Академия России
Кафедра Физики
Лекция: «Гармонические колебания впараллельном контуре»
Орел-2009
1. Основныепараметры колебательного контура
Пустьконденсатор С, заряженный от внешнего источника, подключается киндуктивности L (рис. 1а)
/>
Разряд конденсатора не может произойти мгновенно, т.к.этому препятствует ЭДС самоиндукции, возникающая в элементе индуктивности.
В идеальномконтуре, активное сопротивление которого равно нулю, и, следовательно,отсутствуют потери, запасенная в электрическом поле энергия полностью переходитв энергию магнитного поля индуктивности.
Затемпроисходит обратный переход энергии. Далее процессы повторяются. Таким образом,возникают незатухающие электрические колебания, имеющие форму косинусоиды.Графики /> и /> представлены на рисунке 1, б.
Частота, скоторой происходит колебания энергии между реактивными элементами приотключении источника, называется частотой свободных (собственных) незатухающихколебаний контура. Обозначение: /> или />.
Т.к. видеальном контуре величины напряжений на L и C одинаковы, то
/>, />,
/>или />, />.
В режимесвободных колебаний через элементы контура протекает ток. Сопротивление,которое оказывают элементы контура току на частоте собственных колебаний,называется волновым (характеристическим).
Этосопротивление обозначается /> и определяетсяследующим образом:
/>, или />. Т.к. />, то
/> (Ом).
Из последнеговыражения следует, что на частоте собственных колебаний/> волновое сопротивлениеравно одному из реактивных сопротивлений (рис. 2).
/>
Рис. 2
На практике реальный КК всегдаимеет потери активное сопротивление не равно 0, что приводит к затухающемухарактеру свободных колебаний (рис. 3).
/>
Рис. 3
Для характеристики последнего свойствавводится понятие добротность контура (качествоконтура).
Добротность /> является энергетическимпараметром и показывает во сколько раз реактивная мощность (за счет которой ипроисходят свободные колебания) больше активной:
/>
Отметим, что данное определение относится не только кколебательным контурам, но и к отдельным деталям, например, к катушкам индуктивности,к конденсаторам.
Чем большереактивная мощность, тем выше добротность и тем медленнее происходит затуханиеколебаний и наоборот.
ДобротностьКК, применяемых в технике связи, обычно составляет десятки-сотни, а в техникеСВЧ и специальных устройствах добротность может достигать тысячи и больше.Принято считать, что если: /> – KK низкойдобротности,
/>– КК среднейдобротности,
/> – КК высокой добротности.
Практическиреализовать LC контур с добротностью свыше 400 трудно из-за низкой добротностикатушек индуктивности (именно они и определяют качество контура).
Вывод: Рассмотренные параметры/>, /> и /> для колебательных контуровявляются одним из основных, т.к. они зависят от первичных параметров, и ихназывают вторичными параметрами контура.
/>/>
Рис. 4
2. Возможныережимы установившихся гармонических колебаний в параллельном колебательномконтуре
Параллельнымколебательным контуром называют цепь, составленную из элементов индуктивности,емкости и сопротивления, соединенных параллельно. Схема контура показана нарисунке 4.
Найдемкомплексную проводимость контура:
/>,
где: /> – активная составляющаяпроводимости,
/> – реактивнаясоставляющая проводимости.
Из формулыследует, что в зависимости от соотношения /> и/> в параллельном контуревозможны 3 режима:
1) />, т.е. /> и />.
Построим дляэтого случая векторную диаграмму, положив начальную фазу напряжения на контуре,равной 0 (рис. 5)
/>
Рис. 5
Как видно из векторнойдиаграммы, ток в контуре опережает напряжение на некоторый угол />, что является признаком емкостногорежима.
Вывод: При /> в параллельном контуреустанавливается емкостной режим колебаний и ток в контуре опережаетнапряжение.
2) />т.е. />и />.
Построиваналогичным образом векторную диаграмму (рис. 6), убедимся в том, что ток вконтуре будет теперь отставать от напряжения/> нанекоторый угол />, что являетсяпризнаком индуктивного режима.
/>
Рис. 6
Вывод: При /> в параллельном контуреустанавливается индуктивный режим колебаний, и ток в контуре отстает отнапряжения.
3) />т.е. /> и />.
Проводимостьконтура в этом случае равна активной проводимости G. Контур имеет активныйхарактер, т.е. ток совпадает по фазе с напряжением на контуре и численно равентоку через проводимость (рис. 7).
/>
Рис. 7
Такой режим называется резонансом токов и имеетважное практическое значение.
Проведенныйанализ показывает, что режим колебаний в параллельном контуре определяетсясоотношением реактивных проводимостей />и/>.
Любой из рассмотренных режимовможет быть получен несколькими способами: изменением частоты генератора,индуктивности и емкости.
Вывод: Значения режимов ГК в контуре позволяет качественноанализировать процессы, проходящие в контурах, произведя соответствующие инженерныерасчёты.
3. Резонанс токов
1) Резонанснаячастота
Вышепоказано, что резонанс токов наступает на частоте, при которой:
/>откуда/>.
Т.е.резонансная частота равна частоте собственных колебаний контура. Изменение /> достигается изменением L или C (чаще).
2)Волновое сопротивление контура
Нарезонансной частоте,/>откуда/>(Ом), т.е. волновоесопротивление контура равно сопротивлению одного из реактивных элементов.
Обычноволновое сопротивление ПК, используемых в электрических цепях, имеет порядокнесколько сотен Ом (100/>500).
3)Добротность контура
Поопределению />, где, /> следовательно />.
Т.к. нарезонансной частоте численные значения проводимостей/> и /> одинаковые, то добротностьможно вычислить по следующей формуле:
/>, т.о. />.
4) Резонансноесопротивление контура, токи в ветвях при резонансе
/> т.к. при резонансе />, то /> и />, т.е. сопротивлениеконтура при резонансе чисто активно и наибольшее по величине.
Действительно,полное сопротивление контура равно:
/> при />,/> и />.
Определим соотношение междутоком источника и током через реактивный элемент:
/>, т.е. />.
Аналогичноможно показать, что/>.
Вывод: При резонансетоки в ветвях параллельного КК максимальны и в Q раз больше токаисточника. Этим и объясняется название режима – резонанс токов.
Прирезонансной частоте задающий токисточника замыкается через элементпроводимости контура. Токи же в реактивных элементах контура взаимно компенсируютдруг друга относительно внешней цепи контура, или, аналогично, что прирезонансной частоте круговой ток замыкается через реактивные элементы контура.При этом/>, а/> наибольшее повеличине. При резонансе напряжение на контуре максимально (/>). Именно по этому признакупараллельный КК настраивается на резонансную частоту.
4. Комплексныепередаточные функции параллельного контура
Выражения для частотныххарактеристик параллельно колебательного контура относительно напряжения, можнополучить из следующей комплексной передаточной функции:
/>.
Преобразуем знаменатель />:
/>т.о. />.
Здесьчастотно-зависимым является множитель /> называемый относительнойрасстройкой. Произведение /> называютобобщенной расстройкой контура.
C учетом этого:/>/>.
Из выражения /> получаем
АЧХ: />,
и ФЧХ: />.
АЧХ называют резонанснойхарактеристикой параллельно колебательного контура. Максимальное значениеэта характеристика имеет при резонансной частоте (/>),/>.
Резонансную характеристику контура принято нормироватьотносительно ее максимального значения. Нормированная резонанснаяхарактеристика: т.е. отношение амплитуду напряжения при заданной частоте к амплитуденапряжения при резонансе:
/>.
Нормированнаярезонансная характеристика есть не что иное, как АЧХ контура относительно токав элементе активного сопротивления.
/>.
Найдемприближенное выражение для частотных характеристик колебательного контурасосхемой замещения, показанной на рисунке 8.
Она отличается от схемы замещенияпараллельного колебательного контура тем, что в ней потери в индуктивностиреального контура учитываются сопротивлением, включенным последовательно синдуктивностью. Для рассматриваемого контура:
/>.
В областичастот, в которой/> реактивнаясоставляющая сопротивления катушки индуктивности немного превышает по величинеактивную составляющуюеё сопротивления, можно пренебречь слагаемым/> в числителе последнеговыражения. Тогда приближенно:
/>.
/>
Рис. 9
Полученнаяприближенная формула не отличается от строгой формулы для комплекснойпередаточной функции параллельного контура с теми же значениями индуктивности L и емкости С и c активной проводимостью:
/>/>.
Заключение
Рассмотренные режимы установившихся гармонических колебанийв параллельном колебательном контуре позволяют дать физическое объяснение АЧХ иФЧХ. Частотные характеристики параллельного колебательного контура остаютсяприближенно верными также и для иных схем замещения реальных колебательныхконтуров, если интересоваться поведением характеристик в сравнительно узкойполосе частот.
Литература,используемая для подготовки к лекции: Белецкий А.Ф. Теория линейных электрическихцепей. – М.: Радио и связь, 1986. (Учебник); Бакалов В.П. и др. Теорияэлектрических цепей. – М.: Радио и связь, 1998. (Учебник); Качанов Н.С. и др.Линейные радиотехнические устройства. М.: Воениздат, 1974. (Учебник); В.П.Попов Основы теории цепей – М.: Высшая школа, 2000.(Учебник)