МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
Исследование влияния линейных дефектов структуры на критическоеповедение трехмерной модели Гейзенберга
на степень бакалавра прикладных математики и физики
Направление 511600 — Прикладные математика и физика
Заведующий кафедрой:
профессор В.В. Прудников
Научный руководитель:
профессор В.В. Прудников
Омск — 2010
Оглавление
Введение
Глава 1. Фазовые переходы второго рода, компьютерноемоделирование критического поведения
1.1 Фазовые переходы второгорода. Критическое поведение
1.2 Влияние дефектов структуры на критическое поведение
1.3 Теоретическая модель и алгоритмы компьютерногомоделирования
1.3.1 Модель Гейзенберга
1.3.2 Алгоритм Вульфа
1.3.3 Метод коротковременной динамики
Глава 2. Результаты моделирования критического поведениятрехмерной модели Гейзенберга с линейными дефектами
2.1 Алгоритм Вульфа. Определение критической температуры
2.2 Метод коротковременной динамики. Уточнение критическойтемпературы. Расчет критических индексов
Заключение
Список литературы
/>/>Введение
Развитие вычислительных машин открыло новую областьтеоретической физики — компьютерное моделирование. Это позволяет исследоватьповедение различных физических систем, описание которых традиционным способомгромоздко или невозможно.
В настоящее время построенная теория упорядоченныхконденсированных сред существенно использует идеальность их структуры и неможет быть перенесена без существенных изменений на структурно неупорядоченныесистемы, к которым относятся: кристаллы с примесями, сплавы, аморфные тела идр. Реальные макроскопические системы всегда содержат дефекты структуры.Важнейшими из задач остаются разработка теоретических моделей для описанияповедения неупорядоченных систем и исследование их свойств экспериментальнымпутём.
В данной работе исследуется критическое поведениеферромагнетика с примесями немагнитных атомов в виде случайно распределенныхлиний, т.е. с дефектами, обладающими квазидальним порядком (корреляционнаяфункция распределения немагнитных атомов убывает по степенному закону G (r) ~ |r |-a с показателем a=2).
В работе [1] проведено теоретико-полевое исследованиекритического поведения трехмерных систем с дальней пространственной корреляциейдефектов. В ней показано, что дефекты, обладающие свойством дальнейпространственной корреляции, изменяют критическое поведение не только систем соднокомпонентным параметром порядка, но и систем с двухкомпонентным (XY-модель) и трехкомпонентным (Гейзенберговская модель)параметром порядка.
Данная работа посвящена моделированию критическогоповедения трехмерной модели Гейзенберга с линейными дефектами. Основной цельюставилась разработка алгоритмов Метрополиса и Вольфа для данной модели, а затемопределение критической температуры перехода в ферромагнитное состояние, ичисленное определение критических индексов характеризующих основные особенностиданных неупорядоченных систем.
/>Глава 1. Фазовые переходывторого рода, компьютерное моделирование критического поведения/> 1.1 Фазовые переходы второго рода. Критическоеповедение
Фазой называется физически однородная часть системы,отличающаяся своими физическими свойствами от других ее частей и отделённая отних четко выраженной границей [2]. Фазовый переход — это, соответственно,процесс перехода системы из одной фазы в другую. Различают фазовые переходы1-го и 2-го рода. Основной особенностью фазовых переходов второго рода являетсянепрерывное изменение при переходе плотности и внутренней энергии, внутренняяэнергия и плотность вещества — первые производные химического потенциала, но приэтом терпят разрыв теплоемкость и восприимчивость — вторые производныехимического потенциала. При фазовом переходе второго рода происходит резкоенарушение симметрии системы, т.е. из высоко симметричной фазы в области высокихтемператур, система при охлаждении переходит в фазу с низкой симметрией.
Для количественной характеристики фазовых переходов второгорода вводят понятие параметра порядка [2]. Параметром порядка называется любаямакроскопическая величина, зависящая от температуры следующим образом:
/>
где Tc — температура фазового перехода.
В точке фазового перехода аномально возрастают флуктуациипараметра порядка. Для выяснения характера флуктуаций вводят корреляционнуюфункцию флуктуаций параметра порядка G, и величину, называемую корреляционнойдлиной />.При приближении к критической точке корреляционная длина растет и в этой точкестановится бесконечной. Крупномасштабные флуктуации приводят к сингулярностям внаблюдаемых макроскопических характеристиках системы.
Для характеристики макроскопических параметров системы,терпящих разрыв при температуре T= Tc, вводят понятиекритических индексов, описывающих поведение величин вблизи критической точки[3]. Дадим общее определение критического показателя, описывающего поведениенекоторой функции f (t) вблизикритической точки.
/>
Здесь t — безразмерная переменная, измеряющая степень удаления температуры откритической. Предположим, что функция f (t)положительна и непрерывна для достаточно малых положительных значений, а также,что существует предел:
/>
Этот предел, обозначенный буквой l, получил названиекритическогопоказателя степени (или просто критического показателя), связанного сфункцией f (t). Длякраткости можно писать />, чтобы подчеркнуть тот факт, что l критический показатель функции f(t). Критический показатель,конечно, дает значительно меньшую информацию, чем вид полной функции, но вблизикритической точки поведение функции, имеющей вид многочлена, определяют главнымобразом ее ведущие члены. Поэтому логарифмические кривые, полученные изэксперимента при температурах, достаточно близких к критической точке, имеютвид прямых, и критический показатель легко найти из наклона этих прямых. Такимобразом, критические показатели всегда измеримы, чего нельзя сказать о полнойфункции. Вторая причина такого внимания к критическим показателям заключается втом, что имеется большое число соотношений между критическими показателями,которые выводятся из общих термодинамических и статистических положений, ипоэтому справедливы для любой частной системы. Существует простая однозначнаясвязь между критическим показателем и качественным поведением рассматриваемойфункции вблизи критической точки t=0.Если критический показатель lотрицателен, то соответствующая функция f (t) вблизи критической точки расходится к бесконечности; положительныеже значения l соответствуют функции f (t), обращающейся в этой точке внуль. Чем меньше l, тем “резче”поведение f (t) в томсмысле, что для отрицательных lрасходимость становится сильнее, а для положительных l кривая идет к нулю более круто.
Итак, для характеристики макроскопических параметров системывводятся:
критический индекс />, характеризующий поведениетеплоемкости вблизи критической температуры:
/>
индекс />, дляпараметра порядка
/>
индексы />, характеризующие поведениевосприимчивости:
/>
индексы ν для характеристики корреляционной длины:
/>
индекс /> для корреляционной функции:
/>
где D — размерность системы.
Можно ввести динамический критический индекс />для описания поведениявремени корреляций:
/>
В действительности, не все перечисленные выше критическиеиндексы являются независимыми. Между ними существуют следующие простыесоотношения:
/>
/>
/>
Таким образом, чтобы полностью описать критической поведениесистемы в равновесии, достаточно вычислить лишь какие-либо два статическихкритических индекса, а оставшиеся легко выражаются через них. Для описаниядинамики системы необходимо знать индекс z.
гейзенберг фазовый переход критический
/>1.2 Влияние дефектовструктуры на критическое поведение
Реальные макроскопические системы всегда содержат дефектыструктуры, например, в ферромагнитном кристалле часть ячеек может быть занятаатомами, имеющими нулевой магнитный момент. Если концентрация этих атомовпревышает определенную величину, ферромагнетизм полностью подавляется. Другимпримером служит ситуация, когда в решетке существуют дефекты, приводящие кслучайно распределенным выделенным направлениям ориентации спинов. Несмотря наэто, вплоть до сравнительно недавнего времени объектами теории твердых тел былив основном свойства идеальных кристаллических систем, описание которыхупрощалось благодаря симметрии решетки относительно трансляций и преобразованийсоответствующей точечной группы симметрии (вращений, отражений, инверсии).Построенная теория упорядоченных конденсированных сред существенно используетидеальность их структуры и не может быть перенесена без существенных измененийна неупорядоченные системы, к которым относятся: кристаллы с примесями, сплавы,аморфные тела и др.
Современная теория классифицирует примеси в зависимости отих распределения на расплавленные и замороженные. Примеси называютрасплавленными, если они находятся в термодинамическом равновесии с исходнымвеществом. Примеси называют замороженными, если их можно рассматривать какфиксированные в некоторых положениях с распределением, обусловленным способомих внедрения в исходное вещество.
Рассмотрим влияние примесей на критическое поведение.Пусть в систему, находящуюся вблизи критической точки, ввели несколькопримесей, включив тем самым малое возмущение. Отклик системы на это возмущениеотражается на поведении восприимчивости и корреляционных функций. Вблизи критическойточки некоторые из этих величин велики и представляют собой сингулярные функциитемпературы. Следовательно, малое количество примесей может привести к большимэффектам вблизи критической точки, тем самым изменяя критическое поведениесистемы. Корреляционная длина, описывающая упорядоченность спинов, начинаетзависеть от нового параметра — среднего расстояния между примесями, она как бырассеивается на дефектах. В результате фазовый переход 2-го рода размывается.
Узнать, влияет ли беспорядок на критическое поведение,помогает критерий Харриса. Так, в случае беспорядка с короткой пространственнойкорреляцией критическое поведение изменяется, если соответствующий чистойсистеме критический индекс αpure, характеризующий поведениетеплоемкости, не отрицателен, т.е. αpure ≥ 0. Этоткритерий выполняется только для изинговских систем, с одной спиновой степеньюсвободы. Точечные дефекты не оказывают влияния на критическое поведениемногокомпонентных систем.
В случае беспорядка с квазидальней пространственнойкорреляцией, задаваемой корреляционной функцией g (x) ~ |x|-a, справедлив расширенный критерий Харриса — беспорядоквлияет, если выполнено условие:
2/a > ν pure.
Когда атомы примеси образуют линейные дефекты, параметркорреляции дефектов a=2. В результате, длясистем с линейными дефектами этот критерий выполняется для многокомпонентныхсистем — XY-модели и модели Гейзенберга. Следовательно,для определения характеристик критического поведения трехмерной моделиГейзенберга с линейными дефектами требуются дополнительные исследования.
1.3 Теоретическая модель и алгоритмы компьютерногомоделирования/> 1.3.1 Модель Гейзенберга
В данной работе рассматривалась система с гамильтонианомвида:
/>
где сумма берется по всем ближайшим соседям. Спины имеют тристепени свободы.
Рассматривалась простая кубическая решетка линейныхразмеров L с периодичными граничными условиями.
При моделировании мы пользовались следующим методом,позволяющим создавать систему с дальнодействующими корреляциями дефектов: иззаполненной трехмерной решетки «вычеркиваются» линии, параллельныеосям координат, до достижения заданной концентрации примесей p.Чтобы кристалл был изотропен число вычеркнутых линий в каждом направленииравно. Кроме того налагается условие непересекаемости этих линий, что позволяетгарантировать существование в системе единого протекающего спинового кластера (приконцентрации спинов (1-p) >pcвыше порога спиновой перколяции). Это в свою очередь приводит к удалению «шума»от спинов кластеров конечного размера не дающих вклада в магнитныехарактеристики кристалла. 1.3.2 Алгоритм Вульфа
Традиционное моделирование систем взаимодействующих частиц методомМонте-Карло [4] для изучения их критического поведения наталкивается натрудности [5], связанные в основном с явлением критического замедления, потомучто время корреляции, как и время релаксации, ведут себя />, где />. Т.е. в окрестностикритической точки времена релаксации и корреляции возрастают, что приводит ксущественному увеличению машинного времени, необходимого на расчет интересующихнас величин.
Поэтому моделирование системы проводилось в два этапа. Напервом этапе использовался кластерный алгоритм Вольфа, для определениякритической температуры, а затем в ее вблизи исследовалась коротковременнаядинамика системы.
В работе использовался модифицированный для трехмернойсистемы кластерный алгоритм Вульфа [6].
1) Выбирается случайный единичный вектор />
2) Случайным образом выбираются координаты центрального спина />
3) Выбранный спин зеркально отражается в плоскости перпендикулярнойнаправлению />:/>
4) Рассматриваются все соседи данного спина. Спин считается сонаправленным,если он лежат по одну сторону от плоскости перпендикулярной направлению /> с вектором />. Т.е. если
/>
5) Такой спин переворачивается (включается в кластер) с вероятностью
/>.
6) Если спин перевернут, то аналогичным образом рассматриваются его соседи.Иначе переходим к следующему.
7) На один шаг моделирования может приходиться несколько переворотовкластера.
Алгоритм Вольфа позволяет значительно уменьшить эффектыкритического замедления времени релаксации системы.
Для нахождения критической температуры в данной работерассматривались кумулянты Биндера четвертого порядка. Выражение для кумулянтаможно представить в виде:
/>
Где скобки означают статистическое усреднение, аскобки […] — усреднение по различным примесным конфигурациям. Кумулянт U (L,T)имеет важную для описания поведения конечных систем скейлинговую форму:
/>.
Кумулянт определен так, что 0 £ U £ 1. Приэтом для температур выше Tc U (L,T) ®0 в пределе L ® ¥. Данная скейлинговая зависимость кумулянта позволяетопределить критическую температуру Tc (L=¥) для бесконечной системы через координату точкипересечения кривых, задающих температурную зависимость U (L,T) для различных L.Более того, легко показать, что в критической области при T® Tc
/>
и, следовательно, по максимальному наклону кумулянтоввблизи точки их пересечения при L®¥можно определить значение критического индекса n,характеризующего температурную расходимость корреляционной длины при T ® Tc.
Применение кумулянтов позволяет хорошо тестировать типфазового перехода в системе. Так, в случае фазовых переходов второго родакривые температурной зависимости кумулянтов имеют ярко выраженную зависимостьот L и некоторую область (треугольник) пересечения, близкую к точке. В случаефазового перехода первого рода кривые кумулянтов имеют специфический вид безвзаимного пересечения, практически отсутствует их зависимость от размерамоделируемой системы, а кумулянты в некоторой области температур принимаютотрицательные значения.1.3.3 Метод коротковременной динамики
Традиционно полагалось, что универсальное поведение существует тольков равновесии. Однако недавние исследования в критической динамике для многихстатических моделей показали, что универсальность также появляется в пределахмикроскопического масштаба времени />. Исследование методакоротковременной динамики не только показало существование универсальногодинамического поведения в пределах коротковременного периода, но также далоочень эффективный метод определения критических индексов [7]. Т.о. мы можемоценивать не только динамический критический показатель />, но также и статическиекритические индексы /> и />. Что более важно, результатынаходятся в хорошем соответствии с полученными результатами традиционнымиметодами, выполненными в равновесии.
Аналогично измерениям критических индексов определение критическихтемператур также трудно в равновесии из-за критического замедления. Методомкоротковременной динамики критическая температура может быть также получена изповедения намагниченности в критической области.
Главным образом из-за большой длины корреляции в равновесном состояниисуществует динамическая скейлинговая форма, имеющая силу не только вравновесии, но также в раннем периоде развития критической системы, еслисистема изначально имеет температуру выше критической, а также маленькуюнамагниченность. Т.о. после микроскопического времени /> существует скейлинговая форма. Вобщем случае для /> момента намагниченности:
/>.
Здесь /> - произвольный фактор, /> - время, /> - новыйнезависимый критический параметр.
В ранней стадии развития системы длина корреляции мала, и эффектыконечности размеров почти отсутствуют. Выбирая фактор /> так, чтобы главная зависимость отвремени была отменена (т.е. />), в критической точке получим:
/>,
где /> - новый динамический индекс,который характеризует универсальность в коротковременной динамике и равен:
/>.
Отсюда видно, что в течении микроскопического времени />, намагниченностьподвергается начальному увеличению в критической точке и можно легко получитьзначения индекса />, основываясь на этой степеннойформе.
Аналогично, полагая />, в критической точке получимповедение второго момента намагниченности:
/>.
Для второго момента намагниченности можно ожидать, ввиду того, чтодлина корреляции мала в области ранней стадии развития системы />:
/>.
Вблизи критической температуры в поведении намагниченности возникаетдополнительный множитель — скейлинговая функция />, т.е. появляются исправление кпростому степенному закону, зависящие от />. Поэтому при моделированиисистемы при температуре вблизи критической получается поведение /> с несовершеннымстепенным поведением, и критическая температура /> может быть получена путеминтерполирования.
С другой стороны, можно также рассматривать динамические процессы, сначальным состоянием, в котором все спины направлены вверх. Моделированиеметодами Монте-Карло этих систем показало, что там также существует подобноескейлинговое выражение:
/>
При критической температуре и при />, получаем степенной закон длянамагниченности:
/>
Конечномерный скейлинговый анализ показывает, что поведениекумулянта Биндера определяется законом:
/>.
Т.о., появляется возможность измерять критические индексы иопределять критическую точку. Критическое замедление почти отсутствует, так какдлина корреляции еще маленькая (в течении времени, когда система еще недостигла равновесия). Метод коротковременной динамики может, кроме того,использоваться, как инструмент для отличия фазовых переходов первого рода отвторого, сравнивая критическую температуру, полученную от различных стартовыхсостояний.
/>Глава 2. Результатымоделирования критического поведения трехмерной модели Гейзенберга с линейнымидефектами2.1 Алгоритм Вульфа. Определение критическойтемпературы
В первой части данной работы использовался алгоритммоделирования Вольфа, с целью уменьшения влияния эффектов критическогозамедления времени релаксации системы на результаты моделирования. АлгоритмВольфа характеризуется тем, что на решетке произвольно выбирается спин,строится «физический» кластер, которому этот спин принадлежит, азатем весь построенный кластер переворачивается.
В самом начале вычислений термодинамических характеристикдля каждой примесной конфигурации все спины ориентировались в одном направлении(так называемый «холодный старт» — соответствует состоянию системыпри Т = 0). Затем чтобы получить конфигурацию спинов, характерную для даннойтемпературы, переворачивалось некоторое количество кластеров. Этот процессназывается термолизацией. В наших вычислениях термолизация составляла 200 шаговМонте-Карло. При этом Монте-Карло шагу соответствовало 5 переворотов кластераВольфа.
После этого усреднением по N=2000 шагов Монте-Карловычислялись кумулянты Биндера Результаты усреднялись по 15 — 20 различнымреализациям пространственного распределения линейных дефектов образце (примеснымконфигурациям). Концентрация спинов выбиралась равной 0.80.
На рис.1 показана температурная зависимость кумулянтов Биндерадля различных L. Для разбавленной системы кумулянтыпересеклись в области T = 1.20 — 1.21.
/>/>/>/> 2.2 Метод коротковременной динамики. Уточнениекритической температуры. Расчет критических индексов
Во второй части работы был реализован метод коротковременнойдинамики для уточнения критической температуры и вычисления критическихпоказателей. В начальном состоянии все спины были ориентированы в одномнаправлении, затем использовался алгоритм Метрополиса для нахождениязависимости намагниченности, её логарифмической производной по температуре икумулянта Биндера от времени. Все вышеуказанные величины усреднялись попримесным конфигурациям.
При моделировании рассматривалась динамика системы винтервале до 1000 шагов Монте-Карло на спин (МКС), около 80 различныхконфигураций примесей, для каждой конфигурации проводилось усреднение по 10прогонкам. Для модели с дальней пространственной корреляцией дефектовхарактерна сильные флуктуации результатов при малых размерах решетки (L~ 16 — 32). Поэтому в данной работе была предпринята попыткавыполнить моделирование для кубической решетки с линейным размером L=64.
/>/>
/>/>/>
При моделировании получилось, что наилучшим образомудовлетворяет степенному закону поведение намагниченности системы притемпературе T=1.245, хотя моделирование методом Вульфапоказало, что значение критической температуры должно лежать в пределах 1.20 — 1.21. Несоответствие критических температур, определенных этими двумя методамиможет быть объяснено недостаточной статистикой результатов и малыми размерамисистем, используемыми при методе кумулянтов Биндера.
В табл.1 представлены полученные в данной работе значениякритических индексов и критические индексы, полученные в работе [1]теоретико-полевыми методами.
Таблица 1.Критические индексы для модели Гейзенберга с линейно коррелированнымидефектами. Концентрация примесей 0.2Индекс Результат моделирования Теоретическое значение [1] z 2.46 0.12 2.26 β/ν 0.49 0.03 0.48 /> /> /> />
Найденные значения динамического и статических критическихиндексов, описывающие критическое поведение трехмерной Гейзенберговской-моделис линейными дефектами, в пределах погрешностей находятся в удовлетворительномсогласии с результатами теоретической работы Ошибка: источник перекрестнойссылки не найден. Следует отметить, недостаточное число примесных конфигурации,используемых в работе для усреднения и получения более достоверных значенийтермодинамических и корреляционных функций. Требуется провести дальнейшееуточнение результатов для данной модели. Тем не менее, результаты проведенныхисследований подтверждают факт влияния дальней пространственной корреляциидефектов на критическое поведение трехмерной Гейзенберговской модели (имеющейтрехкомпонентный параметр порядка).
/>Заключение
В данной работе методами компьютерного моделирования былоосуществлено исследование влияния эффектов дальней пространственной корреляциинемагнитных атомов примеси, распределенных в образцах в виде линейных дефектовструктуры, на критическое поведение трехмерной модели Гейзенберга стрехкомпонентным параметром порядка.
Основными результатами работы являются следующие:
1. Для трехмерной модели Гейзенберга были реализованы основные алгоритмымоделирования методом Монте-Карло — алгоритм Метрополиса и кластерный алгоритмВольфа.
2. В результате применения кластерного алгоритма Вольфа было проведеноисследование температурного поведения кумулянтов Биндера 4-го порядка длярешеток с размерами />. Температуры точек пересечениякумулянтов Биндера для данных решеток позволили определить критическуютемпературу /> фазовогоперехода в ферромагнитное состояние для трехмерной модели Гейзенберга слинейными дефектами со спиновой концентрацией />.
3. С помощью метода коротковременной динамики были исследованы зависимостинамагниченности, кумулянта Биндера 2-го порядка от времени для размера решетки /> была уточненакритическая температура системы (). Для трехмерной модели Гейзенберга слинейными дефектами со спиновой концентрацией /> из временных зависимостейуказанных выше величин были получены значения динамического и статическихкритических индексов: />, /> и />, соответственно.
Найденные значения динамического и статических критическихиндексов, описывающие критическое поведение трехмерной модели Гейзенберга слинейными дефектами, в пределах погрешностей находятся в удовлетворительномсогласии с результатами теоретической работы Ошибка: источник перекрестнойссылки не найден. Можно сделать вывод, что факт влияния дальнейпространственной корреляции дефектов на критическое поведение трехмерной моделиГейзенберга подтверждается.
/>Список литературы
1. V. V. Prudnikov, P. V. Prudnikov, A. A.Fedorenko Field-theory approach to critical behavior of systems with long-rangecorrelated defects.: Phys. Rev., 2000, v. B62№13.
2. Ландау Л.Д. Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М.:Наука, 1976.
3. Доценко В.С. УФН, 1995, т.165, № 5.
4. Гулд Х., Тобочник Я.К. «Компьютерное моделирование в физике» В2 ч.: Наука 1989
5. Kun Chen, Alan M. Ferrenberg, and D. P. Landau.Static critical behavior of three dimensional classical Heisenberg models: A high-resolution Monte Carlo study. Phys. Rev., 1993, v. B 48, p.3249-3256.
6. Grobe S. Pawing, Pinn K. Monte Carlo AlgorithmsFor Fully Frustrated XY Model. arXiv: cond-mat/9807137.
7. Zheng B. Monte Carlo simulations and numericalsolutions of short-time critical dynamics. arXiv: cond-mat/9910504.