4.множественнаярегрессияe,(4.3)че а е Линейная модель множественной регрессии имеет вид: щх п a2xi2 (4.1) я. amxim Коэффициент регрессии ау- показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак ^ Y, если переменную Xj увеличить на единицу измерения, т.е. с^- является нормативным коэффициентом. Обычно предполагается, что случайная величина е,- имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием, равным нулю, и с дисперсией а2» Анализ уравнения (4.1) и методика определения параметров становятся более наглядными, а расчетные процедуры существенно упрощаются, если воспользоваться матричной формой записи уравнения (4.2):fe, (4.2). где Г^ X вектор зависимой переменной размерности п х 1, представляющий собой п наблюдений значений у,-; матрица п наблюдений независимых переменных X], Х2, Х3, ..., Хт, размерность матрицы X равна пх (т + 1); а — подлежащий оцениванию вектор неизвестных • параметров размерности (т + 1) х 1; вектор случайных отклонений (возмущений) размерности п х 1. a0 У2 Уп, Таким образом, 1 хп . - Х\т 1 х21 . .. х2т 1 Хп\ ' *• хпт Уравнение (4.1) содержит значения неизвестных параметров a0, aha2, ..., ат. Эти величины оцениваются на основе выборочных наблюдений, поэтому полученные расчетные показатели не являются истинными, а представляют собой лишь их статистические оценки. Модель линейной регрессии, в которой вместо истинных значений параметров подставлены их оценки (а именно такие регрессии и применяются на практике), имеет вид ■ вектор оценок параметров; - вектор «оцененных» отклонений регрессии, остатки регрессии e—Y-Xa\^ Y — оценка значений Y, равная Ха. Оценка параметров модели множественной регрессии с помощью метода наименьших квадратов Формулу для вычисления параметров регрессионного уравнения приведем без вывода: \. ■ ■ '-. .•а - (XTXflXTY, (4.4) Одним из условий регрессионной модели является предположение о линейной независимости объясняющих переменных,т.е. решение задачи возможно лишь тогда, когда столбцы и строкиматрицы исходных данных линейно независимы. Для экономических показателей это условие выполняется не всегда. Линейная или близкая к ней связь между факторами, называетсямультиколлинеарностью и приводит к линейной зависимостинормальных уравнений, что делает-вычисление параметров либоневозможным, либо затрудняет содержательную интерпретациюпараметров модели. Мультиколлинеарность может возникать, всилу разных причин. Например, несколько независимых переменных могут иметь общий временной тренд, относительно которого они совершают малые колебания..В частности,,так можетслучиться, когда значения одной независимой переменной являются лагированными значениями другой.. Считают явлениемультиколлинеарности в исходных данных установленным, есликоэффициент парной- корреляции между двумя переменнымибольше 0,8.. Чтобы избавиться от мультиколлинеарности, в модель включают лишь один из линейно связанных между собойфакторов, причем тот, который в больше^ степени связан с зависимой, переменной.. '■ . . ' В качестве критерия мультиколлинеарности может быть принято соблюдение следующих неравенств: . , . • ; . rxixk г У г 'yxi rxixk> 1yxk ' xixfa Если приведенные неравенства (или хотя бы одно из них) не выполняются, то в модель включают тот фактор, который наиболее тесно связан с Y.50 4*-192451 Оценка качества модели регрессии Качество модели регрессии оценивается по следующим направлениям: проверка качества всего уравнения регрессии; проверка значимости всего уравнения регрессии; проверка статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии; проверка выполнения предпосылок МНК. Проверка качества всего уравнения регрессии Для оценки качества модели множественной регрессии вычисляют коэффициент множественной корреляции {индекс корреляции) R и коэффициент детерминации R2 (см. формулы (3.12) и (3.13)). Чем ближе к 1 значение этих характеристик, тем выше качество модели. В многофакторной регрессии добавление дополнительных объясняющих переменных увеличивает коэффициент детерминации. Следовательно, коэффициент детерминации должен быть скорректирован с учетом числа независимых переменных. Скорректированный R2, или R2, рассчитывается так: R (4.5)n-k-V где п — число наблюдений;к — число независимых переменных. Проверка значимости модели регрессии Для проверки значимости модели регрессии используется F-критерий Фишера, вычисляемый по формуле (4.6) (l-R2)/(n-k-lY Если расчетное значение с v,=£ и v2 = (n-к- 1) степенями свободы, где к — количество факторов, включенных в модель, больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой. Анализ статистической значимости параметров модели Значимость отдельных коэффициентов регрессии проверяется по /-статистике путем проверки гипотезы о равенстве нулю /-го параметра уравнения (кроме свободного члена):52taJ=aj/SaJ, (4.7) |.де SaJ — стандартное (среднеквадратическое) отклонение коэффициента уравнения регрессии а у Величина SaJ представляет собой квадратный корень из произведения несмещенной оценки дисперсии S2 и/-го диагонального элемента матрицы, обратной матрице системы нормальных уравнений:# (4.8) где bjj — диагональный элемент матрицы (ХТХ)~1. Если расчетное значение /-критерия с (п - к - 1) степенями свободы превосходит его табличное значение при заданном уровне значимости, коэффициент регрессии считается значимым. В противном случае фактор, соответствующий этому коэффициенту, следует исключить из модели, при этом оставшиеся в модели параметры должны быть пересчитаны. Проверка выполнения предпосылок МНК Проверка выполнения предпосылок МНК выполняется на основе анализа остаточной компоненты. Анализ остатков позволяет получить представление, насколько хорошо подобрана сама модель и насколько правильно выбран метод оценки коэффициентов. Согласно общим предположениям регрессионного анализа остатки должны вести себя как независимые (в действительности почти независимые) одинаково распределенные случайные величины. В классических методах регрессионного анализа предполагается также нормальный закон распределения остатков. Исследование остатков полезно начинать с изучения их графика. Он может показать наличие какой-то зависимости, не учтенной в модели. Скажем, при подборе простой линейной зависимости между Y и X график остатков может показать необходимость перехода к нелинейной модели (квадратичной, полиномиальной, экспоненциальной) или включения в модель периодических компонент. График остатков хорошо показывает и резко отклоняющиеся от модели наблюдения — выбросы. Подобным аномальным наблюдениям надо уделять особо пристальное внимание, так как их присутствие может грубо искажать значения оценок. Устранение эффектов выбросов может проводиться либо с помощью удаления этих точек из анализируемых данных (эта процедура называется53цензурированием), либо с помощью применения методов оценивания параметров, устойчивых к подобным грубым отклонениям. Независимость остатков проверяется с помощью критерия Дарбина—Уотсона. Корреляционная зависимость между текущими уровнями некоторой переменной и уровнями этой же переменной, сдвинутыми на несколько шагов, называется автокорреляцией. Автокорреляция случайной составляющей нарушает одну из предпосылок нормальной линейной модели регрессии. Наличие (отсутствие) автокорреляции в отклонениях проверяют с помощью критерия Дарбина—Уотсона. Численное значение коэффициента равно dw (4.9) где у,- - yi Значение dw статистики близко к величине 2(1 - г(1)), где — выборочная автокорреляционная функция остатков первого порядка. Таким образом, значение статистики Дарбина—Уотсона распределено в интервале 0—4. Соответственно идеальное значение статистики — 2 (автокорреляция отсутствует). Меньшие значения критерия соответствуют положительной автокорреляции остатков, большие значения — отрицательной. Статистика учитывает только автокорреляцию первого порядка. Оценки, получаемые по критерию, являются не точечными, а интервальными. Верхние (d2) и нижние (rf5) критические значения, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции, зависят от количества уровней динамического ряда и числа независимых переменных модели. Значения этих границ для уровня значимости а - 0,05 даны в специальных таблицах (см. Приложение 2). При сравнении расчетного значения dw статистики с табличным могут возникнуть такие ситуации: d2 Установив наличие автокорреляции остатков, переходят к улучшению модели. Если же ситуация оказалась неопределенной (dl (4.10) Для принятия решения о наличЛ* или отсутствии автокорреляции в исследуемом ряду фактическое значение коэффициента автокорреляции г(1) сопоставляется с табличным (критическим) значением для 5%-ного уровня значимости (вероятности допустить ошибку при принятии нулевой гипотезы о независимости уровней ряда). Если фактическое значение коэффициента автокорреляции меньше табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряду может быть принята, а если фактическое значение больше табличного — делают вывод о наличии автокорреляции в ряду динамики. Обнаружение гетероскедастичности. Для обнаружения гетеро-скедастичности обычно используют три теста, в которых делаются различные предположения о зависимости между дисперсией случайного члена и объясняющей переменной: тест ранговой корреляции Спирмена, тест Голдфельда—Квандта и тест Глейзера. При малом объеме выборки для оценки гетероскедастичности может использоваться метод Голдфельда—Квандта. Данный тест используется для проверки такого типа гетероскедастичности, когда дисперсия остатков возрастает пропорционально квадрату фактора. При этом делается предположение, что случайная составляющая распределена нормально. Чтобы оценить нарушение гомоскедастичности по тесту Голдфельда—Квандта, необходимо выполнить следующие шаги. Упорядочение п наблюдений по мере возрастания переменной х, Разделение совокупности на две группы (соответственно смалыми и большими значениями фактора х) и определениепо каждой из групп уравнений регрессии. Определение остаточной суммы квадратов для первой регрессииs\y = 2 {}'i ~Уи) и второй регрессии S2p = 2 [Уг -Уц) ■54554. Вычисление отношений S2pjSXp (или S^jS^}. В числителе должна быть большая сумма квадратов. Полученное отношение имеет ^ F распределение со степенями свободы кх = «j — т и к2 = n-nl-m (т — число оцениваемых параметров в уравнении регрессии). ЕСЛИ то гетероскедастичность имеет переменная ^ Y с изменением соответствующей независимой переменной Xj на величину своего среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных. Указанные коэффициенты позволяют упорядочить факторы по степени влияния факторов на зависимую переменную. Долю влияния фактора в суммарном влиянии всех факторов можно оценить по величине дельта-коэффициентов АО'): место. Чем больше величина F превышает табличное значение F-критерия, тем более нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин. Оценка влияния отдельных факторов на зависимую переменную на основе модели (коэффициенты эластичности, ^-коэффициенты) Важную роль при оценке влияния факторов играют коэффициенты регрессионной модели. Однако непосредственно с их помощью нельзя сопоставить факторы по степени их влияния на зависимую переменную из-за различия единиц измерения и разной степени колеблемости. Для устранения таких различий при интерпретации применяются средние частные коэффициенты эластичности Э(у) и бета-коэффициенты j5(y), которые рассчитываются соответственно по формулам: (4.11)у (4Л2) где Sx_ — среднеквадратическое отклонение фактора у, Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется зависимая переменная при изменении фактора j на один процент. Однако он не учитывает степень колеблемости факторов. Бета-коэффициент показывает, на какую часть величины среднего квадратического отклонения Sy изменится зависимая где гух — коэффициент парной корреляции между фактором J (/~'Ь •••> т) и зависимой переменной. Использование многофакторных моделей для анализа и прогнозирования развития экономических систем Одна из важнейших целей моделирования заключается в прогнозировании поведения исследуемого объекта. Обычно термин «прогнозирование» используется в тех ситуациях, когда требуется предсказать состояние системы в будущем. Для регрессионных моделей он имеет, однако, более широкое значение. Как уже отмечалось, данные могут не иметь временной структуры, но ив этих случаях вполне может возникнуть задача оценки значения зависимой переменной для некоторого набора независимых, объясняющих переменных, которых нет в исходных наблюдениях. Именно в этом смысле — как построение оценки зависимой переменной — и следует понимать прогнозирование в эконометрике. При использовании построенной модели для прогнозирования делается предположение о сохранении в период прогнозирования существовавших ранее взаимосвязей переменных. Построение точечных и интервальных прогнозов на основе регрессионной модели. Какие факторы влияют на ширину доверительного интервала Для того чтобы определить область возможных значений результативного показателя, при рассчитанных значениях факторов следует учитывать два возможных источника ошибок: рассеивание наблюдений относительно линии регрессии и ошибки, обусловленные математическим аппаратом построения самой линии регрессии. Ошибки первого рода измеряются с помощью характеристик точности, в частности, величиной Sy. Ошибки вто- 57 56 рого рода обусловлены фиксацией численного значения коэффициентов регрессии, в то время как они в действительности являются случайными, нормально распределенными. Для линейной модели регрессии доверительный интервал рассчитывается следующим образом. Оценивается величина отклонения от линии регрессии (обозначим ее U): (4.13) /„ ^ 1 + 4,0ГН• (х где л прогн 2nporH ,...,ArJ J. JfcnpOrH (l,A'lnpOrH,jr Пример 4.1. Задача состоит в построении модели для предсказания объема реализации одного из продуктов фирмы. Объем реализации — это зависимая переменная ^ У (млн руб.). В качестве независимых, объясняющих переменных выбраны: время Xlt расходы на рекламу Х2 (тыс. руб.), цена товара Хъ (руб.), средняя цена товара у конкурентов Х4 (руб.), индекс потребительских расходов Х5 (%). Требуется: 1. 2. 3. Осуществить выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели. Рассчитать параметры модели. Для оценки качества всего уравнения регрессии определить: 4. 5. линейный коэффициент множественной корреляции; коэффициент детерминации. Осуществить оценку значимости уравнения регрессии. Оценить с помощью /-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии. 6. Оценить влияние факторов на зависимую переменную по модели. 7. Построить точечный и интервальный прогноз результирующего показателя на два шага вперед а = 0,1. 1. Построение системы показателей (факторов). Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции. Выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели Статистические данные по всем переменным приведены в табл. 4.1. В этом примере п— 16, т = 5. 58 Таблица АЛ У хг х, х4 х5 Объем реализации Время Реклама Цена Цена конкурента Индекс потребительских расходов 126 1 4 15 17 100 137 2 4,8 14,8 17,3 98,4 148 3 3,8 15,2 16,8 101,2 191 4 8,7 15,% 16,2 103,5 274 5 8,2 15,5 16 104,1 370 6 9,7 16 18 107 432 7 14,7 18,1 20,2 107,4 445 8 18,7 13 15,8 108,5 367 9 19,8 15,8 18,2 108,3 367 10 10,6 16,9 16,8 109,2 321 11 8,6 16,3 17 110,1 307 12 6,5 16,1 18,3 110,7 331 13 12,6 15,4 16,4 110,3 345 14 6,5 15,7 16,2 111,8 364 15 5,8 16 17,7 112,3 384 16 5,7 15,1 16,2 112,9 Использование инструмента Корреляция [Анализ данных в EXCEL) Для проведения корреляционного анализа выполните следующие действия: Данные для корреляционного анализа должны располагатьсяв смежных диапазонах ячеек. Выберите команду Сервис=>Анализ данных. В диалоговом окне Анализ данных выберите инструментКорреляция, а затем щелкните на кнопке ОК. В диалоговом окне Корреляция в поле Входной интервал необходимо ввести диапазон ячеек, содержащих исходные данные.Если выделены и заголовки столбцов, то установить флажокМетки в первой строке. Выберите параметры вывода. В данном примере Новый рабочийлист. ОК. 59 : ■'■;■'&ifrI.CNОо ■а§1lit СО ."Г1I в «о ON б .ев .н иС Си ■■« N-f. S* IfOJ S о Цена Столбец 4 0,698 0,235 се m « § и Sf ю \о о, ш- тол и —• 00 S S ' V© о % п ё ■■ ч О 5 3 и Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная, т.е. объем реализации, имеет тесную связь с индексом потребительских расходов (гух5 = 0,816), с расходами на рекламу (гух2 = 0,646) и со временем (гух] = 0,678). Однако факторы Х2 и Х5 тесно связаны между собой (гХ\Х5 = 0,96), что свидетельствует о наличии мультиколлинеарности. Из этих двух переменных оставим в модели ^ — индекс потребительских расходов. В этом примере «=16, т = 5, после исключения незначимых факторов и =16, к = 2.2. Выбор вида модели и оценка ее параметров Оценка параметров регрессии осуществляется по методу наименьших квадратов по формуле А = (X'X)~lX'Y, используя данные1, приведенные в табл. 4.3.Таблица 4.3 Y Объем реализации Реклама Индекс потребительских расходов 126 1 4 100 137 1 4,8 98,4 148 1 3,8 101,2 191 1 8,7 103,5 274 1 8,2 104,1 370 1 9,7 107 432 1 14,7 107,4 445 1 18,7 108,5 367 1 19,8 108,3 367 1 10,6 109,2 321 1 8,6 110,1 307 1 6,5 110,7 331 1 32,6 110,3 345 1 6,5 111,8 364 1 5,8 132,3 384 1 5,7 112,9 CQ Для вычисления а0 добавлен столбец Хо. 61 1 X4х al\а2/ 1,1 *2,1 *2,2 1,1 Xl2 X 2,16 2,1 *2,2 Уг 1 1 *l,l X\,2 * 2,16(\6 148,7 1715,7 x148,7 1744,03 16036,2 41715,7 1603,2 184 282,13; Применение инструмента Регрессия {Анализ донных в EXCEL) Для проведения регрессионного анализа выполните следующие действия: Выберите команду Сервис=>Анализ данных. В диалоговом окне Анализ данных выберите инструментРегрессия, а затем щелкните на кнопке ОК. В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y введите адрес одного диапазона ячеек, который представляетзависимую переменную. В поле Входной интервал X введитеадреса одного или нескольких диапазонов, которые содержатзначения независимых переменных (рис. 4.1). Если выделены и заголовки столбцов, то установить флажокМетки в первой строке. Выберите параметры вывода. В данном примере Новая рабочая книга. В поле Остатки поставьте необходимые флажки. ОК. а = (ХТХ)~1XTY ^39,2314 0,06752 -0,3711 ^ 0,06752 0,00299 -0,00088 -0,3711 -0,00088 0,00354 ) f-1471,314^ а\ = 9,568 Ка2, ,15,754 , Уравнение регрессии зависимости объема реализации от затрат на рекламу и индекса потребительских расходов можно записать в следующем виде:у = -1471,314 + 9,568xj + 15,754 х2. Расчетные значения Yопределяются путем последовательной подстановки в эту модель значений факторов, взятых для каждого наблюдения.JL Ж 11-Ж ж и ж ж17-жжж-2271 G в Объем ре;Реклама Индекс потребительских расходов126, " " 4 100 137е4.8 ' 98.4* 148 191 "274 " 370| 432 445 367 367 321 307 "331 345 364 384 ОК Регрессия Оттена i Входной интервал Y: | Входной интеовап & Справка Г~ Константа - ноль ] Г" Уровень надежности: J93 % i Параметры вывода - - - .,Г Новый рабочий лист. | i (* Новая рабочая книгаf Остатки - - - -- 11 Ф Оа гки Г ГэзсЬич остатков I Г" Стандартизованные ocTOTft Г™ График подбор =з ,i Нормальная вероятность 1' Г" График нормальной вероятности Рис, АЛ. Диалоговое окно Регрессия подготовлено к выполнению анализа данных Н L 62 63 Таблица 4.5 Результат регрессионного анализа содержится в табл. 4.4—4.7. Рассмотрим содержание этих таблиц. Таблица АЛ Множественный R R-квадрат Нормированный /?-квадрат Стандартная ошибка Наблюдения Регрессионная статистика SS136358,334 22360,104 df_2 13 15 Дисперсионный анализ Регрессия Остаток^ Продолжение табл, 4,7 Наблюдение Предсказанное Остатки 5 247,02 26,98 6 307,06 62,94 7 361,20 70,80 8 416,80 28,20 9 424, if -57,18 10 350,32 16,68 И 345,37 -24,37 12 334,72 -27,72 13 386,79 -55,79 14 352,05 -7,05 \5 353,23 10,77 16 361,73 22,27 Таблица 4.6 График остатков изображен на рис. 4.2,Стандартная ошибка 259,766 2,266 2,467 70,80 22,27 -55,79 К-пересечение Реклама Индекс потребительских расходов Коэффициенты-1471,314 9,568 15,753 Вывод остатка Предсказанное /-статистика -5,664 4,223 6,386 Таблица 4.7 -57,18 Рис. 4.2. График остатков 64 5-1924 65Пояснения к табл. 4.4 Регрессионная статистика№ Наименование в отчете EXCEL Принятые наименования ФормулаI , Множественный R Коэффициент множественной корреляции, индекс корреляцииiJ-квадрат Коэффициент детерминации, R2R2 =1- • 2 в?-\2-\2Нормированный Я-квадрат Скорректированный R2Стандартная ошибка Стандартная ошибка оценкип-к-1Наблюдения Количество наблюдений, пп Пояснения к табл. 4.5 ; - Df— число степеней свободы SS — сумма квадратов F-критерий Фишера Регрессия Ну,-у)2 2(у,-й2/^ f-(l-JP)/(«-*-l) • Остаток „ _ к -г 1 = 13 2е?/л-Л;-1 1 Итого л - 1 = 15 2U-7)2 где Ьм Пояснения к табл. 4.6 Во втором столбце табл. 4.6 содержатся коэффициенты уравнения регрессии а0, а,, а2, В третьем столбце содержатся стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом — /-статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии. Уравнение регрессии зависимости объема реализации от затрат на рекламу и индекса потребительских расходов можно записать в следующем виде:У = -1471,314 + 9,568xj + 15,754х2. 3. Оценка качества всего уравнения регрессии В табл. 4.7 приведены вычисленные (предсказанные) по модели значения зависимой переменной 7и значения остаточной компоненты e/t Значение коэффициентов детерминации и множественной корреляции можно найти в таблице ^ Регрессионная статистика. Коэффициент детерминации: 1 ?2 = 1 - 22360,104/158718,44 = 136358,3/158718,44 = 0,859. Он показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 86% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов. Коэффициент множественной корреляции Я:R = 4¥ = 0,927. Он показывает тесноту связи зависимой переменной Yc двумя включенными в модель объясняющими факторами. 4, Проверку значимости уравнения регрессии произведем на основе вычисления F-критерия Фишера: Я2А 0,859/2 F = = 39,6. О - 0,859)/(16 ^ составляет 3,81. Табличное значение /-критерия можно найти с помощью функции FPACnOBP (рис. 4.3). Поскольку jppac > /табл, уравнение регрессии следует признать адекватным. 5. Оценить с помощью f-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии Значимость коэффициентов уравнения регрессии а0, ах, а2 оценим с использованием f-критерия Стьюдента. Значения /-критерия вычЛлим по формулам: — диагональный элемент матрицы (ХТХ) '; /39,2314 0,06752 -0,3711 \ Г)"' = 0,06752 0,00299 -0,00088 ; (-0,3711 -0,00088 0,00354 , Ь22= Ь33 = 39,2314; 0,00299; 0,00354;= -1471,314/259,766 = -1471,314/41,473-^39,2314 =-5,664;9,5684/2,2659 = 9,5684/41,473^0,00299 - 4,223;15,7529/2,4669 = 15,7529/41,473^0,00354 = 6,3858.^PjO П5 ?^ Г -■"П«Ч1И_ЕВЯЙРД|>| 1 | _ \ 7J I J»; v-\ FrA "О Т 1 ДПT1 I J Значение /-критерия Фишера можно найти в табл. 4.6 протокола EXCEL. Табличное значение F-критерия при доверительной вероятности 0,95 при v, = fc=2 и v2=n-k- 1 = 16-2-1 = 132чL-U Рис. 4,3. Определение табличного значения /^-критерия 88 69 Расчетные значения /-критерия Стьюдента для коэффициентов уравнения регрессии ах, а2 приведены в четвертом столбце табл. 4.7 протокола EXCEL. Табличное значение /-критерия Стьюдента можно найти с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР (рис. 4.4). Табличное значение /-критерия при 5%-ном уровне значимости и степенях свободы (16-2-1 = 13) составляет 2,16. Так как > ^табл» то коэффициенты ах, а2 существенны (значимы). 6, Проанализировать влияние факторов на зависимую переменную по модели (для каждого коэффициента регрессии вычислить коэффициент эластичности, Р-коэффициент) Учитывая, что коэффициент регрессии невозможно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на зависимую переменную из-за различия единиц измерения, используем коэффициент эластичности (Э) и бета-коэффициент, которые соответственно рассчитываются по формулам:3j - Qj'> Э, = 9,568 ■ 9,294/306,813 = 0,2898; Э2 = 15,7529 • 107,231/306,813 = 5,506;Pi " ai' $xi '' $y> p, = 9,568 • 4,913/102,865 = 0,457; 62 = 15,7529 • 4,5128/102,865 = 0,691. Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется зависимая переменная при изменении фактора на один процент,0F ]7~ 31 ржпредмеьие Сгьюзднта Отче it, ' ^лозлчтэяьноэ цалзе члчо с i >»Р9чей ейободы, /вр* Значен te 2 16036324 Рис, 4,4. Определение табличного значения ^-критерия Стьюдента Бета-коэффициент с математической точки зрения показывает, на какую часть величины среднего квадратического отклонения меняется среднее значение зависимой переменной с изменением независимой переменной на одно среднеквадратическое отклонение при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных. Это означает, что при увеличении затрат на рекламу в нашем примере на 4,91 тыс. руб. объем реализации увеличится на 47 тыс. руб. (0,457 • 102,865).^ 7, Определить точечные и интервальные прогнозные оценки объема реализации на два квартала вперед [}qj= 1/12) Исходные данные представлены временными рядами, поэтому прогнозные значения Х1]7,Х2гп и XX\8,X2j$ можно определить с помощью методов экспертных оценок, с помощью средних абсолютных приростов или вычислить на основе экстраполяционных методов. Для фактора Хх Затраты на рекламу выбрана модельХ{ = 12,83 - 11,616/ + 4,319/2 - 0,552/3 + 0.020/4 - 0,0006/5, по которой получен прогноз на 2 месяца вперед*. График модели временного ряда Затраты на рекламу приведен на рис. 4.5. Упреждение Прогноз 1 5,75 2 4,85 у =-ОДЮОбх5 + 0,292х4 - 0,5515л3 + 4,319х2- 11,616*+ 12,831 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Рис. 4.5. Прогноз показателя Затраты на рекламу * Внимание!!! Полиномы таких высоких порядков редко используются при прогнозировании экономических показателей.R2 = 0,70087071 1,77 (Значение /кр получено с помощью функцииtKpЮ Для временного ряда Индекс потребительских расходов в качестве аппроксимирующей функции выбран полином второй степени (парабола), по которой построен прогноз на 2 шага вперед. На рис. 4.6 приведен результат построения тренда для временного ряда Индекс потребительских расходов. Х2 = 97,008 + 1,739/- 0,0488?2. Упреждение Прогноз 1 112,468 2 112,488 Н 1 i 1 i i 1 1 1 ! 1 i у= -0,0488х2 + 1,739х + 97,008 R2 = 0,9664 1 2 3 4 5 6 7 8 9 30 11 12 13 1415 16 17 18 Рис. 4.6, Прогноз показателя Индекс потребительских расходов Для получения прогнозных оценок зависимостей переменной по модели^ Y= -1471,438 + 9,568^ + 15,754Jf2 подставим в нее найденные прогнозные значения факторов Хх и Х2: Г/= ,7 = -1471,438 + 9,568 • 5,75 + 15,754 • 112,468 = 355,399; Yt= ,8 = -1471,438 + 9,568 • 4,85 + 15,754 ■ 112,488 = 344,179,Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы: Верхняя граница прогноза: Yp{n + 1) + U{\). Нижняя граница прогноза: Yp(n + 1) - if(l).pр СТЬЮДРАСПРОБР(0.1;13) для выбранной вероятности 90% с числом степеней свободы, равным 13.) На первый шаг: 1=1; ^О; 5,75; 112,468); /39,2314 0,06752 -0,371 Г\ '- 0,06752 0,00299 -0,00g8 ^-0,3711 -0,00088 0,00354,1 ы(1) = 81,45. На второй шаг: 1 = 2; ^пГРогн = (1; 4,85; 112,488); ы(2) = 82,47. Результаты прогнозных оценок модели регрессии представим в табл. 4.8.Таблица 4.3 Таблица прогнозов (р = 90%) Упреждение Прогноз Нижняя граница Верхняя граница 1 355,399 273,94 436,85 2 344,179 261,71 426,65 прогн1прогн72 41,473. Тема 5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ^ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ Экономические показатели, часто оказываются взаимозависимы. Структура связей между такими показателями (переменными) может быть описана с помощью системы одновременных (структурных) уравнений, В этих уравнениях присутствуют переменные следующих типов: • эндогенные, зависимые переменные у, определяемые внутри системы; экзогенные, независимые переменные х, значения которыхзадаются извне, они являются управляемыми, планируемыми; предопределенные, включающие в себя как экзогенныепеременные за текущий период времени, так и лаговые переменные (т.е. экзогенные и эндогенные переменные за предыдущие периоды времени). Выделяют следующие виды эконометрических систем. Системы независимых уравнений, в которых каждая зависимая переменная у,-(/= 1, ..., п) представлена как функция одного и того же набора независимых переменных Xj(j= 1,..., m): y1=a11x1+a12x2+…+a1mxm+E1 y2=a21x1+a22x2+…+a2mxm+E2 ……………………………. (5.1) yn=an1x1+an2x2+…anmxm+En Каждое уравнение этой системы можно рассматривать самостоятельно как уравнение регрессии. В него может быть введен свободный член, и коэффициенты регрессии могут быть найдены методом наименьших квадратов (МНК). Системы рекурсивных уравнений, в которых зависимые переменные yi(i=1, ...,п) представлены как функции независимых переменных Xj(j= 1,..., т) и определенных ранее зависимых переменных y1, y2,…,yi-1 y1=a11x1+a12x2+…+a1mxm+E1 y2=b21y1+a21x1+a22x2+…+a2mxm+E2 ……………………………. (5.2) yn=bn1y1+bn2y2+…+bnn-1yn-1+an1x1+an2x2+…anmxm+En Параметры каждого уравнения системы определяются отдельно, в последовательном порядке, начиная с первого уравнения, методом наименьших квадратов.Системы взаимозависимых уравнений, в которых каждая зависимая переменная yi(i= 2, ..., п) представлена как функция остальных зависимых переменных yk{ki) и независимых (предопределенных) переменных xj(j= 1,..., т): y1=b12y2+b13y3+…+b1nyn+a11x1+a12x2+…+a1mxm+E1 y2=b21y1+b23y3+…+b2nyn+a21x1+a22x2+a2mxm+E2 (5.3) …………………………………………………….. yn=bn1y1+bn2y2+…+bnm-1yn-1+an1x1+an2x2+…+anmxm+En Эта система наиболее распространенная, она получила название системы совместных, одновременных уравнений. Ее также называют структурной формой модели (СФМ). Отдельные коэффициенты при переменных СФМ могут быть равны нулю, что означает отсутствие в уравнении этих переменных. Например, модель динамики цены и заработной платы может быть описана СФМ вида: y1=b12y2+a11x1+E1; y2=b21y1+a22x2+a23x3+E3 (5.4)