§ 23. Центр линии второго порядкаЛиния, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением второй степени, называется линией второго порядка. Общее уравнение второй степени (с двумя переменными) принято записывать в виде:Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. (1), Центром некоторой линии называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой линии расположены симметрично парами. Линии второго порядка, обладающие единственным центром, называются центральными. Точка S (х0; уа) является центром линии, определяемой уравнением (1) в том и только в том случае, когда её координаты удовлетворяют уравнениям: (2) Обозначим через определитель этой системы:. Величина составляется из коэффициентов при старших членах уравнения (1) и называется дискриминантом старших членов этого уравнения. Если 0, то система (2) является совместной и определённой, т. е. имеет решение и притом единственное. В этом случае координаты центра могут быть определены по формулам: Неравенство 0 служит признаком центральной линии второго порядка. Если S (х0 , у0) — центр линии второго порядка, то в результате преобразования координат по формулам (что соответствует переносу начала координат в центр линии) её уравнение примет вид, где А, В, С — те же, что в данном уравнении (1), а определяется формулой В случае 0 имеет место также следующая формула: где. Определитель называется дискриминантом левой части общего уравнения второй степени.665. Установить, какие из следующих линий являются центральными (т. е. имеют единственный центр), какие не имеют центра, какие имеют бесконечно много центров: 1) 3х2 — 4ху — 2у2+ 3х — 12у — 7 = 0; 2) 4х2 + 5ху + 3y2 — х + 9у — 12 = 0; 3) 4х2 — 4ху +y2 — 6х + 8у + 13 = 0; 4) 4х2 — 4ху + y2 — 12х + 6у — 11 = 0; 5) х2 — 2ху + 4у2 + 5х —7у+12=0; 6) х2 — 2ху + у2 — 6х + 6у — 3 = 0; 7) 4х2 — 20ху + 25у2 — 14х + 2у — 15 = 0; 8) 4х2 — 6ху — 9у2+ 3х — 7у + 12 = 0.666. Установить, что следующие линии являются центральными, и для каждой из них найти координаты центра: 1) 3х2 + 5ху +y2 — 8х — 11у — 7 = 0; 2) 5х2 + 4ху + 2y2 + 20х+ 20у — 18 = 0; 3) 9х2 — 4ху — 7y2 — 12 = 0; 4) 2х2 — 6ху + 5у2 + 22х — 36у + 11 = 0.667. Установить, что каждая из следующих линий имеет бесконечно много центров; для каждой из них составить уравнение геометрического места центров: 1) х2 — 6ху + 9y2 — 12х + 36y + 20 = 0; 2) 4х2 + 4ху + у2 — 8х — 4у — 21 = 0; 3) 25x2 — 10ху + у2 + 40х — 8у + 7 = 0.668. Установить, что следующие уравнения определяют центральные линии; преобразовать каждое из них путём переноса начала координат в центр: 1) 3х2 — 6ху + 2у2 — 4х + 2у+1=0; 2) 6х2 + 4ху +y2 + 4х — 2у + 2=0; 3) 4х2 + 6ху+у2 — 10х —10 = 0; 4) 4х2 + 2ху + 6y2 + 6х — 10у + 9 = 0.669. При каких значениях т и п уравнениеmх2 + 12ху + 9у2 + 4х + пу — 13 = 0 определяет: а) центральную линию; б) линию без центра; в) линию, имеющую бесконечно много центров. 670. Дано уравнение линии 4х2 — 4ху +у2 + 6х + 1 =0. Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямаяу = kx а) пересекает эту линию в одной точке; б) касается этой линии; в) пересекает эту линию в двух точках; г) не имеет общих точек с этой линией.671. Составить уравнение линии второго порядка, которая, имея центр в начале координат, проходит через точку М (6; —2) и касается прямойх —2 = 0 в точке N (2; 0).672. Точка Р (1; —2) является центром линии второго порядка, которая проходит через точку Q (0;—3) и касается оси Ох в начале координат. Составить уравнение этой линии.