Методическоепособие
Составитель: доц Л.А.Молибошко
КОМПЬЮТЕРНЫЕ МОДЕЛИ
АВТОМОБИЛЕЙ
БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
МИНСК
2003
СОДЕРЖАНИЕ
TOC o «1-3»
ВВЕДЕНИЕ… PAGEREF _Toc32140438 h
1. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ… PAGEREF _Toc32140439 h
1.1. Темы лекций и ихсодержание..................................................PAGEREF _Toc32140440 h
1.4. Основная литература...............................................................PAGEREF _Toc32140443 h
1.5.Дополнительнаялитература......................................................PAGEREF _Toc32140444 h
1.6. Компьютерные программы и другие
научно-методическиематериалы .............................................PAGEREF _Toc32140446 h
2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДИСЦИПЛИНЫ… PAGEREF _Toc32140447 h
2.1.Введение................................................................................PAGEREF _Toc32140448 h
2.2. Динамические модели............................................................PAGEREF _Toc32140449 h
2.2.1. Общие сведения… PAGEREF _Toc32140450 h
2.2.2. Приведение динамической модели… PAGEREF _Toc32140451 h
2.2.3. Упрощение динамической модели… PAGEREF _Toc32140452 h
2.3. Составление уравнений движения........................................PAGEREF _Toc32140453 h
2.4. Численное решение дифференциальных уравнений..............PAGEREF _Toc32140455 h
2.5. Метод итераций..................................................................PAGEREF _Toc32140456 h
2.6. Структурные схемы и графы… PAGEREF _Toc32140457 h
2.6.1. Структурные схемы… PAGEREF _Toc32140458 h
2.6.2. Графы… PAGEREF _Toc32140459 h
2.7. Передаточные функции объектов..........................................PAGEREF _Toc32140460 h
2.8. Частотные характеристики объекта.......................................PAGEREF _Toc32140461 h
2.8.1. Амплитудные частотные характеристики… PAGEREF _Toc32140462 h
2.8.2. Собственные колебания иформы… PAGEREF _Toc32140463 h
2.8.3. Собственные частоты… PAGEREF _Toc32140464 h
2.9. Вероятностные моделиобъектов............................................PAGEREF _Toc32140465 h
2.9.1. Общие сведения о случайныхфункциях… PAGEREF _Toc32140466 h
2.9.2. Математическая модель дороги… PAGEREF _Toc32140467 h
ВВЕДЕНИЕ
Дисциплина «Компьютерные модели автомобилей» базируется наобщетехничесикх дисциплинах: вычислителньой технике и информатике, высшейматематике, теоретической механике. Кроме того, она требует знаний конструкцииавтомобиля.
Цель дисциплины – научить будущего инженера-механика самостоятельно составлять расчетные схемы(модели); находить их характеристики и параметры; выводить уравнения движения;использовать численные методы их решення; умению решать с помощью компьютераразличные практические задачи, возникающие перед конструктором приконструировании и расчете автомобиля; уметь оценивать и анализироватьполученные результаты.
Знания, полученные студентами при изучении дисциплины, используются в дальнейшемпри выполнении курсовых работ и проектов, в том числе при выполнении дипломногопроекта.1. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ1.1.Темы лекций и их содержание
1.1.1 Введение
Цели и задачи дисциплины. Место дисциплины среди другихдисциплин. Роль моделирования в процессе разработки автомобильной техники.Связь между моделированием, техникой безопасности и экологией.
1.1.2. Общиевопросы моделирования
Понятие объекта и его модели. Требования к моделям.Классификация моделей. Математические и компьютерные модели. Структурные ифункциональные модели. Микро-, макро- и метамодели. Аналитические,алгоритмические и имитационные модели. Детерминированные и вероятностные модели.
1.1.3. Методы построения моделей
Основные этапы построения модели. Выбор основных свойствобъекта. Сбор исходной информации. Разработка структуры модели. Преобразованиемодели: дискретизация, линеаризация, приведение, упрощение. Оценкаадекватности, универсальности, экономичности модели. Методы получениякомпьютерной модели.
1.1.4. Компьютерные модели на микроуровне
Круг задач, решаемых на микроуровне. Общее квазигармоническоеуравнение. Уравнение напряженного состояния деталей. Продольные, крутильные,поперечные колебания стержней и валов. Уравнение Навье-Стокса для изученияаэродинамических качеств автомобиля. Уравнения для расчета теплового состояниядеталей. Граничные условия.
Численные методы решения уравнений в частных производных,методы сеток. Этапы решения: дискретизация задачи, алгебраизация, составлениесистемы уравнений. Методы конечных разностей, конечных и граничных элементов.Дискретизация механических систем с распределенными параметрами.
1.1.5. Компьютерные модели на макроуровне
Методы составления обыкновенных дифференциальныхуравнений. Использование принципа Даламбера и уравнений Лагранжа II рода.Примеры составления уравнений движения технических объектов. Преобразованиедифференциальных уравнений для решения их численными методами на компьютере.Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы Рунге-Кутта, методыпрогноза и коррекции.
1.1.6. Структурные схемы и графы объектов
Общие понятия о топологических формулах. Принципы и методысоставления структурных схем, использование их в различных областях науки итехники. Примеры составления структурных схем. Графы технических объектов.Направленные и ненаправленные графы. Основныяпонятия теории направленных графов. Формула Мэзона. Методы составления и преобразованияграфов. Примеры составления графов.
1.1.7. Передаточные функции технических объектов
Основные понятия о передаточных функциях техническихобъектов. Нахождение передаточной функции по уравнениям движения, структурнымсхемам и графам. Передаточные функции механических систем. Запись передаточныхфункций объекта по геометрическому виду его динамической модели (безсоставления уравнений движения).
1.1.8.Колебания динамических моделей
Основные понятия теории колебаний Виды колебаний:собственные, вынужденные, резонансные, параметрические, автоколебания.Формы колебаний.
Характеристическое и частотное уравнения динамическоймодели. Собственные частоты динамической модели. Методы записи частотныхуравнений и нахождения собственных частот. Запись уравнения частот объектаметодом последовательного расщепления ее динамической модели. Схема алгоритмакомпьютерной программы для нахождения собственных частот.
1.1.9. Вероятностные модели автомобилей
Общие сведения о вероятностных моделях. Случайные процессыи их характеристики. Понятие об эргодичности и стационарности случайногопроцесса. Плотность вероятности, математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическоеотклонение, корреляционная функция и спектральная плотность случайного процесса.
Случайные возмущения, действующие на автомобиль.Математическая модель дороги. Спектральная плотность дороги и еехарактеристики. Нахождение дисперсии ускорений подрессоренной массы придвижении автомобиля по неровной дороге.
1.1.10. Компьютерная модель трансмиссии
Динамическая модель трансмиcии, этапы составления модели.Модели двигателя, сцепления, коробки перадач, карданной передачи, ведущегомоста, колес, подвески. Динамическая модель трансмиссии.
Определение параметров динамической модели трансмиссии.Приведение параметров к одной базовой координате. Упрощение модели, понятие опарциальных системах и частотах.
Уравнения движения динамической модели трансмиссии.Преобразование уравнений для их расчета на компьютере. Характеристическое и частотноеуравнения динамической модели трансмисии. Компьютерная модель автомобиля.
1.1.11.Компьютерная модель подвески
Динамическая модель подвески. Определение параметровдинамической модели подвески. Уравнения движения динамической модели подвески.Преобразование уравнений для их расчета на компьютере. Характеристическое и частотноеуравнения динамической модели подвески. Компьютерная модель подвески.1.4. Основнаялитература
1. Тарасик В.П. Математическое моделирование техническихсистем.: Учебник для ВУЗов.- Мн.: ДизайнПРО,1997.– 640 с.
2. САПР. Кн.1. Принципы построения и структура. / НоренковИ.П.- Мн.: Выш. школа, 1987. – 123 с.
3. САПР. Кн.4. Математические модели технических объектов. / В.А.Трудоношин, Н.В.Пивоварова — Мн.: Выш. шк., 1988. – 159с.
4. Применение ЭВМ при конструировании и расчетеавтомобиля. / А.И. Гришкевич, Л.А. Молибошко, О.С. Руктешель, В.М. Беляев / Подобщ. ред. А.И. Гришкевича. – Мн.: Выш… шк., 1978. – 264 с.
5. Молибошко Л.А., Гришкевич А.И., Руктешель О.С.Динамические расчеты транспортных машин. — Мн.: БПИ, 1977.- 68 с.
6. Гришкевич А.И. Автомобили: Теория. – Мн.: Выш. шк.,1986.–208 с.
7. Автомобили. Конструкция, конструирование и расчет.Трансмиссия. / Под ред. А.И. Гришкевича. — Мн.: Выш. шк., 1985. – 240 с.
8. Автомобили. Конструкция, конструирование и расчет.Системы управления и ходовая часть./ Под ред. А.И. Гришкевича. — Мн.: Выш.шк., 1987. – 200 с.
7. Молибошко Л.А. Исследование динамических систем спомощью передаточных функций. Инженер-механик, № 2, 2001.1.5.Дополнительнаялитература
1. Самарский А.А. Введение в численные методы. — М.:Наука, 1987.–288 с.
2. Бахвалов Н.С. и др. Численные методы. — Наука, 1987. –600 с.
3. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы иаппроксимация.–М.: Мир,1986. – 318с.
4. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. – М.:Высш. школа, 1980. — 408 с.
5. Силаев А.А. Статистическая теория подрессориваниятранспортных машин. – М.: Машиностроение, 1972. – 192 с.
6. Фурунжиев Р.И.и др. Применение математических методов иЭВМ: практикум. — Мн.: Выш. шк., 1988. – 191 с.1.6.Компьютерные программы и другие научно-методические материалы
1. Комплекс программ, обеспечивающих решение задач всоответствии с примерным перечнем лабораторных и практических занятий.
2. Проектирование автомобиля (алгоритмы и программы). Часть2. Конструирование и расчет автомобиля.Методические указания для студентов специальности «Автомобиле- и тракторостроение»/ О.С. Руктешель, Л.А. Молибошко, В.А.,Сергеенко и др. — Минск: БГПА,1992.
3. Проектирование автомобиля (алгоритмы и программы).Часть3. Математические модели в расчетах на ЭВМ. Основы САПР автомобиля. Методические указания для студентов специальности«Автомобиле- и тракторостроение» /О.С. Руктешель, Л.А. Молибошко,А.М. Сапелкин и др. — Минск: БГПА, 1993.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДИСЦИПЛИНЫ2.1. Введение
Модель – это некоторое средство, с помощью которогособирается полезная информация о реальном объекте. Таким образом, модель должнасодержать (отображать) изучаемые свойства объекта. Моделирование – исследованиеобъекта с помощью модели. В зависимости от вида различают физические, математические,компьютерные модели. иногда к ним добавляют мысленные и документальные модели.
Математическая модель – это совокупность математическихобъектов (матриц, уравнений, чисел, переменных и т.д.) и соотношений междуними, отражающих требуемые свойства моделируемого объекта. Компьютерная модель- это математическое описание моделируемого объекта, находящееся в компьютере.Иначе, это программный продукт, состоящий из одного или нескольких файлов.
Компьютерная модель должна соответствовать ряду тебований: универсальности, адекватности,точности, экономичности. Адекватность характеризует полноту отображаемых в моделисвойств реального объекта. Точность оценивается степенью совпадения значенийпараметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных спомощью модели. Адектватность характеризует способность модели отображатьзаданные свойства с точностью не ниже заданной. Экономичность моделиоценивается затратой вычислительных ресурсов на ее реализацию.
Модели разделяют по следующим классификационным признакам:
· по типу отображаемых свойств объекта – структурные,функциональные;
· по принадлежности к иерархическому уровню – на моделина микро-, макро- и метауровне;
· по форме представления свойств объекта – награфические, аналитические, алгоритмические, имитационные;
· по способу определения параметров – на теоретические,эмпирические, комбинированные;
· по характеру изменения параметров и свойств обекта – надетерминированные и вероятностные. 2.2. Динамические модели2.2.1. Общие сведения
Динамические модели автомобилей состоят из отдельныхэлементов: инерционных, упругих, диссипативных, редукторных.
Инерционное звено обладает только инерционнымисвойствами. Абсолютно инерционныхзвеньев на самом деле не существует. Всереальные звенья кроме инерционных, обладают еще упругими и диссипативнымисвойствами. При расчетах автомобиля инерционными звеньями считают маховикдвигателя, массу автомобиля.
Инерционное звено аккумулирует кинетическую энергию.Инерционность оценивается при прямолинейном движении — массой m (кг), а приугловом — моментом инерции J (кг×м2).
Условные обозначения инерционных звеньев: прямоугольникдля моделей с поступательным перемещением масс и окружность – с угловымперемещением.
Упругое звено имеет только упругие свойства. Ктаким звеньям можно придти, когда инерционные и диссипативные качества звенанезначительные. Упругие звенья аккумулируют потенциальную энергию. Примерамитаких звеньев являются полуоси, пружины, торсионы, валы.
Упругие качества оцениваются жесткостью с, под которойпонимают отношение изменения силы (момента), приложенной к звену, к егодеформации. Часто используют обратную величину — податливость е = 1/с.
Условные обозначения упругих звеньев динамических моделей- прямые или ломаные линии (пружины) .
Диссипативные звенья рассеивают энергию. Чисто диссипативных звеньев не существует. Кним можно отнести амортизаторы автомобиля. Оцениваются коэффициентом демпфированияb, под которым подразумевают отношение силы (момента) к скорости его деформации.
Параметры звеньев находят теоретическими илиэкспериментальными методами. Дляпростейших деталей формулы для расчета моментов инерции и жесткостейприводятся в соответствующей литературе.
Редукторные звенья изменяют скорость перемещениямасс системы. Характеризуются передаточным отношением. Примерами таких звеньевявляются коробка передач, дополнительная передача, главная передача и т. д.2.2.2. Приведение динамической модели
Приведенная модель не имеет редукторных звеньев и потомувсе инерционные звенья перемещаются в установившемся режиме с одной скоростью.Параметры системы обычно приводятся к одной базовой координате. При этомэнергии звеньев до и после приведения должны остаться неизменными.
Соответствующие формулы для выполнения приведения:
mп = mс/u2 и Jп= Jс/u2 — для инерционных звеньев;
сп = сс/u2, еп = ес×u2 — для упругих звеньев;
bп = bс/u2 - для диссипативных звеньев,
где u — передаточное отношение редукторных звеньев,размещенных между базовой координатой и координатой, соответствующей приводимомузвену.
Нижний индекс «п» соответствует приведенномузвену, а «с» — неприведенному.
Пример выполнения приведения показан на рис. 1.
Рис.1. Приведениепараметров динамической модели к массе Jа.2.2.3. Упрощение динамической модели
Упрощение выполняется с целью ускорения и облегчения выполнения расчетовпри практической неизменной точности.
Из теории колебаний известно, что собственные частотыобъекта, большие чем в 4 раза за анализируемый частотный диапазон, практическине оказывают влияния на точность выполнения расчетов. Этот постулат является основой для выполнения упрощения.
Наибольшее распространение имеет метод парциальных систем,который включает следующие этапы:
1. Модель разбивается на парциальные системы двух типов(рис.2).
2. Рассчитываются квадраты собственных (парциальных) частот этих систем pi2 и qi2 (рис. 3).
Находится парциальная система с максимальной частотой рmax или qmax.
4. Найденная парциальная система преобразовывается вэквивалентную парциальную систему другого типа (рис. 4).
5. Преобразованная система встраивается в упрощаемуюдинамическую модель вместо системы с рmax или qmax .
6. Однотипные параметры модели суммируются, в результатечего получается упрощенная модель с меньшей на 1 количеством масс.
7. Выполняется проверка возможности дальнейшего упрощениямодели и при положительном результате процесс повторяется.
Парциальная система получается из динамической модели,если принять во внимание только одну координату, а остальные приравнять к нулю.Если обобщенными координатами являютсямоменты в упругих звеньях или их деформации, то получаются парциальные системыпервого типа; если углы поворота масс — парциальные системы второго типа.
Рис. 2. Разбивкадинамической модели на парциальные
системы двух типов
Рис. 3. Значенияквадратов собственных (парциальных) частот
парциальных системдвух типов
Рис. 4.Преобразование парциальной системыодного типа
в парциальнуюсистему второго типа.2.3.Составление уравнений движения
Существуют разные методы. Наиболее распространенные — принцип Даламбера и уравнения Лагранжа второго рода.
Принцип Даламбера основан на сведении задачдинамики к задачам статики путем приложения к массам сил инерции. Уравнениядвижения записываются непосредственнокак сумма активных сил, реакций и сил инерции, действующих вдоль рассматриваемойкоординате.
Уравнения Лагранжа обычно записывают в виде
,
где Eк, EП иФ — энергии системы: кинетическая, потенциальная и функция рассеивания Ф; Qi — внешняя сила, действующая вдоль координаты qi. Нужно иметь в виду,что Ек, записанная в декартовых координатах, является функциейтолько скоростей и не зависит от координатыqi. Однако, записанная в обобщенныхкоординатах, Ек может бытьфункцией qiи qi'.
Внешняя сила Qi при необходимости находится какпроизводная виртуальной работы W по qi:
Полная кинетическая энергия .
Потенциальная энергия (понимается как приращение приперемещении масс)
,
где ci,cjj — жесткости линейные и угловые упругих звеньев;
Di, ej — линейные иугловые деформации.
Функция рассеивания где Fi — сила трения.
Если Fi =biqi ' и bi = const, то
Для силы постоянного трения F = Fо sqn (qi‘) и
Пример 1. Используяпринцип Даламбера, записать уравнения движения для трехмассовой динамическоймодели (рис. 5).
Рис. 5.Трехмассовая динамическая модель
Решение. Суммируякрутящие моменты, действующие вдоль обобщенных координат j1,j2и j3, получим:
J1j1”+M1=M0;
J2j2”-M1+M2=0;
J3j3”-M2=0,
где M1 = Mb1+Mc1 = b1() + c1(j1-j2);
M2 = Mb2+Mc2 = b2() +c2(j2-j3).
После простых преобразований получаем систему уравненийотносительно углов поворота масс ji:
(J1j1”+ b1 + c1j1) – (b1 + c1j2)= M0;
[J2j2”+(b1+b2)1+c2)j2] – (b11j1) – (b22j3) = 0;
(J3j3”+b2 + c2j3) – (b2 + c2j2) = 0.
Пример 2. Используя уравнения Лагранжа II рода, вывести уравнения движения дляподвески автомобиля (рис. 6).
Решение. Кинетическая энергия системы
Eк= 0,5(mz’2 +Jj’2+m1).
Приняв за начало координат положение статическогоравновесия, получим для потенциальной энергии
Еп = 0,5(ср1
где Di– деформации упругих элементов (рессор и шин):
Dр1= x1– z1; Dр1 = x1– z1; Dш1 = q1 -x1; Dш2 = q2 — x2.
Перемещения z1 и z2подрессоренной массы mнад балками переднего и заднего мостов соответственно равны: z1 = z+ aj и z2 = z — bj.
Рис. 6.Трехмассовая динамическая модель подвески автомобиля
Сучетом сказанного выражение для потенциальной энергии принимает вид:
Еп = 0,5[ср1(x1-z-aj)2+ср2(x1-z+bj)2+сш1(q1-x1)2+сш2(q2-x2)2].
Энергия, рассеиваемая в системе:
Ф = 0,5(kр1
После дифференцирования энергий и подстановки полученныхпроизводных в уравнения Лагранжа, число которых равно числу обобщенныхкоординат, получаем искомую систему уравнений.2.4. Численное решение дифференциальных уравнений
Численными методами решается уравнение первого порядка ввиде: y' = f(x,y) с заданными начальными условиями x0, y0,где x и y - независимая (обычно время) изависимая переменные. В дальнейшем будем считать такое уравнение записанным встандартном виде.
Уравнения высших порядков приводят к системе уравненийпервого порядка введением дополнительных переменных. Например, для уравнениявторого порядка
y" = f(x,y',y)
примем v=y'. Тогда y" = v'и имеем систему уравнений:
v’ = f(x, y, v);
y’ = v.
Графическая интерпретация численного решения обыкновенногодифференциального уравнения показана на рис. 7 на примере простейшего методаЭйлера. Известной является функция y0в точке x0.
Рис. 7. Графическая интерпретация метода Эйлера
Решение находится для ряда значений независимой переменной х с шагом h:
x1= x0+ h ; x2= x1 + h ; ... xn+1 = xn + h .
Значение y1 (рис. 7) находится на пересечении прямой,проведенной из точки (х0, у0) под углом a0= arctg(y0') и перпендикуляра, проведенного к оси абсцисс из точки х1.Процесс последовательно повторяется для других значений х:
y1 = y0+ h×y0'= y0+ h×f(x0,y0),
y2 = y1+ h×y1' = y1 + h×f(x1,y1), ...
yn+1= yn + h×yn' = yn + h×f(xn,yn) .
Недостатком данного метода является низкая точность решения. Для повышения точностирешения уменьшают шаг счета hили используют методы более высокого порядка. Под порядком метода понимаетсямаксимальный порядок производной рядаТейлора, учитываемый в численном методе
yn+1 = yn + h·yn' +h2/2·y” +h3/6·y(3) +...
Метод Эйлера учитывает производную только первого порядка,поэтому является методом первого порядка. Чаще всего используется методРунге-Кутта четвертого порядка, алгоритм которого имеет вид:
yn+1 = yn + (k1+ 2×k2+2×k3+ k4) / 6 ,
где k1= h×f(xn,yn);
k2= h×f(xn+ 0.5×h,yn+ 0.5×k1);
k3= h×f(xn+ 0.5