Задание
/>
Исходные данные
Форма тела 1 Однородная пластина
Масса тела 1
m1 кг 5
Масса материальной точки 2
m2 кг 0,1
Размеры a м 2 h м 3
Обобщенные координаты Обозначения Начальные значения для I этапа q1 = j рад
j0 = 0 q2 = x м
x0 = 0,8
Жесткость пружины с Н/м 10
Длина свободной пружины
l0 м 0,8
Угловая скорость тела 1
w1 рад/c 4
Конец Iэтапа движения
t1 с 5
Конец II этапа движения
t2 с 5
СодержаниеВведение1. Поведение системы в условиях стабильного закона движения2. Поведение системы в конкретных условиях3. Поведения системы в условиях малых колебанийСписок использованной литературы
/>Введение
Изучение теоретической механики какодной из фундаментальных физико-математических дисциплин играет важную роль вподготовке специалистов по механико-математическим и инженерным направлениям.Оно позволяет будущим специалистам не только получить глубокие знания оприроде, но и вырабатывает у них необходимые навыки для решения сложных научныхи технических задач, для которых требуется построение математических моделейразнообразных механических систем, развивает способности к научным обобщениям ивыводам
Теоретическая механика, как частьестествознания, использующая математические методы, имеет дело не с самимиматериальными объектами, а их математическими моделями. Такими моделямиявляются материальные точки, системы материальных точек, твердые тела идеформируемая сплошная среда. В курсовой работе рассматриваются простейшиесистемы, которые состоят из твердых тел, совершающих простейшие движения, иперемещающейся по телу материальной точки.
1. Поведение системыв условиях стабильного закона движения 1.1 Относительное движение материальной точки
/>
Рис.1 Схема механической системы идействующие на шарик силы
Свяжем подвижную систему координат Оxyс вращающейся пластиной как показано на рисунке.
Вращение пластины вместе с системойкоординат Oxy вокруг оси являетсяпереносным движением для шарика. Относительным движением шарика является егодвижение вдоль трубки, расположенной вдоль пластины.
Дифференциальное уравнениеотносительного движения для рассматриваемого случая равномерного вращенияпластины имеет вид
/>, (1.1.1)
где m– масса материальной точки;
/> - ускорение точки в подвижнойсистеме отсчета;
/> - внешние силы: />, />
/> - реакции связей: />-нормальная реакциястенки трубки;
/> и /> - переносная и кориолисова силыинерции.
Вращение пластины происходит равномерно,следовательно />=0, значит />-.
Силы инерции /> и /> направлены противоположнопереносному центростремительному /> и кориолисову ускорению />,соответственно. Направление ускорения /> определим по правилу Жуковского:необходимо спроектировать относительную скорость шарика в плоскость вращения, азатем повернуть вектор этой скорости на 900по направлению вращения,и получим направление ускорения Кориолиса.
Предположим, что относительная скоростьшарика положительна. В этом случае кориолисова сила инерции /> направлена параллельнооси Оy подвижной системыкоординат.
Модули сил инерции определяются поформулам:
/>=/>/>
/>=/>.
Найдем зависимость heот х:
/> />
/>
В итоге уравнение (1.1.1) примет вид:
/>/>
Спроектируем векторное уравнениеотносительного движения шарика на оси подвижной системы координат Оxy:
/> (1.1.2)
/>. Выберем φ0=0→ φ=/>; />
Рассмотрим проекцию на ось Ох. Разделимобе части уравнения на массу тела:
/>
/>, где />/> (1.1.3)
Общее решение полученного линейногонеоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами будемискать виде
x=X+/>,
где Х – общее решение соответствующегооднородного уравнения,
/>-частное решение неоднородногоуравнения.
Однородное уравнение имеет вид
/>=0, (1.1.4)
которому соответствует следующеехарактеристическое уравнение
/>
/>
/>i,
Т.к. величина под корнем отрицательна, тообщим решением однородного дифференциального уравнения (1.1.3) будет являтьсяфункция:
Х=/>,
где С1 и С2 –постоянные интегрирования.
Частное решение уравнения (1.1.3) будемнаходить как результат суперпозиции двух решений: />.
Для /> имеем:
/> (1.1.5)
/>, где /> k=0,значит
/>
/>
/>
Подставим в (1.1.4):
/>
/>
При sin/>: />
B=/>
При cos/>: />
A=/>
Тогда />
Для /> имеем:
/>
Тогда общее решение дифференциальногоуравнения относительного движения шарика (1.1.3) принимает вид
x=/>/>
/>
Скорость этого движения равна
/>
Составляющую реакции стенки трубки Nyопределимиз второго уравнения системы (1.1.2)
/>
где /> определяется соответствующимвыражением.
1.2 Закон изменения движущих сил,обеспечивающих заданное движение тела. Реакции внешних опор.
/>
Рис.2 Определение реакций в опорах
Определим проекции реакций опоры на осинеподвижной декартовой системы координат O1x1y1(рис.2).
Запишем уравнение теоремы о движениицентра масс для рассматриваемой механической системы в векторном виде:
/> (1.2.1)
Проектируя уравнение (2.1) на оси системыкоординат О1x1y1получаем
/>,
/> (1.2.2)
По известным формулам находим координатыцентра тяжести системы,
/>/> (1.2.4)
Дифференцируя уравнения1.2.3,1.2.4, получим
/>
/>
Вычисляя вторыепроизводные получим
/>
/> (1.2.5)
Подставляя (1.2.5) в уравнения (1.2.2),получаем проекции реакций в опоре О1 на оси неподвижной системыкоординат:
/>
/>
При этом мы учли, что />
/>
Рис.3 Определение вращательного момента
Применим теорему об изменениикинетического момента для определения внешнего момента, обеспечивающегоравномерное движение ведущего звена механической системы. Выберем за ось zось вращения:
/>. (1.3.1)
Определим кинетический моментрассматриваемой системы относительно оси Oz.
/> ,
где /> - осевой момент инерции пластины,/>-угловаяскорость вращения.
Шарик М совершает сложное движение-относительное вдоль желоба пластины(см. рис.3) со скоростью /> и переносное вместе спластиной. Переносная скорость /> перпендикулярна пластине и помодулю равна:
/>,
где />
Кинетический момент шарика относительнооси z равен
/>
/>,
Кинетический момент всей системы равен
/> (1.3.2)
Определим главный момент внешних силотносительно оси z. Реакции опор /> пересекают осьвращения и момент относительно этой оси не создают. Определим момент силытяжести шарика и пластины:/>
/> />
Отсюда имеем:
/>, (1.3.3)
где Mвр.-внешний момент, обеспечивающий равномерное вращение пластины.
Подставляя 1.3.2, 1.3.3 в уравнениетеоремы об изменении кинетического момента системы 1.3.1, получаем
/>.
Учитывая, что ω=constполучим:
/>
2. Поведение системы в конкретных условиях 2.1 Дифференциальные уравнения движения системы и ихинтегрирование
Составим уравнения движения с помощьюуравнений Лагранжа 2-го рода. В выбранных обобщенных координатах /> и /> они принимают вид:
/> (2.1.1)
где />/> — кинетическая энергия системы;
/> — обобщенные силы, соответствующиеобобщенным координатам /> и />.
Найдем кинетическую энергию системы. Онасостоит из кинетических энергий всех тел, входящих в систему:
/>
/>
/>
Абсолютная скорость шарика /> равнагеометрической сумме относительной и переносной скоростей (см. рис. 3), еевеличина определяется по формуле:
/>
/>
Тогда для кинетической энергии системыполучим:
/> (2.1.2)
Введем обозначения:
/>
Найдем все производные левой частиуравнений (2.1.3):
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Обобщенные силы можно определить двумяспособами:
1. Фиксируем координату />, даем виртуальноеперемещение />,находим элементарную работу:
/>
/>
Фиксируем координату />, даем виртуальноеперемещение />,находим элементарную работу:
/>
/>
2. Вычислим потенциальную энергиюсистемы:
/>
Найдем обобщенные силы:
/>/>
/>
Подставив производные левой частиуравнений (2.1.1) и обобщенные силы /> и /> в уравнения (2.1.1), получимдифференциальные уравнения движения системы:
/>
Для решения системы дифференциальныхуравнений движения механической системы проведем численное интегрирование наЭВМ. Результаты численного интегрирования приведены в приложении №2.
Для проверки численного интегрированиянайдем, исходя из полученных данных, значения потенциальной и кинетическойэнергии механической системы. Суммируя значения потенциальной и кинетическойэнергии механической системы проверим, выполняется ли Закон сохранения энергии(см. приложение №2).2.2 Определение реакций в опорахметодом кинетостатики
Выберем для нашей системы неподвижнуюсистему координат О1X1Y1,(cм. рис.4).
/>
Рис.4. Силы, действующие на систему
Уравнения кинетостатики в векторнойформе имеют вид
/> (2.2.1)
где /> — главные векторы активных сил,реакций связей и сил инерции;
/> — главные моменты активных сил,реакций связей и сил инерции относительно точки О1.
Сила инерции шарика как материальнойточки, совершающей сложное движение, равна геометрической сумме относительной,переносной и кориолисовой сил инерции:
/>
/>,
/>
Сила инерции пластины будет равна:
/>
Модули сил инерции равны
/> , /> , /> /> (2.2.2)
Изобразим активные силы, реакции опоры исилы инерции, действующие на механическую систему (рис. 4). Векторные уравнениякинетостатики (2.2.1) в проекциях на оси неподвижной системы координат OX1Y1имеют вид
/> (2.2.3)
Cучётом выражений для сил инерции (2.2.2), уравнения (2.2.3) принимают вид
/>
Найденные уравнения реакций шарнира ивращательного момента совпадают с теми, что были найдены в предыдущих частяхкурсовой работы.
3. Поведения системы в условиях малыхколебаний 3.1 Положения равновесия механической системы и их устойчивость
Для определения положения равновесиямеханической системы воспользуемся выражением для потенциальной энергии системы,которое было выведено нами во втором разделе курсовой работы (см. п. 4):
/> (3.1.1)
Найдем возможные положения равновесиясистемы. Значение обобщенных координат в положениях равновесия есть корнисистемы уравнений:
/>
Решая систему уравнений, получаем двавозможных положение равновесия:
/>.
Для оценки устойчивости полученныхположений равновесия определим обобщенные коэффициенты жесткости. Найдем всевторые производные потенциальной энергии (3.1) по обобщенным координатам:
/>
Для первого положения равновесияобобщенные коэффициенты жесткости равны:
/>
Воспользуемся критериемСильвестра:
/>
Для второго положения равновесияобобщенные коэффициенты жесткости равны:
/>
Воспользуемся критериемСильвестра:
/>
Таким образом, система принимаетединственное устойчивое положение равновесия при: />
3.2 Частоты главных колебаний. Уравнениядвижения материальной точки и твердого тела при колебаниях
Для нахождения частот и форм главныхколебаний, выпишем полученные значения обобщенных коэффициентов инерции ижесткости в положении устойчивого равновесия, при: />.
/>
/>
/>
/>
В положении равновесия:
/> (3.2.1)
Запишем дифференциальные уравнения малыхколебаний механической системы:
/>
Составимхарактеристическое уравнение:
/>
Или в развернутом виде:
/>
Найдем корни характеристическогоуравнения, подставляя в уравнение найденные значения обобщенных коэффициентовинерции и жесткости:
/>
Определим коэффициентыформ колебаний:
/>
Таким образом, движение рассматриваемойсистемы при собственных колебаниях будет происходить по следующему закону:
/> (3.2.2)
3.3Уравнения движения материальной точкии твердого тела при колебаниях
Найдем значения постоянныхинтегрирования />системы уравнений (3.2.2) дляследующих начальных условий:
/>
/>
Решая системууравнений, получим:
/> />
/>
С учетом полученных значений постоянныхинтегрирования запишем окончательный вид уравнений колебаний:
/>
/>Списокиспользованной литературы
1. АвраменкоА.А., Архипов В.В., Асланов В.С., Тимбай И.А. Динамика точки и механическойсистемы. – Самара: СГАУ. – 2001. – 84 с.
2. СТПСГАУ 6.1.4. – 97. Общие требования к оформлению учебных текстовых документов:методические указания.