Взаимодействие тел
Примеров взаимодействия теламожно привести сколько угодно. Когда вы, находясь в лодке, начнёте за веревкуподтягивать другую, то и ваша лодка обязательно продвинется вперед. Действуя навторую лодку, вы заставляете ее действовать на вашу лодку.
Если вы ударите ногой по футбольномумячу, то немедленно ощутите обратное действие на ногу. При соударении двухбильярдных шаров изменяют свою скорость, т.е. получают ускорение оба шара. Всеэто проявление общего закона взаимодействия тел.
Действия тел друг на друга носятхарактер взаимодействия не только при непосредственном контакте тел. Положите,например, на гладкий стол два сильных магнита с разными полюсами навстречу другдругу, и вы тут же обнаружите, что начнут двигаться навстречу друг другу. Земляпритягивает Луну (сила всемирного тяготения) и заставляет ее двигаться покриволинейной траектории; в свою очередь Луна также притягивают Землю (тожесила всемирного тяготения). Хотя, естественно, в системе отсчёта, связанной сЗемлей, ускорение земли, вызываемое этой силой, нельзя обнаружитьнепосредственно, оно проявляется в виде приливов.
Выясним с помощью опыта, каксвязаны между собой силы взаимодействия двух тел. Грубые измерения сил можнопроизвести на следующих опытах:
1 опыт. Возьмем два динамометра,зацепим друг за друга их крючки, и взявшись за кольца, будем растягивать их,следя за показаниями, обоих динамометров.
Мы увидим, что при любыхрастяжениях показания обоих динамометров будут одинаковы; значит, сила, скоторой первый динамометр действует на второй, равна силе, с которой второйдинамометр действует на первый.
2 опыт. Возьмем достаточно сильный магнити железный брусок, и положим их на катки, чтобы уменьшить трение о стол. Кмагниту и бруску прикрепим одинаковые мягкие пружины, зацепленными другимиконцами на столе. Магнит и брусок притянутся друг к другу и растянут пружины.
Опыт показывает, что к моментупрекращения движения пружины оказываются растянутыми одинаково. Это означает,что на оба тела со стороны пружин действуют одинаковые по модулю ипротивоположные по направлению силы.
Так как магнит покоится, то силаравна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой действует нанего брусок.
Точно также равны по модулю ипротивоположны по направлению силы, действующие на брусок со стороны магнита ипружины.
Опыт показывает, силывзаимодействия между двумя телами равны по модулю и противоположны понаправлению и в тех случаях, когда тела движутся.
3 опыт. На двух тележках, которые могуткатиться по рельсам, стоят два человека А и В. Они держат в руках концы веревки.Легко обнаружить, что независимо от того, кто натягивает веревку, А или В илиоба вместе, тележки всегда приходят в движение одновременно и притом впротивоположных направлениях. Измеряя ускорения тележек, можно убедиться, чтоускорения обратно пропорциональны массам каждой из тележек (вместе счеловеком). Отсюда следует, что силы, действующие на тележки, равны по модулю.
Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета
В качестве первого законадинамики Ньютон принял закон, установленный еще Галилеем: материальная точкасохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор,пока воздействие со стороны других тел не выведет ее из этого состояния.
Первый закон Ньютона показывает,что покоя или равномерного прямолинейного движения не требует для своегоподдержания каких либо внешних воздействий. В этом проявляется особоединамическое свойство тел, называемое их инертностью.
Соответственно первыйзаконНьютона называют законом инерции, а движение тела в отсутствиивоздействий со стороны других тел – движением по инерции.
Механическое движениеотносительно: его характер для одного и того же тела может быть различным вразных системах отсчета, движущихся друг относительно друга. Например,космонавт, находящийся на борту искусственного спутника Земли, неподвижен всистеме отсчета, связанной со спутником. В то же время по отношению к Земле ондвижется вместе со спутником по эллиптической орбите, т.е. не равномерно и непрямолинейно.
Естественно поэтому, что первыйзакон Ньютона должен выполняться не во всякой системе отсчета. Например, шар,лежащий на гладком полу каюты корабля, который идет прямолинейно и равномерно,может прийти в движение по полу без всякого воздействия на него со стороныкаких-либо тел. Для этого достаточно, чтобы скорость корабля начала изменяться.
Система отсчета, по отношению ккоторой материальная точка, свободная от внешних воздействий, покоится илидвижется равномерно и прямолинейно, называется инерциальной системойотсчета. Содержание первого закона ржание первого закона Ньютонасводится по существу к двум утверждениям: во первых, что все тела обладаютсвойством инертности и, во вторых, что существуют инерциальные системы отсчета.
Любые две инерциальные системыотсчета могут двигаться друг относительно друга только поступательно и притомравномерно и прямолинейно. Экспериментально установлено, что практическиинерциальна гелиоцентрическая система отсчета, начало координаткоторой находится в центре масс Солнечной системы (приближенно – в центреСолнца), а оси проведены в направлении трех удаленных звезд, выбранных,например, так, чтобы оси координат были взаимно перпендикулярны.
Лабораторная система отсчета, оси координат которой жесткосвязаны с Землей, не инерциальна главным образом из-за суточного вращения Земли.Однако Земля вращается столь медленно, что максимальное нормальное ускорениеточек ее поверхности в суточном вращении не превосходит 0,034м//>.поэтому в большинстве практических задачлабораторную систему отсчета можно приближенно считать инерциальной.
Инерциальные системы отсчетаиграют особую роль не только в механике, но также и во всех других разделахфизики. Это связано с тем, что, согласно принципу относительности Эйнштейна,математическое выражение любого физического закона должно иметь один и тот жевид во всех инерциальных системах отсчета.
Сила
Силой называется векторная величина,являющаяся мерой механического действие на рассматриваемое тело со стороныдругих тел. Механическое взаимодействие может осуществляться как междунепосредственно контактирующими телами (например, при трении, при давлении телдруг на друга), так и между удаленными телами. Особая форма материи,связывающая частицы вещества в единые системы и передающая с конечной скоростьюдействия одних частиц на другие, называются физическим полем, илипросто полем.
Взаимодействие между удаленнымителами осуществляется посредством создаваемых ими гравитационных иэлектромагнитных полей (например, притяжении планет к Солнцу, взаимодействиезаряженных тел, проводников с током и т.п.). Механическое действие на данноетело со стороны других тел проявляется двояко. Оно способно вызывать,во-первых, изменение состояния механического движения рассматриваемого тела, аво-вторых, — его деформацию. Оба эти проявления действия силы могут служитьосновой для измерения сил. Например, измерения сил с помощью пружинного динамометраоснованного на законе Гука для продольного растяжения. пользуясь понятием силыв механике обычно говорят о движении и деформации тела под действиемприложенных к нему сил.
При этом, конечно, каждой силевсегда соответствует некоторое тело, действующее на рассматриваемое с этойсилой.
СилаF полностьюопределена, если заданы ее модуль, направление в пространстве и точкаприложения. Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линиейдействия силы.
Поле, действующее на материальнуюточку с силой F, называется стационарным полем, если ононе изменяется с течением времени t, т.е. если в любой точке поля сила Fне зависит явно от времени:
/>
Для стационарности полянеобходимо, чтобы создающие его тела покоились относительно инерциальнойсистемы отсчета, используемой при рассмотрении поля.
Одновременное действие наматериальную точку M нескольких сил /> эквивалентно действию одной силы, называемой равнодействующей,или результирующей, силой и равной ихгеометрической сумме.
/>
Она представляет собой замыкающуюмногоугольника сил />
Масса. Импульс
В классической механике массойматериальной точки называется положительная скалярная величина,являющаяся мерой инертности этой точки. Под действием силы материальная точкаизменяет свою скорость не мгновенно, постепенно, т.е. приобретает конечное повеличине ускорение, которое тем меньше, чем больше масса материальной точки.Для сравнения масс /> и /> двух материальных точек достаточно измерить модули /> и /> ускорений, приобретаемых этими точками поддействием одной и той же силы:
/>=/>
Обычно массу тела находят путем взвешиванияна рычажных весах.
В классической механикесчитается, что:
а) Масса материальной точки независит от состояния движения точки, являясь ее неизменной характеристикой.
б) Масса – величина аддитивная,т.е. масса системы (например, тела) равна сумме масс вех материальных точек,входящих в состав этой системы.
в) Масса замкнутой системыостается неизменной при любых процессах, происходящих в этой системе (законсохранения массы).
Плотностью ρ тела вданной его точке M называется отношение массы dm малого элементатела, включающего точку M, к величине dV объема этого элемента:
ρ=/>
Размеры рассматриваемого элементадолжны быть столь малы, чтобы изменением плотности в его пределах можно было вомного раз больше межмолекулярных расстояний.
Тело называется однородным,если во всех его точках плотность одинакова. Масса однородного тела равнапроизведению его плотности на объем:
m=ρV
Масса неоднородного тела:
m =/>dV,
где ρ – функция координат, аинтегрирование проводится по всему объему тела. Средней плотностью (ρ)неоднородного тела называется отношение его массы к объему: (ρ)=m/V.
Центром масс системы материальных точек называетсяточка С, радиус-вектор /> которой равен:
/>
где /> и /> – масса и радиус-вектор i-й материальнойточки, n – общее число материальных точек в системе, а m=/> - масса всей системы.
Скорость центра масс:
/>
Векторная величина />, равная произведению массы /> материальной точки на ее скорость />, называется импульсом, или количествомдвижения, этой материальной точки. Импульсом системы материальныхточек называется вектор p, равный геометрической суммеимпульсов всех материальных точек системы:
/>
импульс системы равенпроизведению массы всей системы на скорость центра ее масс: />
Второй закон Ньютона
Основным законом динамикиматериальной точки является второй закон Ньютона, который говорит о том, какизменяется механическое движение материальной точки под действием приложенных кней сил. Второй закон Ньютона гласит: скорость изменения импульсаρ материальной точки равна действующей на нее силе F, т.е.
/>, или />
где m и v – масса и скорость материальнойточки.
Если на материальную точкуодновременно действуют несколько сил, то под силой F во втором законе Ньютона нужнопонимать геометрическую сумму всех действующих сил – как активных, так иреакций связей, т.е. равнодействующую силу.
Векторная величина F dtназывается элементарном импульсомсилы F за малое время dt ее действия. Импульс силы F за конечный промежуток времениот /> до/> равен определенному интегралу:
/>
где F, в общем случае, зависит отвремени t.
Согласно второму закону Ньютонаизменение импульса материальной точки равно импульсу действующей на нее силы:
dp = F dtи />,
где /> – значение импульса материальной точки в конце (/>) и в начале (/>) рассматриваемого промежутка времени.
Поскольку в ньютоновской механикемасса mматериальной точки не зависит отсостояния движения точки, то
/>
Поэтому математическое выражениевторого закона Ньютона можно также представить в форме
/>
где /> – ускорение материальной точки, r – ее радиус-вектор.Соответственно формулировка второго закона Ньютона гласит: ускорениематериальной точки совпадает по направлению с действующей на нее силой и равноотношению этой силы к массе материальной точки.
Касательное и нормальноеускорение материальной определяются соответствующими составляющими силы F
/>, />
/>
где /> – модуль вектора скорости материальной точки, а R – радиус кривизны ее траектории.Сила />, сообщающая материальной точке нормальноеускорение, направлена к центру кривизны траектории точки и потому называется центростремительнойсилой.
Если на материальную точкуодновременно действуют несколько сил />, то ее ускорение
/>
где />. Следовательно, каждая из сил, одновременнодействующих на материальную точку, сообщает ей такое же ускорение, как если быдругих сил не было (принцип независимости действия сил).
Дифференциальным уравнениемдвижения материальной точкиназывается уравнение
/>
В проекциях на оси прямоугольнойдекартовой системы координат это уравнение имеет вид
/>, />, />
где x, y и z – координаты движущейся точки.
Третий закон Ньютона. Движение центра масс
Механическое действие тел друг надруга проявляется в виде их взаимодействия. Об этом говорит третий законНьютона: две материальные точки действуют друг на друга с силами,которые численно равны и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющейэти точки.
Если /> – сила, действующая на i-ю материальную точку со стороны k-й, а /> – сила действующая на k-ю материальную точку со стороны i-й, то, согласно третьему законуНьютона,
/>
Сила /> приложены к разным материальным точкам и могут ивзаимно уравновешиваться только в тех случаях, когда эти точки принадлежатодному и тому же абсолютно твердому телу.
Третий закон Ньютона являетсясущественным дополнением к первому и второму законам. Он позволяет перейти отдинамики отдельной материальной точки к динамике произвольной механическойсистемы (системы материальных точек). Из третьего закона Ньютона следует, что влюбой механической системе геометрическая сумма всех внутренних сил равна нулю:
/>
где n – число материальных точек, входящих в составсистемы, а />.
Вектор />, равный геометрической сумме все внешних сил,действующих на систему, называется главным вектором внешних сил:
/>
где /> – результирующая внешних сил, приложенных к i-й материальной точке.
Из второго и третьего законовНьютона следует, что первая производная по времени t от импульса p механической системы равна главному вектору всехвнешних сил, приложенных к системе,
/>.
Это уравнение выражает законизменения импульса системы.
Так как />, где m– масса системы, а /> – скорость ее центра масс, то закон движенияцентра масс механической системы имеет вид
/>, или />,
где /> – ускорение центра масс. Таким образом, центр массмеханической системы движется как материальная точка, масса которой равна массевсей системы и на которую действует сила, равная главному вектору внешних сил,приложенных к системе.
Если рассматриваемая система –твердое тело, которое движется поступательно, то скорости /> всех точек тела и его центра масс /> одинаковы и равны скорости v тела. Соответственно ускорениетела />, и основное уравнение динамикипоступательного движения твердого тела имеет вид
/>