Лекции по физикеВ.И.Бабецкого
(II курс факультета«Прикладная математика и физика» МАИ) 1999г.
1
Электромагнитное взаимодействие
Мир состоит из взаимодействующихчастиц. Всё, что мы видим, построено из элементарных частиц, есть такиекирпичики мироздания. На макроскопическом уровне много взаимодействий, на самомделе, в основании всего лежит четыре типа фундаментальных взаимодействий. Они называются:
1) сильное,
2) электромагнитное,
3) слабое,
4) гравитационное.
Ониперечислены в порядке убывания силы взаимодействия.
Сильное взаимодействие определяетструктуру атомных ядер и более глубокие структуры. Следующее — электромагнитное взаимодействие. Оно послабее на двапорядка сильного. Сильное взаимодействие проявляется на малых расстояниях, см,электромагнитное взаимодействие проявляется на любых расстояниях. Далее идётслабое взаимодействие, вообще, играющее незаметную роль на макроскопическомуровне. И, наконец, самое слабое гравитационное взаимодействие, примерно насорок порядков слабее электромагнитного. Но почему именно гравитационноевзаимодействие мы ощущаем более часто, например, вы хотите подпрыгнуть, а вастянет вниз. Это происходит за счёт того, что в нём участвуют все частицы.
Этивзаимодействия характерны тем, что в них участвуют определённые частицы,частицы, обладающие определёнными свойствами.
На макроскопическом уровнеэлектромагнитное взаимодействие самое важное, вот то, что мы видим на Земле — это всё электромагнитное взаимодействие.Электрический заряд
Частицы,участвующие в электромагнитном взаимодействии, обладают специальным свойством — электрическим зарядом. Что такоеэлектрический заряд? Первичное понятие. Нельзя его описать в других болеепонятных терминах. Электрический заряд — неотъемлемое свойство элементарнойчастицы. Если есть частица, обладающая электрическим зарядом, например, электрон,всем вам известный электрон, лишить его этого свойства невозможно. Электронобладает и другими свойствами: массой, спином, магнитным моментом. Имеютсячастицы и не обладающие этим свойством. Если частица не участвует вэлектромагнитном взаимодействии (а как это определить? берём частицу, находимдействующую на неё силу, есть книжки, в которых дано руководство для дальнейшихдействий), итак, если частица не участвует в электромагнитном взаимодействии,то она не обладает электрическим зарядом.
Заряды всех тел кратны величине е.Можно было бы принять е=1, но в силуряда причин, в частности, по исторической причине, е выражается таким числом.
Есть такие частицы — кварки, зарядкоторых дробный: и т.д. То,что их заряд дробный не противоречит тому, что я сказал, так как кваркисамостоятельно не наблюдаются. Считается, что нельзя выделить кварки индивидуально,чтобы получить частицу с дробным зарядом. Чтобы было более понятно, я приведутакой пример. Имеем намагниченную спицу с южным и северным полюсом, они ведутсебя, как точечные источники тока, но, сломав спицу пополам, на одном концеостаётся южный полюс, а на другом выскакивает северный. Так и при делениикварков, они делятся, но появляются новые кварки, а не их половинки.
Заряды бывают двух знаков: “+”и “–“. Какпонимать отрицательный и положительный знак? Можно было бы назвать их другимисимволами, но которые входят в математические понятия, потому что математика — базовая наука. Электромагнитное поле
Ещё раз повторю, мир состоит извзаимодействующих частиц, но частицы не взаимодействуют друг с другом. Этотвопрос занимал ещё Ньютона. Он считал, что сама идея взаимодействия черезпустое пространство это абсурд. Нынешняя физика так же отвергает взаимодействиечерез пустое пространство. Например, откуда Земля «знает», что где-тоот неё на расстоянии 150 млн. км находится Солнце, к которому она должнапритягиваться? Поле является переносчиком взаимодействия, в частности,переносчиком электромагнитных взаимодействий является электромагнитное поле.Что такое поле? опять таки первичное понятие, невозможно его выразить болеепростыми словами. Надо понимать так: имеем частицу заряженную, однуединственную, и то, что создаёт частица в пространстве, это и естьэлектромагнитное поле. Некоторые формы этого электромагнитного поля мы видим,свет есть проявление электромагнитного поля. Другая заряженная частицапогружена в это поле и взаимодействует с этим полем там, где она находится.Таким образом, решена проблема взаимодействия. Электромагнитное поле — этопереносчик электромагнитного взаимодействия.
Опять таки, поле мы не можем описатьобычными словами. Вот стол, он деревянный, коричневый и т.д., его можно описатьбесконечно большим набором свойств. Электромагнитное поле гораздо более простаявещь. Движение частицы, находящейся в электромагнитном поле, описываетсяследующим уравнением.
Второйзакон Ньютона:
Заряженная частица, обладающая зарядом q, движется в электромагнитном полесогласно этому уравнению. Видим, что сила, действующая на частицу со стороныэлектромагнитного поля, определяется двумя векторными полями: называется напряжённостью электрического поля, поле — индукция магнитного поля. Почему они так называются, нам сейчасневажно, это термины. Почему они разделены? Потому что влияние их на частицуразличны. Поле не содержитникаких характеристик частицы кроме заряда. Если v= 0, то второе слагаемое вылетает. Этоозначает, что магнитное поле действует только на движущиеся частицы. Неподвижныезаряды не чувствуют магнитного поля.
Когда говорится о функцияхкоординат, имеется в виду, что мы находимся в некоторой инерциальной системе.Если заряд движется, то в другой инерциальной системе он будет покоиться. Этоозначает, что, если в одной инерциальной системе отсчёта существует только
Какзадать поле в этом помещении? Помещаем пробный заряд, измеряем силу, делим на q, получаем Уравнения поля
Могу ли я конкретно, физическисоорудить поле? Ответ, вообще говоря, нет. Не всякое векторное поле можетпредставлять реальное электрическое поле представляетмагнитное поле
Электромагнитное поле создаётсязаряженными частицами, или, иначе говоря, заряженные частицы являютсяисточниками электромагнитного поля.
Основная задача теории:
предъявленораспределение заряженных частиц, и мы должны найти поле, которое создаётся этими частицами.
Вопрос: какможно описать распределение частиц, как предъявить распределение зарядов?Кстати, никакие другие свойства кроме заряда не важны. Можно взять какую-точастицу, измерить её заряд и повесить на неё бирку, и так со всеми частицами.Но технически это сделать невозможно.
Вот имеем некоторую системукоординат. В точке с радиус-вектором выбираем некоторыйэлемент объёма DVi, определяем заряд этого элементаобъёма. Пусть внутри этого элемента объёма находится заряд Dqi. Теперь определяем такуювеличину: стремится к некоторомупределу. Считается, что элемент объёма очень мал, но число частиц в нём велико,такова реальность.
Определённаявыше функция плотностьюзаряда. Понятно, что всё распределение заряда описывается функцией находится точечный заряд,то тогда и вычисляем такуювеличину: — плотность тока. Кстати, в механике аналогичная величина — плотностьимпульса. Вместо заряда возьмём массу, получим суммарный импульс, еслиразделить его на объём, получим плотность импульса.
Источники электромагнитного поляполностью характеризуются скалярной функцией и векторной функцией Вот я уже говорил там о цветочках всаду, птички летают… с точки зрения электродинамики система должна быть описанафункциями rи Полевые уравнения
Всёэлектричество сидит в этих уравнениях. Они, на самом деле, симметричны икрасивы. Эти уравнения постулируются, они лежат в основе теории. Это фундаментальныеуравнения теории. Вот, кстати, интересно. Теория существует неизменно ссемидесятых годов XIX века по сей день, и никаких поправок! Ньютоновская теорияне выдержала, а электродинамика стоит около 1,5 века, работает на расстоянии м и никакихотклонений.
Для расшифровки этих уравненийпотребуются некоторые математические конструкции.
2
Поток вектора.
Заданонекоторое поле , в какой-то точке пространства задан вектор . В окрестности этой точкивыбираемплощадку dS, площадку ориентированную,её ориентация характеризуется вектором называется поток вектора через площадку dS.При этом площадка настолько мала, что вектор можетсчитаться в пределах этой площадки постоянным.
Теперьситуация другая. Рассмотрим некоторый кусок поверхности. Эту поверхностьразбиваем на элементы. Вот, например, выделенный элемент подномером i, егоплощадь DSi, егонормаль элементам поверхностиобразует такую сумму: а теперьпредел обозначается так:
Ну,это стандартный опять приём: интеграл есть предел суммы по определению, пределэтой суммы называется поток вектора через поверхность S.
Так, если дует ветер, вкаждой точке некоторой поверхности определён вектор скорости, тогда потоквектора скорости по этой поверхности — будет объём воздуха, проходящего черезповерхность за единицу времени. Если векторное поле не полескоростей, а нечто другое, то ничего там не течёт. Это есть некий термин, и ненадо понимать его буквально.
Еслиповерхность замкнута, то разобьём её на маленькие элементы. Но берётсяограничение: вектор нормали выбирается наружу (выбор нормали влияет на знак).Если поверхность замкнута, то нормаль берётся наружу, а соответствующий интегралснабжается кружочком. Это, что касается термина поток.
Если — поле скоростей,то скалярное произведение отрицательно (см.рис.2.2 цифра 1), это газ или воздух,втекающий в поверхность. А берём площадку 2,здесь поток положительный, это воздух, вытекающий из поверхности. Если мывычислим такую штуку для потока скоростиветра через замкнутую поверхность, (это будет разность воздуха втекающего и вытекающего)и, если течение стационарное, то есть скорость со временем не меняется, тотакой интеграл будет равен нулю, хотя и не всегда.
Если взять означает, что массавтекающего воздуха равна массе вытекающего.
Циркуляция потока.
Линии,вдоль которых направлено поле, называются силовыми линиями, а для любого векторногополя они носят название интегральных кривых. Рассмотрим некоторую кривую . Последовательно разбиваем кривую на элементы, вот одинэлемент, я выделяю его, маленький вектор , берём скалярное произведение, получаем число исуммируем по всем элементам[1]. В пределеполучаем некоторое число: , котороеобозначаем
Берёмзамкнутую кривую (интеграл тогдабудет снабжён кружочком), задаёмпроизвольнонаправление, — это некоторое число,зависящее от вектора и , называется циркуляциейвектора по замкнутому контуру.
Если дует ветер, то циркуляция по замкнутомуконтуру, не всегда правда, равна нулю. А если возьмём вихрь, то циркуляциязаведомо не равна нулю.
Статическоеэлектромагнитное поле (электростатика)
Впрошлый раз я нарисовал четыре уравнения. Начнём их жевать потихоньку. Исделаем упрощения. Прежде всего, положим от чего? От всего, тоесть ничего со временем не меняется.
Особенность физики в чём состоит? Не в предмете!Все науки имеют свой предмет рассмотрения, биология — наука изучающая жизнь наЗемле и т.д. Физика отличается взглядом на мир. С точки зрения электричества онхарактеризуется двумя векторными полями, кстати, если задать эти штуки,например, дать описание зарядов в этой аудитории, то мы сможем восстановить всюту картинку, которую вы сейчас наблюдаете.
Итак, И второе
В каждойточке пространства ничего не меняется, и все заряды неподвижны, то есть всезаряды прибиты просто гвоздями. Тогда уравнения принимают вид:
Вот при такой подстановке и наши четырефундаментальные уравнения принимают такой вид.
Третье уравнение означает, что поток вектора через любуюзамкнутую поверхность равен нулю, четвёртое — циркуляция вектора по любому замкнутомуконтуру равна нолю. Из этих двух уравнений следует, что. Это не очевидно, но мы ещё до этого доберёмся.Магнитное поле отсутствует. В статическом электромагнитном поле отсутствуетмагнитное поле, а электрическое описывается двумя уравнениями. В этихуравнениях сидят все свойства электростатического поля, то есть ничего большене надо. И мы эти свойства сейчас извлечём.Общие свойства электростатического поля
Прежде всего, что означают эти уравнения? Первоеуравнение утверждает, что, если мы возьмём некоторую замкнутую поверхность S, V- объём этой поверхности, разбиваем поверхность на элементы, определяем впределах каждого элемента напряжённость поля и вычисляем такую вещь
(поток вектора напряжённости череззамкнутую поверхность) =
Таким образом, поток вектора через любую замкнутуюповерхность равен заряду внутри этой поверхности.
Например, стены, пол,потолок — это замкнутая поверхность. Можем сосчитать поток через эту замкнутуюповерхность и получим число, и, если это число отлично от нуля, то этоозначает, что здесь находится заряд. Электромагнитное взаимодействие оченьсильное, и в силу этого мы имеем нейтральное вещество. Ноль получим. Это неозначает, что здесь нет электрических полей, но заряда нет.
Берёмзамкнутый контур, вычисляем циркуляцию. Второе уравнение утверждает, что, какойбы контур мы не взяли, циркуляция равна нулю. Отсюда следует, что силовые линииэлектромагнитного поля не могут быть замкнутыми. Мы могли бы взять контур,совпадающий с этой линией, скалярное произведение
q>0.
Еслинаоборот, силовые линии входят в область, эту область окружаем поверхностью,тогда интеграл отрицательный. Нормаль направлена наружу, в первом случае произведение
Можносказать, что силовые линии электростатического поля начинаются на положительныхзарядах и заканчиваются на отрицательных или уходят в бесконечность, но неможет быть так, чтобы линия замкнулась на себя. Для магнитного поля, мы увидимдальше, что силовые линии всегда замкнуты, в отличие от электростатических, которые никогдане замкнуты.Потенциал
Вот такоематематическое утверждение:
Вы, вот, словами должны читать сами формулы. Кстати,физику можно излагать без слов, так же, как математику. Из того, что циркуляциядля любого контура равна нулю, следует, что векторное поле может быть выраженочерез некоторую функцию от поля jможно поставить всоответствие векторное поле вот по такому рецепту.Это векторное поле называется градиентом скалярного поля j.
Смысл векторного поля. — это вектор,направление вектора это направление, вкотором функция j меняется наиболее быстро. Направление вектора это направлениебыстрейшего изменения функции j, а величина вектора характеризует скорость изменения функцииjв этом направлении. Ну, скорость по отношению кпространственному перемещению.
Температура, заведомо скалярная величина. В даннойточке сунули термометр, он что-то показал, сунули в другую, он покажет другуютемпературу. А теперь, градиент от этого скалярного поля. Температура в даннойточке такая, сместились в эту сторону на метр — другая температура, и так вовсе стороны, где температура выше, туда будет направлен её градиент , а величина этого вектора
Другой пример — плотность. Имеем стационарнуюатмосферу. Направление градиента плотности воздуха будет по вертикали и именносверху вниз (вниз плотность будет возрастать).
Вот смысл градиента.
Это следствие чисто математическое,это можно доказать. Что физически означает уравнение Какую физическуюинтерпретацию можем ему дать?
Рассмотрим некоторую кривую с направлением. Вот имеемэлектрическое поле:
Возьмём точечный заряд q и будем перемещать заряд по заданнойкривой из точки (1) в точку (2). Поскольку на заряд действует сила со стороныэлектрического поля, работа электрического поля при перемещении заряда вдолькривой равна:
Работа по перемещению зарядапо замкнутому контуру равна нулю.
Это означает другое: что работа по перемещению заряда из точки (1) в точку (2) не зависит отпути перемещения.
Это, может быть, не очень очевидно. Вот я перешёл понекоторому пути из (1) в (2), поле совершило некоторую работу, кстати, этаработа положительна. Положу рельсы из точки (1) в точку (2). Поставлю на нихвагончик от игрушечной железной дороги, помещу в вагончик заряд, и этотвагончик поедет, (избыток кинетической энергии перейдёт во внутреннюю). В точке(2) перевожу стрелки и пускаю вагончик по другому пути. Так вагончик будетездить, к нему можно приделать вертушку… но известно, что циркуляция ноль, и построить вечного двигателя нельзя.
А теперь мы имеем такой математический результат: потенциалом электрическогополя.
Не всякое векторное поле можнополучить как градиент потенциала. Электростатическое поле представляется однойскалярной функцией координат, а не тремя, как можно было бы думать по еговекторному характеру. Задать одну функцию координат – и получим картинуэлектрического поля.
Какой физический смысл этогоскалярного поля?
(*)
А теперьзаймёмся тем, что у нас стоит под интегралом. , вектор — это есть: , а вся подынтегральная конструкция есть полныйдифференциал.
Тогда,возвращаясь к формуле (*), мы пишем:
Мыпридём из точки (1) в точку (2), суммируя изменение потенциала. Мораль такая:вот у нас начальная точка j(
Теперь мы имеем два описания электростатического поля.Либо мы задаём напряжённость , либо мы задаём в каждой точке потенциал j. Слова «разностьпотенциалов» вы должны понимать буквально – это разность. Вот синоним разностипотенциалов, который употребляется в электротехнике, — напряжение. Этоозначает, что многие из вас склонные употреблять слова «напряжение в цепи» не знали их значения. Это синоним разностипотенциалов.
Что означают слова, что напряжение городской сети220 вольт? Вот есть две дырки (разность потенциалов между дырками 220V), есливы вырвете заряд из одной и будете с ним ходить, а потом вернёте его в другуюдырку, то работа поля будет равна
3
Там, где унас было напряжение и разность потенциалов, добавьте такую формулу:
Вот точка
О чём речь? В чём рецепт? Если вам надо найти разностьпотенциалов между одной точкой и другой, когда напряжённость поля во всёмпространстве задана (вектор напряжённости поля), рецепт: соедините точку 1 сточкой 2 кривой и вычислите вот такойинтеграл его можно всегда выбирать наиболее разумнымспособом.
Ну, к примеру, что значит разумная выборка? Вот допустим у вассиловые линии поля вот такие радиальные кривые:
И вам надо найти потенциал вот точка 1 ну, а,допустим, вот точка 2. Как выбрать кривую, идущую из 1 в 2? Первая мысль,конечно, взять её вот так: провести по линейке, по ней вычислять. Мысль,конечно, быстрая, но не очень правильная, потому что во всех точках этой кривойвектор переменный и направлен ещё под углом к прямой, и угол ещё меняется –взять интеграл сложно. Зато, через точку 2 проведёте сферу и путь такой: вдольрадиуса – раз, и потом вот по этой дуге – два. Вот разумный выбор кривой.Почему? Потому что вот на этой ветке вектор всюду параллеленпрямой, интеграл немедленно сводится просто к обыкновенному интегралу, а вот наэтой ветке вектор всюдуперпендикулярен кривой, и она никакого вклада не делает. Вот разумный выборкривой для нахождения разности потенциалов.
Ну, это в качестве примера. Если представлять себеконкретный вид поля, то такая кривая легко находиться, учитывая, что у вас поляпроизвольной конфигурации, сложной, не будут попадаться, ну, вот здесь у нас впроцессе занятия электродинамикой. Ну, конечно, если задано какое-нибудь такое,очень произвольное, поле, то там нет возможности выбирать кривую специальным образом,ну и тогда надо там линейку приложить, но это математическая проблема, можнопосчитать. Так, ладно, всё. Следующий пункт.
Поля, создаваемые распределениями зарядов с хорошейсимметрией
Ну и сразу такое определение:при достаточно хорошей симметрии напряжённость поля можетбыть найдена из уравнения
1) Центральная (сферическая) симметрия.Пустьплотность заряда есть означает, чтоплотность на любой сфере радиуса r– константа, какая-то там плотность, ну, и отличнаяот нуля, на любой сфере она постоянна. Это означает, что распределение обладаетсферической симметрией, и создаваемое им поле будет также обладать сферическойсимметрией. Отсюда следует, что (потенциал как функцияточки) это есть эквипотенциальныеповерхности – сферы с центром в начале координат, то есть вот на любойсфере потенциал – константа.Отсюда далее следует, что силовые линии поля, которые являются всегдаортогональными к эквипотенциальным поверхностям, силовые линии поля – вот такиерадиальные лучи:
Толькосила соображения симметрии очень часто позволяет делать выводы безотносительнок конкретному предмету разговора.
в направлении радиус-вектора.Всё. Пишем дальше эту формулу (поверхность)можем брать любой, равенство от этого не зависит, ноудобно взять во всех точках сферыодно и тоже, выносим за знак интеграла: (вот это всё быламатематика, она к физике никакого отношения пока не имела, а физика – этоследующее равенство), эта величина должна равняться интегралу от плотностизаряда по объёму сферы, по которой вычисляется поток (интеграл от плотности пообъёму это есть полный заряд внутри сферы): – заряд внутри сферырадиуса равна:
где — единичный векторнормали к сфере. Эта формула, одна единственная, добивает все задачи центральнойсимметрии. Проблема одна – найти заряд, который находится внутри данной сферы,ну, это не очень тяжёлая проблема.
Можем немножко продолжить это дело. Вследствие того,что на любой сфере интеграл по объёмуможно свести, в принципе, к однократному интегралу, интегрируя по шаровымслоям, ну, напишу тут без подробных комментариев объём шарового слоярадиуса толщиной стоит в верхнемпределе интеграла, ну тогда, чтоб не путать переменную интегрирования с верхнимпределом, там я вместо пишу предъявлена, то такойинтеграл вычисляется. Так, всё, с центральной симметрией конец. Второй случай.
2)Цилиндрическая симметрия.Вводим цилиндрические координаты есть только функция от и не зависит от и высото