Математика в химии1. Что такое химия? Никто не сделал так много для улучшения условий жизни людей, как химики.Г. Крото, Нобелевский лауреат по химии 1996 годаХимия – одна из наук, изучающих природу. Многие химики, проявляя свойственный профессионалам снобизм, считают ее основой естествознания. Впрочем, точно так же думают физики и биологи. И каждый имеет на то свои основания. Физика рассматривает наиболее общие законы Вселенной, биология исследует самое интересное явление во Вселенной – жизнь, а химия изучает то, из чего построены объекты окружающего мира, – вещества. Все многообразие проблем, которые решает химия, можно свести к следующим основным вопросам:Какие бывают вещества?Как они устроены?Как связано строение веществ с их свойствами?Как из одного вещества получить другое, более полезное или интересное? Химия как наука и как способ познания природы обладает очень необычными свойствами. У нее нет собственных законов. В самом деле, считается, что основные законы химии – закон сохранения массы и Периодический закон. Первый из них говорит о том, что количество атомов каждого вида в химических реакциях не изменяется. Это лежит в основе составления всех уравнений химических реакций. Однако данное утверждение – всего лишь следствие общего закона сохранения энергии. Периодический закон, открытый Д.И.Менделеевым в 1869 году, объясняется периодичностью заполнения электронных оболочек атомов. Фактически, он является следствием физической теории – квантовой механики, описывающей свойства микромира. Строение и свойства веществ, а также и их способность к трансформациям, определяются всего тремя основными величинами: размером, энергией и временем (схема 1). Каждой из этих величин соответствует своя химическая теория, причем все теории имеют физическую родословную.Схема 1. Важнейшие величины и теории химии.Основная теория химии – квантовая механика. Она позволяет рассчитать энергию микроскопических частиц – электронов, атомов, молекул и ионов, и на основе этого определить геометрическое строение молекул и расположение атомов и ионов в кристаллах. Раздел квантовой механики, относящийся к химическим системам, называют квантовой химией. Возможность превращения одних веществ в другие определяется, в первую очередь, их энергией. Для расчета и измерения энергии макроскопических систем используют другую физическую теорию – термодинамику. Она изучает равновесные системы и помогает понять, пойдет или нет та или иная реакция, а если пойдет, то каков будет состав полученной смеси продуктов. Кроме того, она позволяет рассчитать тепловые эффекты любых химических реакций – даже тех, которые невозможно осуществить практически. Химическая термодинамика говорит о том, возможна или нет данная реакция в принципе, но ничего не может сказать о том, пойдет она на самом деле или нет. Например, согласно термодинамике, все органические вещества, включая и те, из которых состоит человек, могут при обычных условиях реагировать с кислородом воздуха и превращаться в углекислый газ и воду. Но мы знаем, что многие вещества вполне устойчивы на воздухе, а загораются только при сильном нагревании. Здесь все дело во времени. Оценивая возможность той или иной реакции, термодинамика ничего не говорит о времени ее протекания. Время в химию вводит другая теория – химическая кинетика, которая изучает скорости и механизмы химических реакций. Истоки этой теории также лежат в физике, точнее в молекулярно-кинетической теории. Все три теории – квантовая химия, химическая термодинамика, химическая кинетика, образуют специальный раздел химии, который называют физической химией. Таким образом, у химии нет своих собственных, присущих только ей, законов и теорий. Что же есть вместо них? В первую очередь, колоссальное многообразие изучаемых объектов. Одних только чистых индивидуальных веществ в химии охарактеризовано около 20 миллионов1, не считая многочисленных смесей. А ведь есть еще и химические реакции между веществами. Из всех известных химии веществ лишь очень небольшая доля – всего несколько процентов – имеется в природе, остальные вещества – продукт деятельности человека. По мнению выдающего американского химика Роальда Хоффмана (род. 1937), химики отличаются от любых других ученых тем, что собственноручно творят те объекты, которые потом воспринимают и изучают. В точности то же самое делают писатели, художники и композиторы. Это роднит химию с искусством. Другие естественные науки – физика и биология – изучают то, что создано природой, а химия – главным образом то, что сделала сама. Химия сродни не только искусству, но и волшебству. Многие химические опыты, сопровождающиеся неожиданным изменением цвета, объема или агрегатного состояния, производят на непосвященных людей магическое впечатление. Во все времена химики отличались большим искусством трансформации веществ. Именно поэтому специалистов по какому-нибудь делу, ловких людей и даже мошенников на Руси шутливо называли «химиками». Д.И.Менделеев (1834-1907) вспоминал о таком случае: «Еду я в Москве как-то на извозчике, а навстречу нам полицейские ведут кучку каких-то жуликов. Извозчик мой поворачивается и говорит: «Ишь, химиков повели» [1, с. 180]. Химикам присущ уникальный, характерный только для них, взгляд на окружающий мир. Нобелевский лауреат, один из первооткрывателей фуллеренов Гарольд Крото (род. 1939) писал [2]: "Химики, по-моему, страдают особой формой "шизофрении". В самом деле, их мышление – это причудливая смесь самых абстрактных и совсем наглядных представлений. Они знают о тонких квантово-механических закономерностях, определяющих свойства молекул, которые, в свою очередь, ответственны за все многообразие окружающего нас мира. Эта взаимосвязь микро- и макромира остается скрытой от ученых других специальностей. Кроме того, никто не сделал так много для улучшения условий жизни людей, как химики, но их заслуги в должной мере не оценены". Настоящий химик всегда "чувствует вещество". Это проявляется и в лаборатории, где создаются рецепты синтеза новых веществ, и в быту, где, например, бывает нужно определить способ ремонта пластмассового изделия (сварить или склеить, а если склеить, то чем и как). Современные химики умеют работать не только с большими количествами веществ, но и с отдельными атомами и молекулами. Техника манипулирования атомами достигла такой высокой степени развития, что химики могут синтезировать любую наперед заданную молекулу или надмолекулярную структуру со сложной архитектурой. Теперь главное – понять, что именно надо синтезировать. На первый план в химии выходит прикладной аспект: основная задача состоит в поиске новых веществ, обладающих полезными свойствами – катализаторов, лекарственных средств, строительных материалов, аккумуляторов энергии.^ 2. Роль математики в химии«Кто не понимает ничего, кроме химии, тот и ее понимает недостаточно».Г.К.Лихтенберг (1742-1799), немецкий ученый и писатель.«В любой науке столько истины, сколько в ней математики».Иммануил Кант (1724-1804)Химия очень широко использует в своих целях достижения других наук, в первую очередь, физики и математики. Химики обычно определяют математику упрощенно – как науку о числах. Числами выражаются многие свойства веществ и характеристики химических реакций. Для описания веществ и реакций используют физические теории, в которых роль математики настолько велика, что иногда трудно понять, где физика, а где математика. Отсюда следует, что и химия немыслима без математики. Математика для химиков – это, в первую очередь, полезный инструмент решения многих химических задач. Очень трудно найти какой-либо раздел математики, который совсем не используется в химии. Функциональный анализ и теория групп широко применяются в квантовой химии, теория вероятностей составляет основу статистической термодинамики, теория графов используется в органической химии для предсказания свойств сложных органических молекул, дифференциальные уравнения – основной инструмент химической кинетики, методы топологии и дифференциальной геометрии применяются в химической термодинамике. Выражение «математическая химия» прочно вошло в лексикон химиков. Многие статьи в серьезных химических журналах не содержат ни одной химической формулы, зато изобилуют математическими уравнениями.Фрагмент статьи автора в химическом журнале “Chemical Physics Letters”Приложения математики в химии обширны и разнообразны. Ниже мы постараемся вам это показать.^ 3. Какие ограничения накладывает химия на решение математических задач?Как-то раз Гаусс спорил с Авогадро (1776-1856) о сущности научных законов. Гаусс утверждал, что законы существуют только в математике, а потому химия почитаться за науку не может. В ответ Авогадро сжег 2 л водорода в литре кислорода и, получив два литра водяного пара, торжествующе воскликнул: «Вот видите! Если химия захочет, то два плюс один окажутся равны двум. А что скажет на это ваша математика?» ([1], с. 95).Математические уравнения и методы, используемые в химии, имеют дело не с абстрактными величинами, а с конкретными свойствами атомов и молекул, которые подчиняются естественным природным ограничениям. Иногда эти ограничения бывают довольно жесткими и приводят к резкому сужению числа возможных решений математических уравнений. Говоря другим языком, математические уравнения, применяемые в химии, должны иметь химический смысл. Рассмотрим конкретные примеры, помогающие понять это утверждение.1) ^ Число атомов в молекулах должно быть положительным целым числом.Рассмотрим уравнение 12x + y = 16. Для математика это уравнение описывает прямую линию на плоскости. Оно имеет бесконечно много решений, в том числе и целочисленных. А для химика выражение 12x + y описывает молекулярную массу углеводорода CxHy (12 – атомная масса углерода, 1 – водорода). Молекулярную массу 16 имеет единственный углеводород – метан, CH4, поэтому только одно решение данного уравнения обладает химическим смыслом: x = 1, y = 4.2) Одно из ключевых понятий химии – валентность, то есть число химических связей, которыми данный атом соединен с другими. ^ Валентность почти всегда является положительным целым числом2. Например, углерод в органических соединениях всегда четырехвалентен. Это накладывает некоторые ограничения на химические формулы. Например, число атомов водорода во всех углеводородах четно. Кроме того, оно всегда имеет верхнюю границу. Найдем максимально возможное число атомов водорода в углеводороде, содержащем n атомов углерода. Любой химик, будь то школьник, студент или научный сотрудник, сразу скажет, что это число равно 2n + 2. Оно соответствует предельным углеводородам алканам. Решим эту задачу с помощью математических рассуждений.1 способ. Используем метод математической индукции. При n = 1 существует только один углеводород – CH4. Число атомов водорода равно 21 + 2 = 4. Формула верна. Далее, пусть углеводород с n атомами углерода содержит максимально 2n + 2 атомов водорода. Увеличим число атомов углерода на 1. Новый атом углерода можно добавить к молекуле CnH2n+2 только вместо атома водорода, при этом из четырех валентностей нового атома одна будет занята связью C–C, а три другие – связями C–H. Таким образом, число атомов водорода в новом углеводороде равно: 2n + 2 – 1 + 3 = 2(n+1) + 2. Доказательство закончено.2 способ. Общее число валентностей углерода в молекуле CnHx равно 4n, так как каждый атом углерода четырехвалентен. Что входит это число? Атомы углерода связаны друг с другом и с атомами водорода. Минимально возможное число связей C–С равно (n–1) – оно необходимо, чтобы углеродный скелет был связным. В каждой такой связи участвует два атома углерода, поэтому число валентностей, расходуемых на связи C–С, равно 2(n–1). Остальные 4n – 2(n–1) = 2n + 2 валентностей расходуются на связи C–H. Водород одновалентен, поэтому число его атомов равно числу связей C–H: x = 2n + 2. Благодаря ограничениям, накладываемым валентностями атомов, часто по молекулярной массе можно однозначно установить формулу вещества. Например, молекулярной массе 78 формально соответствуют 6 формул углеводородов: CH66, C2H54, C3H42, C4H30, C5H18, C6H6. Из них только последняя имеет химический смысл, так как во всех остальных число атомов водорода заведомо превышает то, которое возможно при четырехвалентном углероде.3) ^ Многие физические величины, используемые для описания химических веществ и реакций, могут принимать только неотрицательные значения: масса, объем, концентрация, скорость реакции и др. Химикам часто приходится решать задачи на расчет состава равновесной смеси. В них возникают полиномиальные уравнения относительно доли превращения исходных веществ в продукты. Согласно основной теореме алгебры полином n-ой степени имеет ровно n корней, среди которых могут быть и комплексные. Однако во всех уравнениях, возникающих в химии, всегда только один корень имеет химический смысл. Рассмотрим такой пример. Смесь азота и водорода в соотношении 1:3 нагрели до установления равновесия. Рассчитаем, какая доля исходных веществ превратилась в аммиак, если константа равновесия при конечной температуре смеси и давлении 100 атм равна 510–6. Запишем уравнение реакции: N2 + 3H2 = 2NH3.Составим таблицу, в которой указаны количества веществ до реакции, вступивших в реакцию и после реакции. Долю прореагировавшего азота обозначим x. Количества веществ (моль) N2 H2 NH3 Всего Исходный состав 1 3 0 Вступило в реакцию x 3x 2x Конечный (равновесный) состав 1 – x 3 – 3x 2x 4 – 2x Неизвестное x можно определить из уравнения, выражающего константу равновесия через давления находящихся в смеси газов: При P = 100 атм данное уравнение 4-й степени относительно x имеет 4 действительных корня: x1 = –0.187x2 = 0.120x3 = 1.880x4 = 2.187из которых только один (x2) удовлетворяет условию положительности концентраций. Такой результат абсолютно типичен для расчетов химических равновесий: каким бы сложным ни было уравнение относительно степени превращения реагентов в продукты и сколько бы корней оно ни имело, всегда только один корень будет иметь химический смысл, то есть приводить к положительным равновесным концентрациям веществ. В данной примере выход реакции, то есть доля прореагировавших веществ, составил 12%.4) ^ В химии нет иррациональных чисел. Иррациональное число содержит бесконечное число знаков в десятичной записи. Химия – наука экспериментальная, она оперирует с результатами измерений, которые выражаются или целыми числами, или дробными, но полученными с конечной точностью, как правило не более 4 значащих цифр. Например, показатель преломления вещества может быть равен 1.414, но не бывает равным 21/2. Поэтому числа и e, часто возникающие в химических расчетах, обычно округляют до 3.14 и 2.72, соответственно.5) В химии нет понятия «бесконечность». Число атомов в наблюдаемой части Вселенной очень велико, но конечно, поэтому в природе нет бесконечно больших величин. Каковы же самые большие числа, используемые химиками? Число атомов во Вселенной оценивается как 1080, на Земле– 1050 атомов, в человеческом организме их примерно 1027. В статистической термодинамике возникает число способов перестановки одинаковых молекул в порции жидкого вещества, которое равно N!, где N ~ 1023. Для оценки этого числа используем формулу Стирлинга:Для сравнения, математик Харди утверждал, что самое большое число, которое когда-либо служило какой-либо цели в математике, равно [3]. Аналогично, в химии нет и бесконечно малых величин. Каждая физическая величина – время, энергия, масса, расстояние – имеет конечное наименьшее значение, которому присущ химический смысл. Например, время в химии ограничено снизу значением 10–14 с, которое характеризует самую быструю реакцию среди всех возможных: H + H = H2.Нижняя граница для расстояний – это 10–10 м, то есть характерный размер атомов. Меньшие значения с точки зрения химии уже не имеют смысла. Раз нет бесконечно малых величин, то, строго говоря, теряет смысл понятие «производной в точке», которое равно отношению бесконечно малых приращений функции и аргумента. Тем не менее, в химии производная играет очень большую роль: производные по температуре, давлению и объему составляют основу математического аппарата химической термодинамики, а производные по времени – химической кинетики. Это связано с тем, что при той точности измерений, которая принята в химии, точное значение производной практически равно отношению конечных приращений:.^ 4. Геометрия в химии – синтез и упаковкиГеометрические идеи в химии возникают в синтетических и расчетных задачах. В задачах первого типа ищут оптимальные пути синтеза молекул, имеющих заданную геометрическую форму. Это направление в химии именуют молекулярным дизайном. Искусство синтеза новых молекул достигло такого уровня, что позволяет создать любую, даже самую причудливую структуру при условии, что полученная молекула будет устойчива. Ниже мы приведем несколько характерных примеров. Однако, прежде чем описывать красивые химические структуры, расскажем коротко о том, как экспериментально можно установить строение молекул [4]. В современной химии для определения структуры молекул используют разнообразные физические методы, наиболее распространенные из которых – инфракрасная (ИК) спектроскопия, спектроскопия ядерного магнитного резонанса (ЯМР) и масс-спектрометрия. Сочетание этих методов позволяет определить структуру даже очень сложных молекул со 100%-ной надежностью. Атомы в составе молекулы не неподвижны, а испытывают небольшие колебания относительно друг друга. Частоты этих колебаний можно измерить с помощью инфракрасной спектроскопии. Для каждой группы атомов, например OH, C=O, CH3 имеются свои, характерные только для них частоты. Измерив весь набор частот, можно установить, какие группы атомов входят в состав молекулы. Спектроскопия ядерного магнитного резонанса основана на том, что уровни энергии некоторых магнитных ядер, например водорода 1H или тяжелого углерода 13С изменяются в постоянном магнитном поле, причем это изменение зависит не только от самого ядра, но и от окружающих его соседей. Поместив образец вещества в магнитное поле и измерив сдвиг уровней энергии, можно точно определить окружение каждого магнитного ядра и тем самым установить строение молекулы. Каждому типу атомов соответствует свой сигнал (пик) в спектре ЯМР. Например, в молекуле этилового спирта CH3CH2OH имеется три типа атомов водорода – в составе групп CH3, CH2 и OH, поэтому в спектре ЯМР этого вещества наблюдается три сигнала. А изомер этилового спирта – диэтиловый эфир CH3OCH3 – содержит только один тип атомов водорода, поэтому в его спектре ЯМР будет только один сигнал. В целом, чем более симметрична молекула вещества, тем меньше пиков содержит его спектр ЯМР. Масс-спектрометрический метод определения строения основан на разложении молекулы на фрагменты под действием пучка электронов высокой энергии. При разложении в присутствии электронов фрагменты молекулы приобретают отрицательный заряд. В масс-спектрометрах измеряется отношение массы к заряду и находится молекулярная масса фрагментов. Зная состав фрагментов, можно восстановить структуру исходной молекулы. Например, одно из веществ состава C13H10O (Mr = 182) характеризуется масс-спектром, в котором есть интенсивные пики, соответствующие молекулярным массам 51, 77, 105 и 182 (более мелкие пики появляются благодаря изотопам элементов). Пики 51 и 77 характерны для ароматических соединений и соответствуют углеводородным фрагментам C4H3 и C6H5. Пик 105 (= 77 + 28) – это фрагмент C6H5CO. Других интенсивных пиков в спектре нет. Отсюда можно сделать вывод, что в молекуле есть только бензольные кольца и карбонильная группа CO. Структурная формула вещества:Это – дифенилкетон, другое название – бензофенон. Рассмотрим теперь геометрию химических структур. В математике известно, что существует всего 5 правильных многогранников – тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Все они многократно реализованы в химических структурах. Самый простой правильный многогранник – тетраэдр, правильная треугольная пирамида. Молекула с такой геометрией существует в природе – это P4, молекула белого фосфора. Каждая вершина связана с тремя другими, атомы фосфора в P4 трехвалентны. Эта молекула обладает довольно высокой энергией и легко взаимодействует с другими молекулами – поэтому белый фосфор так активен. В начале прошлого века его использовали в спичечных головках, поскольку он легко воспламеняется от трения о любую поверхность. Молекула белого фосфора, P4.Валентность III характерна и для группы CH, поэтому можно представить себе углеводород, углеродный скелет которого имеет форму тетраэдра – его так и назвали: тетраэдран. Гипотетическая структура углеводорода тетраэдрана C4H4Однако он оказался слишком неустойчив и в свободном виде не получен. Тем не менее, удалось синтезировать некоторые его производные, например тетра-трет-бутилтетраэдран, в котором атомы водорода замещены на объемные группы C(CH3)3. Объемная модель тетра-трет-бутилтетраэдрана: С4(С4H9)4Эти группы защищают углеродный скелет от изомеризации и превращения в другие углеводороды, поэтому данное производное тетраэдрана вполне устойчиво. Напротив, углеводород в форме куба вполне устойчив. Он имеет формулу C8H8 и называется кубан. Кубан был получен в 1964 году 13-стадийным синтезом. Молекула кубана C8H8Это вещество интересно тем, что оно имеет самую большую плотность среди всех углеводородов. Кроме того, благодаря тому, что угол 90о между связями C–C значительно отличается от угла 109.5о, характерного для обычных предельных углеводородов, молекула кубана имеет довольно высокую энергию. Вкупе с высокой плотностью это делает кубан перспективным веществом для хранения и высвобождения энергии. Так, синтезированный в 1999 г. октанитрокубан C8(NO2)8 – это потенциальное взрывчатое вещество. Оно способно очень быстро разлагаться с выделением большого количества газов – CO2 и N2. В октаэдре каждая вершина связана с четырьмя другими, поэтому можно было бы представить молекулу С6, в которой четырехвалентные атомы углерода образуют октаэдр. Однако такая молекула очень неустойчива из-за углового напряжения, вызванного тем, что угол между связями C–C – всего 60о – сильно отклоняется от нормального угла 109.5о. В устойчивых молекулах, имеющих октаэдрическую форму, атомы в вершинах октаэдра не связаны друг с другом, но образуют химические связи с атомом, находящимся в центре. Так устроен, например, гексафторид серы, SF6. Благодаря высокой прочности связей S–F фторид серы очень инертен: это – газообразное вещество, без цвета и запаха, с трудом вступающее в химические реакции. Его применяют для создания инертной атмосферы в электротехнике. Молекула гексафторида серы SF6.Органических молекул, имеющих форму икосаэдра, не существует, поскольку в этом многограннике у каждой вершины 5 соседей, а углерод пятивалентным не бывает. Однако, известен отрицательный ион такой формы – это додекаборан B12H122–. В молекулах бороводородов реализуется очень необычный тип связи – трехцентровый двухэлектронный. Это означает, что два электрона обеспечиваются связь не между двумя, как обычно, а между тремя атомами, в частности B–H–B и B–B–B. Такие связи еще называют «мостиковыми», или «банановыми». Последнее название обусловлено тем, что распределение электронной плотности между тремя связанными атомами по форме напоминает банан. Додекаборан B12H122–Наконец, самый сложный из правильных многогранников – додекаэдр – реализуется среди углеводородов. Соответствующее соединение – додекаэдран C20H20 – было синтезировано в 1982 г. Маршрут синтеза включал ни много, ни мало – 29 стадий! В молекуле C20H20 два додекаэдра – один образован связанными между собой атомами углерода, а другой – несвязанными атомами водорода. Додекаэдран C20H20 (синтезирован в 29 стадий)Почему симметричные структуры так распространены в химии? Один из возможных ответов состоит в том, что такие структуры бывают очень устойчивы, то есть обладают наименьшей энергией среди ряда похожих, но менее симметричных молекул. А стремление к уменьшению энергии – это одна из главных движущих сил химических реакций. В последние годы химики интенсивно изучают явление самосборки – одно из проявлений самоорганизации в химии, которое заключается в том, что супермолекулы, имеющие сложную архитектуру, самопроизвольно образуются (собираются) в растворе из специально подготовленных «строительных блоков» – более простых молекул. Это процесс моделирует, пока еще в примитивной форме, эволюцию химических структур в природе – от простейших молекул до сложнейших «молекул жизни» – белков и нуклеиновых кислот. В качестве строительных блоков для самосборки используют самые разнообразные органические молекулы, включая даже молекулы ДНК. В результате самосборки часто образуются структуры, имеющие высокосимметричную форму. Так, в 2008 году удалось получить тетраэдр, додекаэдр и ромбоикосододекаэдр, состоящие из специально сконструированных односпиральных нитей ДНК [5]. Рис. Самосборка правильных многогранников из нитей ДНК. Сначала из отдельных нитей (S, M, L/L’) синтезируют треугольные заготовки, из которых в водном растворе образуется одна из трех симметричных структур (какая именно, зависит от концентрации раствора).Эти «супермолекулы» – довольно большие, поэтому их удалось сфотографировать под электронным микроскопом:Дать фото из [5]Кроме правильных многогранников в химии получено огромное множество других геометрических структур, многие из которых эстетически очень привлекательны. Например, всем известно, что многие органические молекулы, такие как бензол или предельные углеводороды циклоалканы, имеют циклическую форму. Однако, далеко не все знают, что химики научились синтезировать молекулы, состоящие из нескольких циклов, продетых друг в друга. Такие молекулы назвали катенанами (от лат. «катена» – цепь) [6]. Один из простейших катенановРазработан общий подход, позволяющий, в принципе, синтезировать катенаны с любым числом колец. Для этого кольца формируют на основе общего центра, а затем удаляют перемычки, связывающие их с центром. Используя эту идеологию, удается получать молекулы с интересной топологией, например узлы: Молекула, завязанная в узелИнтересно, что уже после того, как были синтезированы первые катенаны, обнаружилось, что они существуют в природе. Оказалось, что при некоторых заболеваниях крови в организме появляются катенановые нуклеиновые кислоты. Поэтому исследования катенанов важны для диагностики таких заболеваний. Кроме того, интересно изучить механизмы появления катенановых нуклеиновых кислот с тем, чтобы сравнить подходы к синтезу, изобретенные природой и предложенные человеком. Один из самых интригующих объектов в математике – лист Мебиуса – объект, который имеет только одностороннюю поверхность. В химии такие объекты появились только в 21 веке. В 2003 году было объявлено о синтезе углеводорода, углеродная цепь которого топологически эквивалентна ленте Мебиуса. Для синтеза использовали следующую стратегию [7]. С помощью реакции циклоприсоединения связали вместе плоскую ароматическую молекулу (трициклооктадиен), и молекулу, играющую роль каркаса (тетрадегидродиантрацен). При последующем облучении цикл, соединяющий две молекулы, раскрывался и получалась смесь изомеров, два из которых содержали полускрученный фрагмент (углеводороды Мебиуса), а один имел нормальную ароматическую цепь (углеводород Хюккеля). Все они были выделены в виде кристаллов и их геометрия была определена методом рентгеноструктурного анализа. Схема синтеза ароматического углеводорода Мебиуса Геометрическая структура (вверху) и внешний вид (внизу)углеводородов Мебиуса (слева) и ХюккеляСовсем недавно, в 2007 году была синтезирована молекула, которая может иметь как нормальную, так и мебиусовскую топологии, в зависимости от полярности растворителя, в котором она находится [8]. Молекула получена путем встраивания двух бензольных колец в порфириновый цикл, состоящий из четырех пятичленных колец с атомом азота. В неполярном растворителе бензольные кольца расположены параллельно друг другу и молекула имеет форму двухсторонней ленты. Однако, в полярном растворителе более устойчивой оказывается конфигурация, в которой одно бензольное кольцо поворачивается на 90о и молекула тем самым приобретает форму односторонней ленты Мебиуса. Молекулярный топологический «переключатель». а) Нормальная топология; б) мебиусовская топология.Расчетные методы геометрии широко используются в химии при анализе расположения атомов в молекулах или упаковки отдельных частиц (молекул, атомов и ионов) в более крупных агрегатах – кристаллах, кластерах, мицеллах, наночастицах. Как правило, в подобных задачах требуется умение решать плоские фигуры – треугольники и многоугольники – и знание выражений для объемов различных тел – шаров, кубов, цилиндров, представляющих модели химических частиц. В качестве примера рассмотрим задачу о выборе оптимальной формы частиц для проведения химической реакции. Многие реакции между газами ускоряются в присутствии твердых частиц. Это явление называют гетерогенным катализом. Некоторые стадии таких реакций происходят на поверхности катализатора. Чем больше доля атомов (или молекул) на поверхности, тем выше активность катализатора. Пусть частица катализатора состоит из большого числа атомов металла, имеющих форму шара радиусом r. Сравним частицы шарообразной и кубической формы, имеющие одинаковый объем, и определим, в какой из них доля атомов на поверхности катализатора больше. Пусть шар имеет радиус R, а куб – ребро L. Для оценки доли атомов в поверхностном слое найдем объем поверхностного слоя ^ Vпов и разделим его на объем всей частицы Vкат. Объем поверхностного слоя в сферической частице равен разности объемов внешнего шара и внутреннего шара радиуса R – 2rпри условии, что r Объем поверхностного слоя в кубической частице равен разности объемов внешнего куба и внутреннего куба со стороной L – 4r:при условии, что r Если шар и куб имеют одинаковый объем, то , .Отношение долей атомов на поверхности для шара и куба составляет:У куба при равном объеме с шаром доля атомов на поверхности больше. Разумеется, этот результат справедлив только в приближении, что свободным объемом между атомами металла можно пренебречь. В обоих случаях доля атомов на поверхности растет с уменьшением размера частиц катализатора. Это показывает, что тонко измельченные катализаторы более эффективны. Именно поэтому в современную науку прочно вошло понятие нанокатализа, то есть катализа сверхмалыми частицами размером несколько нанометров, содержащими всего несколько сотен или тысяч атомов металла3. Нанокатализаторы позволяют проводить многие промышленно важные реакции при более низких температурах и с большей скоростью, чем обычные гетерогенные катализаторы.^ 5. Симметрия в химии. Как она помогает устанавливать структуруСимметрия – одно из основных понятий в современной науке. Она лежит в основе фундаментальных законов природы: так, закон сохранения энергии связан с симметрией пространства относительно сдвига по времени. Симметрия – очень распространенное явление в химии: практически все известные молекулы либо сами обладают симметрией какого-либо рода, либо содержат симметричные фрагменты [9]. Так что, пожалуй, в химии труднее обнаружить несимметричную молекулу, чем симметричную. Из всех многочисленных применений теории симметрии в химии мы рассмотрим только одно – довольно красивое, хотя и несколько устаревшее: как с помощью симметрии определить структуру вещества, если известна его молекулярная формула? Одно из самых популярных в химии веществ – бензол. Он был выделен знаменитым ученым Майклом Фарадеем в 1825 году из светильной жидкости, которая в то время применялась для освещения улиц. В те же годы была установлена молекулярная формула бензола C6H6. Однако его строение долгое время оставалось загадкой: даже после того, как была установлено, что углерод имеет валентность IV и может образовывать двойные и тройные связи, было непонятно, как и в какой последовательности соединены между собой атомы углерода. Определить число возможных изомеров состава C6H6, в которых углерод имеет валентность IV, а водород – I, это – отдельная математическая задача. Ее решение дает число 217 – именно столько существует топологически различных структур, отвечающих формуле C6H6. Большинство из них не представляет интереса для химии, так как из-за пространственных ограничений они могут существовать только на бумаге. Однако, задачу о числе изомеров можно поставить более узко: сколько существует структур, составленных только из фрагментов CH? Этот фрагмент имеет валентность III. Скомбинировать 6 таких фрагментов друг с другом можно всего 6 способами. Перечислим возможные структуры: 1) Основу кекулевского бензола составляет правильный шестиугольник из атомов углерода, связанных между собой чередующимися одинарными или двойными связями: 2) Дьюаровский бензол имеет бициклическую структуру и две двойные связи C=C: или 3) В призмане (бензоле Ладенбурга) углеродный каркас имеет форму треугольной призмы, а все связи в молекуле – одинарные: или 4) Бензвален содержит несколько углеродных циклов – один пятичленный и два трехчленных: или 5) Бициклопропенил составлен из двух связанных между собой циклических фрагментов: или 6) Гипотетический бензол Клауса имеет следующий вид: или В последней структуре связи между атомами не пересекаются в центре молекулы. Из этих 6 структур 5 были получены в индивидуальном виде. В частности, смесь дьюаровского бензола, бензвалена и призмана получается при ультрафиолетовом облучении обычного жидкого бензола:Бензол Клауса не существует из-за пространственных ограничений. Теперь посмотрим, какие экспериментальные факты позволили приписать бензолу формулу Кекуле. Найдем число теоретически возможных производных бензола, в которых один или несколько атомов водорода замещены на другие атомы или группы атомов (обозначим заместитель буквой R). Экспериментально определено, что для каждого R существует только одно монозамещенное производное C6H5R и ровно три дизамещенных C6H4R2. Существование только одного монозамещенного говорит о том, что все атомы углерода в C6H6 структурно эквивалентны. Этому условию удовлетворяют только бензолы Кекуле и Ладенбурга. В самом деле, в силу симметрии бензола Кекуле замещенные структуры представляют одно и то же вещество. Аналогично – для бензола Ладенбурга. А вот в бензоле Дьюара атомы углерода бывают двух типов: при двойной связи и вне ее, поэтому возможны два типа монозамещенных: и Попробуйте самостоятельно определить, сколько различных монозамещенных состава C6H5R существует у бензвалена и бициклопропенила. Определим теперь теоретическое число различных дизамещенных, C6H4R2. После введения первого заместителя в молекулу кекулевского бензола симметрия молекулы уменьшается: если в молекуле C6H6 все атомы углерода