Курсовая работа
Расчёт параметров изгиба однопролётной балки со свободно опёртым иупруго защемленным концами
/> />
Дано:
L = 6.8 м = 680 см.
q0= 22.2 кгс/см
E = 210000 МПа
J = 5800 см4
æ = 0.93
1. Дифференциальноеуравнение изгиба призматической балки имеет следующий вид:
EJWIV(x) = q (x) (1)
Послечетырёхкратного интегрирования дифференциального уравнения изгиба балки (1)общий интеграл этого уравнения представляется выражением:
/>, (2)
в которомвеличины А, В, С, D являются постоянными интегрирования, определяемыеисходя из граничных условий по концам рассматриваемой балки.
2. Граничные условия для параметров изгиба балки на её левом концепри значении х = 0 имеют вид:
W(0) = 0 (3)
WII (0)= 0 (4)
На правом конце балки призначении х = L граничные условия для параметров изгиба имеют вид:
W(L) = 0 (5)
/> (6)
3. В связи стем, что в конкретном рассматриваемом примере на заданную однопролётную балкудействует равномерно распределённая внешняя нагрузка интенсивностью q(x)= q0= const, дифференциальное уравнение (1) изгиба призматической балки будетиметь вид:
EJWIV(x) = q 0, (7)
а выражение (2) дляобщего интеграла дифференциального уравнения (7) будет:
/> (8)
Дляподчинения общего интеграла (8) дифференциального уравнения (7) граничнымусловиям (3), (4), (5). (6) необходимо предварительно получить выражения дляпервой и второй производных от общего интеграла (8), которые будут иметьсоответственно вид:
/> (9)
/> (10)
Еслиподчинить выражение общего интеграла (8) граничному условию (3), то врезультате получим, что
W(0) = D,
откуда следует,что величина D будет равна:
D = 0 (11)
Есливоспользоваться граничным условием (4), то подставляя в выражение (10) значениех = 0, в результате получим, что
WII(0)=В,
откуда следует,что величина В будет равна:
В = 0 (12)
Подчиняявыражение общего интеграла (8) граничному условию (5), получим, что
/> (13)
Воспользовавшисьвыражениями (9) и (10), из граничного условия (6) получим следующуюзависимость:
/> (14)
или
/>,
откуда послепреобразований и приведения подобных членов, получается выражение вида
/> (15)
Выражения (14)и (15) в окончательном виде преобразуются к уравнениям относительно двухнеизвестных величин А и С, которые образуют систему двухалгебраических уравнений:
/> (16)
Для решениясистемы уравнений (16) можно воспользоваться методом миноров.
/>/> (17)
значениянеизвестных величин А и С будут определяться следующимиформулами:
/>; (18)
/>, (19)
где:
Δ0 – определитель системыуравнений (17), составляемый из коэффициентов при неизвестных величинах Аи С:
/>
ΔА- определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентовправой части С1 и С2 и коэффициентов принеизвестной величине С:
/>
ΔС — определитель системыуравнений (17), составляемый из коэффициентов при неизвестной величине А ииз коэффициентов правой части С1 и С2:
/>
Учитываявышеприведенные формулы, получим следующие выражения:
/>,
которыепосле несложных преобразований примут вид:
/>
Тогда, учитывая выражения(18) и (19), значения величин А и С будут определяться формулами:
/> (20)
/> (21)
в которыхвведены обозначения:
/> (22)
/> (23)
4. Общийинтеграл (8) дифференциального уравнения (7), являющийся выражением,описывающим характер изменения прогибаW(x) по длине рассматриваемойоднопролётной статически неопределимой балки, после подстановки значенийвеличин А и С, запишется:
/>
5. Общийинтеграл приведенный к виду с безразмерными значениями переменного аргумента:
/> (24)
6. Значенияизгибающих моментовM(x), действующих на балку в любом сечении по её длине,определяются второй производной по прогибу балки, которая учитывая полученнуюформулу (24) преобразуется к виду:
/>
или квыражению, содержащему «безразмерную» переменную величину, равную отношению «х/L»:
/> (25)
На основанииформулы (25) может быть построена эпюра значений изгибающих моментовM(x).
Дляопределения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки Mпрнеобходимо в первую очередь определить значение координаты (xпр)расположения этого изгибающего момента Mпр. Для определениязначения координаты (xпр) необходимо получить выражение дляпервой производной от выражения (25):
/> (26)
Тогдазначение координаты (xпр), где изгибающий момент будет иметьэкстремальное значениеMпр, определится из условия:
/>
или, учитывая выражение(26), из следующего уравнения:
/>,
откуда
(xпр)/>(27)
Тогдаэкстремальное значениеMпр будет равно:
/> (28)
Наибольшеезначение изгибающий момент M(x), исходя из характера его распределения по длинебалки, может иметь или в районе упругой заделки при х = L (значениеMоп)или при x = xпр (значениеMпр).
Значение Mопопределим из выражения (25), подставляя в последнее значение координаты х= L:
/> (29)
7. Коэффициентопорной пары æ определяется отношением значения изгибающегомомента, действующего в районе упругой заделки Mоп, кзначению изгибающего момента в этом районе при условии абсолютно жёсткогозащемления Mжз:
æ /> (30)
Значениеизгибающего момента Mжз в районе упругой заделки впредположении его абсолютно жёсткого защемления определится из формулы (29),если в последней предположить, что коэффициент податливости заделкиorравен нулю:
/>, (31)
тогда наосновании формул (29), (30), (31) получим выражение, определяющее значениекоэффициента опорной пары æ упруго защемлённого концарассматриваемой статически неопределимой однопролётной балки:
æ/>(32)
Из формулы(32) может быть установлена зависимость коэффициента податливости упругойзаделки or через значения коэффициента опорной пары æ:
/> (33)
Использованиеформулы (33) позволяет выразить значения коэффициентов АI и СIпри постоянных интегрирования А и С, определяемых формулами (22) и (23),выражениями, содержащими только значения коэффициентов опорной пары æ:
/> (34)
/> (35)
Тогдаэкстремальное значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр изначения опорного изгибающего момента в районе упругого защемления Mопбудут определяться соответственно следующими выражениями через значениякоэффициентов опорной пары æ:
/> (36)
/> (37)
А значениекоординаты (xпр) расположения экстремального значенияизгибающего момента в пролёте балки Mпр в соответствии сформулой (27) определится выражением:
/> (38)
8. Значения перерезывающих сил N (x), действующих на балку влюбом сечении по её длине, определяются известной зависимостью Журавского:
/>,
которая, учитывая формулу(25), для рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балкипреобразуется к виду:
/> (39)
Из формулы(39) следует, что перерезывающие силы распределяются по длине балки полинейному закону, то есть по прямой линии, поэтому для построения эпюрыперерезывающих сил достаточно определить значения перерезывающей силы в двухкрайних точках, а именно в начале координат:
/> (40)
и в районеупругой заделки (при x = L):
/> (41)
Откуда видно,что выполняется следующее очевидное соотношение
/>
9. Расчет значений параметров изгиба однопролетной балки со свободноопертым иупруго защемленным концами.
В этомслучае, исходя из формул (34) и (35)
/>;
/>,
а координата(xпр) расположения экстремального значения изгибающего момента впролёте балки Mпр в соответствии с формулой (27) будет равна:
/>
или в безразмерномотносительном виде:
/>0.383
Экстремальноезначение изгибающего момента в пролёте балки Mпр и значениеопорного изгибающего момента в районе упругого защемления Mопвсоответствии с формулами (25) и (29) будут равны:
Mпр=M(260,8) /> -755359 кг*с*см
/> 1194621кг*с*см
Определимзначение перерезывающей силы в начале координат (на левой опоре) на основанииформулы (40):
N(0) = — 5791H.
На основанииформулы (41) определим значение перерезывающей силы в районе упругогозащемления балки (на правой опоре):
N(L) = 9305H.
Отметим, что перерезывающая сила N врайоне действия экстремального значения изгибающего момента Mпрв пролёте балки имеет нулевое значение:
/>,00 Н.