Школа Пифагора. Свою школу Пифагор создает как организацию со строго ограниченным числом учеников из аристократии, и попасть в нее было не просто. Претендент должен был выдержать ряд испытаний; по утверждению некоторый историков, одним из таких испытаний являлся обет пятилетнего молчания, и все это время принятые в школу могли слушать голос учителя лишь из-за занавеса, а увидеть могли только тогда, когда их "души будут очищены музыкой и тайной гармонией чисел". Другим законом организации было хранение тайны, несоблюдение которой строго каралось – вплоть до смерти. Этот закон имел негативное влияние, поскольку помешал учению стать составной частью культуры. Пифагорейцы просыпались с рассветом, пели песни, аккомпанируя себе на лире, потом делали гимнастику, занимались теорией музыки, философией, математикой, астрономией и другими науками. Часто занятия проводились на открытом воздухе, в форме бесед. Среди первых учеников школы было и несколько женщин, включая и Теано – жену Пифагора. С самого начала в пифагоризме сформировались два различных направления – "асуматики" и "математики". Первое направление занималось этическими и политическими вопросами, воспитанием и обучением, второе – главным образом исследованиями в области геометрии. Пифагорейская философия содержала принципы, научные достижения, взгляды на воспитание человека, социально-политические идеи. Пифагоризм определил число как принцип, придав научному объекту универсальное значение (прием, использованный позже и другими философиями). Такое преклонение перед числом объясняется теми наблюдениями, которые проводились в пифагорейском союзе над явлениями окружающей жизни, но оно сопровождалось мистическими измышлениями, зачатки которых были заимствованы вместе с началами математических знаний из стран Ближнего Востока. Вследствие того, что пифагорейцы придавали числу такое огромное значение, в школе уделялось много внимания изучению чисел, то есть было положено начало теории чисел. Однако здесь, как и во всей Греции тех времен, практика вычислений считалась недостойным занятием для философских школ; ее предоставляли людям "низшим" в их житейских и деловых отношениях и называли "логистикой". Пифагор говорил, что он поставил арифметику "выше потребности торговли". Поэтому в школе Пифагора изучались лишь свойства чисел, а не практический счет. Число для пифагорейцев – это собрание единиц, то есть только целое положительное число. Единицы, составляющие число, считались неделимыми и изображались точками, которые пифагорейцы располагали в виде правильных геометрических тел, получая ряды "треугольных", "квадратных", "пятиугольных" и других "фигурных" чисел. Каждый такой ряд представляет последовательные суммы арифметической прогрессии с разностями 1, 2, 3 и т.д. На рисунке изображены "треугольные" числа 1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10; общее выражение этих чисел: . На предыдущем рисунке показаны "квадратные" числа 1, 1+3=4, 1+3+5=9; общее выражение этих чисел: 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n2. (Наше выражение "квадрат" для числа n2 является пережитком пифагорейской терминологии). "Пятиугольные" числа 1, 1+4=5, 1+4+7=12, показанные на рисунке, имеют общее выражение: . Пифагорейцы определили также "кубические" числа 1, 8, 27, ... ; "пирамидальные" числа – суммы "треугольных" чисел: . Из выше описанного ясно, что основой математики пифагорейцев было понятие числа. Геометрическим образам отводилась вспомогательная, второстепенная роль. Пифагорейцы рассматривали только натуральные числа и четыре действия на множестве натуральных чисел: сложение, вычитание, умножение и деление. Числа пифагорейцы рассматривали как абстрактные математические объекты, лишенные признаков принадлежности к материальному миру. В школе Пифагора также были подробно изучены так называемые Пифагоровы тройки натуральных чисел. Это числа, у которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других. То есть, для которых справедливо равенство a 2 + b 2 = c 2 ( a,b,c - натуральные числа) ^ Таковы, например, числа 3, 4, 5. Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам: a= 2n+1 b=2n (n+1) c=2n 2 +2n, где n - натуральное числа В те времена считали, что стороны каждого прямоугольного треугольника можно выразить пифагоровыми числами. Однако уже пифагорейцами было доказано, что это не так. Действительно, при a=b=1 гипотенузу нельзя выразить ни целым, ни дробным числом. Этот факт послужил толчком к открытию иррациональных чисел, являющихся основой современной математики. Можно предположить, что это и послужило толчком к выводу доказательства той самой теоремы, которой было присвоено имя Пифагора. Всего известно около 500 различных доказательств теоремы Пифагора геометрических, алгебраических, механических и прочих. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана.