ФедеральноеАгентство по Образованию ГОУ ВПО
Московскийгосударственный индустриальный университет
РЕФЕРАТ ПОФИЗИКЕ
ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГОДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Москва, 2010
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Теоретические основы
2. Методические рекомендации по решению задач
3. Классические примерырешения некоторых типовых задач
Заключение
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
Решение конкретныхфизических задач является необходимой практической основой при изучении курсафизики. Оно способствует приобщению студентов к самостоятельной творческойработе, учит анализировать изучаемые явления, выделять главные факторы,обуславливающие то или иное явление.
Основная цель практическихзанятий состоит в том, чтобы научить школьников и студентов самостоятельно использоватьфизические закономерности и математический аппарат при решении физических итехнических задач.
При подготовке кпрактическим занятиям по курсу общей физики студенты младших курсов техническихвузов сталкиваются со слабой методической базой при решении физических итехнических задач, с неумением выявлять условия применимости физических законови положений.
1. Теоретические основы
Момент силы
1. Момент силы /> относительно оси вращения />, (1.1) где /> – проекция силы /> на плоскость,перпендикулярную оси вращения, /> – плечосилы /> (кратчайшее расстояние отоси вращения до линии действия силы).
2. Момент силы /> относительно неподвижнойточки О (начала координат) />. (1.2)Определяется векторным произведением радиуса-вектора />, проведенного из точки О вточку приложения силы />, на эту силу; /> – псевдовектор, егонаправление совпадает с направлением поступательного движения правого винта приего вращении от /> к /> («правило буравчика»).Модуль момента силы />, (1.3) где /> – угол между векторами /> и />, /> – плечо силы, кратчайшеерасстояние между линией действия силы и точкой приложения силы.
Момент импульса
1. Момент импульсатела, вращающего относительно оси />, (1.4)где /> – момент инерции тела, /> – угловая скорость. Моментимпульса системы из /> тел естьвекторная сумма моментов импульсов всех тел системы: />. (1.5)
2. Момент импульсаматериальной точки с импульсом /> относительнонеподвижной точки О (начала координат) />.(1.6) Определяется векторным произведением радиуса-вектора />, проведенного из точки О вматериальную точку, на вектор импульса />;/> – псевдовектор, егонаправление совпадает с направлением поступательного движения правого винта приего вращении от /> к /> («правило буравчика»).Модуль вектора момента импульса />/>, (1.7) где /> – угол между векторами /> и />, /> – плечо вектора /> относительно точки О.
Момент инерции относительнооси вращения
1. Момент инерцииматериальной точки />, (1.8) где /> – масса точки, /> – расстояние её от осивращения.
2. Момент инерциидискретного твердого тела />, (1.9)где /> – элемент массы твердоготела; /> – расстояние этого элементаот оси вращения; /> – числоэлементов тела.
3. Момент инерции вслучае непрерывного распределения массы (сплошного твердого тела) />. (1.10) Если телооднородно, т.е. его плотность /> одинаковапо всему объему, то используется выражение />(1.11),где /> и /> объем тела.
4. Теорема Штейнера.Момент инерции тела /> любой осивращения равен моменту его инерции /> относительнопараллельной оси, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведениеммассы /> тела на квадрат расстояния/> между ними />. (1.12)
Основной закондинамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси
1. />, (1.13) где /> –момент силы, /> – момент инерции тела, /> – угловая скорость, /> – момент импульса.
2. В случаепостоянного момента инерции тела – />, (1.14)где /> угловое ускорение.
3. В случаепостоянных момента силы /> имомента инерции изменение момента импульса /> вращающегосятела, равно произведению среднего момента сил, действующего на тело на времядействия этого момента />.(1.15)
2.Методические рекомендации по решению задач
В задачах по курсу общейфизики обычно рассматривают вращение твердого тела лишь вокруг неподвижной осиили оси, перемещающейся в пространстве параллельно самой себе. В этом случаевсе векторные величины, характеризующие вращательное движение тела: /> направлены вдоль осивращения, что позволяет сразу переходить к алгебраической (скалярной) записисоответствующих уравнений. Некоторое направление вращения выбирается заположительное, используя, например, направление поступательного движенияправого винта (правило буравчика), когда вращение его головки совпадает снаправлением вращения твердого тела; естественно, перед величинами, векторакоторых антинаправлены положительному направлению, будут использованы знаки«минус». При ускоренном вращении тела знаки всех четырех величин совпадают; призамедленном движении две пары величин /> /> и /> имеют противоположныезнаки.
Момент силы />, действующей на тело, относительнооси вращения определяется по формуле (1.1, раздел 1.1).
Момент импульса /> тела,вращающегося относительно неподвижной оси, определяется по формуле (1.4). Дляопределения момента импульса материальной точки с импульсом /> относительно началакоординат используют выражение (1.6).
Для системы телиспользуют выражение /> (например,суммарный момент импульса гири массой />,прикрепленной на шнуре к вращающемуся маховику радиусом />, равен /> где /> момент импульсадвижущегося груза /> гири, />линейная скорость гири иточек цилиндрической поверхности маховика; /> моментимпульса, вращающегося с угловой скоростью /> иобладающего моментом инерции />,маховика).
Момент инерции тела зависит в общем случае от его массы,расположения массы в теле, размеров и формы тела и положения оси вращения.
Момент инерцииотносительно оси вращения:
а) материальной точки(см. формулу (1.8));
б)дискретного твердоготела (см. формулу (1.9));
в) сплошного твердоготела (см. формулу (1.10)).
В случае непрерывногораспределения массы тела (сплошное однородное твердое тело), тело делится набесконечно малые участки массы /> и,считая их за материальные точки, находятся моменты инерции этих участковотносительно оси вращения, а затем производится интегрирование.
Моменты инерции некоторыхтел правильной геометрической формы приведены в таблице 1.
Таблица 1Тело Ось, относительно которой определяется момент инерции Формула момента инерции
Однородный тонкий стержень массой /> и длиной />
Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно стержню.
Проходит через конец стержня перпендикулярно стержню.
1/12/>
1/3/>
Тонкое кольцо, обруч, труба радиусом /> и массой />, маховик радиусом /> и массой />, распределенной по ободу Проходит через центр перпендикулярно плоскости основания
/>
Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом /> и массой /> Проходит через центр диска перпендикулярно плоскости основания
1/2/>
Однородный шар массой /> и радиусом /> Проходит через центр шара
2/5/>
Диск массой /> и радиусом />, толщина которого много меньше его диаметра Относительно оси вращения, совпадающей с диаметром диска
1/4/>
Если ось вращения непроходит через центр масс тела, то момент инерции тела относительно этой осиможно определить по теореме Штейнера: момент инерции тела /> относительно произвольнойоси /> равен сумме моментовинерции этого тела /> относительно осивращения О1О2, проходящей через центр масс тела Спараллельно оси />, и произведениямассы тела на квадрат расстояния /> междуэтими осями (см. Рис. 1), т.е. />.
Момент инерции системыотдельных тел равен /> (например,момент инерции физического маятника равен />,где /> момент инерции стержня, накотором крепится диск с моментом инерции />).
Чаще всего при решениизадач основное уравнение динамики вращательного движения твердого телаотносительно неподвижной оси в случае постоянных момента силы /> и момента инерции /> используется в виде />, где изменение момента импульсавращающего тела равно произведению среднего момента сил, действующего на тело,на время действия этого момента.
В общем случае в моментсил могут входить: вращающий момент сил, момент сил трения, моменты силнатяжения нитей (при решении задач на блоки, через которые перекинута нить ит.д.). При решении задач на блоки необходимо обычно учитывать массу блока, и,следовательно, момент инерции блока, что приводит к тому, что силы натяжениянитей по обе стороны блока не будут одинаковыми и как следствие к появлениювращающего момента сил, равного разности моментов сил по обе стороны блока.
3. Классические примеры решения некоторых типовыхзадач
Пример 1
Чему равен момент инерции/> цилиндра с диаметромоснования />d и высотой Н относительно оси /> совпадающей с егообразующей? Плотность материала цилиндра />.
Дано:
d;
Н;
/>.
/> /> ?
/>
Рис. 2
Решение: Согласно теоремы Штейнера моментинерции цилиндра /> относительно оси/> равен сумме его моментаинерции /> относительно оси симметрии/>, проходящей через центрцилиндра С, и произведения массы цилиндра /> наквадрат расстояния /> между осями /> и />:
/>.(1)
Момент инерции цилиндра /> относительно оси /> определяется формулой />/>,где />, поэтому
/>/>.(2)
Массу цилиндра выразимчерез его плотность /> и объем />:
/>, где />,поэтому />; площадь основанияцилиндра /> и, следовательно,
/>.(3)
Расстояние между осями /> и /> />. (4)
Подставив (2), (3) и (4)в (1), получаем
/>/>+/>
Пример 2
Два маленьких шарикамассой />10 г каждый скрепленытонким невесомым стержнем длиной />20 см.Определить момент инерции /> системы,относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс.
Дано:
/>10 г/>10-2 кг;
/>20 см/>0,2м.
/>/>?
/>
Рис. 3
Решение: Общий момент инерции, проходящийчерез центр масс системы (точка С) равен сумме моментов инерции двухматериальных точек массой /> каждаяи вращающихся вокруг оси /> нарасстоянии />.
/> 2.10-4 кг/>м2.
Пример 3
Найти момент инерции /> плоской однороднойпрямоугольной пластины массой />800 готносительно оси, совпадающей с одной из её сторон, если длина другой стороныравна а/>30 см.
Дано:
/>800 г/>0,8кг;
а/>30 см/>0,3м.
/> ?
/>
Рис. 4
Решение: Найдем момент инерции пластиныотносительно оси />. Для этогоразобьем пластину на бесконечно малые участки массой /> (один из них выделен нарис. 4).
/>,(1)
где /> - поверхностная плотностьпластины;
/> - площадь пластины.
Так как участок массой /> можно считать материальнойточкой, то момент инерции этого участка относительно оси />
/>.(2)
После подстановкивыражения (1) в (2) получаем
/>.(3)
Складывая моменты инерциивсех участков, проинтегрируем полученное выражение в пределах от 0 до а:
/>.(4)
Подставив численныезначения, найдем
/>2,4/>10-2 кг/>м2.
Пример 4
Обруч массой />1 кг и радиусом /> 0,2 м вращается равномерно с частотой />3 с-1относительно оси />, проходящейчерез середину его радиуса перпендикулярно плоскости обруча. Определить моментимпульса обруча />.
Дано:
/>1 кг;
/> 0,2 м;
/>3 с-1.
/> ?
/>
Рис. 5
Решение: Момент импульса твердого тела равенпроизведению момента инерции этого тела /> иего угловой скорости />:
/>.(1)
Момент инерции обручаотносительно оси /> по теоремеШтейнера равен сумме момента инерции этого обруча /> относительнооси />, проходящей через егоцентр С, и произведения массы обруча /> наквадрат расстояния /> между осями /> и />, которое, как следует изрисунка, равно
/>:
/>,(2)
где />. (3)
Угловая скорость /> обруча связана с егочастотой вращения /> соотношением
/>.(4)
Подставив выражение (2),(3) и (4) в (1), получаем
/>/>0,94 кг/>м2/>с-1.
Пример 5
Вал в виде сплошногоцилиндра массой />12 кг насажен нагоризонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которогоподвешена гиря массой />4 кг. С какимускорением а будет опускаться гиря, если её предоставить самой себе?
/>
Рис. 6
Дано:
/>12 кг;
/>4 кг;
/>10 м/с2.
____________
а /> ?
Решение: Линейное ускорение а гириравно тангенциальному ускорению точек вала, лежащих на его цилиндрическойповерхности, и связано с угловым ускорением /> валасоотношением
/>,(1)
где /> радиус вала. Угловоеускорение вала выражается основным уравнением динамики вращающегося тела:
/>,(2)
где /> вращающий момент,действующий на вал; /> - момент инерцийвала.
Рассмотрим вал какоднородный цилиндр. Тогда его момент инерции относительно геометрической осиравен
/>.(3)
Вращающий момент М,действующий на вал, равен произведению силы натяжения нити Т шнура нарадиус вала:
/>.(4)
(Учитывая, что шнурневесомый и нерастяжимый, />).
Силу натяжения шнуранайдем из следующих соображений. На гирю действуют две силы: силы тяжести />, направленная вниз, и силанатяжения /> шнура, направленная вверх;равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное движение гири. По второмузакону Ньютона />, откуда
/>.(5)
Таким образом, вращающиймомент равен
/>.(6)
Подставив в (2) выражения(3) и (6), получаем
/>.(7)
Ускорение гири найдем из(1) после подстановки туда выражения (7) />, откуда
/> 4 м/с2.
Пример 6
Однородный диск радиусом />0,2 м и массой />5 кг вращается вокруг оси,проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска. Зависимость углаповорота диска от времени даётся уравнением /> гдеС=2 рад/с2. Вращению диска противодействует тормозящий моментсил трения />1 Н/>м. Определить величинукасательной силы />, приложенной кободу диска.
Дано:
/>0,2 м;
/>5 кг;
/>;
С=2 рад/с2;
/>1 Н/>м.
/> ?
/>
Рис. 7
Решение: Касательная сила />, приложенная к ободудиска, создает вращающий момент сил />,который по определению момента сил равен произведению величины этой силы /> и её плеча; плечом силы /> в нашем случае являетсярадиус диска, поэтому
/>.(1)
Вращающему моменту сил /> противодействует моментсил трения />.
Согласно основномууравнению динамики вращательного движения произведение момента инерции диска /> и его углового ускорения /> равно векторной суммемоментов сил, приложенных к диску относительно центра вращения тч. О.
/>(2)
Поскольку векторымоментов сил /> и /> антинаправлены (в чёмможно убедиться, используя правило правого винта), то в проекциях на ось ОХэтот закон примет вид
/>.(3)
Момент инерции дискаотносительно оси вращения определяется по формуле
/>.(4)
Угловое ускорение дисканайдем как вторую производную угла поворота диска по времени:
/>, />.(5)
Решая совместно (1) –(5), получаем
/>.(6)
После подстановки в (6)численных значений
/>7 Н.
Пример 7
Вследствие действияприливов продолжительность суток на Земле увеличивается за время />100 лет на />10-3 с.Определите приливную силу трения. Землю считать однородным шаром массой />6/>1024 кг ирадиусом />6,4/>106м.
Дано:
/>100 лет;
/>10-3 с;
/>6.1024 кг;
/>6,4.106м.
/> ?
Решение: Из основного уравнения динамики вращательногодвижения изменение момента импульса Земли /> равнопроизведению момента приливной силы /> навремя его действия />:
/>=/>/>(1)
Момент инерции Земли(однородный шар массой /> и радиусом />)
/>.(2)
Изменения угловойскорости Земли равно
/>,(3)
где /> - период вращения Земли(24 ч=8,64/>104 с); />.
Момент приливной силытрения
/>.(4)
После подстановки (2),(3) и (4) в выражение (1), получаем
/>, откуда
/>.(5)
После подстановки в (5)численных значений получаем
/>6/>109Н.
Пример 8
Маховое колесо, имеющеемомент инерции />245 кг/>м2, вращается счастотой />20 с-1. Внекоторый момент времени на него стала действовать тормозящая сила, врезультате чего колесо через />1 миностановилось. Радиус колеса />0,2 м.Найти величину тормозящего момента силы /> ичисло полных оборотов />, сделанныхколесом до остановки.
Дано:
/>245 кг.м2;
/>20 с-1;
/>1 мин/>60с;
/>=0,2 м.
/> ? /> ?
/>
Рис. 8
Решение: Поскольку, кроме тормозящей силы, наколесо не действуют другие силы, создающие момент сил, то согласно основномузакону динамики вращательного движения
/>(1)
Движение колесаравнозамедленное и, следовательно, угловое ускорение колеса /> равно
/>,(2)
где />/> начальная угловая скоростьколеса, а />=0 – его конечная угловаяскорость. Следовательно,
/>.(3)
После подстановкивыражения (3) в (1) получаем
/>513 Н/>м.
Полное число оборотов /> можно определить, умноживего среднюю частоту вращения />, т.е.среднее число оборотов за единицу времени, на все время вращения />:
/>.(4)
Средняя частота вращенияколеса /> есть среднееарифметическое начальной /> иконечной /> частот вращения (этосправедливо только при равнопеременном вращении твердого тела):
/>.(5)
Таким образом,
/>
Пример 9
Два груза массами />2 кг и />1 кг связаны невесомойнитью, перекинутой через неподвижный цилиндрический блок массой />0,8 кг. Найти ускорениегрузов и силы натяжения нитей /> и />. Трением пренебречь.
Дано:
/>2 кг;
/>1 кг;
/>0,8 кг;
/>9,8 м/с2.
_____________
а /> ?/> /> ? /> /> ?
/>
Рис. 9
Решение: Запишем уравнения движения грузов иблока в отдельности. Груз массой /> движетсявниз поступательно с ускорением />. Нанего действуют две силы: сила тяжести /> исила натяжения нити />. По второмузакону Ньютона в векторной и скалярной формах с учетом выбранной системыкоординат
/> и
/>. (1)
Груз массой /> движется вверх тожепоступательно с таким же, как и груз />,ускорением />.
На него действуют двесилы: сила тяжести /> и сила натяжениянити />.
Поскольку массой блока, азначит и его моментом инерции пренебречь нельзя, момент силы натяжения />, направленный согласноправилу правого винта влево, больше момента силы натяжения />, направленного вправо.
По второму закону Ньютонав векторной и скалярной формах
/> и
/>. (2)
Блок движетсявращательно, поэтому применим к нему основное уравнение динамики вращательногодвижения
/> и
/>.(3)
Подставим в (3) основныепараметры />, />, />, />. Момент инерцииоднородного цилиндра
/>,(4)
где /> радиус блока. Угловоеускорение
/>,(5)
где /> тангенциальное ускорение.
Момент /> силы натяжения />
/>/>/>.(6)
Момент /> силы натяжения />
/>/>/>.(7)
(Учитывая, что нитьневесомая и нерастяжимая /> и />).
Подставляя (4), (5), (6)и (7) в (3), получаем
/>.(8)
Решая совместно (1), (2)и (3), получаем
/>2,9 м/с2,
/>13,8 Н,
/>12,7 Н.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Заметим, что между механикойвращательного движения, и механикой поступательного движения имеет местоабсолютная симметрия: любой физической величине, характеризующей первое, можносопоставить аналог из второго. Аналогичные величины объединяются в аналогичныевыражения и подчиняются аналогичным уравнениям. Это позволяет легко запомнитьформулы вращательного движения, отталкиваясь от хорошо известных формулпоступательного.
ТаблицааналогийПоступательное движение Вращательное движение
элементарное перемещение />
элементарный заметённый угол />
линейная скорость />
угловая скорость />
ускорение />
угловое ускорение />
масса т
момент инерции J
сила />
момент силы />
основное уравнение динамики поступательного движения />
основное уравнение динамики вращательного движения />
импульс />
момент импульса />
закон изменения импульса
/>
закон изменения момента импульса
/>
работа />
работа />
кинетическая энергия />
кинетическая энергия />
Списоклитературы
1.Демков В.П., Третьякова О.Н. В помощь поступающим в ВУЗы.Физика. Механика. – М.: Издательство МАИ, 1996.
2.Калашников Н.П., Смондырев М.А… Основы физики. Т.1. /> М.: Дрофа, 2003
3.Калашников Н.П., Смондырев М.А. Основы физики. Упражнения изадачи. /> М.: Дрофа, 2004.
4.Касаткина И.Л. Репетитор по физике. Т.1. /> Ростов н/Д: Феникс, 2002.
5.Новодворская Е.М., Дмитриев Э.М. Сборник задач по физике срешениями для втузов. /> М.: ОООИздательство «Мир и Образование», 2003.
6.Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. /> М.: Высш. шк., 1988.