МИНИСТЕРСТВООБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
СУМСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРАМОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
Курсовая работа
по дисциплине
«Моделирование физическихпроцессов и систем
(моделирование стохастическихпроцессов и систем)»
на тему:
«Автоколебательная система.Волны пластической деформации»
Сумы 2010
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1 АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯСИСТЕМА И ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
1.1 Автоколебательнаясистема
1.2 Волныпластической деформации
2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
2.1 Автоколебательнаясистема «Хищник-Жертва»
2.1.1 Постановказадачи
2.1.2 Получениеуравнений с обезразмеренными величинами
2.1.3 Определениекоординат особых точек
2.1.4 Нахождениепоказателей Ляпунова особых точек. Исследованиехарактера их устойчвости
2.1.5 Построениефазовых портретов
2.2 Волныпластической деформации
ВЫВОД
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
ПриложениеА
ПриложениеБ
ВВЕДЕНИЕ
Отчёт по КР: 25 стр., 4 рис., 4 источника.
Объектом исследования являются двесистемы: автоколебательная система «Хищник-Жертва» и система волн пластическойдеформации.
Цель работы – при помощи аналитического ичисленного анализа исследовать системы, обезразмерить их, найти особые точки,определить их вид, построить фазовые портреты.
При выполнении численных расчетовиспользовался метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности.
В результате аналитического анализаполучаем особые точки систем и определяем их устойчивость.
В ходе работы были получены фазовые портретыдля обеих систем.
/>1. АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯСИСТЕМА И ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ1.1 Автоколебательная система
В последние годы приисследовании процесса пластической деформации приобрела популярностьсинергетичёская концепция. Ее основная идея состоит в том, чтогидродинамические степени свободы, ответственные за течение процесса(деформация, напряжения, плотности дефектов), ведут себя не автономным образом,а самосогласованно. На феноменологическом уровне такое поведение отражаетсядифференциальными уравнениями, содержащими нелинейные слагаемые. Как известно,аналитическое решение таких уравнений в общем случае не представляетсявозможным, и потому прибегают к их качественному анализу с помощью фазовыхпортретов. Особенность используемого подхода состоит в том, что мы, неудовлетворяясь описанием качественных особенностей этих портретов, исследуемточный их вид при различных значениях параметров задачи. Очевидно, такаяинформация может представить интерес при интерпретации конкретныхэкспериментальных данных. Численное интегрирование систем дифференциальныхуравнений проводилось методами Рунге-Кутта низших порядков.
Экспериментальныерезультаты последних лет показывают возможность периодического изменениядефектной структуры ряда металлов и сплавов. Такие изменения дефектнойструктуры с увеличением степени деформации проявляются в колебательномхарактере изменений равноосности и размеров структурных элементов и согласуютсяс немнонотонностями на кривых упрочнения. Они связываются с появлениемколлективных мод в ансамбле сильновзаимодействующих дислокаций, приводящим кпроявлению ротационных процессов. Появление немнонтонностей в характеристикахпрочности и пластичности обусловлено рядом ротационных неустойчивостей,периодически протекающих при критических значениях степени деформации. Крометого, пересечение двух систем ротационных полос влечет уменьшениенеравноосности фрагментов.
В последние годыпредложена модель периодической перестройки дефектной структуры, в основекоторой лежит идея о совместной эволюции хаотически распределенных дислокаций иструктуры, состоящей из оборванных дислокационных стенок. При этом пластическаядеформация осуществляется двумя способами: некоррелированным перемещениемотдельных хаотических дислокаций или перемещением диполя частичных дислокаций.Указанные процессы периодически доминируют в релаксации внешних напряжений иприводят к колебаниям упругой деформации.
Существуют два сценарияперехода к ротационным структурам в процессе пластической деформации. Согласнопервому такой переход реализуется сразу во всем объеме кристалла, согласуясь спостепенным уменьшением ячеек и увеличением разориентировок малоугловых границза счет дислокаций невозможно. Другие экспериментальные данные говорят о том,что этот переход сначала происходит в локальных областях кристалла и по мереувеличения степени деформации постепенно охватывает весь объем. Происходящаяпри этом смена типов дефектных структур может осуществляться путемзародышеобразования и, следовательно, близка по своему механизму к фазовомупереходу первого рода.
В работе Н.И. Главацкой исследовалисьструктурные превращения при пластической деформации монокристаллов никеля [1].Было показано, что наблюдаемый характер зависимости микротвердости от степенидеформации обусловливается периодической сменой типов дефектных структур.Согласно проведенному исследованию такие структурные преобразования осуществляютсяпринципиально различными способами – эволюционным и инволюционным. Первый изних характеризуется постепенным изменением структурны элементов одного и тогоже типа – увеличением угла разориентировки структурных элементов, возрастаниемплотности дислокаций внутри структурных элементов и в границах. Перестройки морфологическиразличных типов дефектных структур происходят инволюционным способом. Для негохарактерно следующее поведение: границы предшествующего типа структурырассыпаются, а образовавшиеся в результате этого дислокации частичноаннигилируют и формируются границы нового типа структуры. Предложена такжетеоретическая модель, описываются наблюдаемые периодические структурныепревращения. Она основана на идее о совместной эволюции хаотических дислокаций,распадающихся границ старой и возникающей границ новой дефектной структур.1.2 Волны пластической деформации
В процессе пластическойдеформации и ансамбле дефектов может реализоваться либо циклическое изменениеплотностей дефектов, либо автокаталитическое их размножение, приводящее кобразованию гидродинамической моды пластического течения. В описанных системахсамосогласованное поведение дефектов наблюдалось в условиях монотонновозрастающего или постоянного нагружения, а поле деформации выступало вкачестве медленно меняющегося параметра порядка. Рассмотрим теперь болеесложный случай, когда колебательный характер имеет изменение самого поляпластической деформации.
/>
Рисунок 1.1. — Криваядеформации кремнистого железа
Экспериментальное исследованиетакого случая проводили Фролов К.В., Панин В.Е., Зуев Л.Б., Махутов Н.А.,Данилов В.И., Мних Н.М. на образцах крупнозернистого (размер зерна 10 мм)кремнистого железа состава Fe+3%Si и малоуглеродистой стали 10Г2Ф (размер зерна80 мкм) толщиной (0.3-1.5) мм с рабочей частью 10x50. Они подвергалисьрастяжению на жесткой испытательной машине Instron-1185 с постоянной скоростьюпри комнатной температуре. Кривая деформации сплава Fe+3%Si имеет вид,представленный на рис. 1.1 На ней цифрами I-V указаныотвечающие пластическому течению материала участки, на которых регистрировалось5-8 спеклограмм. Прирост деформации между фиксациями ближайших спеклограммсоставлял 0.2%. Расшифровка спеклограмм позволила найти вектор смещений точекпо всей рабочей поверхности образца с шагом 1 мм. По полю смещений стандартнымметодом определялись компоненты сдвиговой деформации /> и поворота /> (ось x совпадает с направлением приложения нагрузки кобразцу, у находится в его плоскости). В результате были построеныпространственные зависимости />, /> и зависимости />, /> от интегральной деформации/>, которые могут бытьинтерпретированы как временные (рис.1.2-1.3) [2].
/>
Рисунок 1.2. —Распределение локальных сдвигов /> и локальных поворотов /> вдольоси x образца Fe+3%Siдля различных участков кривой нагружения (см. рис.1.1) с приростами общейдеформации, %: 0.88-1.08 (а); 1.08-1.28 (б); 1.28-1.48 (в).
/>
Рисунок 1.3. —Зависимость локальных сдвигов /> и локальных поворотов /> вдольоси x образца Fe+3%Siв точке /> (см. рис. 1.2) отобщей деформации />.
Видно, что для образцаFe+3%Si они имеют волновой характер, при этом сдвиги и повороты меняются вдольосей координат синфазно. С помощью зависимостей />, /> и />, /> были оценены длина пластической волны />, период Т и скорость ее распространения />. Они оказались приближенно равными 5±2 мм, 300 с, 0.0015 см/с. Былоустановлено, что длина волны /> зависит только от структурных и геометрических параметров образца. Так, приактивном растяжении А1 и аморфного сплава /> величина /> характеризуетсялогарифмической зависимостью от размера зерна и линейной – от поперечника образца.В то же время скорость распространения волны v не зависит от размеров образца изерна, но представляет возрастающую функцию скорости нагружения. Величина vпримерно на порядок превышает скорость перемещения подвижного захвата машины.
Для малоуглеродистойстали обнаружен ряд отличий в характере изменения поля дисторсий. В такихматериалах отвечающая площадке текучести деформация сопровождаетсяраспространением одной или нескольких полос Людерса. В эксперименте, вчастности, происходило движение двух полос Людерса во встречном направлении.Основным носителем деформации является фронт полосы, перед ним материалдеформирован незначительно. Как показал анализ соответствующего площадке текучестиноля деформации (рис. 1.4а), существуют значительные распределенные волновымобразом сдвиги, как за фронтом полосы Людерса, так и перед ним. Величиныпоследних примерно одинаковы, но ярко выраженная цикличность сдвигов, как придеформации Fe+3%Si отсутствует. На зависимости /> максимумы разного знака совпадаютс положениями фронтов полос Людерса. Как видно из рис. 1.46, при встрече полос(окончание площадки текучести и переход к стадии упрочнения) экстремумыповоротов аннигилируют. В дальнейшем зависимости />, /> принимают вид, подобный наблюдаемому для системыFe+3%Si (рис. 1.4в).
/>
Рисунок 1.4. — Изменениепространственной части волны деформации при распространении полос Людерса вмалоуглеродистой стали (/>и /> - положение фронтов полосво время регистрации спеклограммы, />-координата встречи полос Людерса).
фазовый волна пластическая деформация автоколебательная
Для этой стадиидеформирования скорость распространения волны v=0.0023 см/с. Указанноезначение v соизмеримо со скоростью фронта полосы Людерса, определенной путемкиносъемки процесса при освещении скользящим пучком света. Оно на порядокбольше скорости подвижного захвата нагружающего устройства. Таким образом,квазистатическая деформация сталей также носит волновой характер. Наблюдаемыеволны не являются упругими и их нельзя отождествлять с волнами пластичностиКольского, реализуемыми при ударном нагружении. Это следует из того факта, чтоволновые процессы последних двух типов характеризуются скоростямираспространения которые намного больше скорости обнаруженных в работе ФроловаК.В., Панина В.Е., Зуева Л.Б… Махутова Н.А., Данилова В.И… Мних Н.М. волнпластической деформации [3]. Приведенные экспериментальные данные показывают,что, по всей видимости, пластические волны образуются в результатесамоорганизации элементарных актов пластического течения.
Согласно одному изподходов к объяснению деформационного упрочнения при пластическом теченииструктурные изменения и перестройки в системе дефектов обусловлены релаксациейнапряжений в деформируемом твердом теле. При этом характерная неоднородностьполя напряжений и связанная с ней неоднородность пластической деформации говорято том, что образец является неравновесной системой, в которой происходитдиссипация упругой энергии. Последнее явление связано с релаксационнымипроцессами, осуществляемыми на различных структурных уровнях — рождением идвижением точечных дефектов, дислокаций, дисклинаций и т.д.
2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ2.1 Автоколебательная система «Хищник-жертва»2.1.1 Постановка задачи
Необходимо получить уравнение с безразмерными величинами,определить координаты особых точек. Найти показатели Ляпунова для особых точек,определить характер их устойчивости. Построить фазовые портреты системы. 2.1.2 Получение уравнений с обезразмеренными величинами.
Исследуемая система уравнений представляет обобщение схемыЛотки-Вольтерра, описывающей экологическую систему «Хищник-жертва». Ихуравнения эволюции имеют вид
/> (2.1)
/> (2.2)
где n,p – концентрация жертв и хищников соответственно; />,/> - их характерные временаизменения; /> - константа аннигиляциижертв; />, /> - постоянные, учитывающиеинтенсивность поглощения жертв хищниками (все указанные постоянныеположительны). Первое слагаемое в правой части (2.1) описывает увеличениеконцентрации дефектов-жертв под воздействием внешней нагрузки, второе – иханнигиляцию, третье – поглощение дефектами-хищниками. Первый член в части (2.2)представляет автономную регрессию хищников, второй – их рост за счет поглощенияжертв.
Введем безразмерные плотности дефектов час />,/> и время />, а также параметры /> и /> >1. Тогда системауравнений (2.1), (2.2) принимает вид
/> (2.3)
/>. (2.4)
Здесь все величины не имеют размерностей, следовательно, система былавполне успешно обезразмерена. 2.1.3 Определение координат особых точек
Поскольку аналитически получить точные зависимости из системы нелинейныхдифференциальных уравнений (2.3), (2.4) не представляется возможным, проведемее качественное исследование методом фазовой плоскости [4]. Такой анализ дает возможность определить характер фазовыхтраекторий, совокупность которых с различными начальными координатамиопределяет фазовый портрет системы. Точный его вид найдем путем численногоинтегрирования системы уравнений (2.3), (2.4).
Разделив почленно уравнение (2.3) на (2.4), получаем дифференциальноеуравнений первой степени
/>. (2.5)
Используя (2.5), найдем особые точки фазовой плоскости, т.е. точки в которыхнаправление касательной к фазовой траектории не определено. Для этого запишемсистему уравнений />:
/> (2.6)
/>. (2.7)
Эта линейная система уравнений имеет три решения. Следовательно, имеемтри критические точки: О(0,0); S(0,1);F(/>.2.1.4Нахождение показателей Ляпунова для особых точек.Определение характера особых точек.
1) точка O (0,0). Положим в уравнениях (2.3) и(2.4) />,/> и приравняем левые части кнулю.
В итоге получим:
/>= />, (2.8)
/> (2.9)
где проведем линеаризацию, т.е. опустим все нелинейные слагаемые по малымсмещениям/> и />. В результате получим
/> (2.10)
/> (2.11)
Условие разрешимости системы имеет вид:
/>,
D =/> (2.12)
/>=/>.
Таким образом видимо, что корни рациональны и имеют разные знаки.Следовательно точка О является седлом.
2) Точка />. Положим вуравнениях (2.3) и (2.4) />,/> и приравняем левые части кнулю.
В итоге получим:
/>= />, (2.13)
/> (2.14)
где проведем линеаризацию, т.е. опустим все нелинейные слагаемые по малымсмещениям/> и />. В результате получим
/> (2.15)
/> (2.16)
В итоге ляпуновские показатели для точки S будут следующими:
/>=/>. (2.17)
Таким образом видно, что корни также рациональны и имеют разные знаки. Следовательно,точка S является седлом.
2) Точка />. Положим вуравнениях (2.3) и (2.4) />,/> и приравняем левые части кнулю.
В итоге получим:
/>= />, (2.18)
/> (2.19)
где проведем линеаризацию, т.е. опустим все нелинейные слагаемые по малымсмещениям/> и />. В результате получим
/> (2.20)
/> (2.21)
В итоге ляпуновские показатели для точки S будут следующими:
/>=/>. (2.22)
Проведем анализ полученных результатов. С учетом того, что в формуле(2.22) присутствует радикал то можно сделать вывод, что при значениях параметра/>, ограниченных сверхувеличиной
/>=/>, (2.23)
ляпуновские показатели вещественны и отрицательны а с ростом до значенийпревышающих критическое, они становятся комплексными с отрицательнойдействительной частью. Следовательно, в этих пределах точка F представляетустойчивые узел и фокус соответственно.
Можно сделать вывод, что системы, в которых предпочтителен колебательныйрежим реализуются, если интенсивность процессов аннигиляции жертвы мала посравнению с интенсивностью процесса ее поглощения хищником. С другой стороны,характерное время автономной эволюции хищника должно быть малым в сравнении ссоответствующим временем для жертвы./>
2.1.5 Построение фазовых портретов
Для построения фазовыхпортретов были использованы слабый численный метод Рунге-Кутта 4 порядкаточности. Среда реализации – математический пакет Matlab. Для получения данных,численно интегрировалась обезразмеренная система дифференциальных уравнений(2.3), (2.4). Полученные результаты изображены на рис. 2.1-2.2.
/>
Рисунок 2.1. — Фазовыйпортрет системы «Хищник-жертва»: режим регрессии. />
/>
Рисунок 2.2. — Фазовыйпортрет системы «Хищник-жертва»: режим регрессии. />
2.2 Волны пластической деформации2.2.1 Постановка задачи
Необходимо получить уравнение с безразмернымивеличинами, определить координаты особых точек. Найти показатели Ляпунова дляособых точек, определить характер их устойчивости. Построить фазовые портретысистемы. 2.2.2 Получениеуравнений с обезразмеренными величинами.
Исследуемая система уравнений имеют вид
/> (2.24)
/> (2.25)
Введем безразмерное напряжение />, время />, а также параметры />, />, /> >1. Тогда системауравнений (2.1), (2.2) принимает вид
/> (2.26)
/>. (2.27)
Здесь все величины не имеют размерностей, следовательно, система былавполне успешно обезразмерена.2.2.3 Определениекоординат особых точек
Поскольку аналитически получить точные зависимости из системы нелинейныхдифференциальных уравнений (2.26), (2.27) не представляется возможным, проведемее качественное исследование методом фазовой плоскости. Такой анализ даетвозможность определить характер фазовых траекторий, совокупность которых сразличными начальными координатами определяет фазовый портрет системы. Точный еговид найдем путем численного интегрирования системы уравнений (2.26), (2.27).
Разделив почленно уравнение (2.26) на (2.27), получаем дифференциальноеуравнений первой степени
/>. (2.28)
Используя (2.28), найдем особые точки фазовой плоскости, т.е. точки вкоторых направление касательной к фазовой траектории не определено. Для этогозапишем систему уравнений />:
/> (2.29)
/>. (2.30)
Эта линейная система уравнений имеет одно решение. Для удобства запишемего таким образом: /> где
/>. (2.31)2.2.4 Нахождениепоказателей Ляпунова для особых точек. Определение характера особых точек.
1) точка />. Положим вуравнениях (2.26) и (2.27) />,/> и приравняем левые части кнулю.
В итоге получим:
/>= />, (2.32)
/> (2.33)
где проведем линеаризацию, т.е. опустим все нелинейные слагаемые по малымсмещениям/> и />. Условие разрешимостисистемы имеет вид:
/>,
D =/>/> (2.34)
/>=/>.
где
/> =/>/> (2.35)
/>=/> (2.36)
Таким образом, видимо, что характер поведения определяется величинойпараметра /> Если параметр лежит винтервале:
/>, (2.37)
то особая точка будет устойчивым фокусом, следовательно, возможныколебания.
Система имеет тенденцию проявлять максимально колебательное поведение вовремени при убывании /> и возрастанииостальных параметров. Максимальное отношение частоты к коэффициенту затуханияреализуется в предельных условиях когда />,а остальные параметры стремятся к бесконечности. Однако даже при такихоптимальных условиях частота не превышает обратного времени затухания. Чтозначит, что фазовый переход невозможен и волны пластической деформациипрактически нереализуемы.2.1.6 Построениефазовых портретов
Для построения фазовыхпортретов были использованы слабый численный метод Рунге-Кутта 4 порядкаточности. Среда реализации – математический пакет Matlab. Для получения данных,численно интегрировалась обезразмеренная система дифференциальных уравнений (2.26),(2.27). Полученные результаты изображены на рис. 2.3-2.4
/>
Рисунок 2.3. — Фазовыйпортрет системы с волнами пластической деформации: типичная картина поведения. />
/>
Рисунок 2.4. — Фазовыйпортрет системы с волнами пластической деформации: оптимальный режим поведения. />
ВЫВОД
В данной работе были рассмотрены фазовыепереходы в автоколебательной системе «Хищник-Жертва» и в системе с волнамипластической деформации. Для обоих случаев были получены необходимые уравненияв обезразмеренном виде, после чего были определены координаты особых точек,найдены показатели Ляпунова для найденных точек. Был исследован характер особыхточек.
В частности для системы «Хищник-Жертва» былинайдены три критические точки, две из которых являются седлами, а третья взависимости от различных значений параметра, может быть либо узлом, либофокусом. Фокус соответствует режиму колебаний. Следовательно, в системе«Хищник-Жертва» возможны автоколебания.
Для волн пластической деформации найденавсего одна критическая точка, которая является устойчивым фокусом. Былоопределено, что, не смотря на возможность устоявшегося колебательного режима,волны пластической деформации практически нереализуемы.
После решения были построены фазовые портреты для каждой из систем.
В ходе работы были найдены особые точки и показатели Ляпунова из системыдифференциальных уравнений методом фазовой плоскости. После чего были численнорешены эти же системы дифференциальных уравнений и были построены фазовыепортреты.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Олемской А.И., Хоменко А.В.Синергетика конденсированной среды: Учебное пособие. – Сумы: Изд-во СумГУ,2002. – 19-44 с., 373 с.
2. Гнеденко Б.В. Курс теориивероятности. – М.: Наука, 1988. – 448 с.
3. Методичні вказівки довиконання курсової роботи з курсу «Моделювання фізичних процесів і систем» /Укладач: Хоменко О.В. – Суми: СумДУ, 2009. – 14с.
4. Методичні вказівки довиконання курсової роботи з курсу «Моделювання фізичних процесів і систем» натему «Синергетична кінетика плавлення ультра тонкої плівки мастила »/ Укладач:Хоменко О.В. – Суми: СумДУ, 2010. – 4 — 11 с.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Программная реализация построения фазовых портретов волнавтоколебательной системы
clear all;
alpha=0.8;
beta=1.1;
f=@(t,y)[-(y(1)/alpha)*(1-beta*y(2));y(2)*(1-y(1)-y(2))];
for i=0:1/5:1,
for j=0:1/5:1,
[T,Y]=ode45(f,[0 100],[i j]);
plot(Y(:,1),Y(:,2));
hold on;
end
end
hold off;
axis([0 1 0 1]);
pause;
clear all;
alpha=0.8;
beta=10;
f=@(t,y)[-(y(1)/alpha)*(1-beta*y(2));y(2)*(1-y(1)-y(2))];
for i=0:1/2:1,
for j=0:1/2:1,
[T,Y]=ode45(f,[0 100],[i j]);
plot(Y(:,1),Y(:,2));
hold on;
end
end
hold off;
axis([0 5.5 0 0.6]);
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
Программная реализация построения фазовых портретов волн пластическойдеформации
clear all;
alpha=1; beta=1; gamma=1;
f=@(t,y)[-y(1)+alpha*y(2);beta*(1-y(2)-gamma*y(1)*y(2))];
for i=0:1/5:1,
for j=0:1/5:1,
[T,Y]=ode45(f,[0 100],[i j]);
plot(Y(:,1),Y(:,2));
hold on;
end
end
hold off;
axis([0 1 0 1]);
pause;
clear all;
alpha=20.48;
beta=0.043;
gamma=25;
f=@(t,y)[-y(1)+alpha*y(2);beta*(1-y(2)-gamma*y(1)*y(2))];
for i=0:1/5:1,
for j=0:1/5:1,
[T,Y]=ode45(f,[0 100],[i j]);
plot(Y(:,1),Y(:,2));
hold on;
end
end
hold off;
axis([0 5.5 0 0.6]);
pause;
clear all;
alpha=1;
beta=10;
gamma=1;
f=@(t,y)[-y(1)+alpha*y(2);beta*(1-y(2)-gamma*y(1)*y(2))];
for i=0:1/5:1,
for j=0:1/5:1,
[T,Y]=ode45(f,[0 100],[i j]);
plot(Y(:,1),Y(:,2));
hold on;
end
end
hold off;