www.diplomrus.ru ® Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок Содержание ОглавлениеВведение 3Глава 1. Предварительные сведения 151.1 Основные определения 151.2 Вспомогательные факты 20Глава 2. Полиномиальные тождествав нильалгебрах над полем характеристики р>3 312.1 Предварительные результаты 312.2 Построение алгебры Вп и ее свойства 362.3 Доказательство основной теоремы 42Глава 3. Некоторые неконечнобазируемыесистемы тождеств с тождеством вида хп = 0 573.1 Некоторые дополнительные следствия леммы 1.3 583.2 Неконечнобазируемая система тождеств над полем характеристики 3, содержащая тождество х12 = О 603.3 Неконечнобазируемая система тождеств над полем характеристики р > 3, содержащая тождество х6р = О 67Библиография 70ВведениеТождества являются одним из важнейших объектов исследования в теории универсальных алгебр. Теория тождеств представляет собой достаточно разветвленный раздел алгебраической науки. Язык тождеств позволяет описывать многие свойства алгебраических систем и их классов, а изучение тождеств конкретных алгебраических объектов помогает исследовать структуру этих объектов, выяснять взаимосвязи между различными объектами и их классами.Начало изучения тождеств как абстрактных объектов было свя-^ зано с решением вполне конкретных задач. Одной из таких задачявляется знаменитая проблема Бернсайда 1902 года о периодических группах: является ли конечной группа с конечным числом порождающих и с тождеством хп = 1, где п фиксированное натуральное число? Эта проблема породила различные ее варианты и в полном объеме не решена до сих пор.Исследования по проблеме Бернсайда в группах способствовали рассмотрению аналогичных вопросов и в других алгебраических структурах (полугруппах, кольцах, алгебрах и др.).Огромную роль в развитии науки о тождествах сыграла проб-лема конечной базируемости, впервые поставленная Б. Нейманом для групп в 1935 году в докторской диссертации: верно ли, что произвольная система групповых тождеств является следствием своей конечной подсистемы?Проблема, поставленная Б. Нейманом, долгое время оставалась открытой и была решена отрицательно. В 1970 году А.Ю. Ольшанский [26] доказал, что существуют системы групповых тождеств, не эквивалентные никакой конечной системе, в том же году СИ Адяном [1] и М. Воэн-Ли [44] были построены первые примеры таких систем.Вариант проблемы конечной базируемости для ассоциативных алгебр известен как проблема Шпехта: верно ли, что любая система полиномиальных тождеств ассоциативных алгебр конеч-нобазируема?Первоначально этот вопрос, сформулированный В. Шпех-том [43] в 1950 году, был поставлен для ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики. А.И. Мальцев [18] поставил вопрос в иной формулировке: существуют ли неконечно базируемые системы тождеств ассоциативных колец?Первые результаты, связанные с данной проблематикой, принадлежат В.Н. Латышеву [20], [21]. А первые контрпримеры к проблеме конечной базируемости для алгебр были получены в классе алгебр Ли в 70-е годы, поскольку вопрос о конечной базируемости систем полиномиальных тождеств представляет интерес не только для ассоциативных алгебр, но и для других классовалгебр (алгебр Ли, альтернативных, йордановых алгебр). В 1970 году М. Воэн-Ли [45] построил пример неконечнобазируемого многообразия алгебр Ли над полем характеристики 2, затем в 1974 году В. Дренски [14] построил пример неконечнобазируемого многообразия алгебр Ли над полем произвольной положительной характеристики. Отметим, что проблема конечной базируемости для алгебр Ли над полем нулевой характеристики до сих пор остается открытой.В 1980 году Ю.А. Медведев [25] построил пример неконечноба- зируемого многообразия альтернативных алгебр над полем характеристики 2, соответствующий пример в случае поля характеристики 3 построен СВ. Пчелинцевым [28].Ю.П. Размыслов [29] доказал конечную базируемость многообразия алгебр матриц второго порядка над полем нулевой характеристики. Многообразиям, порожденным различными матричными алгебрами, посвящены работы Г.К. Генова [6], Г.К. Генова и П.Н. Сидерова [8], А.Н. Красильникова[19] и др.Нематричными многообразиями занимались В.Н. Латышев [22]-[24], Г.К. Генов [7], А.П. Попов [27], в частности, они показали шпехтовость нематричных многообразий алгебр над полем характеристики нуль.Полное решение проблемы конечной базируемости систем поли- номиальных тождеств в той формулировке, которую дал В. Шпехт, было получено в 1987 году А.Р. Кемером [17]. В серии своих работ [16], [17] А.Р. Кемер показал, что любая система полиномиаль-ных тождеств ассоциативных алгебр над полем характеристики нуль конечнобазируема.В случае поля ненулевой характеристики ситуация оказалась иной. В 1999 году вышли статьи А.Я. Белова [3], А.В. Гришина [12] и В.В. Щиголева [30], в которых были построены примеры неконечнобазируемых систем тождеств ассоциативных алгебр над полем положительной характеристики (см. также [4], [13], [37], [31]).Необходимо отметить, что на сегодняшний день все существую-^ щие примеры неконечнобазируемых систем тождеств ассоциатив-ных алгебр над полем простой характеристики получены с использованием неконечнопорожденных Т-пространств. Понятие Т-пространства было впервые введено А.В. Гришиным в [9]. Он стал систематически изучать Т-пространства с точки зрения их конечной порожденности (см. работы [10], [11], [36]) и получил первый пример неконечнопорожденного Т-пространства над полем характеристики 2 [10] (см. также [12]). Над полем характеристики р > 2 неконечнопорожденные Т-пространства были позднее построены Щиголевым [31], [32].Отметим, что построенная А.В. Гришиным [12], [37], [38] не-конечнобазируемая система тождеств над полем характеристики 2 включает тождество я32 = 0, а построенная В.В. Щиголе-f: вым [30] система над полем характеристики р > 2 — тождествоa.2p3(2p+i) _ q q друрой стороны, над полем характеристики р тождество хп = 0 не может быть включено ни в какую неконечноба-зируемую систему, если п После построения А.В. Гришиным примера неконечнобазируе-мого многообразия асоциативных алгебр над полем характеристики 2 с тождеством ж32 = 0 на семинаре по теории колец кафедры высшей алгебры МГУ им был сформулирован естественно возникающий вопрос: каким может быть минимальный индекс ниле-вости, чтобы многообразие оставалось неконечнобазируемым?Настоящая работа посвящена изучению проблемы неконечной базируемости систем полиномиальных тождеств в нильалгебрах над полем положительной характеристики. В частности, в ней рассматривается следующаяПроблема Для каких натуральных п тождество хп = 0 может быть включено в неконечно базируемую систему тождеств ассоциативных алгебр над полем характеристики р?Над полем характеристики 2, как было отмечено выше, А.В. Гришин [37] построил неконечнобазируемую систему тождеств, включающую тождество ж32 = 0. Аналогичная система с тождеством я6 = 0 была построена Ч.К. Гуптой и А.Н. Красиль-никовым в [39]. Также уже отмечалось, что над полем характеристики р > 3 В.В. Щиголев [30] построил неконечнобазируемую систему с тождеством х2р (2р+1) = 0. В [32] им была построена аналогичная система с тождеством х2р3+р2+1 = 0. Для р = 3 результат^ В.В. Щиголева был улучшен автором [46]. С помощью модифи-кации конструкции, использованной в [39], нами была построена неконечнобазируемая система тождеств над полем характеристики 3, содержащая тождество х12 — 0 (система В.В. Щиголева в этом случае содержит тождество ж378 = 0 [30] или я64 = 0 в [32]). Аналогичную модификацию конструкции из [39], хотя и ценой гораздо больших усилий, можно осуществить и для произвольногоV р > 3. Это позволяет построить над полем характеристики р > 3неконечнобазируемую систему с тождеством ж6р = 0 (см. работы автора и А.Н. Красильникова [52], [53], [54]).Цель работы. Построение неконечнобазируемой системы тождеств нильалгебр над полем характеристики р > 3, содержащей тождество х2р = 0.Научная новизна и практическая ценность. Все результаты работы являются новыми. Основными результатами можно считать:1. Построение неконечнобазируемой системы тождеств нильалгебр над полем характеристики 3, содержащей тождество х12 = 0.2. Построение неконечнобазируемой системы тождеств нильалгебр над полем характеристики р>Ь, содержащей тождество х6р = 0. 3. Построение неконечнобазируемой системы тождеств нилъ-алгебр над полем характеристики р > 3, содержащей тож-^ дество х2р = 0.Пока остается открытым вопрос о конечной порожденности многообразия нильалгебр над полем характеристики р с тождеством хп = 0 для р Гипотеза Над полем характеристики р > 3 каждая система полиномиальных тождеств ассоциативных алгебр, содержащая тождество хп = 0 для п Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении многообразий алгебр над полем положительной характеристики.Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре по теории групп под руководством А.Л. Шмель-' кина (МГУ, 2003), на семинаре по теории колец под руководствомВ.А. Артамонова, В.Н. Латышева, А.В. Михалева (МГУ, 2004), на научном семинаре кафедры алгебры Московского педагогического государственного университета.Результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях:j Международном семинаре "Алгебра и линейная оптимизация",посвященном 90-летию со дня рождения С.Н. Черникова (Екатеринбург, 2002), Международной алгебраической конференции, посвященной памяти З.И. Боревича (Санкт-Петербург, 2002), V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Тула, 2003), X Международной конференции "Groups and Group Rings" (Устрои, Польша, 2003), Международной конференции "Algebras, Modules and Rings" (Лиссабон, Португалия, 2003), IV Международной алгебраической конференции на Украине (Львов, Украина, 2003).Результаты диссертации изложены в работах [46] - [55].Автор выражает глубокую благодарность доктору физико-математических наук, профессору А.Н. Красильникову за постановку задачи, полезные замечания и внимание к работе и кандидату физико-математических наук, профессору Г.А. Карасеву за всестороннюю помощь и поддержку в период обучения в аспирантуре, а также доктору физико-математических наук, профессору А.В. Гришину за полезные обсуждения вопросов по теме диссертации. Содержание диссертацииВо введении приводится краткий обзор литературы по теме диссертации, обоснование актуальности рассматриваемых задач, а также кратко излагаются полученные в диссертации результаты.Глава 1 состоит из двух разделов. В разделе 1.1 вводятся основные понятия, используемые в тексте диссертации.Под термином алгебра мы понимаем ассоциативную алгебру в смысле следующего определения.Ассоциативное кольцо А называется ассоциативной алгеброй над полем F (или F-алгеброй), если А является также линейным пространством над полем F таким, что a(ab) = (aa)b = a(ab) для всех a G F, а, Ь G А.Пусть F — поле, А — свободная ассоциативная алгебра (без единицы) со свободными порождающими х\,Х2,... , G — ассоци- ативная алгебра над полем F.Выражение f(xi,...,xn) = 0, где f(x\, ...,xn) — элемент свободной алгебры А, называется полиномиальным тождеством (или просто тождеством) алгебры G, если f(gi,...,gn) = 0 для любых gh...,gn G G.Две системы тождеств {щ = 0 | г G /} и {vj = 0 | j G J} называются эквивалентными, если каждая ассоциативная F-алгебра, удовлетворяющая всем тождествам щ = 0 первой системы, удовлетворяет всем тождествам vj = 0 второй системы и наоборот.Система тождеств {v{ = 0 | г G /} называется конечнобазируе- мой, если она эквивалентна некоторой конечной системе тождеств.В разделе 1.2 формулируются и доказываются некоторые вспомогательные факты, необходимые для доказательства основ-ных результатов.Вторая глава состоит из трех разделов и посвящена формулировке и доказательству основного результата.Пусть р — простое число, р > 2. Пусть[х, у] = ху- ух, f(x, у) = xp~lyp-l[x, у],wn = [[xhx2],x3]f(x3,уз)... f(zn,yny\[Уъ 2/2], 2/з]([[яз, si], zdlfej, У\], У2])р~1-Основным результатом нашей работы являетсяТеорема 2.1 (Е.В. Аладова, А.Н. Красильников). Над полем F характеристикир>3 система тождеств{n | ,} U не эквивалентна никакой конечной системе тождеств ассоциативных F'-алгебр.Система тождеств{wn = 0|n = 3,4...} U {х2р = 0}неконечнобазируема, если она не эквивалентна никакой своей конечной подсистеме, поэтому для доказательства теоремы для каждого натурального п достаточно построить F-алгебру Вп, которая удовлетворяет тождествам х2р = 0 и Wf. = 0 для всех к не удовлетворяет тождеству wn+\ = 0. В доказательстве будут использоваться результаты В.В. Щиголева [31], а также, наряду с новыми идеями, идеи из работ А.Я. Белова [4] и Ч.К Гупты и А.Н. Красильникова [39]. Отметим, что в [39], в свою очередь, использовались, в числе прочих, идеи А.Я. Белова [4] и А.В. Гришина [12].В разделе 2.1, с использованием результата В.В. Щиголева [31] (см. также [32]), доказывается следующееПредложение 2.1 Пусть F — поле характеристики р > 2. '"• Существует F-алгебра R, удовлетворяющая следующим услови- 1. R как векторное пространство над F является прямой суммой своего двустороннего идеала I и одномерного подпространства, порожденного 1;2. для любого h ? I выполнено равенство ЬР = 0; г,3. R как F-алгебра с единицей порождается элементами zi, Z2,...El, при этом для любого п > 0 элементне лежит в линейной оболочке множества {1} U {/(иъи2)... f(u2k-hU2k) | 1 4. [и, v, w] = 0 для всех u,v,w ? R. В разделе 2.2 мы, применяя предложение 2.1, строим алгебру Вп, необходимую для доказательства основной теоремы, и описываем некоторые ее свойства.Раздел 2.3 посвящен доказательству основной теоремы. Здесь показывается, что построенная в разделе 2.2 алгебра Вп удовлетворяет тождествам Wk = О для всех к 1 алгебра Вп удовлетворяет тождеству х2р = 0.Третья глава состоит из трех разделов и посвящена формулировке результатов, которые хронологически предшествовали результату второй главы, но представляют и самостоятельный интерес.Раздел 3.1 посвящен формулировке некоторых дополнительных следствий леммы 1.3 из первой главы, необходимых для доказательства результатов третьей главы. В разделе 3.2 мы приводим пример неконечнобазируемой системы тождеств ассоциатив-ных алгебр над полем характеристики 3, содержащей тождество х12 = 0, а в разделе 3.3 — пример неконечнобазируемой системы тождеств над полем характеристики р > 5, содержащей тождество х6р = 0. Результаты раздела 3.3 получены совместно с А.Н. Кра-сильниковым. Заметим, что использованный для построения данных примеров метод дает худшую оценку показателя нилевости, но является более универсальным. Глава 1Предварительные сведенияВ настоящей главе мы сформулируем основные определения и рас-смотрим некоторые вспомогательные факты, необходимые для доказательства основных результатов.1.1 Основные определенияПод термином алгебра или F-алгебра мы будем понимать ассоци-ативную алгебру в смысле следующего определения:Определение 1.1 Ассоциативное кольцо А называется ассоциативной алгеброй над полем F (или F-алгеброй), если А является также линейным пространством над полем F таким, что a(ab) = (аа)Ъ = a(ab) для всех а € F, a,b E А.(*/ Например, поле действительных чисел R или поле комплексныхчисел С являются алгебрами над полем рациональных чисел Q. F-алгеброй является множество Mn(F) квадратных матриц поряд- ка п над полем F с обычными операциями сложения и умножения матриц.Пусть F — поле, А — свободная ассоциативная алгебра (без единицы) со свободными порождающими х\,Х2,... , G — ассоциативная алгебра над полем F.Определение 1.2 Выражение f(x\,...,хп) = О, где f(xi,...,хп) — элемент свободной алгебры А, называется полиномиальным тождеством (или просто тождеством) алгебры G, если f(gh ...,gn) = 0 для любых gh ..., gn G G.Например, в любой коммутативной алгебре выполняется тождество [х, у] = 0, (где [х,у] = ху — ух), в алгебре Грассмана выполняется тождество [[х, y],z] = 0, в (п — 1)-мерной алгебре справедливо стандартное тождество степени п Г/ и тождество Капелли порядка пSign О-у\Ха(1)у2 .. . УпХа{п)Уп+1 = 0.Алгебра квадратных матриц Мг(Р) второго порядка над полем F удовлетворяет тождеству Холла и стандартному тождеству степени 4, но не удовлетворяет стандартному тождеству степени 3 и тождеству Капелли порядка 4. •Т/Определение 1.3 Две системы тождеств {щ = 0 | г G /} и {vj = О | j 6 J} называются эквивалентными, если каждая ассоциативная F-алгебра, удовлетворяющая всем тождествам пер-вой системы, удовлетворяет всем тождествам второй системы и наоборот.Определение 1.4 Система тождеств {vi = 0 | г 6 /} называется конечнобазируемой, если она эквивалентна некоторой конечной системе тождеств.Например, любая система полиномиальных тождеств ассоциа-тивных F-алгебр, содержащая тождество нильпотентностиХ\Х2 . ¦ .Хп = О,конечнобазируема (см., например, [2]). Более того, если F — поле нулевой характеристики, то, согласно результату Кемера [17], любая система полиномиальных тождеств ассоциативных F-алгебр *' конечнобазируема. С другой стороны, если, например, F — полене эквивалентна никакой конечной системе тождеств ассоциативных jF-алгебр (см. работу [12]).Определение 1.5 Класс всех алгебр, удовлетворяющих некоторому множеству тоэюдеств, называется многообразием алгебр.