Активные rc-фильтры

ГЛАВА 2. АКТИВНЫЕ RC-ФИЛЬТРЫВ активных фильтрах, или фильтрах с обратными связями, используется параллельное соединение и другие виды соединений четырехполюсников. Четырехполюсник, по которому сигнал проходит с входа на выход, является неселективной цепью с коэффициентом передачи, не зависящим от частоты. В качестве такого четырехполюсника часто используют операционный усилитель. Четырехполюсник обратной связи обычно содержит селективную цепь. 2.1 Операционный усилитель Операционный усилитель по принципу действия сходен с обычным усилителем [1, 5]. Как и обычный усилитель, он предназна­чен для усиления напряжения или мощно­сти входного сигнала. Однако в то время как свойства и параметры обычного усилителя полностью определены его схемой, свой­ства и параметры операционного усилите­ля определяются преимущественно пара­метрами цепи обратной связи. Опера­ционные усилители выполняют по схеме усилителей постоянного тока с нулевыми значениями входного напряжения смеще­ния нуля и выходного напряжения. Они ха­рактеризуются также большим коэффи­циентом усиления, высоким входным и низким выходным сопротивлениями. Благодаря практически идеальным ха­рактеристикам операционных усилителей реализация различных схем на их основе оказывается значительно проще, чем на от­дельных транзисторах. На рис. 2.1 дано схемное обозначение операционного усилителя. Входной каскад его выполняется в виде дифференциально­го усилителя, так что операционный усили­тель имеет два входа. UDUNUpUα+Uп-Uп Рис. 2.1. Схемное обозначение операционного усилителя.В области низких ча­стот выходное напряжение Ua находится в той же фазе, что и разность входных напряжений ^ Р-вход называется неинвертирующим и на схеме операционного усилителя обозна­чается знаком «плюс». N-вход является инвертирующим и обозначается на схеме знаком «минус». Чтобы обеспечить возможность работы операционного усилителя как с положи­тельными, так и с отрицательными входными сигналами, используется двухполярное питающее напряжение UП. Дифференциальный коэффициент усиления операционного усилителя K=Ua/UD имеет конечную величину, которая лежит в пределах от 104 до 105. Он называется также собственным коэффициентом усиления операционного усилителя, т. е. усиления при отсутствии обратной связи. Передаточная характеристика идеаль­ного операционного усилителя должна проходить через нулевую точку. Для того чтобы сде­лать выходное напряжение равным нулю, необходимо подать на вход операционною усилителя некоторую разность напряже­ний. Эта разность напряжений называется напряжением смещения нуля U0. Оно со­ставляет обычно несколько милливольт и во многих случаях может не принимать­ся во внимание. Когда же этой величиной пренебречь нельзя, она может быть сведе­на к нулю. Для этого во многих интегральных схемах предусмотрены специальные клеммы [1]. В дальнейшем будет предпо­лагаться, что напряжение смещения нуля скомпенсировано и равно нулю. Тогда: Ua=KUD=K(UP-UN). Таким образом, в пределах динамического диапазона выходное напряжение операционного усилителя пропорционально разности входных напряжений. Если ввести последовательную обратную связь по напряжению, то коэффициент усиления такого усилителя имеет вид:где^ K - коэффициент усиления усилительного каскада при отсутствии обратной связи, Kф - коэффициент передачи четырехполюсника обратной связи. При KKФ>>1 коэффициент усиления охваченного обратной связью усилителя КА 1/KФ. Из этого соотношения следует, что коэффициент усиления усилителя с обратной связью определяется только обратной связью и не зависит от параметров самого усилителя. Если в качестве цепи обратной связи использовать простейший делитель напряжения и производить операцию вычитания напряжений с помощью дифференциальных входов операционного усилителя, то получится изображенная на рис.2.2 базовая схема охваченного обратной связью неинвертирующего усилителя.Если учесть, что для этой схемы Uобр=UN=IR1 и Uвых=I(R1+RN), то коэффициент усиления усилителя с такой обратной связью KA 1/KФ=1+RN/R1.Еще один способ включения обратной связи изображен на рис.2.3. Действие обратной связи заключается в том, что операционный усилитель обеспечивает такую величину выходного напряжения, что напряжение на его входе UN 0. Тогда Uвых=I2RN, а Uобр=I1R1. Если записать для узла на N-входе первый закон Кирхгофа при условии, что идеального операционного усилителя входной ток равен нулю: I1+I2=0, то коэффициент усиления KA - RN/ R1 . Это схема инвертирующего усилителя.^ 2.2 Активные RC -фильтры нижних и верхних частот 2.2.1 Реализация фильтров первого порядка Пере­даточная функция фильтра нижних частот первого порядка в общем случае имеет вид:K(p)=K0 / (1+a1p). (2.1) Фильтр с такой передаточной функцией может быть реализован, если в цепи обратной связи операционного усилителя использовать пассивный RC-фильтр первого порядка (рис.1.5). Для этого звена можно записать:Kф (p) = 1/(1 + cRCp).Положим, что коэффициент передачи по­стоянного сигнала K0 равен 1. Параметр a1 может быть выбран произвольно. Из сопо­ставления коэффициентов приведенных вы­ражений получим: RC=a1/c. Для всех ти­пов фильтров ( Баттерворта, Чебышева, Бесселя) первого порядка значение коэффициента a1 равно 1. При реализации фильтров более высокого порядка путем цепочечного соединения отдельных фильтров первого порядка (звеньев) встречаются звенья, для которых a1  1 . Это значит, что эти звенья фильтра имеют час­тоту среза, отличную oт частоты сре­за самого фильтра: fc1=fc/a1.Активный фильтр нижних частот 1-го порядка c RC-цепью обратной связи показан на рис.2.4. Получим передаточную функцию этого фильтра. Обозначим Z1=R1 и эквивалентное сопротивление R2C1- цепи Z2=R2/ (1+jC1R2). Сопротивления Z1 и Z2 - это элементы цепи параллельной отрицательной обратной связи по напряжению. Будем считать, что ток утечки между точкой N и землей отсутствует, а входное сопротивление усилителя бесконечно велико. Тогда ток входного сигнала будет протекать только через элементы цепи обратной связи Z1 и Z2 , т. е. Если учесть, что то передаточная функция такого фильтра будет иметь вид: Если собственный коэффициент усиления велик ^ K>>1, то потенциал точки N близок к нулю, и передаточная функция фильтра будет определяться только значениями элементов Z1 и Z2 цепи обратной связи:где K0 = - R2 /R1 , a1=сR2C1. Для расчета схемы необходимо задать ча­стоту среза с, коэффициент передачи постоянного сигнала K0 = - R2 /R1(для этой схемы он должен быть задан со знаком минус) и ем­кость конденсатора С1. Приравняв коэф­фициенты полученной передаточной функ­ции коэффициентам выражения (2.1), по­лучим: R2=a1/cC1 , R1= - R2 /K0 . Чтобы получить передаточную функцию фильтра верхних ча­стот первого порядка, необходимо в выражении (2.1) вели­чину p заменить на 1/p. Тогда На рис.2.5 показана схема активного фильтра верхних частот 1-го порядка.Его передаточная функция может быть получена из формулы: KA(p)= - Z2/Z1 и имеет вид:Тогда из сравнения с выражением (2.2) получим K∞= - R2/R1 , a1=1/ ωсR1С1. Как видно, частота среза определяется параметрами R1 и C1. ^ 2.2.2 Реализация фильтров второго порядкаНа основании выражения (1.3) запи­шем передаточную функцию фильтра нижних частот второго порядка в общем виде: (2.3) Если передаточные функции второго и более вы­сокого порядка характеризуются наличием комплексно-сопряженных корней полинома, стоящего в знаменателе, то они не могут быть ре­ализованы с помощью пассивных RC-цепей. Один из способов реализации подоб­ных фильтров состоит в применении активных фильтров. Схема активного RC-филь­тра нижних частот второго порядка с отрицательной обратной связью изображена на рис. 2.6. При тех же предположениях, что входное сопротивление и собственный коэффициент усиления усилителя бесконечно велики, запишем на основании законов Кирхгофа следующие соотношения: Из этих соотношений выразим Uвх через I1: С учетом того, что получим выражение для передаточ­ной функции Приравняв коэффициенты этой передаточ­ной функции коэффициентам выражения (2.3), получим:K0= - R2 /R1a1=сС1(R2+R3+R2R3/R1) b1=с2С1С2R2R3. Как видно, расчетные формулы справедливы для произвольных положительных значений a1 и b1. Таким образом, задавая эти значения для конкретных типов фильтров (Баттерворта, Чебышева, Гаусса), можно реализовать эти фильтры по одной схеме. Коэффи­циент передачи постоянного сигнала K0 фильтра оказывается отрицательным, по­этому прошедший через фильтр низкоча­стотный сигнал будет инвертирован. Для расчета фильтра можно, например, за­дать значения сопротивлений R1 и R3 и по приведенным формулам вычислить значе­ния R2, C1 и С2. Однако чтобы реальная схема фильтра имела желаемую амплитудно-частотную характе­ристику, входящие в нее элементы могут быть подобраны, исходя из следующих соображений. При подборе сопротивлений никаких проблем не возни­кает, поскольку их стандартные номиналы задаются с однопро­центным допуском. Что касается конденсаторов, то допуск их номинальных значений, как правило, соста­вляет 10% и более. В связи с этим лучше при расчете фильтра задавать значения емкостей конденсаторов и вычислять необходимые значения сопротивлений. По­этому решим уравнения относительно со­противлений: Для того чтобы значение сопротивления R2 было действительным, должно выпол­няться условие: При выполнении этого условия в процессе расчета фильтра не следует выбирать отношение C2/C1 много большим величины, стоящей справа. Если заменить в схеме на рис.2.6 сопротивления на емкости и наоборот, то получится ФВЧ 2-го порядка с отрицательной обратной связью (рис.2.7). Чтобы записать выражение передаточной функции для фильтра верхних частот 2-го порядка, нужно в формуле (2.3) в соответствии с преобразованием частот вместо p подставить 1/p . Тогдапричем полиномиальные коэффициенты знаменателя связаны с подобными коэффициентами прототипа следующим образом: a1в= a1/b1, b1в=1/b1. Рис.2.7. Активный фильтр верхних частот 2-го порядка с отрицательной обратной связью.По аналогии с ФНЧ 2-го порядка, можно получить коэффициенты передаточной функции для фильтра верхних частот:, . Активный фильтр может быть также построен на основе операционного усилителя с положительной обратной связью. На рис.2.8 представлен фильтр нижних частот второго порядка с положительной обратной связью. От­рицательная обратная связь, сформирован­ная в этой схеме с помощью делителя напряжения R3, (-1)R3, обеспечивает коэф­фициент усиления, равный , который имеет строго определенное значение. Селективные свойства положитель­ной обратной связи обусловлены наличием конденсатора C2. Передаточная функция фильтра описывается следующим выражением:Расчеты можно упростить, положив R1=R2 =R и C1=C2 =C. Тогда передаточная функция фильтра будет иметь вид:Отсюда с учетом формулы (2.3) получим: где Qi – добротность полюсов звеньев фильтра. Она определяется по аналогии с добротностью избирательных фильтров: Из выше приведенных соотношений видно, что коэффициент  определяется задаваемым типом фильтра и не зависит от частоты среза. Таким образом, выбрав значения коэффициентов a1, и b1 для конкретного типа фильтра, необходимо обеспечить и соответствующий коэффициент усиления . Существенным недостатком рассматриваемой схемы фильтра нижних частот с положительной обратной связью является необходимость тщательной настройки коэффициента усиления, так как усилитель может переходить в режим самовозбуждения при значениях , близких к 3. Положительным моментом является то, что для построения фильтров различного типа достаточно изменить лишь значение  при одних и тех же параметрах R и С. Кроме того, в этой схеме очень просто изменять частоту среза, используя сдвоенный потенциометр для одновременного изменения сопротивлений r1 и R2. Поменяв местами сопротивления и емкости, получим фильтр верхних частот с положительной обратной связью (рис.2.9).Его передаточная функция имеет вид: Для упрощения расчетов положим  = 1 и С1 = С2 = С. При этом получим следующие расчетные формулы:K=1, R1=1/cСa1,R2=a1/cCb1. Если амплитудно-частотная характеристика фильтра второго порядка оказывается недостаточно крутой, следует применять фильтр более высокого порядка. Для этого можно использовать цепочечное соединение звеньев, представляющих собой фильтры первого и второго порядков. В этом случае их коэффициенты передачи перемножаются. Однако следует иметь в виду, что цепочечное соединение, например двух фильтров Баттерворта второго порядка, не приведет к получению фильтра Баттерворта четвертого порядка. Результирующий фильтр будет иметь другую частоту среза и другую частотную характеристику. Поэтому необходимо задавать такие параметры звеньев фильтра, чтобы результат перемножения их частотных характеристик соответствовал желаемому типу фильтра. ^ 2.3 Активные полосовые RC-фильтры Простейший полосовой фильтр можно получить, применив к фильтру нижних частот первого порядка преобразование частоты, т. е. провести замену переменных в выражении для передаточной функции (2.1) фильтра нижних частот первого порядка: p→(1/∆Ω)(p+1/p).При этом передаточная функция полосового фильтра будет иметь второй порядок: где ∆Ω - нормированная полоса пропускания. Нормированная полоса ∆Ω=Ωmax-Ωmin определяется для нормированных частот среза, на которых коэффициент передачи фильтра уменьшается на 3 дБ, причем ΩmaxΩmin=1. Такой полосовой фильтр имеет геометрически симметричную частотную характеристику затухания относительно нормированной средней частоты Ω=j/r =1. Исходя из свойств данного преобразования, можно заключить, что коэффициент K0 равен коэффициенту передачи полосового фильтра на резонансной частоте: K0=Kr. По аналогии с колебательным контуром определяется добротность полосового фильтра: Q=1/ΔΩ. Таким образом, основные параметры фильтра непосредственно входят в его передаточную функцию. Из этого также следует, что можно использовать отрицательную обратную связь, представленную в ФНЧ и ФВЧ второго порядка, для построения полосового фильтра (рис.2.10). Его передаточная функция имеет следующий вид: Из сравнения этого выражения с передаточной функцией (2.4) следует, что коэффициент при p2 должен быть равен 1. Отсюда находим резонансную частоту: Подставив это выражение для резонансной частоты в формулу для KA(p) и приравняв соответствующие коэффициенты передаточной функции к коэффициентам выражения (2.4), полу­чим соотношения для вычисления параметров фильтра:Из них видно, что коэффициент передачи на резонансной частоте Kr, добротность Q и резонансная частота fr рассматриваемого полосового фильтра мо­гут выбираться произвольно. Полоса пропускания фильтра ∆F =1/πR2C не зависит от R1 и R3, а Kr – от R3. Поэтому можно изме­нять резонансную частоту fr , варьируя ве­личину сопротивления R3, что не приводит к изменению коэффициента передачи Kr и ширины полосы пропускания фильтра.С помощью резистора R3 можно добиться высокой добротности фильтра при малом коэффициенте передачи Kr. Коэффи­циент передачи фильтра определяется лишь ослаблением входного сигнала делителем напряжения R1, R3. Поэтому коэффициент усиления операционного усилителя при отсутствии нагрузки должен превышать 2Q2. Выполне­ние этого требования особенно важно по­тому, что оно должно удовлетворяться и на резонансной частоте. Об этом следует помнить при выборе операционного усили­теля для фильтра, особенно при работе в высокочастотном диапазоне. Применение положительной обратной связи для построения схемы полосового фильтра иллюстрируется на рис.2.11. С помощью делителя напряжения R1 и (-1)R1 цепи отрицательной обратной связи за­дается коэффициент усиления операцион­ного усилителя, равный . Передаточная функция фильтра имеет вид: Приравнивая коэффициенты этого выраже­ния к коэффициентам передаточной функ­ции (2.4), получим формулы для расчета параметров фильтра:ωr=1/RC, Kr= (3-), Q=1/(3-).Недостаток схемы состоит в том, что Kr и Q не являются независимыми друг от друга, а достоинством - что ее добротность изменяется в зависимости от коэффициента усиления , тогда как резонансная частота от величины  не зависит. При =3 коэффициент передачи Krста­новится бесконечно большим и возникает генерация. Точность установки значения коэффициента тем критичнее, чем он бли­же к 3.