Федеральное агентство по образованию
ПермскийГосударственный Технический Университет
Реферат:
«ПРОЕКТИРОВАНИЕТРАЕКТОРИЙ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ РОБОТОВ»
ВВЕДЕНИЕ
Мы изучили,каким образом можно описать задачу робототехнического манипулирования припомощи однородных преобразований; теперь нужно рассмотреть методыпроектирования траекторий перемещения робота.
/>
Рис.4.7.1. Робот, размещающий МОП-пластины. (С разрешения PRI.)
Нужноописать желаемые движения манипуляционных роботов либо в пространствеобобщенных координат, либо в трехмерном рабочем пространстве, либо вкоординатах схвата в зависимости от того, интересуют ли нас зависимости отвремени положения, ориентации, линейной скорости, угловой скорости, линейногоускорения и углового ускорения (рис. 4.7.1).
Сточки зрения интересов человека-оператора робототехническая система должна бытьспособна позаботиться о деталях траектории движения, как только введеныпреобразования, описывающие задачу. Например, оператор может просто ввести желаемоекинематическое положение схвата робота для манипулирования объектом ипредоставить системе управления роботом планировать форму траекторииперемещения и такие детали, как профили изменения скорости и ускорения. Этоопределенным образом связано с так называемым программированием на уровнезадачи, которое будет рассмотрено и гл. 9. Мы же обратимся к вопросу о том,каким образом траектории перемещения роботов интерпретируются управляющей ЭВМ икаким образом управляющая ЭВМ в действительности строит такие траектории ивыдает команды роботу на выполнение желаемых задач. Цифровой природойуправляющей ЭВМ обусловлено то, что генерация траекторий осуществляется дискретнымобразом. Так, генерация каждой дискретной точки на траектории движенияпроисходит за так называемое время просчета траектории. Точки могутгенерироваться с частотой 10—300 Гц в зависимости от того, какая частотавычисления точек траектории может быть достигнута на управляющей ЭВМ. Задача состоитв том, чтобы переместить схват робота из начального кинематического положенияН(0) в заданное кинематическое положение H(t) за время t. Естественным представляется описатьдвижение гораздо более детально, чем определить лишь начальную и конечнуюточки, с тем чтобы избежать столкновений с предметами, находящимися в рабочейобласти. Таким образом, определяются промежуточные точки, в которых должно бытьнайдено кинематическое положение схвата робота. Для более подробно описанныхтраекторий должны быть определены значения обобщенной скорости и обобщенногоускорения. Очевидно, чтобы получить изменяющееся во времени кинематическоеположение схвата робота Н(t),необходимо прибегнуть к множеству изменяющихся во времени углов в сочленениях, или,иначе, к зависящему от времени вектору углов в сочленениях Q(t), такому, что
/> /> (4.7.1)
где />(t) — не что иное, как зависящее от времени решение об- ратнойзадачи кинематики с начальным Н(0) и конечным Н(t) кинематическими положениями схвата робота.
Далеемы опишем множество способов, применяемых для планирования и генерации желаемыхвекторов углов в сочленениях манипулятора.
КУБИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ ИЗМЕНЕНИЯ УГЛОВ В СОЧЛЕНЕНИЯХ
Простейшийи наиболее часто используемый способ определения закона изменения угла всочленении />i(t) — это определение начального и конечного значений />i(t) и />i(t), которые обычно принимают следующие значения:
/>i(0) = />i0(4.7.2)
/>i(tf) = />if (4.7.3)
/>i(0) = 0 (4.7.4)
/>i(tf) = 0 (4.7.5)
где tf — конечный момент времени, а ксхвату робота предъявляется требование, чтобы он находился в состоянии покоя вначальный момент времени t=0 идостигал состояния покоя в момент времени t = t.
Условиям(4.7.2) — (4.7.5) могут удовлетворить многочлены третьей степени от времени, т.е.
/>i(t)= />i0+ a1it + a2it2 + a3it3, (4.7.6)
такие, что
/>if = />i0+ a1itf + a2it2f + a3it3f,(4.7.7) 0 = a1i, (4.7.8)
0 = 2a2itf + 3a3itf, (4.7.9)
откуда a2i и a3i получаются равными
a2i = 3(/>if — />i0 ) t-2f,(4.7.10)
a3i = 2(/>if — />i0 ) t-3f. (4.7.11)
Еслиначальная и конечная скорости не равны нулю, как в ситуации с роботом, отслеживающимдвижение конвейера, коэффициенты полинома получаются из условий выполнения следующихограничений:
/>i(0) = />i0, (4.7.12)
/>i(tf) =/>if. (4.7.13)
Послеэтого легко определить коэффициенты в формуле (4.7.6):
aix = />i0, (4.7.14)
a2i = 3(/>if — />i0 ) t-2f — />i0 tf-1 — />if tf-1 (4.7.15)
a3i = 2(/>if — />i0 ) t-3f+ (/>i0 + />if), (4.7.16)
Заметим,что соотношения (4.7.14) — (4.7.16) носят достаточно общий характер, чтобы бытьприменимыми к любой промежуточной точке между начальной и конечной точкамитраектории. Однако вследствие требования непрерывности положения, скорости иускорения решение уравнений относительно коэффициентов становится болеесложным.
Пример4.7.1
Найдитекоэффициенты для двух кубических законов изменения углов в сочленениях, принявравными продолжительности прохождения по обоим участкам траектории. Решение. Заметим,что в этом случае для первого и второго участков траектории движения
/>1(t)= a10 + a11t+ a12t2 + a13t3, (4.7.17)
/>2(t)= a20 + a21t+ a22t2 + a23t3. (4.7.18)
Ограниченияимеют вид
/>1(0) = />10, />2(0)=/>1(tf1);(4.7.19) />1(t)=/>10, />2(0)=/>1(tf1);(4.7.20)
/>2(tf2)=/>2f, />2(tf2)=/>2f; (4.7.21)
/>1(0) = />10,/>2(0)= />1(tf1); (4.7.22)
Изприведенных восьми формул могут быть найдены восемь коэффициентов a10, a11, a12, a13, a20, a21, a22, и a23 (см.домашнее задание 6)
/>
Рис.4.7.5. Сложное движение манипулятора.
ОБЩИЕ АСПЕКТЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ТРАЕКТОРИЙ
Вообщеговоря, при планировании траектории робота нужно учитывать следующиеобстоятельства.
1. Когдасхват поднимает предмет, его движение должно быть направлено от опорнойповерхности, чтобы избежать столкновения с ней.
2.Конечная точка подъема предмета должна лежать на нормали к поверхности, аначало системы координат схвата должно пройти через эту точку. Таким образом,будет обеспечено допустимое движение схвата. Контроль за скоростью, с которой долженподниматься предмет, может осуществляться путем слежения за временем, требуемымдля перехода в эту точку.
3.Расстояние от конечной точки подъема до опорной поверхности рекомендуется выбиратьравным не меньше 25 % длины последнего звена робота (0.25d6 + длина инструмента) (рис. 4.8.1).
4.Требования 1 — 3 относятся и к начальной точке спуска, т. е. схват долженперемещаться в направлении, перпендикулярном поверхности, и замедляться приподходе к опорной поверхности.
5. Изприведенных выше соображений следует, что на каждой траектории робота имеютсячетыре типа точек — начальная точка, конечная точка подъема, начальная точкаспуска, конечная точка (рис. 4.8.2).
Такимобразом, на процесс планирования траектории можно наложить следующиеограничения.
1.Начальное положение фиксировано.
2.Начальная скорость обычно равна нулю.
3.Начальное ускорение обычно равно нулю.
4.Конечное положение фиксировано.
5.Конечная скорость обычно равна нулю.
6. Конечноеускорение обычно равно нулю.
7.Конечная точка подъема должна находиться от опорной поверхности на расстоянии0.25 d6 + длина инструмента.
8.Начальная точка спуска должна находиться от опорной поверхности на расстоянии0.25 d6 + длина инструмента.
/>
Рис.4.8.1. Рекомендуемая конечная точка подъема.
/>
Рис.4.8.2. Типичная траектория движения i-го сочленения.
Кперечисленным выше ограничениям можно также добавить, ограничения на скорость иускорение в промежуточных положениях, т. е. в точках подъема и спуска. Однако,опустив эти ограничения, мы будем иметь восемь ограничений, которые можно былобы удовлетворить полиномом с неизвестными коэффициентами не менее чем седьмойстепени. Так, для любого угла в сочленении />iможно записать
/>i(t) =/>ani tn, (4.8.1)
где ani — элементы матрицы размера 8 x i.
Таккак это выражение — полином седьмой степени, возможно, он будет иметьзначительное число экстремумов (максимумов и минимумов), что было бы нежелательнодля траекторий перемещения роботов. Кроме того, вычисление всех неизвестныхкоэффициентов может занять много времени (если i = 6, имеем 48 коэффициентов).
Ограничения,относящиеся к траекториям сочленений Описание ограничения Уравнения ограничения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Начальное положение схвата
Начальная скорость робота
Начальное ускорение робота
Конечное положение робота при захвате
Непрерывность по положению в момент t1
Непрерывность по скорости в момент t1
Непрерывность по ускорению в момент t1
Начальное положение робота при установке
Непрерывность по положению в момент t2
Непрерывность по скорости в момент t2
Непрерывность по ускорению в момент t2
Конечное положение робота
Конечная скорость робота
Конечное ускорение робота
/>i(t0) = />*i0
/>i(t0) = />*i0
/>i(t0) = />*i0
/>i(t1) = />*i1
/>i(t1-) = />i(t1+)
/>i(t1-) = />i(t1+)
/>i(t1-) = />i(t1+)
/>i(t2) = />*i2
/>i(t2-) = />i(t2+)
/>i(t2-) = />i(t2+)
/>i(t2-) = />i(t2+)
/>i(t3) = />*i3
/>i(t3) = />*i3
/>i(t3) = />*i3
/>
Рис.4.8.3. Применение робота в лазерной резке.
Нужнотакже найти экстремальные значения на траектории перемещения робота с тем,чтобы убедиться, что эти экстремумы не выходят за рабочую поверхность. Такимобразом, желательно прибегнуть к полиномам низких степеней путем делениятраектории на участки, для которых вычисления выполняются сравнительно легко.Преимуществом таких полиномов низких степеней является то, что для них легчевычислить неизвестные коэффициенты и найти корни их производных при вычисленииэкстремумов.
Всетакие разделенные на участки траектории должны быть непрерывны по положению,скорости и ускорению для достижения плавности движений робота. Для того чтобыэто выполнялось, значения перечисленных параметров должны совладать напересечениях участков.
Принявво внимание все подобные ограничения, приходим, в конце концов к 14ограничениям для вычисления неизвестных коэффициентов в точках пересечения трехучастков траектории, т. е. траектории типа 4—3—4 и 3—5—3. Три участканачальный, промежуточный и конечный. В табл. 4.8.1 указаны 14 ограничений,относящихся к траекториям, разделенным на участки (рис. 4.8.3).
Чтобыполностью определить три полинома низкой степени при наложении приведенных выше14 ограничений, сумма показателей степеней переменной t должна быть 14—3, потому что для этих трех различныхполиномов имеются три свободных константы. Другими словами, должно быть 14неизвестных, являющихся коэффициентами полиномов. Три из них являются свободными,так как оyи не умножаются на t. Таким образом, из-за того чтополином m-й степени от t должен иметь m+1 коэффициентов, сумма степеней этихполиномов, относящихся к трем участкам, должна быть равна, по меньшей мере 11.Существует множество способов удовлетворить этому условию, в частности 4+3+4,3+5+3 или 5+2+4. Рассмотрим подробнее некоторые из этих траекторий.
ТРАЕКТОРИЯ ТИПА 4 — 3 — 4
Длятрех участков траектории перемещения, а именно: подъем, промежуточный участок испуск, существуют полиномы четвертой, третьей и четвертой степеней, которыемогут до- вольно хорошо аппроксимировать их. Для поиска решения на каждом изучастков удобно ввести безразмерную переменную времени τ, такую, что
τ= /> и τm= tm- tm-1
гдеиндексы m и m-1 относятся к m-му и(m—1)-му участкам траектории движенияробота. Таким образом, при движении по m-му участку траектории безразмерное время τ изменяетсяот 0 до 1, тогда как реальное время меняется от tm-1 до tm. Введение соотношений (4.8.2)значительно упростит выкладки.
Участок1: Полином четвертой степени. Пусть ρmi(τ) является полиномиальным представлением m-го участка траектории движения для i-го сочленения. Тогда
ρ1i(τ) = />C1j τj = C10 + C11 τ + C12 τ2 + C13 τ3 + C14 τ4, (4.8.3)
τ1/>1i(τ) = />jC1j τj-1 = C11 + 2C12 τ + 3C13 τ2 +4 C14 τ3, (4.8.4)
τ21/>1i(τ) = />j(j-1)C1j τj-2 = 2C12 + 6C13 τ +12 C14 τ2. (4.8.5)
Заметим,что эти полиномы должны удовлетворять ограничениям, приведенным в табл. 4.8.1.Таким образом,
ρ1i(0) = />*i0, />i(0) = />*i0, />i(0) = />*i0. (4.8.6)
Налагаяприведенные ограничения на (4.8.3), (4.8.4) и (4.8.5), получим
ρ1i(τ) = C14 τ4+ C13 τ3 +/>/>*i0τ21 τ2 + />*i0τ1 τ + />*i0. (4.8.7)
Пример 4.8.1
Определитьзакон движения схвата при подъеме.
Решение. Искомая зависимость относится куглу 9е и, следовательно, нужно положить i = 6 в (4.8.7). Таким образом,
ρ1i(τ) = C14 τ4+ C13 τ3 +/>/>*i0τ21 τ2 + />*i0 τ1 τ + />*i0. (4.8.8)
Заметим, что в (4.8.7)имеются две неизвестные величины, которые нужно найти, — C14 и C13; они определяются из условий непрерывности:
/>1i(1) = />2i(0), />1i(1) = />2i(0), />1i(1) = />2i(0). (4.8.9)
Итак, нужно сначала вычислить />2i(τ).
Участок2: Полином третьей степени. Используя подход, примененный для участка 1, получаем
/>2i(τ) = />C2j τj = C20 + C21 τ + C22 τ2 + C23 τ3, (4.8.10)
τ2/>2i(τ) = />jC2jτj-1 = C21 + 2C22τ + 3C23 τ2, (4.8.11)
τ22/>2i(τ) = />j(j-1)C2jτj-2 = 2C22 + 6C23τ. (4.8.12)
Этивеличины должны удовлетворять следующим условиям:
/>2i(0) = />*i1, />2i(0) = />*i1, />2i(0) = />*i1. (4.8. 13)
Соотношения(4.8.2) и (4.8.9) определяют некоторые из неизвестных коэффициентов. Имеем
C20 = />*i0, C21 = />*i1 τ2, C22 =/>/>*i1τ22, (4.8.14)
C14 + C13 =/>*i1 — (/>*i0 +/>*i0 τ1 + />/>*i0τ21), (4.8.15)
4τ1-1C14 + 3τ-1C13 + τ2-1C21 = — (/>*i0 +τ 1/>*i0), (4.8.16)
6τ1-2C13 + 12τ-2C14 — 2τ2-2C22 = — />*i0. (4.8.17)
Вконце второго участка мы, однако, должны обеспечить выполнение условийнепрерывности, т. е.
/>2i(1) = />3i(0), />1i(1) = />3i(0), />2i(1) = />3i(0). (4.8.18)
Такимобразом, чтобы вычислить дополнительные коэффициенты, нужно найти полином длятретьего участка.
Участок3: Полином четвертой степени. По аналогии с подходами, использованными для участков 1 и2, имеем
/>3i(τ) = />C3j τj = C30 + C31 τ + C32 τ2 + C33 τ3 + C34 τ4, (4.8.10)
τ3/>3i(τ) = />jC3jτj-1 = C31 + 2C32τ + 3C33 τ2 + 4C34 τ3, (4.8.11)
τ23/>3i(τ) = />j(j-1)C3jτj-2 = 2C32 + 6C33τ + 12C34τ2. (4.8.12)
Начальныеусловия имеют вид
/>3i(0) = />*i2, />3i(0) = />*i2, />3i(0) = />*i2, (4.8.22)
которые в сочетании сформулами (4.8.8) — (4.8.10) дают
C30 = />*i1, C31 = />*i1 τ3, C32 =/> />*i1 τ23.
Соотношениянепрерывности (4. 8.18) дают теперь
C20 + C21 + C22 = />*i2 — />*i1, (4.8.24)
τ2-1C21 + 2τ2-1C22 + 3τ2-1C23 — τ3-1C31 = 0, (4.8.25) 2τ2-2C22 + 6τ2-2C23 — 2τ3-2C32 = 0, (4.8.26)
Наконец,на конце участка должны выполняться ограничения:
/>3i(1) = />*if, />3i(1) = />*if, />3i(1) = />*if, (4.8.27)
Используясоотношения (4.8.27) и (4. 8.19) — (4.8.21), получаем
C31 + C32 + C33 + C34 = />*if — />*i2, (4.8.28)
C31 + 2C32 + 2C33 + 4C34 =/>*ifτ3, (4.8.29) 2C32 + 6C33+ 12C34 = />*ifτ23, (4.8.31)
Отметим,что, так как в общем случае />*i1, />*i1, />*i2 и />*i2 неизвестны, мы определили в явном виде только пять из 14 неизвестныхкоэффициентов, которыми являются C10, C11, C12, C13, C14, C20, C21, C22, C23, C30, C31, C33 и C34. Известные коэффициенты – это
(C10, C11, C12, C20, C30) ≡ (/>*i0, />*i0 τ1, />/>*i0τ21,/>*i1,/>*i2).(4.8.31)
Остальныедевять уравнений (4.8.15) — (4.8,17), (4.8.24) — (4.8.26) и (4.8.28) — (4.8.30)могут быть представлены в матричной форме, а именно
/> Х /> =
= /> (4.8.32)
Представляядля простоты уравнение (4.8.32) в компактной форме, получаем
ВС = δ, (4.8.33)
где В— 9Х9-матрица коэффициентов С, а δ — некоторый век- торный массив,относящийся к изменениям углов в сочленениях и их производных по времени, какпоказано в (4.8.32). Полное решение для С (остальные девятькоэффициентов, которые нужно найти) имеет вид
С= В-1 δ (4.8.33)
Пример4.8.2
Найтиполные решения в явной форме для трех полиномов />1(τ), />2(τ) и />3(τ)
Решение. Можно показать, что выражения длякоэффициентов C13, C14, C21, C22, C23, C31, C33 и C34 имеют вид (см. положение А)
C13 = (τ2-1τ3+ 2τ1-1 τ3 + 2 + 3τ1-1τ2)-1 × {2 δ1*(4 +2 τ2-1τ3 + 2τ1-1τ3 + 3τ1-1 τ2) –δ2* τ2-1 τ1(3 + τ2-1τ3) + 2δ1
/>
ТРАЕКТОРИЯ ТИПА 3 — 5 — 3
Используяту же процедуру, что и при выводе соотношений (4.8.41) — (4.8.47), легкопоказать, что для трех участков траектории можно получить следующие выражения,описывающие движение сочленений:
/>
— дляпервого участка,
/> -
длявторого участка и
/>
ДОПУСТИМЫЕ ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ
Натраектории типа 4 — 3 — 4 и 3 — 5 — 3, которые были представлены в предыдущихдвух разделах в виде полиномов ρ1i, ρ2i и ρ3i, в действительности налагаются геометрические иликакие-либо другие ограничения, например недопустимость прохождения через любыенедостижимые точки в пространстве обобщенных координат. Если робот, перемещающийсяпо траектории, сталкивается с препятствием, он может остановиться, начатьпотреблять значительный ток, который может сжечь плавкие предохранители,транзисторы и другие электронные компоненты. Длительное пребывание взаторможенном состоянии может закончиться серьезным повреждением в двигателях,их приводных электрических цепях и устройстве управления. Нет необходимостиговорить о том, что это также может серьезно повредить или деформировать звеньяробота.
Рассмотримтраекторию типа 4—3—4 и проверим ее на недопустимые точки. Все, что надосделать, — это найти экстремум для каждого полинома и удостовериться, что этотэкстремум не выходит за допустимую рабочую область. Итак, нужно проверитьзначения
ρimВ1), ρimВ2), ρimВk)
где Вk, k = 1, 2, …, n, — это n действительных корней производной ρimпо времени τ. Так как длятраектории типа 4—3—4 наивысшая степень полинома — это четвертая степень, тоотсюда следует, что имеется максимально три локальных экстремума. Здесь мы имеемдело с уравнением вида
τ3 + α1 τ2 + α2τ + α3 = 0, (4.9.1)
для которогонадо найти корни. Если экстремум полинома ρi1 или ρi3 лежит вне границы допустимой области, простейшимрешением будет сместить конечную точку подъема и начальную точку спуска, покасоответствующий участок целиком не будет лежать внутри рабочего пространства.Участком, доставляющим наибольшие трудности и приводящим к выходу за границы рабочегопространства, является участок ρi2. В этом случае мы должны разбить промежуточныйучасток траектории на два или более участков, введя дополнительные допустимыеточки. Например, вычислив ρi1— ρi2 — ρi3, мы вычислим затем траекторию, ρ′i2 — ρ″i2 — ρi3, используя условия yа конце участка ρi1.