, на расстояниях бóльших 0,7Rd становится существенной.Причём данные результаты не зависят от среднего времени жизни нуклида.
/>
Рис. 2.9. Зависимость относительной погрешности бездиффузионного приближения от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязнения, при различных временах закачки 1 – t = 0.1, 2 – 1, 3 – 10,  4 – 100.   Pd = 102, />
Если при расчётах полагать, что />, то на расстояниях до 0,9Rd дляτ £300 лет погрешность бездиффузионного приближения непревышает 5%. Это позволяет во многих практических задачах использовать бездиффузионноеприближение.
Расстояние от скважины, на котором можнопользоваться бездиффузионным приближением, естественно назвать «радиусомбездиффузионного приближения». Аналогично можно ввести понятие «времябездиффузионного приближения».
На рис. 2.10приведены результаты расчётов плотности /> радиоактивных примесей для бездиффузионногоприближения в зависимости от относительного расстояния до скважины. Параметр Pd при расчётах принимался равным102.
/>
Рис. 2.10. Зависимость относительной погрешности бездиффузионного приближения от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязнения, при различных временах закачки 1 – t = 0.1, 2 – 1, 3 – 10,  4 – 100.   Pd = 102, />
Кривые, приведённые на рис. 2.11 рассчитаныдля значения безразмерного времени t = 10.Приотсутствии диффузии уменьшение концентрации загрязнителя происходит только врезультате радиоактивного распада. Поэтому в случае Аt = 0 плотность /> постоянна па всём участке вплоть до фронтазагрязнителя (положение которого задаётся функцией Хевисайда), где скачком падаетдо нуля (кривая 1). Вид кривых 2 – 4 определяется радиоактивнымраспадом.
/>
Рис. 2.11. Зависимость плотности /> радиоактивных примесей от расстояния до оси скважины, отнесённого к радиусу зоны загрязнения для безразмерного времени t = 10 при различных постоянных распада: 1 – At = 0, 2 – 0.01, 3 – 0.1, 4 – 1.  
Pd = 102, /> 2.4. Решениезадачи массообмена в первом приближении
Выпишем ещё раз полученную в разделе 1.5.4математическую постановку задачи массообмена для коэффициентов первогоприближения, пренебрегая радиоактивным распадом в водоупорных пластах
/> (2.4.1)
/>, (2.4.2)
/>, (2.4.3)
начальные условия, условия сопряжения играничные условия
/>, (2.4.4)
/>,   />, (2.4.5)
/>,  />,  />, (2.4.6)
/>. (2.4.7)
Напомним, что решение /> отыскивается в формеквадратного многочлена относительно z
/>, (2.4.8)
где
/>, (2.4.9)
/>. (2.4.10)
Определение /> сводитсяк решению уравнения
/>, (2.4.11)
где введён оператор
/>. (2.4.12)
Перейдём далее к пространству изображений(преобразование Лапласа – Карсона). При этом оператор /> принимает вид
/>. (2.4.13)
Выражение (2.4.11) впространстве изображений
/>. (2.4.14)
Имеет смысл сначала найтив пространстве изображений выражения /> и />. Воспользовавшись аналогами(2.4.9) и (2.4.10) в пространстве изображений, а также (2.1.48), (2.1.49), получим
/>, (2.4.15)
/>. (2.4.16)
Далее
/>, (2.4.17)
/>. (2.4.18)
Выражение (1.10.7), впространстве изображений представляется как
/>. (2.4.19)
Решения уравнений (2.4.2)и (2.4.3) почти ничем не отличаются от решений соответствующих уравнений внулевом приближении, поэтому в пространстве изображений справедливы соотношения
/>,   />. (2.4.20)
Заметим, что в первом приближении /> зависит от z.Это же справедливо и для изображений.
Из (2.4.19) получимдля первого коэффициента разложения
/>, (2.4.21)
/>. (2.4.22)
Подставляя в (2.4.14)выражения (2.4.15) – (2.4.18) и (2.4.20) – (2.4.22), после упрощений получим
/>. (2.4.23)
Общее решение соответствующего однородногоуравнения имеет вид
/>. (2.4.24)
Подставляя найденное значение в (2.4.23) исчитая, что />, получим дифференциальноеуравнение
/>, (2.4.25)
решение которого
/>. (2.4.26)
Из (2.4.24) и (2.4.26) выражение для />
/>. (2.4.27)
Для нахождения /> воспользуемсядополнительным интегральным условием (1.5.101) которое для коэффициентовразложения первого порядка в пространстве изображений имеет вид
/>. (2.4.28)
Здесь /> – среднее по z значение />, определяемое с помощью (2.4.19) стандартным образом:
/> (2.4.29)
Тогда в пространстве изображений получим
/>, (2.4.30)
или, с учётом(2.4.15)
/>. (2.4.31)
Сравнивая с (2.4.27), определим />
/>. (2.4.32)
окончательно для />имеем в пространстве изображений
/>. (2.4.33)
Наконец, подставив (2.4.15),(2.4.16) и (2.4.33) в (2.4.19) получим выражение для первого коэффициента впространстве изображений
/> (2.4.34)
Скомпонуем последнеевыражение удобным образом (учитывая необходимость перехода в пространствооригиналов)
/> (2.4.35)
Раскрывая /> в соответствии с(2.1.43), перейдем в пространство оригиналов, используяформулы обратного преобразования Лапласа – Карсона [23]
/>,
/>. (2.4.36)
В нашем случае
/>, (2.4.37)
/>. (2.4.38)
Наконец, справедливоследующее соотношение
/>. (2.4.39)
Воспользовавшись (2.3.36)– (2.3.39), из (2.3.35) получим выражение для первого коэффициента разложения вформе
/> (2.4.40)
При этом в первомприближении плотность загрязнителя представится как
/>, (2.4.41)
где /> и /> определяются выражениями (2.1.52)и (2.4.40).
Оценимтеперь вклад второго слагаемого в фигурных скобках выражения (2.4.40) посравнению с первым. Полагая коэффициенты диффузии надстилающего и подстилающегопластов равными, для отношения этих слагаемых получим
/>. (2.4.42)
Анализ рис. 2.12позволяет сделать вывод о возможности пренебрежения вторым слагаемым в фигурныхскобках (2.4.40) по сравнению с первым для всех практически значимых времён нарасстояниях до 0.95Rd. Графики на рис. 2.12 построены для z = 0,но аналогичные результаты получаются и при других z, заисключением точек />, в которых (2.4.42)обращается в бесконечность.
/>
Рис. 2.12. Зависимость /> от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязнения, при различных временах закачки 1 – t = 10, 2 – 30, 3 – 100. Графики построены для z = 0. Другие расчётные параметры Pd = 102, />
Однако из рис. 2.13видно, что и в этом случае (в силу абсолютной малости соответствующегослагаемого) им можно пренебречь для расстояний меньших 0.98Rd. поэтомув дальнейшем при рассмотрении первого коэффициента асимптотического разложения /> будем полагать, что
/>
Рис. 2.13. Зависимость второго слагаемого по раскрытии всех скобок в (2.4.40) от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязнения, при различных временах закачки 1 – t = 10, 2 – 30, 3 – 100. Графики построены для />. Другие расчётные параметры Pd = 102, />
/> (2.4.43)
Выражение (2.4.43) свысокой степенью точности определяет первый коэффициент модифицированногоасимптотического разложения плотности радиоактивного загрязнителя.2.5.Анализ результатов расчетов в первом приближении
На рис. 2.14 и 2.15представлены графики зависимости первого коэффициента разложения /> от расстояния до осискважины. Вид графиков для z = 0 и z = 1оказывается похожим, но «опрокинутым». При этом наиболее существенный вкладпервого приближения наблюдается на границе зоны заражения.
/>
Рис. 2.14. Зависимость плотности /> радиоактивных примесей для коэффициента первого приближения от расстояния до оси скважины, отнесённого к радиусу зоны загрязнения для безразмерного времени t = 10 при различных постоянных распада: 1 – At = 0, 2 – 0.1, 3 – 1, 4 – 10. Графики построены для z = 1. Другие расчётные параметры Pd = 102, />, />, />
Сравнивая графики,представленные на рис. 2.15 и 2.16, приходим к выводу, что с увеличениемвремени, прошедшего с момента закачки, вклад /> уменьшается.
/>
Рис. 2.15. Зависимость плотности /> радиоактивных примесей для коэффициента первого приближения от расстояния до оси скважины, отнесённого к радиусу зоны загрязнения для безразмерного времени t = 10 при различных постоянных распада: 1 – At = 0, 2 – 0.1, 3 – 1, 4 – 10. Графики построены для z = 0. Другие расчётные параметры Pd = 102, />, />, />
/>
Рис. 2.16. Зависимость плотности /> радиоактивных примесей для коэффициента первого приближения от расстояния до оси скважины, отнесённого к радиусу зоны загрязнения для безразмерного времени t = 30 при различных постоянных распада: 1 – At = 0, 2 – 0.1, 3 – 1, 4 – 10. Графики построены для z = 0. Другие расчётные параметры Pd = 102, />, />, />
Об этом же говорит ианализ рис. 2.17, на котором приведена зависимость первого коэффициентаплотности радиоактивного загрязнителя от времени закачки на различныхрасстояниях от оси скважины. Причём, на бóльших расстояниях от осиуменьшение /> происходит быстрее.
/>
Рис. 2.17. Зависимость плотности /> радиоактивных примесей от времени закачки     на «относительных расстояниях» от оси скважины: 1 – R = 0.2, 2 – 0.4, 3 – 0.6, 4 – 0.8. Графики построены для At = 0.3. Другие расчётные параметры Pd = 102, />, />, />
Однакоиз рис. 2.18 следует, что для нерадиоактивных примесей /> имеетбольшое значение и на бóльших расстояниях от скважины. Следовательно,наблюдавшееся на рис. 2.17 различие в быстроте уменьшения /> определяется не столько диффузионными характеристиками, сколько радиоактивнымраспадом.
/>
Рис. 2.18. Зависимость плотности /> радиоактивных примесей от времени закачки на «относительных расстояниях» от оси скважины: 1 – R = 0.2, 2 – 0.4; 0.6, 3 – 0.8. Графики построены для At = 0. Другие расчётные параметры Pd = 102, />, />, />
На рис. 2.19представлена зависимость /> отрасстояния до оси скважины, отнесённого к максимальному радиусу загрязнения. Различныекривые соответствуют разным расстояниям вдоль вертикальной координаты в пласте.Графики построены для безразмерного времени t = 3. При этом данное отношение не зависит отпараметра At радиоактивного распада. Видно, что для стольнезначительного времени на расстояниях /> вкладпервого коэффициента приближения является весьма существенным.
/>
Рис. 2.19. Зависимость отношения /> к /> от «относительного расстояния» для различных z: 1 – z = 0, 2 – 0.4, 3 – 0.6, 4 – 1. Графики построены для t = 3. Другие расчётные параметры Pd = 102, />, />, />
Анализ рис. 2.20,определяющего зависимость /> от расстояниядо оси скважины, отнесённого к максимальному радиусу загрязнения, в сравнении срис. 2.19, позволяет сделать вывод об уменьшении роли /> с ростом времени закачки. Графикипостроены для безразмерного времени t = 30, что соответствует размерному времени ~ 100 лет. При этом на расстояниях до /> вклад/> по сравнению с /> для горизонтов –0.6 z 
/>
Рис. 2.20. Зависимость отношения /> к /> от «относительного расстояния» для различных z: 1 – z = 0, 2 – 0.4, 3 – 0.6, 4 – 1. Графики построены для t = 30. Другие расчётные параметры Pd = 102, />, />, />
Этот выводподтверждается и анализом рис. 2.21, на котором представлена зависимость /> от времени. При увеличениивремени закачки уменьшается относительный вклад />.Следовательно, при значительных расчётных временах, распределение плотностизагрязнителя описывается с высокой степенью точности нулевым приближением.
/>
Рис. 2.21. Зависимость отношения /> к /> от времени закачки на «относительных расстояниях» от оси скважины: 1 – R = 0, 2 – 0.4, 3 – 0.6, 4 – 1. Другие расчётные параметры Pd = 102, />, />, /> 
Нарис. 2.22 представлена картина зависимости/> от вертикальной координаты.Коэффициенты диффузии надстилающего иподстилающего пластов полагаются одинаковыми. Картина симметрична относительно z = 0. при этом сувеличением расстояния до оси скважины происходит «сглаживание» значений />.
/>
Рис. 2.22. Зависимость коэффициента первого приближения /> плотности радиоактивных примесей от z для безразмерного времени t = 10 на «относительных расстояниях» от оси скважины: 1 – R = 0.2, 2 – 0.4, 3 – 0.6, 4 – 0.8. Графики построены для At = 0.3. Другие расчётные параметры Pd = 102, />, />, />
Рисунок 2.23показывает зависимость /> от вертикальнойкоординаты в случае различия коэффициентов диффузии надстилающего и подстилающегопластов. Симметрия относительно z = 0 нарушается,более высокий коэффициент определяет и большее абсолютное значение />. С увеличением расстояниядо оси скважины происходит «сглаживание» />.
Из рис. 2.24 следует,что при малых постоянных распада различие между первым и нулевым приближениямиостаётся практически постоянным, в то время, как при больших At уменьшение плотности загрязнителяза счёт распада становится преобладающим и разница между нулевым и первымприближениями уменьшается.
/>
Рис. 2.23. Зависимость коэффициента первого приближения /> плотности радиоактивных примесей от z для безразмерного времени t = 10 на «относительных расстояниях» от оси скважины: 1 – R = 0.2, 2 – 0.4, 3 – 0.6, 4 – 0.8. Графики построены для At = 0.3. Другие расчётные параметры Pd = 102, />, />, />, />
/>
Рис. 2.24. Зависимость плотности радиоактивного загрязнителя в нулевом (1, 3) и первом (2, 4) приближениях от «относительного расстояния» для различных постоянных распада 1,2 – At = 0.1, 3,4 – 1. Графики построены для t = 10. Другие расчётные параметры Pd = 102, />, />, />
Анализ рис. 2.25показывает, что с увеличением времени кривые, отвечающие плотности загрязнителяв различных горизонтальных плоскостях, приближаются друг к другу, что вызвано,прежде всего, уменьшением /> в результатерадиоактивного распада.
На рис. 2.26представлена зависимость плотности загрязнителя при отсутствии радиоактивногораспада от времени. При этом уменьшение /> определяетсятолько процессами диффузии. Чем больше величина />,т.е. чем ближе по абсолютной величине коэффициент диффузии к коэффициентутемпературопроводности, тем быстрее уменьшается плотность, и наоборот.
/>
Рис. 2.25. Зависимость плотности радиоактивного загрязнителя в первом приближении от времени для различных z: 1 – z = 0.5, 2 – 0.7, 3 – 0.9, 4 – 1. Графики построены для R = 0.5. Другие расчётные параметры At = 0.3, Pd = 102, />, />, /> 
/>
Рис. 2.26. Зависимость плотности нерадиоактивного загрязнителя в первом приближении от времени для различных />:   1/>, 2 – />, 3 – />. Графики построены для R = 0.9 и z = 0.5. Другие расчётные параметры At = 0, Pd = 102, />, />
При наличиирадиоактивного загрязнителя картина в большей степени определяется процессамирадиоактивного распада, что хорошо видно на рис. 2.27. Особенно существеннаразница в масштабе оси времени между 2.26 и 2.27, что вызвано большим временем«диффузионной релаксации» в сравнении со средним временем жизни нуклида.
Из рис. 2.28, 2.29следует, что увеличение времени закачки приводит к «сглаживанию» плотностизагрязнителя в первом приближении на границе зоны загрязнения, что позволяет вэтом приближении получать хорошие результаты для всех постоянных распада и навсех расстояниях.
/>
Рис. 2.27. Зависимость плотности нерадиоактивного загрязнителя в первом приближении от времени для различных постоянных распада: 1 – At = 0.1, 2 – 0.3, 3 – 1, 4 – 3. Графики построены для R = 0.9 и z = 0.5. Другие расчётные параметры Pd = 102, />, />, />
/>
Рис. 2.28. Зависимость плотности радиоактивного загрязнителя в первом приближении от расстояния до оси скважины, отнесённого к максимальному радиусу зоны загрязнения для безразмерного времени t = 1. При различных постоянных распада: 1 – At = 0.1, 2 – 0.3, 3 – 1, 4 – 3. Графики построены для z = 0.5. Другие расчётные параметры Pd = 102, />, />, />
/>
Рис. 2.29. Зависимость плотности радиоактивного загрязнителя в первом приближении от расстояния до оси скважины, отнесённого к максимальному радиусу зоны загрязнения для безразмерного времени t = 10. При различных постоянных распада: 1 – At = 0.1, 2 – 0.3, 3 – 1, 4 – 3. Графики построены для z = 0.5. Другие расчётные параметры Pd = 102, />, />, />

Как видно из рис.2.30 и 2.31, увеличение времени закачки уменьшает вертикальную составляющуюградиента плотности радиоактивного загрязнителя в первом приближении.
/>
Рис. 2.30. Зависимость /> плотности радиоактивных примесей в первом приближении от z для безразмерного времени t = 3 на «относительных расстояниях» от оси скважины: 1 – R = 0.2, 2 – 0.4, 3 – 0.6, 4 – 0.8. Графики построены для At = 0.3. Другие расчётные параметры Pd = 102, />, />, />
/>
Рис. 2.31. Зависимость /> плотности радиоактивных примесей в первом приближении от z для безразмерного времени t = 10 на «относительных расстояниях» от оси скважины: 1 – R = 0.2, 2 – 0.4, 3 – 0.6, 4 – 0.8. Графики построены для At = 0.3. Другие расчётные параметры Pd = 102, />, />, />
Существенное влияниена распределение загрязнения вдоль вертикальной оси оказывает δ –увеличение коэффициента диффузии несущего пласта (или уменьшение его коэффициентатемпературопроводности) приводят к более значительному изменению плотности загрязнителяпо высоте пласта.
/>
Рис. 2.32. Зависимость плотности радиоактивных примесей в первом приближении от z для безразмерного времени t = 10 на расстоянии 0.9Rd от оси скважины для различных />:  1/>,  2 – />, 3 – />, 4 – />. Другие расчётные параметры At = 0.1, Pd = 102, />, />
/>
Рис. 2.33. Зависимость /> плотности радиоактивных примесей в первом приближении от z для безразмерного времени t = 3 на «относительных расстояниях» от оси скважины: 1 – R = 0.2, 2 – 0.4, 3 – 0.6, 4 – 0.8. Графики построены для At = 0.3. Другие расчётные параметры Pd = 102, />, />, />, />
Различия в физическихсвойствах «кровли» и «подошвы» приводит к смещению максимума графика /> в сторону пласта,обладающего меньшим коэффициентом диффузии.
Итак, на основе асимптотического методасоздана методика расчетов концентрации примесей радиоактивных и химически активныхвеществ при их захоронении в подземных горизонтах.2.6. Стационарноерешение задачи массопереноса в нулевом и первом приближении
Отметим, что чрезвычайно важным является нахождениестационарного решения, позволяющего установить максимальные размеры зоны загрязнения.Положим в уравнениях (1.5.14) – (1.5.16), описывающих распространение загрязнителяв пластах, первое слагаемое /> равнымнулю. При этом уравнения принимают вид
/>, (2.6.1)
/>, (2.6.2)
/>. (2.6.3)
Поделив левые и правые частивсех уравнений на />, значениекоторого определяется выражением (1.5.12), запишем стационарную задачу вместе сграничными условиями и условиями сопряжения
/>, (2.6.4)
/>, (2.6.5)
/>, (2.6.6)
/>  />, (2.6.7)
/>  />, (2.6.8)
/>, (2.6.9)
/>,  />,  />. (2.6.10)
Будем искать решение задачи(2.6.4) – (2.6.10) в виде асимптотического ряда по параметру />, появляющемуся приформальной замене коэффициента диффузии /> на частное />.В соответствии с принятыми обозначениями это соответствует следующим заменам:/>, а />.
/>,  />,   /> . (2.6.11)
Подставив выражения (2.6.11) в(2.6.4) – (2.6.10) и сгруппировав слагаемые по степеням параметра разложения />, получим следующую постановкупараметризованной задачи (вместе с граничными условиями)
/>, (2.6.12)
/>, (2.6.13)
/> (2.6.14)
/>
/> (2.6.15)
/>,  />, (2.6.16)
/>, (2.6.17)
/>, />, /> (2.6.18)
Приравнивая коэффициенты при /> в уравнении (2.6.14) иучитывая условие (2.6.15), получим, что в нулевом приближении плотность загрязнителяявляется функцией только от r, т.е. в каждом вертикальном сеченииодинакова по высоте несущего пласта />. Далее,приравняв к нулю коэффициенты при /> вуравнении (2.6.14), получим
/>. (2.6.19)
Левую часть этого уравнения,не зависящую от z, обозначим через />:
/>. (2.6.20)
Тогда />, следовательно
/>, (2.6.21)
/>. (2.6.22)
Здесь />, /> – неизвестные пока функции.
Из условий сопряжения (2.6.15)при сомножителе /> получим
/>, (2.6.23)
/>. (2.6.24)
Тогдауравнение (2.6.20) примет вид
/>. (2.6.25)
Длянулевого приближения из (2.6.12) и (2.6.13) с учётом условий сопряжения (2.6.16)
/>,  />. (2.6.26)
Продифференцировавпоследние выражения и подставив результат в (2.4.25), получим
/>. (2.6.27)
Решениеэтого уравнения представим как
/>, (2.6.28)
где
/>. (2.6.29)
Полученныеуравнения (2.6.26), (2.6.28) и определяют решение стационарнойзадачи в нулевом приближении.
Найдёмтеперь коэффициенты при /> в асимптотическом разложении стационарной задачимассопереноса. Уравнения (2.6.12) – (2.6.14) для слагаемых,содержащих /> имеют вид
/>, (2.6.30)
/>, (2.6.31)
/>. (2.6.32)
Условиясопряжения представляются как
/>,  />, (2.6.33)
/>,  />, (2.6.34)
причем,решение /> отыскивается в формеквадратного многочлена (2.6.22) относительно z, где /> и /> определены выражениями (2.6.20)и (2.6.21), а /> неизвестно. Дляего определения перепишем (2.6.32) в виде
/>, (2.6.35)
гдеоператор />. Учитывая соотношение (2.6.22),а также линейность оператора />, получим
/>. (2.6.36)
Интегрируяпоследнее выражение и используя условия сопряжения (2.6.34), перейдём к уравнению
/>. (2.6.37)
Решения уравнений дляпервых коэффициентов асимптотического разложения для настилающего иподстилающего пластов почти не отличаются от решений соответствующих уравненийв нулевом приближении, поэтому справедливы соотношения
/>,  />. (2.6.38)
Воспользовавшись (2.6.23), (2.6.26) и (2.6.28), получим
/>, (2.6.39)
/>, (2.6.40)
/>, (2.6.41)
/>. (2.6.42)
Уравнение (2.6.37) сучетом (2.6.38) – (2.6.42), запишется как
/>. (2.6.43)
Решениеэтого уравнения
/>. (2.6.44)
Длянахождения постоянной интегрирования С необходимо воспользоваться граничнымусловием (2.6.17) для коэффициента при />: />. Однако, какследует из (2.6.22), удовлетворить ему не представляется возможным. Это вынуждаетослабить условие (2.6.17). Для того, чтобы прояснить возможное “ослабление”,рассмотрим задачу для остаточного члена />. Подставляя
/>, />, /> (2.6.45)
в параметризованную задачу, получим
/>, (2.6.46)
/> (2.6.47)
/>, (2.6.48)
с граничными условиями и условиямисопряжения
/>, />, (2.6.49)
/>, (2.6.50)
/>,  />,  />, (2.6.51)
/>, (2.6.52)
/>,  />,  /> (2.6.53)
Усредним задачу по толщине пласта. Приусреднении второй производной по вертикальной координате воспользуемсяусловиями сопряжения (2.6.49)
/> (2.6.54)
Окончательно постановка усредненной задачидля остаточного члена с учетом (2.6.54) представится как
/>, (2.6.55)
/> (2.6.56)
/>, (2.6.57)
с граничными условиями и условиямисопряжения
/>, (2.6.58)
/>,  />,  />, (2.6.59)
/>, (2.6.60)
/>, />, />. (2.6.61)
Усредненная задача для остаточного члена (2.6.55)– (2.6.61) имеет тривиальное решение тогда и только тогда, когда
/>, (2.6.62)
и
/>, (2.6.63)
то есть, когда в усредненной задаче дляостаточного члена отсутствует источник и средние значения нулевого коэффициентаразложения на поверхности задания граничных условий обращается в нуль.
В справедливости последнего уравнениялегко убедиться, усреднив (2.6.35) с учетом условий сопряжения (2.6.34). Следовательно,если заменить граничное условие для /> насреднеинтегральное
/>, (2.6.64)
то рассматриваемый метод решенияобеспечивает возможность обращения в нуль решения усреднённой задачи для остаточногочлена асимптотического разложения. Это, естественно, повышает ценность решениядля практических приложений. В силу этого целесообразно в асимптотическихрешениях выделить соответствующий класс решений. Асимптотическое приближениепараметризованной задачи, полученной из (2.6.4) – (2.6.10), построенное приусловии, что решение усредненной задачи для остаточного члена является тривиальным,назовем точным в среднем асимптотическим решением.
Для точного в среднем решения издополнительного граничного условия (2.6.64) и выражения для первогокоэффициента разложения (2.6.22) получим
/>. (2.6.65)
Откуда
/>. (2.6.66)
Подставляяполученное таким образом выражение /> в (2.6.22),для первого коэффициента разложения получим
/> (2.6.67)
/>,  />. (2.6.68)
В первом приближении решение стационарнойзадачи имеет вид
/>,    />,    />, (2.3.69)
где /> и/> определяются выражениями (2.4.26),(2.4.28) и (2.4.67), (2.4.68)2.7. Анализрезультатов расчёта стационарной задачи
Нарис.2.34 представлены графики зависимости стационарного распределения примесейв нулевом приближении от расстояния до оси скважины. Нулевое приближение вданном случае является наиболее значимым, оно определяет общий вид зависимости />. При этом величина плотности загрязнителя спадаетпо экспоненциальному закону и, как следует из графиков, даже для среднеживущихи наиболее опасных радионуклидов (90Sr, 137Cs) на расстояниях 200 h оказывается порядка процентов отмаксимальной, наблюдающейся в зоне закачки.
/>
Рис. 2.34. Зависимость плотности радиоактивных примесей в пористом пласте для стационарного случая (нулевое приближение) от расстояния до скважины при различных постоянных распада: 1 – At = 0.01, 2 – 0.1, 3 – 1. Другие расчётные параметры Pd = 102, />, /> 
На рис 2.35 отражена картина распределенияполя радиоактивного загрязнителя в стационарном случае вдоль вертикальнойкоординаты (нулевое приближение). «Срезы» приведены для расстояний 0, 100hи 200h от оси скважины. Видно, что для среднеживущихнуклидов (Т1/2 ~ 30 лет) в настилающеми подстилающем пластах плотности загрязнителя быстро спадают, и уже на расстояниях0,5h становятся ничтожно малыми.

/>
Рис. 2.35. Зависимость плотности радиоактивных примесей для стационарного случая (нулевое приближение) от координаты z при различных расстояниях до скважины: 1 – r = 0, 2 – 100, 3 – 200. Другие расчётные параметры At = 0.01, Pd = 102, />, />
В общем случае, увеличение параметра Pdприводит к «вытянутости» графика вдоль радиального направления, уменьшение At(что соответствует увеличению среднего времени жизни нуклида) – к «расширению»графика вдоль осей r и z.При этом поле загрязнителя остаётся ограниченным в пространстве.2.8. Сравнение результатованалитического решенияс численными и с экспериментом
На рис. 2.36 приведены результаты,полученные с помощью модифицированного метода асимптотического разложения ирезультаты решения задачи массопереноса методом сеток. При этом численнымметодом решалась задача (1.5.14) – (1.5.21), т.е. также в пренебрежениирадиальной диффузией.
Разностные схемы задачи:
/>,
/>,
/>
/>,
/>.

/>
Рис. 2.36. Зависимость плотности радиоактивного загрязнителя от расстояния до оси скважины. Графики построены (для безразмерного времени t = 100): методом сеток – 1 и методом асимптотического разложения – 2. Другие расчётные параметры At = 0.1, Pd = 102, />, />
Сравнения кривых, приведённых на рис. 2.36позволяет сделать вывод о хорошем соответствии результатов, полученныхчисленными методами и аналитическими вычислениями.
На рис. 2.37 приведено сравнениетеоретических результатов (сплошные линии) и экспериментальных данных (из кн.Рыбальченко А.И. и др. [64] Глубинное захоронение жидких радиоактивных отходов.– М.: ИздАТ, 1994; пунктирные линии).
/>
Рис. 2.37. Сопоставление зависимостиплотности радиоактивных нуклидов от интенсивности закачки на расстоянии 200 м до оси скважины для момента времени t= 5 лет. V – интенсивность закачки
Сравнение экспериментальных итеоретических кривых позволяет сделать вывод о неплохом качественном совпаденииимеющихся результатов.2.9.Выводы
Во второй главе нами найдены решениязадачи массопереноса в нулевом и первом приближениях. Анализ результатов расчётов пространственно-временныхзависимостей полей концентраций вредных примесей и температур в глубокозалегающих пластах позволяет установить следующее: нулевое приближение можетбыть успешно использовано для расчёта средних значений концентраций вредныхвеществ и температуры в проницаемых пластах и с достаточной точностью описываетполя концентраций и температур в окружающих породах и зону возмущенийконцентрации и температуры в среде; первое приближение удовлетворительно описываетполя концентраций как в пласте, так и в окружающих породах и позволяетустранить главный недостаток нулевого приближения, то есть учесть зависимостьот /> в интервале пласта.
Построенные решения для полей концентрациизагрязнителя в нулевом и первом приближениях свидетельствуют о наличиипогранслоев на малых расстояниях от оси скважины и малых времен, откудавозникает задача построения соответствующих погранслойных функций. Решениестационарной задачи позволило установить соотношения для предельных размеровзоны заражения.
Введённое среднеинтегральное граничное условие дляпервого коэффициента разложения позволило получить точное в среднемасимптотическое решение задачи, для которого в пористом пласте значениеостаточного члена усреднённой задачи равно нулю.
На основании расчетов показано, что в большинстве практических случаеввлиянием радиоактивного распада в окружающих пластах на плотность радиоактивныхпримесей в пласте и инициируемым этим распадом тепловым эффектом можнопренебречь. В то же время вклад диффузионных процессов обмена с окружающимипластами является преобладающим на диффузионном фронте, что объясняетсябольшими градиентами концентрации и значительными временами закачки.
Показано, что дляотносительно малых времен при практических расчетах с высокой точностью можетбыть использовано так называемое «бездиффузионное» приближение, при построениикоторого вклад конвекции предполагается преобладающим. Произведена оценкапогрешности бездиффузионного приближения, позволяющего значительно упроститьвыполняемые расчёты.
Сопоставление теории и экспериментапозволило подтвердить удовлетворительную точность при применении расчётныхформул, полученных по методу пространственного усреднения на основе формальногопараметра, для практических расчётов.
Построено стационарное решение длямассопереносной задачи, позволяющее установить предельные размеры зонызаражения при закачке радиоактивных отходов в глубокозалегающие горизонты.
Полученные выражения позволяют приступитьк решению приоритетной для нас задачи теплопереноса, что и сделано в главе III.
Глава III.РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В НУЛЕВОМ И ПЕРВОМ ПРИБЛИЖЕНИЯХ3.1. Нулевоеприближение
Постановка задачи теплопереноса длянулевого приближения представлена в разделе 1.4 в виде (1.4.44) – (1.4.50). Учитывая,обоснованную в 2.1 возможность пренебрежения радиоактивным распадом в «кровле»и «подошве», в пространстве преобразований Лапласа – Карсона повремени t задачапредставляется как
/> (3.1.1)
/>, (3.1.2)
/>, (3.1.3)
условия сопряжения, граничные и начальные условия
/>, (3.1.4)
/>, (3.1.5)
/>,  />,  />. (3.1.6)
Последнее слагаемое в правой частиуравнения (3.1.1) содержит сомножитель, определяемый плотностью радиоактивногозагрязнителя, нахождение которой описано в главе II. В разделе 1.5.5показано, что интеграл /> совпадаетс нулевым приближением плотности /> и независит от />. Поэтому уравнение (3.1.1)можно переписать следующим образом
/> (3.1.7)
Решение уравнения (3.1.2), с учётом граничных условий (3.1.6):
/>. (3.1.8)
Аналогично, дляподстилающего пласта в пространстве изображений
/>. (3.1.9)
Учитывая условия сопряжения (3.1.4), эти решения можно переписать в виде
/>, (3.1.10)
/>. (3.1.11)
С помощью (3.1.10) и (3.1.11) выразим значения следов производных извнешних областей через температуру пласта в нулевом приближении
/>,  />. (3.1.12)
Подставляя найденныезначения производных (3.1.12) в уравнение (3.1.7), получим обыкновенноедифференциальное уравнение для определения температурного поля в пласте внулевом приближении
/>. (3.1.13)
Введём обозначение для выражения, стоящего в квадратных скобках
/>, (3.1.14)
тогда
/>. (3.1.15)
Решение однородногоуравнения, соответствующего (3.1.15) имеет вид
/>. (3.1.16)
Методом вариациипроизвольной постоянной определим />.
/>. (3.1.17)
Для нахождения постоянной/> подставим (3.1.17) в (3.1.16)и учтём граничное условие (3.1.5), тогда
/>. (3.1.18)
Выражение для /> имеет вид
/>, (3.1.19)
а решение задачи впласте в пространстве изображений представляется в форме
/>. (3.1.20)
С учётом (3.1.10),(3.1.11) температурное поле в окружающей среде описывается выражениями ( впространстве изображений)
/> (3.1.21)
/>. (3.1.22)
Для удобства перехода впространство оригиналов перепишем (3.1.20) – (3.1.22) в виде
/> (3.1.23)
/> (3.1.24)
/> (3.1.25)
Перейдем в пространствооригиналов, используя формулы обратного преобразования Лапласа – Карсона [23]
/>,
где /> - единичная функция Хевисайда
/> (3.1.26)
/>, (3.1.27)
В нашем случае имеем
/>, (3.1.28) где
/>, (3.1.29)
/>, (3.1.30)
Для случая стационарного поля примесей /> совершивобратное преобразование Лапласа – Карсона, и перейдя в пространство оригиналов,решение задачи в нулевом приближении представим в виде
/> (3.1.31)
/> (3.1.32)
/> (3.1.33)
При этом радиус зонытермического влияния закачиваемой жидкости
RT =h/>=/>. (3.1.34)
Для случая, когда плотностьисточников загрязнения нестационарна, наряду с указанными выше соотношенияминеобходимо использовать следующие:
/>, (3.1.35)
/>, (3.1.36)
посколькуподынтегральное выражение в этом случае может быть представлено в виде
/>. (3.1.37)
Осуществив переход впространство оригиналов в (3.1.37), получим
/>. (3.1.38)
Для пласта
/> (3.1.39)
для кровли (3.1.40) иподошвы (3.1.41)
/>
/> (3.1.40)
/>/> />
/> (3.1.41)
При пренебрежениирадиоактивным распадом At = 0,полученные решения совпадают с известными для температурного поля при закачкехолодной или горячей воды в пласт [30]
/> (3.1.42)
/> (3.1.43)
/> (3.1.44)
Если пренебречь влияниемтеплообмена с окружающей средой на температуру в пласте, то вместо (3.1.42) –(3.1.44) получим квазиадиабатическое приближение
/> (3.1.45)
/> (3.1.46)
/> (3.1.47)
Для малых временприменимо адиабатическое приближение
/> (3.1.48)
/>  /> (3.1.49) 3.2.Переход в пространство оригиналов для нулевого представления плотности загрязнителя
В данном пунктеосуществлён переход в пространство оригиналов для случая, когда выражение дляплотности в (3.1.23) – (3.1.25) представлено зависимостью (2.1.47)
/> (3.2.1)
/> (3.2.2)
/> (3.2.3)
Воспользовавшисьприведенными выше соотношениями (3.1.26) – (3.1.28), получим следующиевыражения для температурного поля в нулевом приближении:
/> (3.2.4)
/> (3.2.5)
/> (3.2.6)
Таким образом, намиполучены выражения (3.2.4) – (3.2.6), определяющие в нулевом приближениитемпературное поле в пористом пласте и окружающих его породах.3.3.Анализ результатов расчетов по нулевому приближению
На рис.3.1 показаны расчёты зависимости внулевом приближении температуры в несущем пласте от времени для безразмерногорасстояния r=20 (что соответствует размерному расстоянию ~ 200 м) от оси скважины. Период полураспада изотопа полагается ~ 30 лет. При расчётах считается, что объёмы закачки составляют ~ 100 м3/сут. Графики построены для загрязнителя с различнойактивностью: 1 ~ 0.1 Ки/л, 2 ~ 0.05Ки/л, 3 ~ 0.01 Ки/л,4 ~ 0Ки/л. С увеличением времени температура возрастает. Величина температуры вданной точке в каждый фиксированный момент времени тем выше, чем больше активностьпрепарата, причём для высокоактивных загрязнителей рост температуры в основномопределяется энергией, выделяющейся при радиоактивном распаде.
/>
Рис 3.1. Зависимость в нулевом приближении температуры в пористом пласте от времени при фиксированной точке наблюдения r=20. Графики построены для различных значений активностей раствора (Ки/л): 1 ~ 0.1, 2 – 0.05, 3 – 0.01, 4 – 0. Другие расчётные параметры />, /> />, Кг=40, At =0.3, Pt = 102
На рис.3.2 показаны расчёты зависимости внулевом приближении температуры в несущем пласте от расстояния до оси скважиныдля момента времени t=0.3, что соответствует размерному времени ~ 1 года. Период полураспадаТ1/2 = 30 лет. Из анализа кривых следует, что при различныхзначениях активности загрязнителя 1 ~ 0.5 Ки/л, 2 ~ 0.3 Ки/л, 3 ~ 0.1 Ки/л на некоторомрасстоянии от скважины наблюдается значительный рост температуры пласта посравнению температурой, определяемой теплофизическими свойствами закачиваемойжидкости без загрязнителя – 4. Причём этот рост тем более значим, чембольше активность нуклида.
/>
Рис 3.2. Зависимость в нулевом приближении температуры в пористом пласте от расстояния до оси скважины для момента времени t=0.3. Графики построены для постоянной распада At =0.3 и для различных значений Q: 1 – Q = 50, 2 – 30, 3 – 10, 4 – 0. Другие расчётные параметры />, />, />, />, Кг = 20, m= 0.4, Pt = 102
На рис. 3.3 показаны расчёты зависимости внулевом приближении температуры от вертикальной координаты для безразмерноговремени t=10, что соответствует размерному времени ~ 30 лет. Периодполураспада Т1/2 = 30 лет. Графики построены для загрязнителя,активность которого ~ 0.1 Ки/л на различных расстояниях от оси скважины 1 – ,2 – h, 3 – 5h, 4 – 10h,5 – 20h, 6 – 30h, 7 – 40h.Максимальное значение температуры достигается примерно на расстоянии 10h от оси скважины.Для выбранного временного промежутка возмущение температурного поля ввертикальном направлении на расстоянии большем 10h являютсянесущественными.
/>
Рис. 3.3. Зависимость нулевого приближения температуры от вертикальной координаты, для момента времени t = 10. Графики построены для постоянной распада At = 0.3 и для различных значений r: 1 – r = 0, 2 – 1, 3 – 5, 4 – 10, 5 – 20, 6 – 30, 7 – 40. Другие расчётные параметры />, />, />, />, Кг = 20, m= 0.4, Pt = 102 3.4. Решениезадачи теплообмена в пространстве изображений
в первом приближении
Постановка первого приближения задачитеплообмена была осуществлена в 1.4.4. Выпишем полученные там уравнения ещёраз, переобозначив их для удобства.
/>, (3.4.1)
/>, (3.4.2)
/>. (3.4.3)
Граничные условия и условия сопряжения
/>,  />, (3.4.4)
/>,  />, (3.4.5)
/>, (3.4.6)
/>, (3.4.7)
/>,   />,   />. (3.4.8)
Решение /> отыскиваетсяв виде квадратного многочлена относительно z
/>, (3.4.9)
причём
/>, (3.4.10)
/>, (3.4.11)
а значение /> намещё предстоит найти.
Система (3.4.1) – (3.4.8) и определяетпостановку задачи теплообмена в первом приближении. Здесь /> также зависит от плотностизагрязнителя, что определяется выражениями для />,/>.
Для нахождения /> перепишем(3.4.3) в виде
/>, (3.4.12)
где введён оператор
/>. (3.4.13)
Учитывая (3.4.9) и (3.4.12), а также линейность оператора />, получим
/> (3.4.14)
Проинтегрируем последнее выражение
/> (3.4.15)
Как видно из (3.4.15), впервом приближении задача теплопереноса в общем случае уже зависит от первогоприближения плотности радиоактивного загрязнителя. В силу громоздкостиполучающихся выражений ограничимся решением этой задачи в общем случае впространстве изображений (преобразование Лапласа – Карсона).
Перейдём сразу впространство изображений, воспользовавшись преобразованием Лапласа – Карсона. Приэтом последнее уравнение принимает вид
/> (3.4.16)
Причём оператор /> в пространстве изображенийпредставится как
/>, (3.4.17)
а />определяется выражением(2.1.47).
Учитывая условиясопряжения (3.4.4), остающиеся справедливыми и в пространстве изображений, получимиз (3.4.16)
/> (3.4.18)
и
/> (3.4.19)
Умножая (3.4.18) на /> и вычитая (3.4.19),получим
/> (3.4.20)
Выразим из (3.4.20) />
/> (3.4.21)
В пространствеизображений (3.4.9) принимает вид
/> (3.4.22)
где
/> (3.4.23)
/> (3.4.24)
Решения уравнений
/>, (3.4.25)
/>, (3.4.26)
соответствующих (3.4.1), (3.4.2) в пространстве изображений, с учётомусловий регулярности и сопряжения, принимают вид
/>, (3.4.27)
/>. (3.4.28)
При этом следыпроизводных из внешних областей представятся как
/>,   />, (3.4.29)
что позволяет переписать(3.4.21) в виде
/> (3.4.30)
Из (3.3.9) в пространстве изображений определеныграничные значения первого коэффициента
/> (3.4.31)
/> (3.4.32)
Подстановка (3.4.31), (3.4.32) в (3.4.30) даёт уравнение дляопределения />.
/>
/>
/> (3.4.33)
Действительно, значения всех величин и выражения для всех переменных,входящих в (3.4.33), за исключением /> намизвестны. При решении этого уравнения появится постоянная интегрирования,значение которой может быть найдено с использованием нелокального интегральногоусловия /> аналогично нахождениюпервого коэффициента разложения в задаче массопереноса.
 3.5.Сопоставление радиусов зон химического и теплового возмущений
При распространении загрязнителя возникает несколько фронтов, определяемыхразличными физическими процессами, протекающими в закачиваемой жидкости и скелете.Один из них – тепловой фронт, обусловленный конвективным переносом тепла, другой– определяется теплотой, выделяемой в результате радиоактивного распада.Наконец, из-за сорбции загрязнителя на скелете, возникает зона чистой воды,уширяющаяся с течением времени.
Отличительная особенность предлагаемоймодели заключается в том, что она позволяет сопоставить размеры зон теплового,химического и гидродинамического влияния. Это сопоставление и сопутствующиеоценки очень важны для практических приложений. Как указывалось выше скоростьконвективного переноса примеси /> определяет положение фронта загрязнения Rp подобнотому, как скорость фильтрации /> определяет положение фронта закачиваемой жидкости Rw.Положение фронта закачиваемой жидкости определяется для случая закачки спостоянной скоростьюv0‘ в пласт через скважину радиуса r0 согласно (1.3.8) имеет вид
/>.
Для достаточно больших времен τ можно пренебречь /> в подкоренном выражении,тогда вместо (3.3.1) получим
/>. (3.5.1)
Радиус зонырадиоактивного заражения определяется согласно зависимости (2.1.55) в виде
Rp=/>. (3.5.2)
Соотношение междускоростями фильтрации /> на входе впористую среду при r = r0и конвективного переноса примеси /> в той же точке определяетсясоотношением (1.3.7)
/>, (3.5.3)
поэтому для радиуса зоны радиоактивного заражения из (3.3.3) получим
Rp=/>. (3.5.4)
Если постояннаяравновесия Генри /> равна нулю, торазмеры зон закачиваемой жидкости и загрязнениясовпадаютRw = Rp. При ненулевых значениях константы равновесия Генри />≠ 0 фронтрадиоактивного заражения отстает от фронта закачиваемой жидкости. Образуетсякольцевая зона очищенной от радиоактивных примесей закачиваемой жидкости Rp r Rw, размеры которой растут пропорционально корню извремени закачки />:
Rp=/>. (3.5.5)
Наличие такой зоны являетсяблагоприятствующим экологическим фактором. Если подбирать для закачки горизонтыс высокими значениями постоянной равновесия, то таким способом можно очищатьводу от радиоактивных и химических примесей. Такие горизонты могут служитьестественными фильтрами, очищающими воду от различных примесей. Нечто аналогичное,видимо, происходит в некоторых родниковых питьевых источниках.
Наряду с отмеченными выше фронтами в задачевозникает фронт термического влияния закачиваемой жидкости, которыйопределяется выражением (3.1.34)
RT = />. (3.5.6)
Наличие такого фронта обусловленовеличиной скорости конвективного переноса тепла, которая связана со скоростьюконвективного переноса примесей на входе в пористую среду /> соотношением
/>. (3.5.7)
В общем случае скорость конвективногопереноса тепла связана со скоростью фильтрации соотношением
/>. (3.5.8)
Величина скорости конвективного переносатепла u при />больше скорости фильтрации v΄. При фильтрации воды с теплоемкостью сw = 4100 Дж/(кг∙К) и плотностьюρw = 1000 кг/м3в песчанике с пористостью m = 0.2,теплоемкостью сs = 840 Дж/(кг∙К) иплотностью ρs = 2500 кг/м3отношение скоростей конвективного переноса тепла и фильтрации составит />/>/>/>. При фильтрации нефти с теплоемкостью со = 2000 Дж/(кг∙К) иплотностью ρо = 850 кг/м3скорость конвективного переноса тепла больше скорости фильтрации, поскольку ихотношение меньше единицы и составляет
/>/>/>/>.
Скорость конвективного переноса тепламожет превышать скорость конвективного переноса примеси. В этом случае фронттермических возмущений опережает фронт радиоактивного загрязнения. Условие, прикотором это происходит, имеет вид
/>, />. (3.5.9)
Поскольку постоянная Генри представляетотношение плотности примеси в скелете и растворе />, то условие опережения температурного фронта представится как
/>. (3.5.10)
Последнее означает, что температурныйфронт опережает фронт загрязнения при достаточно большом содержании примеси вскелете, что возможно при высокой адсорбирующей способности скелета. Напомним,что величины со звездочкой означают истинную плотность среды, а без звездочки –плотность примеси в среде. Условие (3.5.9)означает, что отношение плотности примеси в скелете к плотности примеси врастворе должно превышать отношение соответствующих объемных теплоемкостей.
При малой адсорбирующей способностискелета, напротив, температурный фронт отстает от фронта загрязнения, чтоосуществляется при выполнении условия
/>. (3.5.11)
В этом случае формируется зона Rp r RT, в которой температурное поле определяется влияниемраспада радиоактивных примесей. Размеры этой зоны растут со временем согласнозависимости
/>. (3.5.12)
Приведенные выше зависимости позволяютутверждать, что критические значения коэффициента Генри, когда фронтызагрязнения и температурного влияния совпадают, не зависят от пористости.Указанные выше значения теплоемкостей и плотностей позволяют оценитькритические значения коэффициента Генри: для воды – />0.52, для нефти – />1.2.
Отношения соответствующих радиусовопределяется соотношениями, следующими из (3.5.1),(3.5.4) и (3.5.6)
/>,./>, />. (3.5.13)
На практике величина коэффициента Генриопределяется многими факторами и сильно зависит, в том числе, от солесодержанияи pH среды, имея общую тенденцию возрастания с увеличениемpH и уменьшением солесодержания.
Некоторые типичные значения коэффициентовГенри приведены в табл. 1 (из книги «Охрана подземных вод от радиоактивныхзагрязнений» Белицкий А.С., Орлова Е.И.)
Таблица 1 № п/п Наименование породы Коэффициент распределения
Стронций 89Sr
Цезий 137Cs
Рутений 105Ru
Церий 144Ce 1 Песок среднезернистый, четвертичный, древнеаллювиальный 10 700 20 900 2 Песок мелкозернистый, слюдистый, глуаконитовый, верхнеюрский 12 1150 20 1100 3 Песок среднезернистый, аллювиальный 8 760 460 480 4 Песчаник чёрный, мелкозернистый, верхнеюрский с фосфоритами 6 2200 35 65
и в таблице 2 (коэффициент межфазного распределениенуклидов в песчано-глинистых породах) (из книги «Глубинное захоронение жидкихрадиоактивных отходов» Рыбальченко А.И. и др.)
Таблица 2№№ п/п Нуклид Поровый раствор
pH=2÷3
pH=4÷5
pH~8
1.
2.
3.
4.
5.
Стронций-90
Рутений-106
Цезий-137
Церий-144
Плутоний-239
3 – 11
1 – 3
3 – 6
2 – 3
2 – 3
20 – 70
15 – 30
20 – 40
80 – 200
     100 – 250
40 – 60
 9 – 15
40 – 100
20 – 40
30 – 70
Столь высокие значения /> позволяют говорить, что в реальных условиях размеры зоны заражениявсегда значительно меньше размеров зоны термического влияния, что позволяет использоватьрезультаты измерений температурного поля в качестве «опережающегопрогнозирования» распространения зоны заражения.
На рис. 3.3 приведены характерныезависимости от времени размеров зон загрязнения – Rp,теплового влияния – RТ и чистойводы – Rw. При этом область шириной ΔRw=Rw–RТ заполнена чистой водой, имеющей температуру, равнуюестественной температуре пласта. С течением времени ширина этой областиувеличивается.
/>
Рис 3.3. Зависимость максимальных размеров зон от времени для объёмов закачки 100 м3/сут. Полуширина пористого пласта, h = 10 м, состав – песчаник, пористость m = 0.4, фильтрирующаяся жидкость – вода, КГ = 15
Схематично картину расположения зон длянекоторого момента времени можно представить в виде схематичного рисунка 3.4,на котором учтено, что в реальных пластах всегда наибольшие размеры имеет зонаочищенной воды, а наименьшие – зона радиоактивного загрязнения. При этом вполневозможна ситуация, когда плотность загрязнителя (в силу радиоактивного распада)становится ничтожно малой далеко до границы зоны.
/>
Рис 3.4. Схематично представлена картина зон загрязнения – Rp, термического влияния – RТ и чистой воды – Rwдля некоторого момента времени 3.6.Выводы
В нулевом и первом приближениях решена задача отемпературном поле, вызванном закачкой радиоактивного раствора вглубокозалегающие пласты. На основании полученного решения установленырасчетные формулы для полей температуры, вызванных энергией распада и различиемтемператур пласта и закачиваемой жидкости. В частности, построена зависимостьтемпературы от пространственных координат r, z и времени t для стационарного распределенияплотности радиоактивных примесей, имеющее важное значение для описания полейкороткоживущих изотопов.
На основании найденных выражений для положения конвективного, диффузионногои температурного фронтов установлено, температурный фронт как минимум в несколькораз превышает размер диффузионного, соответствующего радиусу зоны радиоактивногозаражения. Поскольку температурный фронт значительно отстает от конвективного,соответствующего размерам области закачанной жидкости, то образуется зонаочищенной от загрязнителя воды, причем размеры этой зоны растут с увеличением коэффициентаГенри, что может служить ориентиром для выбора объектов при захоронениирадиоизотопов, удовлетворяющих более высоким экологическим требованиям.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе, наоснове уравнения конвективной диффузии для несжимаемой жидкости с учетомрадиоактивного распада и обмена загрязнителя со скелетом, осуществлена постановка термодиффузионной задачи овзаимосвязанных полях концентрации и температуры в глубокозалегающихгоризонтах, возникающих при закачке в пористый пласт растворенных радиоактивныхвеществ. С использованием параметра асимптотического разложения температурная идиффузионная задачи представлены в виде бесконечной последовательности краевыхзадач для коэффициентов разложения искомого решения в асимптотический ряд.Произведено «расцепление» соответствующей цепочки уравнений и на этой основеосуществлена постановка краевых задач смешанного типа со следами производных извнешних областей для нулевого и первого коэффициентов разложения и остаточногочлена.
При построении решения задачи для первогокоэффициента использовано нелокальное граничное условие, заключающееся в том,что средние значения температуры и плотности примесей по толщине пласта на осискважины равны нулю. Показано, что использование такого условия обеспечивает построение«в среднем точного» асимптотического решения, означающего, что при этом среднеепо высоте пласта значение остаточного члена равно нулю.
Построенные решения для полей концентрациизагрязнителя в нулевом и первом приближениях свидетельствуют о наличиипогранслоев на малых расстояниях от оси скважины и малых времен, откудавозникает задача построения погранслойных функций. Решение стационарной задачипозволило установить соотношения для предельных размеров зоны заражения.
В нулевом и первом приближениях решена задача отемпературном поле, вызванном закачкой радиоактивного раствора вглубокозалегающие пласты. На основании полученного решения установленырасчетные формулы для полей температуры, вызванных энергией распада и различиемтемператур пласта и закачиваемой жидкости. В частности, построена зависимостьтемпературы от пространственных координат r, z и времени t для стационарного распределенияплотности радиоактивных примесей, имеющее важное значение для описания полейкороткоживущих изотопов.
На основании расчетов показано, что в большинствепрактических случаев влиянием радиоактивного распада в окружающих пластах наплотность радиоактивных примесей в пласте и инициируемым этим распадом тепловымэффектом можно пренебречь. В то же время вклад диффузионных процессов обмена сокружающими пластами является преобладающим на диффузионном фронте, чтообъясняется большими градиентами концентрации и значительными временамизакачки.
Показано, что для относительно малых времен свысокой точностью для практических расчетов может быть использовано такназываемое «бездиффузионное» приближение, при построении которого вклад конвекциипредполагается преобладающим. Определены границы применимости этого приближениядля расчетов температурных полей.
На основании найденных выражений для положения конвективного, диффузионногои температурного фронтов установлено, температурный фронт как минимум в несколькораз превышает размер диффузионного, соответствующего радиусу зоны радиоактивногозаражения. Поскольку температурный фронт значительно отстает от конвективного,соответствующего размерам области закачанной жидкости, то образуется зонаочищенной от загрязнителя воды. Замечательно, что размеры этой зоны растут сувеличением коэффициента Генри, что может служить ориентиром для выбораобъектов при захоронении радиоизотопов, удовлетворяющих более высоким экологическимтребованиям.

ЛИТЕРАТУРА
1.  Авдонин Н.А. О некоторых формулах для расчётатемпературного поля пласта при тепловой инжекции // Изв. вузов. Нефть и газ. –1964. – № 3. – С.32 – 39.
2.  Арсенин В.Я. Методы математической физики испециальные функции.– М.: Наука, 1984.– 384 с.
3.  Бармин А.А., Гарагаш Д.И. О фильтрации раствора впористой среде с учётом адсорбции примеси на скелет // Механика жидкости игаза. – 1994. – № 4. – С.97–110.
4.  Бартман А.Б., Перельман Т.Л. Новый асимптотическийметод в аналитической теории переноса. Под ред. д. физ-мат. наук С. И. Анисимова.–Минск: Наука и техника, 1975. – 271 с.
5.  Белицкий А.С., Орлова Е.И. Охрана поземных вод отрадиоактивных загрязнений. – М., Медицина, 1969. – 209 с.
6.  Бондарев Э.А., Николаевский В.Н. Конвективная диффузияв пористых средах с учётом явления адсорбции // ПМТФ. – 1962. – № 5. – С.128–134.
7.  Бочевер Ф.М., Лапшин Н.Н., Орадовская А.Е. Защитаподземных вод от загрязнения.– М.: Недра, 1979.– 254 с.
8. Бэтчелор Дж.Введение в динамику жидкости. – М.: Мир, 1973.– 757 с.
9.  Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости.Перевод с англ. – М.: Мир, 1967. – 426 с.
10.  Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствамгазов и жидкостей. – М.: Наука, 1972. – 720 с.
11.  Венецианов Е.В., Рубинштейн Р.Н. Динамика сорбции изжидких сред. – М.: Наука, 1983.– 237 с.
12.  Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – М.:Наука, 1981.– 512 с.
13.  Волков И. К. Онекоторых формулах для расчёта температурного поля пласта при нагнетании в неговоды с учётом дроссельного эффекта (плоско-параллельная фильтрация) // Вопросыэкспериментальной геотермологии: Сб. / КГУ. Казань, 1973. – С. 3–9.
14.  Герасимов Я.И. Курс физической химии. – М.: Химия,1970.– 592 с.
15.  Гидрогеологические исследования для захороненияпромышленных сточных вод в глубокие водоносные горизонты. – М., Недра, 1976. –325 с.
16.  Годунов С.К. Уравнения математической физики. – М.:Наука, 1971.– 416 с.
17.  Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. – М.:Наука, 1978.– 304 с.
18.  Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, рядов ипроизведений. – М.: Наука, 1963. – 426 с.
19.  Гюнтер Д.А., Михайличенко И.Н. Расчет полей концентрации при подземномзахоронении растворенных радиоактивных веществ // Региональная школа –конференция молодых учёных: тезисы докладов. – Уфа:  Гилем, 2006,С. 44 – 45.
20.  Девяткин Е.М., Михайличенко И.Н. Погранслойное решение в задаче озакачке радиоактивных примесей в пористый пласт // VI Региональная школа – конференция для студентов,аспирантов и молодых учёных по математике, физике и химии: тезисы докладов. –Уфа: БашГУ, 2006, С. 141 – 142.
21.  Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральныепреобразования и операционное исчисление. – М.: Наука, 1974. – 382 с.
22.  Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. –М.: Высшая школа, 1975. – 383 с.
23.  Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник пооперационному исчислению. – М.: Высшая школа, 1965.– 465 с.
24.  Зельдович Я.Б. Химическая физика и гидродинамика. – М.:Наука, 1980.– 479 с.
25.  Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы математическойфизики. – М.: Наука, 1973.– 352 с.
26.  Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. – М.: МГУ,1979.– 288 с.
27.  Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твёрдых тел. – М.:Наука, 1964.– 488 с.
28.  Кедровский О.Л., Рыбальченко А.И., Пименов М.К. и др.Глубинное захоронение жидких радиоактивных отходов в пористые геологические формации// Атомная энергия – 1991. – Т. 70. – вып.5. – С.42 – 49.
29.  Коркешко О.И. Разработка программного обеспечения длярешения обратных экологических задач конвективной диффузии // Экономическийрост: проблемы развития науки, техники и совершенствования производства: Тез.докл. межвуз. науч.-практ. конф. 22 марта 1996 г. – Уфа: УГНТУ, 1996. – С. 79–80.
30.  Коркешко О.И. Применение асимптотических методов длярешения задач тепло- и массопереноса: Дисс. канд. физ.-мат. наук. –Стерлитамак, 2000. – 158 с.
31.  Коркешко О.И., Костомаров Ю.В. Новые подходы кэкологическим задачам конвективной диффузии в сложных средах // 1 науч. конф.молодых учёных-физиков республики Башкортостан 21–23 ноября 1994 г.: Тез. докл. – Уфа: Баш. гос. ун-т, 1995.– С. 17.
32.  Коркешко О.И., Котельников В.А., Тарасов А.Г. Обратныезадачи конвективной диффузии // 1 науч. конф. молодых учёных-физиков республикиБашкортостан 21–23 ноября 1994 г.: Тез. докл. – Уфа: Баш. гос. ун-т, 1995.– С.16.
33.  Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научныхработников и инженеров. – М.: Наука, 1984. – 632 с.
34.  Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. – М.:Мир, 1972. – 342 с.
35.  Кэйс В.М. Конвективный тепло- и массообмен. – М.:Энергия, 1972. – 364 с.
36.  Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. – М.:Гостехиздат, 1954.– 795 с.
37.  Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебноепособие. В 10 т. Т. 5: Гидродинамика. – М.: Наука, 1988.– 736 с.
38.  Лебедев А.В. Оценка баланса подземных вод. – М.,Недра, 1989, – 178 с.
39.  Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. – М.-Л.:Физматгиз, 1963.– 358 с.
40.  Лукнер Л., Шестаков В.М. Моделирование миграцииподземных вод. – М., Недра, 1986, – 209 с.
41.  Лялько В.И., Митник М.М. Исследование процессовпереноса тепла и вещества в земной коре. – Киев, Наукова думка, 1972. – 234 с.
42.  Малофеев Г.Е., Толстов Л.А. и Шейнман А.Б.Исследование распространения тепла в пласте при радиальном течении горячейжидкости // Нефтяное хозяйство. – 1966. – № 8. – С.57 – 69.
43.  Мартыненко О.Г., Березовский А.А., Соковишин Ю.А.Асимптотические методы в теории свободно-конвективного теплообмена. – Минск:Наука и техника, 1979. – 325 с.
44.  Мартыненко О.Г., Соковишин Ю.А. Теплообмен смешаннойконвекцией. – Минск: Наука и техника, 1975. – 263 с.
45.  Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотическиеметоды. – М.: МГУ, 1965.– 553 с.
46.  Математический энциклопедический словарь. – М.:Большая Российская энциклопедия, 1995.– 847 с.
47.  Мироненко В.А. Динамика подземныхвод. – М., Недра, 1983. – 422 с.
48.  Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частныхпроизводных. – М.: Наука, 1983.– 424 с.
49.  Мошинский А. И. Граничное условие “Тепловая ёмкость”как предельное соотношение // ИФЖ. – 1991. – Т. 61. – № 3. – С. 458.
50.  Мошинский А. И. О граничных условиях типа тепловойёмкости в задачах теплообмена // ТВТ. – 1989. – Т. 27. – № 4. – С. 708.
51.  Мошинский А. И. Об уточнении условия типа “Тепловаяёмкость”, применяемого в задачах тепломассопереноса // ТВТ. – 1997. – Т. 35. – №1. – С. 160–162.
52.  Найфэ А. Х. Методы возмущений. Перевод с англ. – М.:Мир, 1976. – 426 с.
53.  Наумов Г.Б., Рыженко Б.Н., Ходарковский И.Л.Справочник термодинамических величин. – М., Атомиздат, 1971. – 432 с.
54.  Некоторые особенности применения метода малогопараметра в экологических задачах конвективной диффузии / Филиппов А.И.,Коркешко О.И., Чиганов П.А., Ярославцев Е.Ю. / Спектральная теория дифференциальныхоператоров и смежные вопросы: Сб. науч. тр. Международной науч. конф. 22–25сентября 1998 г. Стерлитамак: – Стерлитамак. гос. пед. ин-т, 1998.– Ч. 2.– С.69–76.
55.  Нигматулин Р.И. Методы механики сплошной среды дляописания многофазных смесей // ПММ. – 1970. – Т.34. – №6. – С.1097–1112.
56.  Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. – М.:Наука, 1978.– 336 с.
57.  Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функцииматематической физики. – М.: Наука, 1978.– 320 с.
58.  Николаевский В.Н. Конвективная диффузия в пористыхсредах // ПММ. – 1959. – Т. 23. – № 6. – С. 1042–1050.
59.  Николаевский В.Н., Басниев К.С., Горбунов А.Т., ЗотовГ.А. Механика насыщенных пористых сред. – М.: Недра, 1970.– 336 с.
60.  Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватыхсред. – М.: Недра, 1984.– 232 с.
61.  Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральноеисчисления для втузов: Учебное пособие для втузов. – М.: Наука, 1985. – Т. 2.–560 с.
62.  Пудовкин М.А. Теоретические расчёты поля температурпласта при нагнетании в него воды // Вопросы усовершенствования разработки нефтяныхместорождений Татарии: – Сб. КГУ. Казань, 1962. – С.62 – 67.
63.  Рубинштейн Л.И. Температурные поля в нефтяныхпластах.– М.: Недра, 1971. – 387 с.
64.  Рыбальченко А.И., Пименов М.К., Костин П.П. и др.Глубинное захоронение жидких радиоактивных отходов. – М.: ИздАТ, 1994. – 256 с.
65.  Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функцийкомплексной переменной.– М.: Наука, 1967.– 304 с.
66.  Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике.–М.: Недра, 1978.– 216 с.
67.  Седов Л.И. Механика сплошной среды.– М.: Наука, 1994. Т.1, 2.
68.  Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции потеории функций комплексного переменного.– М.: Наука, 1982.– 488 с.
69.  Смирнов В.И. Курс высшей математики.–М.: Наука, 1967. Т. 1. – 480 с.
70.  Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравненияматематической физики.– М.: Наука, 1972.– 376 с.
71.  Филиппов А.И. Методические указания по спецкурсу“Гидродинамика”. – Уфа, 1992. – 82 с.
72.  Филиппов А.И., Коркешко О.И. Исследованиепространственно-временных распределений концентрации веществ на основе “схемысосредоточенной ёмкости” // ИФЖ. 1997. – Т. 70. – № 2. – С. 205–210.
73.  Филиппов А.И., Коркешко О.И. Метод малого параметра вмоделировании процессов переноса в многофазных пористых средах // Проблемы физико-математическогообразования в педагогических вузах России на современном этапе: МатериалыВсерос. науч.-практ. конф. 16–18 марта 1999 г.– Магнитогорск. – Магнитогорск. гос. пед. ин-т, 1999. – Ч. 2. – С. 92–93.
74.  Филиппов А.И., Коркешко О.И. Применение “схемысосредоточенной ёмкости” к экологическим задачам конвективной диффузии //Прикладная физика и геофизика: Межвуз. сб. науч. тр.– Уфа: Баш. гос. ун-т,1995.– С. 124–130.
75.  Филиппов А.И., Коркешко О.И., Шатов А.А., Ревунова А.А.Об одном способе определения экологических параметров рек на основе задачи конвективнойдиффузии // Биолого-химические науки в высшей школе. Проблемы и решения: Сб.науч. тр. Всерос. науч.-практ. конф., 19–20 июня 1998 г.– Бирск: Бирск. гос. пед. ин-т, 1998. – С.124.
76.  Филиппов А.И., Коркешко О.И., Шатов А.А., Ревунова А.А.Применение обратных задач для расчёта характеристик водных бассейнов //Экологические проблемы бассейнов крупных рек – 2: Тез. докл. Международнойконф., Россия, Тольятти, 14–18 сентября 1998 г. – Тольятти: ИЭВБ РАН, 1998.– С. 168–169.
77.  Филиппов А.И., Коркешко О.И., Чиганов П.А.Моделирование процессов диффузии вредных примесей в глубокозалегающих пластахна основе метода малого параметра // Физические проблемы экологии (Физическаяэкология): Тез. докл. второй Всерос. науч. конф. 18–21 января 1999 г.– М: МГУ, 1999.– С. 98.
78.  Филиппов А.И., Коркешко О.И., Чиганов П.А.Моделирование процессов диффузии вредных примесей в глубокозалегающих пластахна основе метода малого параметра // Физическая экология (Физические проблемыэкологии). – М.: МГУ, 1999. – № 5. – С. 153–161.
79.  Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Ахметова О.В. Радиальное распределение температурных полей вскважине // Нефть и газ Западной Сибири. Материалы международнойнаучно-технической конференции. Т. 1.– Тюмень. 2005. – С. 90–91.
80.  Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Михайличенко И.Н. Поле концентрации при закачке водных раствороврадиоактивных примесей в глубокозалегающие пласты. // Современные проблемыфизики и математики. Труды Всероссийской научной конференции (16 – 18 сентября 2004 г., г. Стерлитамак) – Уфа: Гилем, 2004. – С. 89–97.
81.  Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Михайличенко И.Н. Поле концентрации при закачке водных раствороврадиоактивных примесей в подземные горизонты // Обозрение прикладной ипромышленной математики / Тезисы докладов V Всероссийскогосимпозиума по прикладной и промышленной математике. – М., 2004. – Т. 11, – В.3.– С. 595–596.
82.  Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Михайличенко И.Н. Температурные поля при закачке водных раствороврадиоактивных примесей в подземные горизонты // Обозрение прикладной ипромышленной математики / Тезисы докладов V Всероссийскогосимпозиума по прикладной и промышленной математике. – М., 2004. – Т. 11, – В.3.– С. 596–597.
83.  Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Михайличенко И.Н. Оценка погрешности бездиффузионного приближения взадачах тепломассопереноса. // Математические модели в образовании, науке ипромышленности: Сб. науч. трудов. – СПб.: Санкт-Петербургское отделение МАН ВШ,2005. – С. 101–105.
84.  Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Михайличенко И.Н. Определение зоны заражения при подземном захоронениирастворённых радиоактивных веществ // Вестник Херсонского национального техническогоуниверситета. Вып. 2(25). – Херсон: ХНТУ, 2006. – С. 508–512.
85.  Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Михайличенко И.Н.,Крупинов А.Г. Расчет полей концентрации при подземном захоронении растворенных радиоактивныхвеществ // Экологические системы и приборы, 2006. – №5. – С.27–35
86.  Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача вхимической кинетике.– М.: Наука, 1967. – 328 с.
87.  Шейдеггер А.Э. Физика течения жидкости через пористыесреды. Пер. с англ.– М.: Гостоптехиздат, 1960. – 249 с.
88.  Эрдейи А. Асимптотические разложения. Перевод с англ.–М.: Физматгиз, 1962. – 382 с.
89.  Bachmat Y and Bear J. Mathematical formulation oftransport phenomena in porous media. Proc. Int. Symp. of IAHR on theFundamentals of Transport Phenomena in Porous Media, Guelph, Canada, 1972. P. 174–197.
90.  Bear J. a. o. Flow through porous media. New York – London: Academic Press, 1969.
91.  Bear J. Dynamics of fluids in porous media. New York: American Elsevier publ. co., 1967. 764 pp.
92.  Bear J. Hydraulics of groundwater. New York etc.:McGraw-Hill intern. book co., cop. 1979. XIII, 567 pp.
93.  Bear J., Bachmat Y. Introduction to modeling oftransport phenomena in porous media. Dordrecht et al.: Kluwer, 1990. 533 pp.
94.  Brooks R.H. and Corey A.T. Properties of porous mediaaffecting fluid flow. Proc. Am. Soc. civ. Engrs, 92 (IR2), 61–87, 1966.
95.  Filippov A.I., Korkeshko O.I., and Chiganov P.A. Theuse of a small parameter method to solve problems of convective diffusion //Russ. J. Eng. Thermophys., 1999, Vol. 9, No. 3, P. 161–182.
96.  Gershon N.D. and Nir A.Effects of boundary conditions of models on tracer distribution in flow throughporous mediums. Wat. Resour. Res., 5 (4), 830–839, 1969.
97.  Lauwerier H.A. The transport of heat in an oil layercaused by the injection of hot fluid. Applied Scientific Research, Section A,1955, vol. 5, No 2–3, pp. 145–150.
98.  Morel-Seytoux H.J. Two-phase flows in porous media, inAdvances in Hydroscience (V. T. Chow, Ed.), 9, 119-202. New York: AcademicPress, 1973.
99.  Ogata A. and Banks R.B. A solution of the differentialequation of longitudinal dispersion in porous media. U.S. Geol. Survey, Prof.Paper no. 411–A, 1961.
100. Parlange J.Y. and BabuD.K. On solving the nonlinear diffusion equation – a comparison ofperturbation, iterative and optimal techniques for an arbitrary diffusivity.Wat. Resour. Res., 13 (1), 213–214, 1977.
101. Philip J.R. Flowthrough porous media. Ann. Rev. Fluid Mechan., 2, 177–204, 1970.
102. Verruijt A. Steadydispersion across an interface in a porous medium. J. Hydrol., 14, 337–347, 1971.