XXVII Уральский (XIV Кировский) турнир юных математиков17–23 февраля 2006 годаКиров 2006 XXVII УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КИРОВ, 17-23.02.2006Правила “Математической карусели”Математическая карусель – это командное соревнования по решению задач. Побеждает в нем команда, набравшая наибольшее число очков. Задачи решаются на двух рубежах – исходном и зачетном, но очки начисляются только за задачи, решенные на зачетном рубеже. В начале игры все члены команды располагаются на исходном рубеже, причем им присвоены номера от 1 до 6. По сигналу ведущего команды получают задачу и начинают ее решать. Если команда считает, что задача решена, ее представитель, имеющий номер 1, предъявляет решение судье. Если оно верное, игрок №1 переходит на зачетный рубеж и получает задачу там, а члены команды, оставшиеся на исходном рубеже, тоже получают новую задачу. В дальнейшем члены команды, находящиеся на исходном и зачетном рубежах, решают разные задачи независимо друг от друга.Чтобы понять следующую часть правил, надо представить себе, что на каждом рубеже находящиеся на нем члены команды выстроены в очередь. Перед началом игры на исходном рубеже они идут в ней в порядке номеров. Если члены команды, находящиеся на каком-либо из двух рубежей, считают, что они решили очередную задачу, решение предъявляет судье игрок, стоящий в очереди первым. Если решение правильное, то с исходного рубежа этот игрок переходит на зачетный, а на зачетном возвращается на свое место в очереди. Если решение неправильное, то на исходном рубеже игрок возвращается на свое место в очереди, а с зачетного переходит на исходный. Игрок, перешедший с одного рубежа на другой, становится в конец очереди. И на исходном, и на зачетном рубежах команда может в любой момент отказаться от решения задачи. При этом задача считается нерешенной.После того, как часть команды, находящаяся на каком-либо из двух рубежей, рассказала решение очередной задачи или отказалась решать ее дальше, она получает новую задачу. Если на рубеже в этот момент нет ни одного участника, задача начинает решаться тогда, когда этот участник там появляется.За первую верно решенную на зачетном рубеже задачу команда получает 3 балла. Если команда на зачетном рубеже верно решает несколько задач подряд, то за каждую следующую задачу она получает на 1 балл больше, чем за предыдущую. Если же очередная задача решена неверно, то цена следующей задачи зависит от ее цены следующим образом. Если цена неверно решенной задачи была больше 6 баллов, то следующая задача стоит 5 баллов. Если цена неверно решенной задачи была 4, 5 или 6 баллов, то следующая задача стоит на балл меньше. Если же неверно решенная задача стоила 3 балла, то следующая задача тоже стоит 3 балла.Игра для команды оканчивается, еслиа) кончилось время, илиб) кончились задачи на зачетном рубеже, илив) кончились задачи на исходном рубеже, а на зачетном рубеже нет ни одного игрока.^ Время игры, количество исходных и зачетных задач заранее оговаривается.Игра оканчивается, если она закончилась для всех команд.Математическая карусель на XXVII Уральском турнире юных математиков.Младшая группа1. (Исход, младшие) В каком году состоится ближайший из Уральских турниров, сумма цифр номера которого будет равна сумме цифр номера года? Напомним, что каждый год проходят два Уральских турнира: в феврале и ноябре-декабре, а сейчас идет 27-й турнир.2. (Исход, младшие)В записи –1–2–3–…–2006 разрешается расставить любое число пар скобок. Какой наибольший результат можно получить таким образом (ответ дать в виде одного числа)?3. (Исход, младшие)Семь гномов построились по росту, чтобы Белоснежка раздала им 707 грибов. Сначала она дает сколько-то грибов самому маленькому. Каждый следующий получает на 1 гриб больше, чем предыдущий. Сколько грибов получит самый большой?4. (Исход, младшие)Найдите все решения ребуса КИРОВ+РОВ = ВЯТКА.Одинаковые буквы означают одинаковые цифры, различные буквы — разные цифры.5. (Исход, младшие) На доске надо записать несколько двузначных чисел так, чтобы их произведение делилось на все простые числа от 2 до 17. Каким наименьшим числом различных цифр можно для этого обойтись?6. (Исход, младшие) На плоскости провели 9 прямых. Какое наибольшее число квадратов могло при этом образоваться?7. (Исход, младшие) Пятая часть пяти процентов от пяти процентов — сколько это в процентах?8. (Исход, младшие) За круглым столом сидят 2006 человек. Каждый из них — либо из клана рыцарей, всегда говорящих правду, либо из клана лжецов, которые всегда лгут. Каждый из сидящих заявил: «Оба моих соседа — из одного клана». Сколько рыцарей могло быть за столом (перечислите все возможности)?9. (Исход, младшие)В турнире по мини-футболу за победу в матче дают 2 очка, за ничью — 1, за поражение — 0. Четыре команды сыграли друг с другом по разу. "Спартак" набрал 5 очков, "Динамо" — 2, "Торпедо" — 1. Какое место заняла команда "Локомотив"?10. (Исход, младшие) За один ход разрешается к числу прибавить 1 или умножить его на 2. За какое наименьшее число ходов можно из 0 получить 2006?11. (Исход, младшие) Петя отправился пешком из лагеря в поселок. В 12:00, когда Петя был в a км от лагеря, его нагнал велосипедист, посадил и подвез, высадив в a км от поселка. После этого Петя пришел в поселок в 14:00. Сколько времени потребуется Пете на обратный путь пешком, если известно, что на велосипеде его везли с вдвое большей скоростью, чем он ходит пешком?12. (Исход, младшие) Найдите все такие пары (m,n) натуральных чисел, что НОК(m,n) = m+n. (НОК(m,n) — наименьшее общее кратное чисел m и n.)13. (Исход, младшие) Одно положительное число поделили на другое. Найдите частное, если известно, что оно в 8 раз меньше делителя и в 4 раза больше делимого.14. (Исход, младшие) Назовем натуральное число любопытным, если произведение его цифр равно 8. Найдите все любопытные трехзначные числа.1. (Зачёт, младшие) Найдите наибольшее натуральное число такое, что ни оно само, ни любое из чисел, полученное из него вычёркиванием любого количества цифр (но не всех) не делится на 3.2. (Зачёт, младшие) У пяти человек в карманах лежит в совокупности 9000 рублей. Этих людей выстроили в ряд по убыванию капитала (если есть люди, имеющие поровну денег, их ставят друг за другом в произвольном порядке). Каков наибольший возможный капитал третьего человека в ряду?3. (Зачёт, младшие) Мимо наблюдателя по дороге проехали с равными между собой промежутками времени автобус, мотоцикл и автомобиль. Мимо другого наблюдателя они проехали с такими же промежутками, но в другом порядке: автобус, автомобиль, мотоцикл. Найдите скорость автобуса, если скорость автомобиля 60 км/ч, а мотоцикла — 30 км/ч.4. (Зачёт, младшие)Найдите все такие a, что для любого b существует ровно одно c, для которого ab3 = c2.5. (Зачёт, младшие) У часов три стрелки: часовая, минутная и секундная. Сколько в сутках моментов, когда какие-то две (или все три) из них сходятся вместе? (Полночь, с которой начинаются сутки, в них включается, полночь, которой они заканчиваются — нет.)6. (Зачёт, младшие)В комнате дед, два отца, два сына и два внука (это дед, отцы, сыновья и внуки людей, находящихся в комнате). Сколько людей могло быть в комнате (перечислите все возможности)?7. (Зачёт, младшие) Найдите все такие трехзначные числа, после вычитания из которых суммы их цифр остается произведение их цифр.8. (Зачёт, младшие) Покупатель купил несколько фломастеров на сумму 5 долларов 6 центов, но передумал и 3 фломастера вернул обратно. Часть возвращенных денег он истратил на альбом за 72 цента. Сколько фломастеров и по какой цене он купил?9. (Зачёт, младшие) На сколько частей могут разбивать плоскость четыре различные окружности? Укажите все возможности.10. (Зачёт, младшие) На витрине ювелирного магазина лежат 9 золотых монет весом 100 г, 101 г, ..., 108 г. Рядом с каждой монетой лежала этикетка, указывающая вес монеты. Первого апреля шутник переложил этикетки. Продавец точно знает, какая монета сколько весит. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашках, он сможет показать хозяину, который не знает, какая монета сколько весит, как правильно положить этикетки?11. (Зачёт, младшие) Сумма всех цифр двух 200-значных чисел a и b равна 2006. Какова наименьшая возможная сумма цифр числа a+b?12. (Зачёт, младшие) Андрей вышел из городка A в 10 часов 18 минут и, двигаясь с постоянной скоростью, пришел в город B в 13 часов 30 минут. В тот же день Борис вышел из B в ровно 9 часов и, идя по той же дороге с постоянной скоростью, пришел в А в 11 часов 40 минут. Дорога пересекает реку. Андрей и Борис одновременно подошли к мосту через эту реку, каждый со своей стороны. Андрей ушел с моста на одну минуту позже Бориса. Когда они подошли к мосту?13. (Зачёт, младшие)В однокруговом турнире по волейболу участвовало несколько команд. По окончании оказалось возможным разбить команды на группы: так в первой – одна команда, во второй — две, ..., в k-ой — k команд; при этом суммарное число очков, набранное командами каждой группы — одно и то же. Сколько команд участвовало в турнире?14. (Зачёт, младшие)За продажу … пирогов по 49 руб. 36 коп. получено …7 руб. 28 коп. Восстановите пропущенные цифры, если известно, что у суммы их пропущено три.15. (Зачёт, младшие) Решите арифметический ребус СТО СТО = СЕКРЕТ16. (Зачёт, младшие) С каждым четырехзначным числом проделали следующую операцию: записали его цифры в обратном порядке и сложили полученное число с исходным. Сколько различных сумм при этом получилось?17. (Зачёт, младшие) Найдите наименьшее натуральное n такое, что все цифры в записи числа 11111n различны.18. (Зачёт, младшие) На плоскости провели 2006 различных прямых, среди которых нет параллельных. Какое наибольшее количество углов, равных 60 градусам, могло при этом образоваться?19. (Зачёт, младшие) Найдите наибольшее натуральное n такое, что все цифры в записи числа 11111n различны.20. (Зачёт, младшие) На доске выписали названия всех натуральных чисел от 1 до 1000: один, два, …, тысяча. Сколько раз в этой записи встречается буква «с»?^ Ответы к ИСХОДНЫМ задачам (МЛАДШИЕ) 1. в 2013 2. 2013019 3. 104 4. 29713+713=30426 5. тремя 6. 20 7. 0,05% 8. 2006 9. второе 10. за 18 ходов 11. 4 часа 12. таких пар нет 13. 1/32 14. 118, 181, 811, 124, 142, 214, 241, 412, 421, 222Ответы к ЗАЧЕТНЫМ задачам (МЛАДШИЕ) 1. 88 2. 3000 руб. 3. 45 км/ч 4. a = 0 5. 2872 6. 4, 5, 6 или 7 человек 7. таких чисел нет 8. 11 фломастеров по 46 центов 9. на 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 10. за 2 взвешивания 11. 206 12. в 11.00 13. 6 команд 14. 98 пирогов за 4837 руб. 28 коп. 15. 897897 = 804609 16. 342 17. 2116 18. 4010 19. 888894 20. 2411Старшая группа1. (Исход, старшие) Семь гномов построились по росту, чтобы Белоснежка раздала им 707 грибов. Сначала она дает сколько-то грибов самому маленькому. Каждый следующий получает на 1 гриб больше, чем предыдущий. Сколько грибов получит самый большой?2. (Исход, старшие)В записи –1–2–3–…–2006 разрешается расставить любое число пар скобок. Какой наибольший результат можно получить таким образом (ответ дать в виде одного числа)?3. (Исход, старшие)На доске надо записать несколько двузначных чисел так, чтобы их произведение делилось на все простые числа от 2 до 13. Каким наименьшим числом различных цифр можно для этого обойтись?4. (Исход, старшие)Найдите все решения ребуса КИРОВ+РОВ = ВЯТКА.Одинаковые буквы означают одинаковые цифры, различные буквы — разные цифры.5. (Исход, старшие) На плоскости провели 11 прямых. Какое наибольшее число квадратов могло при этом образоваться?6. (Исход, старшие) Мимо наблюдателя по дороге проехали с равными между собой промежутками времени автобус, мотоцикл и автомобиль. Мимо другого наблюдателя они проехали с такими же промежутками, но в другом порядке: автобус, автомобиль, мотоцикл. Найдите скорость автобуса, если скорость автомобиля 60 км/ч, а мотоцикла — 30 км/ч.7. (Исход, старшие) Пятая часть пятой части пяти процентов от пяти процентов — сколько это в процентах?8. (Исход, старшие) За круглым столом сидят 2007 человек. Каждый из них — либо из клана рыцарей, всегда говорящих правду, либо из клана лжецов, которые всегда лгут. Каждый из сидящих заявил: «Оба моих соседа — из одного клана». Сколько рыцарей могло быть за столом (перечислите все возможности)?9. (Исход, старшие)Найдите все такие a, что для любого b существует ровно одно c, для которого ab3 = c2.10. (Исход, старшие) У часов три стрелки: часовая, минутная и секундная. Сколько в сутках моментов, когда какие-то две (или все три) из них сходятся вместе? (Полночь, с которой начинаются сутки, в них включается, полночь, которой они заканчиваются — нет.)11. (Исход, старшие) У пяти человек в карманах лежит в совокупности 9000 рублей. Этих людей выстроили в ряд по убыванию капитала (если есть люди, имеющие поровну денег, их ставят друг за другом в произвольном порядке). Каков наибольший возможный капитал третьего по счету человека?12. (Исход, старшие) Найдете все решения уравнения x2 = [x]2+{x}2. Напомним, что [x] — это наибольшее целое число, не превосходящее x, а {x} = x – [x].13. (Исход, старшие) Одно положительное число поделили на другое. Найдите частное, если известно, что оно в 8 раз меньше делителя и в 4 раза больше делимого.14. (Исход, старшие) На сколько частей могут разбивать плоскость три различных окружности? Перечислите все возможности.1. (Зачёт, старшие) Найдите наибольшее натуральное число такое, что ни оно само, ни любое из чисел, полученное из него вычёркиванием любого количества цифр (но не всех) не делится на 3.2. (Зачёт, старшие) Найдите все такие трехзначные числа, после вычитания из которых суммы их цифр остается произведение их цифр.3. (Зачёт, старшие) На стороне AB квадрата ABCD со стороной длины a вне его построен равносторонний треугольник ABE. Найти радиус окружности, проходящей через точки C, D и E.4. (Зачёт, старшие) Треугольник разлинован прямыми, параллельными его сторонам, на 16 равных треугольников. Сколько различных трапеций, составленных из этих треугольников, можно насчитать на получившемся чертеже? (Равные, но по-разному расположенные трапеции, считаются различными).5. (Зачёт, старшие) Покупатель купил несколько фломастеров на сумму 19 долларов 78 центов, но передумал и 3 фломастера вернул обратно. Часть возвращенных денег он истратил на альбом за 1 доллар 40 центов. Сколько фломастеров и по какой цене он купил?6. (Зачёт, старшие) Решите арифметический ребус СТО СТО = СЕКРЕТ.7. (Зачёт, старшие) На доске надо записать несколько натуральных чисел так, чтобы их произведение делилось на все простые числа, меньшие 100. Каким наименьшим числом различных цифр можно для этого обойтись?8. (Зачёт, старшие) В комнате дед, два отца, два сына и два внука (это дед, отцы, сыновья и внуки людей, находящихся в комнате). Сколько людей могло быть в комнате (перечислите все возможности)?9. (Зачёт, старшие) В трапеции ABCD длины оснований AD и BC равны 1 и 2006 соответственно, а длина AB равна 2005. На прямой AD отметили точку E, равноудаленную от вершин C и D. Найдите DE.10. (Зачёт, старшие) На витрине ювелирного магазина лежат 18 золотых монет весом 100 г, 101 г, ..., 117 г. Рядом с каждой монетой лежала этикетка, указывающая вес монеты. Первого апреля шутник переложил этикетки. Продавец точно знает, какая монета сколько весит. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашках, он сможет показать хозяину, который не знает, какая монета сколько весит, как правильно положить этикетки?11. (Зачёт, старшие) Сумма всех цифр двух 200-значных чисел a и b равна 2006. Какова наименьшая возможная сумма цифр числа a+b?12. (Зачёт, старшие) В однокруговом турнире по волейболу участвовало несколько команд. По окончании оказалось возможным разбить команды на группы: так в первой – одна команда, во второй — две, ..., в k-ой — k команд; при этом суммарное число очков, набранное командами каждой группы — одно и то же. Сколько команд участвовало в турнире?13. (Зачёт, старшие) Андрей вышел из городка A в 10 часов 18 минут и, двигаясь с постоянной скоростью, пришел в город ^ B в 13 часов 30 минут. В тот же день Борис вышел из B в ровно 9 часов и, идя по той же дороге с постоянной скоростью, пришел в А в 11 часов 40 минут. Дорога пересекает реку. Андрей и Борис одновременно подошли к мосту через эту реку, каждый со своей стороны. Андрей ушел с моста на одну минуту позже Бориса. Когда они подошли к мосту?14. (Зачёт, старшие)За продажу … пирогов по 49 руб. 36 коп. получено …7 руб. 28 коп. Восстановите пропущенные цифры, если известно, что у суммы их пропущено три.15. (Зачёт, старшие) На координатной плоскости провели все прямые вида x = n и y = n, где n — всевозможные целые числа, а также окружность радиуса 2007 с центром в начале координат. В скольких различных точках эта окружность пересекается с проведёнными прямыми?16. (Зачёт, старшие) С каждым шестизначным числом проделали следующую операцию: записали его цифры в обратном порядке и сложили полученное число с исходным. Сколько различных сумм при этом получилось?17. (Зачёт, старшие) Найдите наименьшее натуральное n такое, что все цифры в записи числа 11111n различны.18. (Зачёт, старшие) На плоскости провели 2006 различных прямых, среди которых нет параллельных. Какое наибольшее количество углов, равных 1 градусу, могло при этом образоваться?19. (Зачёт, старшие) Найдите наибольшее натуральное n такое, что все цифры в записи числа 11111n различны.20. (Зачёт, старшие) На доске выписали названия всех натуральных чисел от 1 до 1000: один, два, …, тысяча. Сколько раз в этой записи встречается буква «с»?^ Ответы к ИСХОДНЫМ задачам (СТАРШИЕ) 1. 104 2. 2013019 3. двумя 4. 29713+713=30426 5. 40 6. 45 км/ч 7. 0,01% 8. 669 или 2007 9. a = 0 10. 2872 11. 3000 рублей 12. Все целые x и все 0 13. 1/32 14. 4, 5, 6, 7, 8 Ответы к ЗАЧЕТНЫМ задачам (СТАРШИЕ) 1. 88 2. таких чисел нет 3. a 4. 57 5. 23 фломастера по 86 центов 6. 897897 = 804609 7. двумя 8. 4, 5, 6 или 7 человек 9. DE = 2005 10. за 3 взвешивания 11. 206 12. 6 команд 13. в 11.00 14. 98 пирогов за 4837 руб. 28 коп. 15. в 8028 точках 16. 181919 = 6498 17. 2116 18. 4010 19. 888894 20. 2411Математическая карусель Старшая группа 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 сумма место 1 Казань 3 4 5 6 7 8 9 10 11 - - - 63 1 2 Снежинск 3 4 5 6 7 8 9 - 5 - 5 - 5 57 2 3 Пермь 9-8-1 3 4 5 - - 4 5 6 7 - 5 - - 4 43 3 4 Киров 8-1 3 4 5 - 5 6 7 - - 4 - - 4 38 4-5 5 Киров 8-2 3 4 5 - 5 6 - 5 6 - - 4 - 38 4-5 6 ВолКИ (Вологда-Иркутск-Киров) 3 4 5 - 5 6 7 - 5 - - 35 6 7 Набережные Челны 8 3 4 5 6 7 - - 4 5 - - - - 34 7-8 8 Омск 3 4 - - 3 4 - 4 5 - 5 6 - 34 7-8 9 Дзержинск 3 4 5 - 5 6 - - 4 - - 3 - 30 9-10 10 Саров 3 4 5 - 5 6 - - 4 - - 3 - 30 9-10 11 Красноярск 8 - 3 4 5 6 7 - - 4 - 29 11-12 12 Школа Пифагора - 3 4 5 6 7 - - 4 - 29 11-12 13 ЮМШ 3 4 5 - 5 6 - - 4 - - - 27 13 14 Оренбург - 3 4 - 4 5 - - 4 - 4 24 14 15 Магнитогорск 8 3 4 5 - 5 6 - - - 23 15 16 Курган 8 - 3 4 5 6 - - 4 - 22 16-17 17 Пермь 146-8 - 3 4 5 - 5 - 5 - - - - - 22 16-17 18 Антропоники - 3 4 - 4 5 - 5 21 18 19 Томск 8 3 4 5 - 5 - - 17 19 20 Нижний Тагил - 3 4 - 4 - - - 3 - 14 20 21 Пермь 9-8-2 3 4 5 - - 12 21 22 Екатеринбург 9-8 - 3 4 - - - - - 7 22 Кол-во команд, верно решивших задачу 14 22 21 7 18 16 5 8 14 1 4 4 2 1 0 0 0 0 0 0 Младшие группы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 сумма место 1 Курган 7 3 4 - 4 - 4 5 6 7 - 5 6 - 44 1 2 Киров 7 3 4 - 4 5 - 5 6 7 8 42 2 3 Пермь 9-7-1 3 4 - 4 5 - 5 6 7 - - 34 3 4 Подмосковье 3 4 5 6 - - 4 5 6 - - - - 33 4 5 ^ Екатеринбург 9-6 3 4 - 4 - - 3 4 - - 3 4 - 3 4 - - - 32 5 6 Челябинск - 3 - 3 - - 3 4 5 - 5 6 29 6 7 Санкт-Петербург - 3 4 5 - - 4 - 4 - 4 - 4 - - - - 28 7 8 Магнитогорск 7-1 3 4 - - - - 3 4 5 - 5 - - - 24 8 9 Долгопрудный 3 4 - 4 - - 3 4 5 23 9-10 10 Набережные Челны 7-1 3 4 - 4 - - 3 4 5 - - - - 23 9-10 11 Пермь 9-7-2 - - - 3 4 - 4 5 6 - - 22 11 12 Екатеринбург 37 - 3 - 3 - - 3 4 5 18 12-16 13 Курган 6 3 4 - - - - 3 4 - 4 18 12-16 14 Нижнекамск 7 3 - - 3 - - 3 4 5 - - - 18 12-16 15 Озерск 7 3 - - 3 - - 3 4 5 - 18 12-16 16 Ярославль - 3 - 3 - - 3 4 5 - - 18 12-16 17 Киров 6 - 3 - 3 - - 3 4 - - - - 3 16 17 18 Барнаул 3 4 - 4 - 4 - 15 18-19 19 Пермь 17 3 - - - - - 3 4 5 - - - 15 18-19 20 Магнитогорск 7-2 3 4 - 4 - - - - 3 - - 14 20 21 Ижевск - - - - - - 3 4 5 - - - 12 21-22 22 Иркутск 3 - - 3 - - 3 - 3 12 21-22 23 Математический центр СПбГДТЮ - - - 3 - 3 4 - - - - 10 23 24 Набережные Челны 7-2 - - - 3 - - 3 - 3 9 24-25 25 Томск 6-7 - 3 - 3 - 3 9 24-25 26 Киров 5-6 - 3 - - - - 3 6 26-28 27 Красноярск 6 3 - - - - - 3 6 26-28 28 Пермь 146-7 - 3 - 3 - - 6 26-28 29 Магнитогорск 6 - - - - - 3 - 3 29 30 Нижнекамск 6 - - - - - 0 30 Кол-во команд, верно решивших задачу 16 19 2 22 3 5 24 18 19 2 5 3 2 1 1 0 0 0 0 0 ^ КОМАНДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 18.02.2006ЗАДАНИЯ ДЛЯ СЕНЬОРОВ1. Мальчик по вторникам всегда врёт, а по четвергам и пятницам говорит только правду. Однажды у него шесть дней подряд спрашивали, как его зовут. Ответы были такими: Коля, Петя, Коля, Петя, Вася, Петя. Как зовут мальчика? (И. Рубанов)2. Можно ли клетчатый квадрат 1010 разрезать по линиям сетки на попарно различные прямоугольники, одна сторона каждого из которых вдвое короче другой стороны? (Харьковская областная, 2006, 7-2)3. Найдите наименьшее натуральное n такое, что все дроби несократимы. (X Олимпиада Cono Sur, 1999)4. В прямоугольнике ABCD точки P и Q — середины сторон BC и CD соответственно. Оказалось, что AP BD. Докажите, что PAQ > 30. (С.Л.Берлов)5. Натуральные числа a, b, c, где b > a, удовлетворяют уравнениюa2+b2–ab = c2. Докажите, что число b — составное. (IMTS)6. На стороне BC треугольника ABC выбрана точка L таким образом, что ALB = 60, 2AL = BC и LC = AB. Найдите углы треугольника. (С.Л.Берлов)7. x, y и z — неотрицательные числа. Докажите, что если все подкоренные выражения неотрицательны, то.(модификация задачи MathLinks N5054)8. На турнир приехало 100 человек. Из любых пяти из них можно по крайней мере двумя способами выбрать трех попарно знакомых. Докажите, что среди них есть по крайней мере 4850 пар знакомых. (С.Л.Берлов)^ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЮНИОРОВ1. Мальчик по четвергам и пятницам всегда говорит правду, а по вторникам всегда лжет. Однажды его 7 дней подряд спрашивали, как его зовут. Шесть первых дней он давал такие ответы: Андрей, Борис, Андрей, Борис, Виктор, Борис. Какой ответ он дал на седьмой день? (И.С. Рубанов)2. В ящике лежат 20 мандаринов. Известно, что любые 11 из них весят в сумме больше одного килограмма, а любые 10 весят в сумме меньше одного килограмма. Докажите, что найдется мандарин, весящий от 90 до 100 г. (К.А. Кноп, С.Г. Волченков)3. Можно ли клетчатый квадрат 1010 разрезать по линиям сетки на попарно различные прямоугольники, одна сторона каждого из которых вдвое короче другой стороны? (О.Ф. Крижановский, Харьковская областная олимпиада, 2006)4. Школьника попросили записать на доске шесть таких натуральных чисел, чтобы разности между любыми двумя соседними числами были одинаковыми. Он написал числа 113, 137, 149, 155 и 173. При этом выяснилось, что одно число он просто забыл написать, а в еще в одном ошибся. Какое число он забыл написать? (Укажите все возможные случаи и докажите, что других нет.) (IMTS, 4/7)5. На доске записаны все девятизначные натуральные числа, десятичная запись которых содержит каждую из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ровно по одному разу. Каждую минуту выбирают наибольшее и наименьшее среди записанных на доске чисел и стирают. Какая пара чисел будет стерта последней? (О.Ф. Крижановский, Харьковская областная олимпиада, 2006)6. Натуральные числа a, b, c удовлетворяют уравнению: a2+b2–ab = c2. Известно, что b > c > a. Докажите, что b – составное. (IMTS)7. На турнир приехали 66 участников. Известно, что среди любых шести из них найдутся четыре попарно знакомых. Докажите, что среди участников турнира есть по крайней мере 2006 пар знакомых. (Жюри, по мотивам задачи С.Л. Берлова)8. На стороне BC треугольника ABC выбрана точка L таким образом, что ALB = 60, 2AL = BC и LC = AB. Найдите углы треугольника ABC. (С.Л. Берлов)^ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ГРУППЫ «СТАРТ»1. Мальчик по четвергам и пятницам всегда говорит правду, а по вторникам всегда лжет. Однажды его 7 дней подряд спрашивали, как его зовут. Шесть первых дней он давал такие ответы: Андрей, Борис, Андрей, Борис, Виктор, Борис. Какой ответ он дал на седьмой день? (И.С. Рубанов)2. Дано неверное равенство 567+483 =3106+546. Расставьте в нем скобки так, чтобы оно стало верным. (И.С. Рубанов)3. В коробке лежат 5 мандаринов. Известно, что любые три из них весят в сумме больше 300 г, но меньше 600 г. Докажите, что найдется мандарин, весящий от 100 до 200 г. (К.А. Кноп, С.Г. Волченков)4. Можно ли клетчатый квадрат 1010 разрезать по линиям сетки на попарно различные прямоугольники, одна сторона каждого из которых вдвое короче другой стороны? (О.Ф. Крижановский, Харьковская областная олимпиада, 2006)5. На доске записаны все девятизначные натуральные числа, десятичная запись которых содержит каждую из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ровн