Механическиеколебания
Содержание
1. Механическиеколебания
1.1 Механическиеколебания: гармонические, затухающие и вынужденные колебания
1.2 Автоколебания
1.3 Разложениеколебаний в гармонический спектр. Применение гармонического анализа дляобработки диагностических данных
1.4 Механическиеволны, их виды и скорость распространения
1.5 Энергетическиехарактеристики волны
Список использованныхисточников
1. Механическиеколебания
1.1 Механическиеколебания: гармонические, затухающие и вынужденные колебания
Колебаниями называютсяпроцессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости (качание маятникачасов, колебания струны или ножек камертона, напряжение между обкладкамиконденсатора в контуре радиоприемника, работа сердца).
В зависимости отфизической природы повторяющегося процесса различают колебания: механические,электромагнитные, электромеханические и т.д. Мы будем рассматриватьмеханические колебания. Колебания, происходящие при отсутствии трения и внешнихсил, называются собственными; их частота зависит только от свойств системы.
Простейшими являютсягармонические колебания, т.е. такие колебания, при которых колеблющаясявеличина (например, отклонение маятника) изменяется со временем по закону синусаили косинуса.
Дифференциальноеуравнение гармонического колебания
Рассмотрим простейшуюколебательную систему: шарик массой m подвешен на пружине.
/>
В этом случае упругаясила F1 уравновешивает силу тяжести mg. Если сместить шарик на расстояние х,то на него будет действовать большая упругая сила (F1 + F). Изменениеупругой силы по закону Гука пропорционально изменению длины пружины илисмещению шарика х:
F=-kx,(1)
где k — жесткостьпружины. Знак "-" отражает то обстоятельство, что смещение и силаимеют противоположные направления.
Рис. 1 СилаF обладает следующими свойствами: 1) она пропорциональна смещению шарика изположения равновесия; 2) она всегда направлена к положению равновесия.
В нашем примере сила посвоей природе упругая. Может случиться, что сила иного происхожденияобнаруживает такую же закономерность, то есть оказывается равной — kx. Силытакого вида, неупругие по природе, но аналогичные по свойствам силам,возникающим при малых деформациях упругих тел, называют квазиупругими.
Уравнение второго закона Ньютона для шарика имеет вид:
/>, или />.
Так как k и m — обевеличины положительные, то их отношение можно приравнять квадрату некоторойвеличины w0, т.е. мы можем ввести обозначение />. Тогдаполучим
/>
(2)
Таким образом, движение шарика под действием силы вида (1)описывается линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка.
Легко убедиться подстановкой, что решение уравнения имеетвид:
/>
(3)
где (w0t + a0) = a — фаза колебаний; a0— начальная фаза при t = 0; w0— круговая частота колебаний; A — их амплитуда.
Итак, смещение xизменяется со временем по закону косинуса.
/>
/>
Следовательно, движениесистемы, находящейся под действием силы вида f = — kx, представляет собойгармоническое колебание.
Графикгармонического колебания показан на рисунке. Период этих колебаний находится изформулы:
/>.
Для пружинного маятникаполучаем:
/>.
Круговая частотасвязана с обычной n соотношением: />.
Энергия пригармоническом колебании
Выясним, как изменяетсясо временем кинетическая Еk и потенциальная Еп энергиягармонического колебания. Кинетическая энергия равна:
/>, (4)
где k = m w02.
Потенциальную энергию находим из формулы потенциальной энергиидля упругой деформации и используя (3):
EП. /> (5)
Складывая (4) и (5), с учетом соотношения />, получим:
E = EK + EП = />. (6)
Таким образом, полная энергия гармонического колебанияостается постоянной в отсутствие сил трения, во время колебательного процессакинетическая энергия переходит в потенциальную и наоборот.
Затухающие колебания
Колебания, происходящие в системе при отсутствии внешних сил(но при наличии потерь на трение или излучение), называются свободными. Частотасвободных колебаний зависит от свойств системы и интенсивности потерь.
Наличие трения приводит к затухающим колебаниям. Колебания субывающей амплитудой называются затухающими.
Допустим, что на систему, кроме квазиупругой силы, действуютсилы сопротивления среды (трения), тогда второй закон Ньютона имеет вид:
/> . (7)
Ограничимся рассмотрением малых колебаний, тогда и скоростьсистемы будет малой, а при небольших скоростях сила сопротивленияпропорциональна величине скорости:
/> , (8)
где r- коэффициент сопротивления среды. Знак " - " обусловлен тем,что Fтр и V имеют противоположные направления.
Подставим (8) в (7). Тогда
/> или
/>
Обозначим
/>,
где b — коэффициент затухания, w0— круговая частота собственныхколебаний. Тогда
/>
(9)
Решение этого уравнения существенно зависит от знакаразности: w2 = w02 -b2, где w —круговая частота затухающих колебаний. При условии w02 -b2 > 0, w является действительной величиной ирешение (3) будет следующим:
/>
(10)
График этой функции дан на рисунке.
/>
Рис. 2. Затухающие колебания.
Пунктиром изображено изменение амплитуды: A = ±A0e-bt.
Период затухающих колебаний зависит от коэффициента трения иравен:
/> (11)
При незначительном сопротивлении среды (b2 />. С ростом коэффициентазатухания период колебаний увеличивается.
Из формулы, выражающей закон убывания амплитуды колебаний,можно убедиться, что отношение амплитуд, отделенных друг от друга интервалом водин период (Т), остается постоянным в течение всего процесса затухания.Действительно, амплитуды колебаний, отделенные интервалом в один период,выражаются так:
/>.
Отношение этих амплитуд равно:
/>. (12)
Это отношение называют декрементом затухания.
В качестве меры затухания часто берут величину натуральногологарифма
/>
этого отношения:
Эта величина носит название логарифмического декремента затуханияза период.
При сильном затухании b 2 > w02 из формулы (11) следует, что период колебания является мнимойвеличиной. Движение при этом носит апериодический (непериодический) характер — выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия,не совершая колебаний. Каким из этих способов приходит система в положениеравновесия, зависит от начальных условий.
Вынужденные колебания. Резонанс
Вынужденными называются такие колебания, которые возникают вколебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы(вынуждающей силы). Пусть вынуждающая сила изменяется со временем погармоническому закону: f = F0 cosW t, где F0 — амплитуда, W — круговая частота вынуждающей силы.
При составлении уравнения движения нужно учесть, кроме вынуждающейсилы, также те силы, которые действуют в системе при свободных колебаниях, тоесть квазиупругую силу и силу сопротивления среды. Тогда уравнение движения(второй закон Ньютона) запишется следующим образом:
/>.
Разделив это уравнение на m и перенеся члены с dx и d2xв левую часть получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второгопорядка:
/>
где /> —коэффициент затухания, /> —собственная частота колебаний системы. Решением этого уравнения будет:
/>
(13)
Явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебанийпри приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колеблющегосятела называется резонансом, происходящие при этом колебания — резонансными, аих частота w рез— резонансной частотой колебаний.
Расчет дает значение резонансной частоты:
wрез = />
Если b очень мало, то wp » w0. Подставив wрезвместоW в (13), получим максимальнуювеличину амплитуды колебаний при резонансе:
Арез =/>. (14)
Чтобы определить резонансную частоту wрез, нужно найти максимум функции (2.13)или, что то же самое, минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе.Продифференцировав это выражение по W и приравняв нулю, мы получим условие, определяющее wрез:
-4(w02 -W 2)W + 8b 2W = 0.
Это уравнение имеет три решения: W = 0 и />.
Решение, равное нулю, соответствует максимуму знаменателя. Изостальных двух решений отрицательное должно быть отброшено, как не имеющеефизического смысла (частота не может быть отрицательной). Таким образом, длярезонансной частоты получается одно значение: wрез =/>. Подставив это значение частоты в(13), получим выражение для амплитуды при резонансе:
Арез = />
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающейсилы (частоты колебаний) показана графически на рисунке: b1
Это резонансные кривые.
/>
Рис. 3. Резонансные кривые.
1.2 Автоколебания
Системы автоматически регулирующие подачу энергии от внешнегоисточника, называются автоколебательными, а происходящие в них незатухающие периодическиепроцессы — автоколебаниями. Такими системами являются часы, электрическийзвонок, ламповый генератор электромагнитных колебаний и т.д.
1.3 Разложение колебаний в гармонический спектр. Применениегармонического анализа для обработки диагностических данных
Сложение гармонических колебаний, направленных по однойпрямой.
Возможны случаи, когда тело участвует одновременно внескольких колебаниях, происходящих вдоль одного и того же или вдоль различныхнаправлений.
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинаковогонаправления, одинаковой частоты и с одинаковыми амплитудами, но с разныминачальными фазами a01 и a02. Смещение xколеблющегося тела будет суммой смещений x1и x2:
x = x1 + x2 = Acos(w0t + a01) + Acos(w0t + a02).
Используя известную из тригонометрии формулу для суммыкосинусов двух углов, /> имеем:
/>
Aрез/>,
то есть получается гармоническое колебание той же частоты сначальной фазой /> и амплитудой Aрез/>./>
Как видно, амплитуда Aрезрезультирующего колебания зависит от разности фаз складываемых колебаний.
Рассмотрим два крайних случая:
А) Колебания происходят в фазе, то есть a01 = a02, тогда /> и/>, поэтому Aрез = 2A.
Если амплитуды не равны, Aрез = A1 + A2.
Б) Колебания происходят в противофазе, то есть a01 = a02 ± p, тогда />. Следовательно, и Aрез = 0. Еслиамплитуды не равны, например, A1> A2, тоAрез = A1 — A2.
Таким образом, при сложении двух одинаково направленныхгармонических колебаний одного периода и с равными амплитудами получаетсягармоническое колебание того же периода с амплитудой, которая в зависимости отсоотношения фаз складываемых колебаний может изменяться от удвоенного значения,если колебания происходят в фазе, до нуля, если они находятся в противофазе.
При сложении гармонических колебаний с разными частотамирезультирующее колебание не будет гармоническим, а будет являться сложным колебанием(Рис.4.).
/> /> /> /> />
А
Б /> />/>
Рис. 4. Сложение гармонических колебаний с разными частотами:
А) исходные колебания, Б) результирующее колебание.
Сложное колебание и его гармонический спектр.
Согласно теореме Фурье, любое сложное колебание может бытьпредставлено как сумма простых (гармонических) колебаний (гармоник), периодыили частоты которых кратны основному периоду или частоте сложного колебания.
Совокупность простых колебаний, на которые можно разложитьданное сложное колебание, называется его гармоническим спектром.
В гармоническом спектре сложного колебания указываютсячастоты и амплитуды всех составляющих его простых колебаний. Обычно спектризображается в виде графика, на горизонтальной оси которого откладываютсячастоты; затем для каждой из частот простых колебаний имеющихся в спектре,строится ордината, соответствующая амплитуде этого колебания. Еслигармонический спектр сложного колебания содержит только небольшое число простыхколебаний и график его состоит из отдельных ординат, то такой спектр называетсялинейчатым (рис. 5.).
Если спектр содержит простые колебания практически всехчастот в каких-то пределах, то он называется сплошным и график его строится ввиде сплошной огибающей кривой.
Установление гармонического спектра является основным приемомпри анализе сложного колебания. Этот анализ делается с помощью специальныхприборов —гармонических анализаторов. Они применяются и в медицине приисследовании, например, колебаний биопотенциалов головного мозга и др. Многиепроцессы человеческого организма являются периодическими: сердечные сокращения,дыхание, кровенаполнение сосудов и т. п/> /> /> /> /> /> /> /> />
w /> /> />
Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний.
В результате сложения двух взаимно-перпендикулярных колебанийразличного периода тело движется по сложным фигурам, форма которых зависит отсоотношения периодов, амплитуд и начальных фаз складываемых колебаний и которыеназываются фигурами Лиссажу.
/>
Рис. 6. Фигуры Лиссажу для колебаний различающихся начальнымифазами Da.
1.4 Механические волны, их виды и скорость распространения
Колебательная система может отдавать энергию во внутреннюю среду.Эта передача энергии становится возможной благодаря тому, что частицы средысами представляют собой миниатюрные колебательные системы. Молекулы средысвязаны друг с другом силами, законы которых в известных границах подобнызаконам упругих сил. Если одна из частиц окажется выведенной из положенияравновесия, то силы, действующие на нее со стороны соседних частиц, заставляютее вновь вернуться к устойчивому положению. Вместе с тем, по закону равенствадействия и противодействия, соседние частицы также подвергнутся влияниюсмещающих сил и в свою очередь будут выведены из устойчивого положения. Такимобразом, каждое возмущение, однажды возникнув в определенном участке среды,будет постепенно распространяться, захватывая частицы, все дальше и дальшеотстоящие от места начального возмущения.
Колебательный процесс благодаря взаимодействию частиц будетраспространяться в среде с некоторой конечной скоростью. Процесс распространенияколебаний в среде называется волновым движением или просто волной. Для нашегослучая это будет упругая или механическая волна.
Различают продольные и поперечные волны. Видволн, распространяющихся в среде, существенно зависит от упругих свойств среды.
Волна, распространяющаяся в том же направлении, в которомпроисходят колебания частиц среды, называется продольной волной.
Продольные волны образуются в телах, обладающих упругостьюобъема, т.е. противодействующих деформации объемного сжатия. Это свойственновсем телам, поэтому они образуются в любых средах: твердых, жидких,газообразных. К продольным волнам, в частности, относятся звуковые, инфразвуковыеи ультразвуковые.
Волна, в которой колебательное движение совершается перпендикулярнок направлению распространения колебаний, называется поперечной.
Поперечные упругие волны образуются только в твердых телах, которыеобладают упругостью формы, т.е. противодействуют деформации сдвига (например,сейсмические волны в земной коре при землетрясениях; волны, бегущие вдольнатянутой струны; крутильные волны, вызываемые попеременным закручиванием ираскручиванием конца длинного стержня).
Продольные и поперечные колебания частиц среды, несущейволну, представляют собой частные случаи волнового процесса. Существуют идругие волны, в которых колебательные движения складываются из одновременныхпродольных и поперечных смещений. Это волны вздутия, поверхностные.
Уравнение волны.
Рассмотрим поперечную волну. В поперечной волне частицы средыне смещаются в направлении распространения волны. Но колебания каждойпоследующей частицы среды запаздывают по фазе относительно предыдущих частиц.Вследствие этого гребни и впадины волны, заметные для глаза, перемещаются внаправлении распространения волны. Это и отмечается наблюдателем как движениеволны.
Под скоростью волны понимается скорость, с которой в средеперемещаются одинаковые фазы колебаний частиц. Эта скорость называется фазовойскоростью волны. Скорость волны зависит от упругих свойств (а также плотности)среды.
Расстояние между двумя ближайшими точками среды, колебаниякоторых происходят в одинаковой фазе, называется длиной волны l или расстояние, на котороераспространяются колебания в среде за время, равное одному периоду колебания.Она численно равняется произведению скорости V распространения волны на периодТ или отношению скорости распространения волны к частоте n колебания:
l = VT = /> (14)
Поскольку скорость распространения волны зависит от свойствсреды, длина волны при переходе волны из одной среды в другую изменяется, хотячастота колебаний остается неизменной.
Кроме l,А, или Т колебаний волна характеризуется формой колебания частиц в волне. Также как и колебания, волны делятся на простые (гармонические) и сложные.
Колебания, возбуждаемые в одной точке, в однороднойизотропной среде распространяются от нее равномерно по всем направлениям, такаяволна называется сферической. Если источник колебаний имеет значительнуюплоскую поверхность, то волна от него будет распространяться направленнымпотоком перпендикулярно поверхности источника; такая волна называется плоской.
Составим уравнение плоской гармонической волны, позволяющееопределить смещение S точки Б среды, находящейся на любом расстоянии xот начальной точки А, в направлении распространения волны в любой моментвремени. Пусть для начальной точки А уравнение колебания: SA = A coswt./> /> /> /> /> /> />
x />
Точка Б совершает колебание с запаздыванием по фазе на угол j0 = wt0, соответствующий промежутку времени t, за которыйволна проходит расстояние x между точками А и Б. Тогда для точки Б уравнениеколебания будет:
SБ = A cos(w t — j0) = A cos(w t — w t0) = A cosw (t — t0)
Подставляя значение t0 =/>, где V — скоростьраспространения волны, получим:
SБ =/>. (15)
Заменив в уравнении V = nl и w =2 pn, тогда:
SБ =/>.
Таким образом, смещение S точек среды в упругой волнеявляется функцией двух переменных: времени t и расстояния x точки от центравозбуждения колебаний, то есть S = f1(x,t).
Если выбрать определенный момент времени (t1 = const), тоуравнение дает зависимость смещения от расстояния x: St = f2(x), то естьвеличину смещений точек среды вдоль направления x в заданный момент времени t1.График этой зависимости (как бы моментальный снимок волны) называют графикомволны. Для простой (гармонической) волны график имеет форму синусоиды иликосинусоиды.
Зависимость между смещением S точки, ее координатой x и временемt, выраженная в дифференциальной форме называется волновым уравнением./>
(16) />/>
Для составления уравнения плоской волны находим частныепроизводные второго порядка от смещения S по времени t и координате x:/> />
/>/>
(17)
Таким образом, вторая производная смещения по временипропорциональна второй производной смещения по координате. Коэффициент пропорциональностиравен квадрату скорости распространения волны V. Это и есть дифференциальноеуравнение плоской волны, распространяющейся в направлении оси xсоскоростью V(см. формулу 17). Оно в наиболее общем виде описывает распространениеволнового процесса.
Основные характеристики (амплитуда, период или частота, длинаволны и форма колебаний) продольной волны, её уравнение и графику аналогичныпоперечной.
/>
Рис. 7. График плоскойволны
1.5 Энергетические характеристики волны
механическое колебаниегармонический спектр
При волновом движении происходит перенос энергии, котораясостоит из кинетической и потенциальной энергий колеблющихся частиц среды.Причем потенциальная энергия обусловлена деформацией вещества при взаимномсмещении частиц. В отличие от колебаний свободного тела в волне не происходитвзаимного перехода кинетической и потенциальной энергии частиц. Мгновенныезначения той и другой энергии изменяются одновременно (в фазе) соответственноизменению смещения частиц.
Для мгновенного значения энергии (потенциальной икинетической) одной частицы можно записать:
/> , (18)
где S- смещение частицы, w- частота колебания частицы, A- амплитуда колебания частицы,V- скорость волнового процесса, в котором участвует частица, m – масса однойчастицы.
Из формулы 18 следует, что мгновенные значения энергии каждойчастицы среды изменяются во времени с удвоенной частотой колебания, причем вкаждый момент времени эти значения для различных частиц отличаются. Однакосреднее значение энергии за период колебания для всех частиц одинаково исоставляет:
eср =/>.
Рассчитаем энергию волны для некоторого объема DV среды, в которой она распространяется.
/>
Если в единице объема среды содержится N частиц, то r = Nm —плотность среды и среднеезначение энергии волны в объеме DVбудет:
Еср =/> (19)
где /> — объемная плотность энергии волны.
Величина, численно равная средней энергии Еср, переносимой волной в единицувремени t через заданнуюповерхность S, перпендикулярную направлениюраспространения волны, называется потоком энергии через эту поверхность:
Ф = /> (20)
и измеряется в единицах мощности — Вт.
Поток энергии, приходящийся на единицу поверхности,называется плотностью потока энергии:
/> (21)
и измеряется в Вт/м2. Плотность потока энергии называют такжеинтенсивностью волны.
В векторной форме:
/>. (22)
Плотность потока энергии, переносимого волной, можно рассматриватькак вектор, совпадающий по направлению с вектором скорости волны.
Вектор />, показывающий направлениераспространения волны и равный потоку энергии, проходящему через единичнуюплощадку, перпендикулярную этому направлению, называют вектором Умова:
/>. (23)
Вектор Умова для упругой волны зависит от плотности среды,квадрата амплитуды колебания частиц, квадрата частоты колебаний и скоростираспространения волны.
Николай Алексеевич Умов (1846-1915) является исследователемпотока энергии. Идеи о движении энергии были изложены в его диссертации«Уравнения движения энергии в телах», защищенной им в 1874 году нафизико-математическом факультете Московского университета. И только черездесять лет к таким же выводам о движении энергии пришел английский физикПойнтинг. Имя Умова вошло в историю физики.
Список использованныхисточников
1. Биофизика: Учебник / Тарусов Б. Н.,Антонов В. Ф., Бурлакова Е. В. и др. – М.: Высшая школа, 1968. – 464 с.
2. Аккерман Ю. Биофизика: Учебник. – М.:Мир, 1964. – 684 с.
3. Ремизов А. Н. Медицинская ибиологическая физика: Учеб. для мед. спец. Вузов. – М.: Высшая школа, 1999. –616 с.
4. Лекционные демонстрации по физике./Грабовский М. А., Молодзеевский А. Б., Телеснин Р. В. и др. – М.: Наука, 1972.– 639 с.
5. Ливенцев Н. М. Курс физики: Учеб. длявузов. В 2-х т. – М.: Высшая школа, 1978. – т. 1. — 336 с., т. 2. — 333 с.
6. Волькенштейн М. В. Общая биофизика:Монография — М.: Наука, 1978. – 599 с.