Задачи ТММ. Основные понятия и определение машин, механизмов,звеньев и кинематических пар
Машина – устройство,совершающее механическое движение для преобразования энергии с целью получениянародно-хозяйственного эффекта. Система тел, предназначенная для преобразованиядвижения одного или нескольких тел в требуемые движения других тел, называетсямеханизмом. По функциональному назначению механизмы делятся на: 1) механизмыдвигателей и преобразователей;
2) передаточныемеханизмы;
3) исполнительныемеханизмы;
4) механизмы управления,контроля и регулирования; 5) механизмы подачи, транспортировки, питания исортировки обрабатываемых средств и объектов; 6) механизмы автоматическогосчета, взвешивания и упаковки готовой продукции. Теория механизмов есть наука,изучающая строение, кинематику и динамику механизмов в связи с их анализом исинтезом. Задачи ТММ делятся на две группы: 1) структурный и кинематическийанализ; 2) динамический анализ механизмов; 3) синтез механизмов. Твердые тела,из которых образуется механизм, называют звеньями. Звено – это одна деталь,либо совокупность нескольких деталей. Кривошип – звено, вращающееся на полныйоборот вокруг неподвижной оси, при неполном обороте – коромыслом. Звено,совершающее возвратно- поступательное движение по неподвижной оси – ползуном.Звено, связывающие два подвижных звена называется шатуном. Неподвижное звеноназывают стойкой. Кулисой называется звено, совершающеевозвратно-поступательное или вращательное движение по подвижной оси. Кинематическойпарой называют подвижное соединение двух соприкасающихся звеньев. Совокупностьповерхностей, линий и точек звена, входящих в соприкосновение с другим звеномпары, называют элементом пары. Систему звеньев, образующих между собой кинематическиепары, называют кинематической цепью. Таким образом, механизм – кинематическая цепь,в состав которой входит неподвижное звено.
Классификация кинематических пар по характеру сопряжениязвеньев и по числу относительных подвижностей звеньев
Кинематические парыделятся на низшие и высшие. Кинематическая пара называется высшей, если элементызвеньев соприкасаются по линиям или в точках, и низшей, если только по поверхности.Все кинематические пары делятся на классы в зависимости от числа условий связи,налагаемых ими на относительное движение их звеньев. Число условий связи,наложенных на относительное движение каждого звена кинематической пары, можетрасполагаться в пределах от 1 до 5. Следовательно, число степеней свободы H звена кинематической пары в относительномдвижении может быть выражено зависимостью H = 6 – S.
/>
пяти подвижная КП
/>
четырех подвижная КП
/>
трех подвижная КП
/>
двух подвижная вращательнаяКП
/>
одноподвижные КП
Всекинематические цепи в свою очередь делятся на замкнутые и незамкнутые.Замкнутой кинематической цепью называется кинематическая цепь, каждое звенокоторой входит по крайней мере в две кинематические пары. Незамкнутойкинематической цепью называется кинематическая цепь, в которой есть звенья,входящие только в одну кинематическую пару.
Группы Ассура. Определение числа степеней свободы плоскихи пространственных механизмов и анализ структуры плоских рычажных механизмов
Группой Ассура наборзвеньев механизма, которые не вносят подвижности в механизм (суммарная степеньподвижности равно 0) и не распадаются на более простые цепи, обладающие такженулевой степенью подвижности. Образование любого плоского механизма может бытьпредставлено как последовательное присоединение групп, удовлетворяющих условию3n–2p1–p2 = 0 (n – число подвижных звеньев цепи, p1,2 – число кинематических пар, соответственно одно или двухподвижных). Отсюда следует, что условие, которому должны удовлетворятьсягруппы, в состав которых входят только одноподвижные пары, можно записать так: 3n–2p1 = 0, следовательно, p1 = 3n/2 –условие существования группы Ассура. Все входящие в состав плоского механизмавысшие кинематические одноподвижные и двухподвижные пары могут быть замененыкинематическими цепями, образованными только одноподвижными парами.
Группой Ассура первоговида называется группа состоящая из 3-х кинематических пар, в которой элементы2-х звеньев остаются свободными.
/>
Вторымвидом является тот, при котором поступательной парой заменена одна из крайнихвращательных пар.
/>
В третьем видепоступательной парой заменена средняя вращательная пара.
/>
В четвертом виде двекрайние вращательные пары заменены двумя поступательными парами.
/>
В пятом видепоступательными парами заменены крайняя и средняя вращательные пары.
/>
Под степенью подвижностикинематической цепи понимается ее наибольшее число степеней свободы относительноусловно неподвижной стойки.
Для плоских механизмов,звенья которых движутся в плоскостях, параллельных между собой, число степенейсвободы определяется по формуле Чебышева: W = 3n – 2p1 – p2. Данная формула является структурнойформулой плоских механизмов.
Пассивные связи и избыточные подвижности
/>
MC–момент сопротивления движению. Переход механизма изодной сборки в другую (механизм неправильно спроектирован). Усовершенствованныймеханизм с дополнительными звеньями не меняет сборки при работе.
W = 3n–2p1 =3×4–2×6 = 0. Это говорит о том, что механизм не вращается. Но на самом деле онвращается, но есть пассивная связь EF, не добавляющая степеней свободымеханизму.
Аналитический метод кинематического исследованиямеханизмов. Аналоги скоростей и ускорений
Кинематическоеисследование механизма, т.е. изучение движения звеньев механизма без учета сил,обусловливающих это движение, состоит в основном в решении трех следующихзадач:
1) определениеперемещений звеньев и траекторий, описываемых точками звеньев; 2) определениескоростей отдельных точек звеньев и угловых скоростей звеньев; 3) определениеускорений отдельных точек звеньев и угловых ускорений звеньев. В аналитическойформе функция перемещений, скоростей или ускорений задаются в виде функции,связывающей перемещение или угол поворота ведущего звена со временем, взависимости от того, какую пару образует ведущее звено. Рассмотрим ГруппуАссура 3-го вида:
/>
Используется методзамкнутых векторных контуров.
1)`A`B =`A`C + `C`B,
óСх +ℓ3cosj3 = Bx
ôCy+ℓ3sinj3 = By
ℓ3=Ö[(Bx–Cx)2+(By–Cy)2],j3 = arctg[By–Cy)/(Bx–Cx)],
откуда Bx=ℓABcosj1,
By = ℓABsinj1.
2)Угловая скорость wk этого звена может быть представленатак: w3 = dj3/dt – угловаяскорость, j¢3= dj3/dj – безразмерная угловая скоростьзвена 3, называемая аналогом угловой скорости.
3)Угловое ускорениеопределяется формулой ek= dwk/dt, тогда d2j3/dj12 = j3¢¢ называется аналогом угловогоускорения. Скорость поступательного движения какого-либо звена равна V = dS/dt, величина
dS/dt=dS/dj×dj/dt,
где dS/dt – аналог скорости, имеющий размерность длины. Т.е V = S¢×w (уравнение связи), где S¢–аналог скорости звена.Продифференцировав это выражение по времени, получаем
am = dV/dt = d(S¢w)/dt = w×dS¢/dt + S¢dw/dt = w2S¢¢ + eS¢.
Величина a = S¢¢=d2S/dj2 есть аналог ускорения, имеющий также размерностьдлины.
Графический метод кинематического анализа плоскихрычажных механизмов. Два метода разложения движения. Построение плановскоростей и ускорений. Теорема о подобии
/>
1-й способ разложения движения (применяетсякогда известно движение одной точки звена и требуется определить движениедругой точки того же звена):
VB = VA+VBA,
где VA–переносная скорость, VBA – относительная скорость (скоростьточки В по отношению к точке А),
aB = aA + aBAn + aBAt,
где aA – переносное ускорение, aBAn и aBAt – относительные ускорения. 2-йспособ (применяется когда известно движение звена и надо определитьдвижение второго звена и эти два звена образуют поступательную пару):
/>
Точки B2 и B1 совпадают, VB2 = VB1 + VB2B1, где VB1– переносная (вращательная) скорость,VB2B1– относительная скорость (поступательная);aB2=aB1 + aB2B1k+ aB2B1r, aB1– переносное ускорение, aB2B1k(поворотное) и aB2B1r(реактивное)– относительные.
Теорема о подобии (применяется для точек одного звена,когда известны скорости, ускорения двух точек этого звена): относительныескорости и ускорения точек одного и того же звена образуют на планах скоростейи ускорений фигуры, подобные одноименной фигуре на схеме механизма. Эти фигурысходственно расположены, т.е. при чтении буквенных обозначений их вершин водинаковом направлении буквы следуют в одинаковом порядке.
/>
Построение планаскоростей: PV- полюс плана скоростей ( в этой точкескорость равна 0), VB1 = w1ℓAB [м/с], w1 = 2pn/60 =pn/30, mV = VB/(pVb) – масштабный коэффициент скорости,
/>
óVC = VB + VCB (^CB)
ôVCB = VC0 (=0)+VCDC0 (|| x-x1),
w2 = VCB/ℓCB= (cb)mV/ℓCB, VC = (PVc)mV.
Построение плана ускорений: aB = aBn= w1ℓAB [м/с2]. p = PV – полюс плана ускорений,
ma = aBn/(pb1) [м/(с2мм)].
/>
aC =aB + aCBn + aCBt
aC3 = aC0 + aC3C0K(=0)+ aC3C0,
aK = 2Vотнwпер – Кориолисово ускорение, aCBn=w22ℓBС= VBC/ℓCB =
= (bc×mV)2/ℓBC,nBC = aBCn/ma, ei = ait/ℓi,
e2 = aCBt /ℓCB = (tCB)×ma/ℓCB.
Силовой расчет. Задачи и методы, допущения
Кинетостика – задачасилового расчета (на основе обыкновенных уравнений равновесия твердых тел.).Перед кинетостатикой ставится две задачи: 1) определение усилий к кинематическихпарах; 2) определение уравновешивающей силы (Fур). Силовой раcчетпровидится по методу Даламбера (если ко всем внешним действующим на звеномеханизма силам присоединить силы инерции, то под действием всех этих сил можнозвено рассматривать условно находящимся в равновесии, SFi=0): SFxi=0, SFyi = 0, SFzi = 0, силы трения при этом не учитываются.
Условие статическойопределимости системы
3n=2p1+p2 – усилие статической определимости, число усилий = число неизвестных.Чаще 3n = 2p1, т.к. p2 = 0, условие существований группАссура (DW=3n–2p1 = 0).
Определение сил инерции и моментов от сил инерции
/>
S2 – центр масс 2-го звена
/>
/>
FИ2= –m2×aS2 = – m2(nS2)ma, MИ2
(момент от силы инерции)= –JS2×E2 = –JS2×(tcb)ma/
/ℓCB, FИ3 = –m3aS3 = –m3(pS3)ma = 0.
Силовой расчет первой группы Ассура
/>
F30 – сила в точкеD со стороны отброшенной опоры 0; F21 – сила, действующая со стороны первого (отброшенного)звена на второе. Разложим силы F21 и F30 – на второе путем проецированияих на соответствующие звенья 2 и 3. 1)F21t, SMC =0 (равновесие 2-го звена):
F21t (BC)×mℓ–G2h1×mℓ+FИ2h2×mℓ + MИ2=0,
F21t=(G2h1mℓ–FИ2h2mℓ–MИ2)/[(BC)×mℓ].
2)F30t, SMC=0 (равновесие 3-го звена):
F30t(CD)mℓ + G2h3mℓ + FИ3h4mℓ – MИ3=0,
F30t=[–G2h3mℓ – F4h4mℓ + MИ3] / [(CD)mℓ].
3)F21n, F30n, SF=0 (равновесие звена2 и 3):
F21n+F21t+G2+FИ2+G3+FИ3+F30t+F30n= 0.
Величины искомых сил известны, но неизвестны их направления.
4)F23, SF=0 (равновесие звена 2 и 3):
F21n + F21t+ G2 + F23=0.
Далее определяем значение уравновешивающейсилы на начальном звене:
/>
F10 – сила состороны отброшенной опоры 0 на звено 1.
5) Fур, SMA = 0: Fур(АВ)mℓ–F12h1mℓ = 0, т.к. на звене формально нет момента, то mℓ можно не писать,т.е получим Fур(АВ) – F12h1=0
6) F10, SF = 0: Fур+F12+F10= 0
/>
Рисуем все известные силы последовательно,учитывая величины и направления. Т.к. SF=0, то соединив конец вектора силы F12 и начало Fур получим искомую силу F10.
Силовой расчет группы Ассура 2-го вида
/>/>
F43 – сила,действующая со стороны третьего (отброшенного) звена на четвертое.
1) F43t, SME = 0 (равновесие звена 4): F43t(DE)mℓ–G4h1mℓ–FИ4h2mℓ–MИ4=0
F43t=(G4h1mℓ+FИ4h2mℓ+МИ4)/(DE)mℓ
2) F50,F43n, SF = 0 (равновесиезвена 4):
F43n + F43t+ G4 + FИ4 + G5 + FИ5 + F + F50=0
3) F54, SF = 0 (равновесие звена 5):
G5 + FИ5 + F + F50 + F54=0.
4) hx, SME=0 (равновесие звена5): F50×hxmℓ=0, hx=0.
Силовой расчет группы Ассура 3-го вида
/>
1)F30t, SMA=0 (равновесие звена 2 и 3)
2)F30n, F32, SF=0(равновесие звена 3):
F30n + F20n+G3 +FИ3 + F32= 0
/>
3) F21, SF=0 (равновесие звена 3):
F23 + G2 +FИ2 + F21=0
4)hX, SMA=0 (равновесие звена 2):
F23×hxmℓ + MИ2 + G2h1mℓ – FИ2h2mℓ =0,
hx= [–МИ2 – G2h1mℓ + FИ2h2mℓ] /(F23mℓ)
Силовой расчет группы Ассура 4-го вида
/>
1)F21 и F34, SF=0(равновесие звеньев 2 и 3):
F21 + G2 +FИ2 + G3 + FИ3 + F34=0
/>
2)F23, SF=0 (равновесие звеньев 2 (3)):
F21+G2+FИ2+F23=0
3)hx1, SMB=0 (равновесие звена 2):
F21hx1–G2h1+FИ2×h2=0, hx1=(G2h1–FИ2h2)/F21
4)hx2, SMB=0 (равновесие звена 3):
F34×hx2–G3h3+FИ3×h4=0
Силовой расчет группы Ассура 5-го вида
/>
1)F32 и F34, SF=0(равновесие звена 3):
F34 + G3 +FИ3 + F34 =0
/>
2)F21, SF=0 (равновесие звена 2):
F23 + G2 +FИ2 + F21 =0
/>
3)hx1, SMB=0 (равновесие звена 2):
F23hx1–G2h1+FИ2h2=0, hx1=G2h1+FИ2h2=0
4)hX2, SMB=0 (равновесие 2 и 3):
F34hX2–G3h3–FИ3h4–G2h1+FИ2h2=0
hX2=(G3h3+FИ3h4+G2h1–FИ2h2)/F34.
Силовой расчет с учетом сил трения
Если учитывают силы трения, то сначаларасчет производится без учета трения, а во втором расчете рассчитывают эти силытрения.
/>
Fтр=F34×f,
где f – коэффициенттрения
Определение уравновешивающей силы
Уравновешивающая сила определяется порычагу Жуковского. Рычагом Жуковского называется повернутый на 90°план скоростей (желательно против направления вращения начального звена), ккоторому прикладывают все силы, действующие на механизм без изменения ихнаправления и ищется равновесие этого рычага по принципу Лагранжа (дляравновесия твердого тела необходимо, чтобы сумма работ равнялась нулю), т.е.
SFi×dSDicos(Fi, dSDi) = 0, SFidSDicos(Fi,dSDi)=0, точка D – точка, лежащая на звене к которой приложена сила F.Разделим все на dt:
SFi×VDicos(Fi, VDi) = 0
Для равновесия твердых тел необходимо идостаточно, чтобы мощность всех действующих на систему сил равнялась нулю. P = F2VS2cos a= F2(PVS2)mVcos a.
/>
/>
План ускорений
/>
План скоростей
/>
Рычаг Жуковского
MИ2 = FМИ2 ×ℓBC, FMИ2 = MИ2/ℓBC,
Момент на рычаге Жуковского:
mV(Fур(ab) +FMИ2(bc)–G2h1–FИ2h2–(FC+FИ3)pVc)=0,
Fур= (–FМИ2×bc+G2h1+FИ2h2 +(FC+FИ3)pVc)/ab
Уравновешивание рычажных механизмов
Метод замещающих масс:
/>
Сместимцентр масс звена АВ в точку А путем некоторого противовеса у точки А. Тожесамое проделываем для звена CD.
1)m1 + m2+ m3 + m4 = M
2) Smixi= 0
3) Smiyi = 0
Выше написанное являетсяусловием смещения центра масс.
4) Smi(xi2+yi2)=Js
Для второго звена: mB2×a = mC2×b –статические моменты,
mB2(a+b) = mC2b, mC2 = m×b/(a+b), mC2=m2×a/(a+b).
Длятретьего звена:
mC3 = m3×d/(c+d), mD3 = m3×c/(c+d)
Рассмотрим равновесие первого звена:
mB2×AB = mдоп1×AA¢, mдоп1=mB2AB/AA¢, (mC2+mC3)×CD = mдоп2×DD¢, mдоп2 = (mС2+mС3)×CD/DD¢, (mB2+mдоп1)ASцмм = (mC2+mC3+mD+mдоп2)DSцмм, mSAAD = (mSA+mSD)SD, SD = AD×MSA/(mSA+mSD)
Уравнение удовлетворяеттрем условиям: сумма по оси x и y = 0, сумма всех масс = общей массе.
Уравновешиваниероторных систем
При наличиинеуравновешенности вращающихся звеньев возникают значительные по величине именяющиеся по направлению центробежные силы инерции. Они отрицательно влияют наопоры, являясь источником вибраций, вызывают изгиб ротора. При статическойнеуравновешенности ротора необходимо сместить центр масс в начало координат.Силы инерции при этом будут следующие –mrw2ℓ=Fц, ℓ–искомое расстояние, Fц – центробежная сила.
/>
Вводим соответствующуюкорректировочную массу (mk):
m1r1w2+m2r2w2+m3r3w2+mkrkw2=0,
где ri– расстояние от оси вращения домассы.
/>
В этом роторе главныйвектор дисбалансов равен нулю. При моментной неуравновешенности ротора (главнаяцентральная ось инерции ротора не параллельна оси ротора, но пересекает ее вцентре масс ротора) вычисляется главный момент дисбалансов ротора MD = Smi[ℓi ei],где ei –эксцентриситеты – радиус-векторыцентров заданных масс относительно оси ротора. Вводим две дополнительныхплоскости и подбираем уравновешивающую массу в каждой плоскости.
Определение КПД механизмов. Мгновенный и цикловой КПД.КПД последовательных и параллельных соединений механизмов
Силы, действующие намеханизм могут быть движущими и силами сопротивления. Движущие силы – это такиесилы, которые осуществляют положительную работу (угол между направлением звенаи направлением силы
Aдс=Асп+Асв, то h=(Адс–Асв)/Адс= 1–Асв/Адс = 1–y,
где y – коэффициент потерь. При циклическиедвижении механизма за один оборот повторяются технические и кинематическиехарактеристики. h–цикловойКПД. Мгновенный КПД равен отношению мгновенных мощностей и этот КПД меняет втечении цикла свои значения: h=Pпс/Pдв. При последовательно соединенных механизмах общий КПД равенпроизведению КПД всех механизмов и применение механизма с низким КПД невыгодно. При параллельном соединении механизмов
Ai=Aдсgihi, h = SAi/Aдс=Sgihi,
при этом один из механизмовбудет с малым КПД.
Динамическое исследование механизмов
Определение истинного движенияначального звена механизма с учетом всех сил, действующих на механизм.
Основная задача: w1=w1(j), вспомогательная задача:
d=(wmax–wmin)/wср > [d]
m×x=Fx, m×y=Fy, J×j=M
/>
Jпр×wср2/2=TS =S(mi×VSi2/2+JSiwi2/2),
Mпр– приведенныймомент, Jпр – приведенныймомент инерции, Т – кинетическая энергия.
Jпр= 2/wср2 × S(mi×VSi2/2 + JSi×wi2/2), Jпр=S(mi(VSi/wср)2+JSi(wi/w)2), V=S¢w – скорость саналогом скорости,
A=S¢¢w2 – ускорение саналогом ускорения. Определим момент сил, действующих на звено приведения:
Mпр×wср=S(Fi×VSi(cosa)+Miwi), Мпр=1/wсрS(Fi×VSi(cosa)+Miwi)= S(Fi×VSi×cosa /wср+Mi(wi/wср).
Определение момента инерции маховика методом профессораМерцалова
TMM+TS–T0=SA,
где TMM–кинетическая энергия массовых масс, равная
TMM=Tmax–TЗВconst,
где Tmax–кинетическая энергия маховика, TЗВconst – кинетическая энергия звеньевых констант.
DTMM=(SA+T0–TS)max (при wmax)–(SA+T0–TS)min (при wmin). Т.к. Т0=const, то: JMM/2(w2max–w2min)=(SA–TS)max–(SA–TS)min,JMM/2(wmax+wmin)(wmax–wmin)= (SA–TS)max–(SA–TS)min, JMMw2ср[d] =(SA–TS)max–(SA–TS)min, JMM = [(SA–TS)max–(SA–TS)min] / [d]wср2, Jmax = JMM –JЗВconst.
Этот момент считается приблизительно,т.к. мы среднее значение определяем грубо (не точно) – по графику.
Определение момента инерции маховика методом Виттенбауэра(метод энергомасс)
/>
Tg ymin=yT/xy, т.к. T=yT×mT, а Jпр=хymy, то tgymin =(T/mT)/(Jпр/my)=Tmy/(JпрmТ).
Перенеся масштабные коэффициенты влевую часть получим:
tgy ×mT/my=T/Jпр = Jпр×(w2min/2)/Jпр = wmin2/2, т.е. w2min=2mT/my tgymin (1).
По этому графику можно определятьмомент инерции маховика:
wср=(wmax+wmin)/2 (2), d=(wmax–wmin)/wср (3).
Из формулы (3) получаем wmax=d×wср+wmin. Из формулы (2) получаем: wmin=2wср–wmax. Подставив wmax в это выражение получаем:
wmax = dwср+2wср+wmax, = wср(1+d/2)
wmin = wср(1–d/2).
Подставив полученное в выражение (1),получим:
wmax2=wср2(1+d+d2/4) » wср(1+d), w2min = wср2(1–d+d2/4)»w2ср(1–d),т.к. d –
малая величина, то d2/4 будет еще меньше,следовательно, ей можно пренебречь, тогда:
wср2(1+d)=2mT/my× tgymax
w2ср(1–d)=2mT/my× tgymin.
Типы и виды механизмов с высшими кинематическими парами
Средимеханизмов с высшими кинематическими парами наибольшее распространение получилизубчатые, кулачковые, фрикционные, мальтийские и храповые механизмы.
Взубчатых передачах различают внешнее, внутренне и реечное зацепление. Взависимости от расположения осей могут быть с параллельными осями(цилиндрические), с пересекающимися осями (конические) и со скрещивающимисяосями или гиперболоидные передачи (винтовые, червячные).
Вкулачковых механизмах высшая пара образована звеньями, называемыми кулачок итолкатель (звено 1 и 2). Замыкание силовое, с помощью пружины. Форма входногозвена – кулачка определяет закон движения выходного звена – толкателя.
/>
Вфрикционном механизме передача вращательного движения осуществляетсяпосредством трения между звеньями, образующими высшую кинематическую пару.Простой фрикционный механизм состоит из двух вращающихся круглых цилиндров 1,2и стойки 3. Силовое замыкание высшей пары осуществляется пружинами. При постояннойугловой скорости диска 1 посредством перемещения колеса 2 вдоль своей оси можноплавно изменять его угловую скорость и даже направление вращения.
/>
Мальтийскиймеханизм преобразует непрерывное вращение входного звена – кривошипа 1 впрерывистое вращение выходного звена – креста 2. Механизм имеет стойку 3 ивысшую пару, образованную цевкой В кривошипа и пазом креста.
/>
Храповоймеханизм с ведущей собачкой и стойкой 4 служит для преобразованиявозвратно-вращательного движения коромысла 1 с собачкой 2 в прерывистоевращательное движение храпового колеса 3. Собачка 5 с пружиной 6 не дает колесувращаться в обратную сторону. Высшая КП здесь образована собачкой и храповымколесом.
/>
Эвольвентаи ее свойства.Свойстваэвольвентного зацепления.Основная теорема зацепления.Зубчатые механизмы
/>
Эвольвента – это траектория некоторойфиксированной точки прямой, катящейся без скольжения по окружности. Окружность,по которой без скольжения катится эвольвента называется основной.Основные свойства эвольвенты: 1)нормаль любой точки эвольвенты касаетсяосновной окружности, т.е. явл. производящей прямой; 2)отрезок производящейпрямой от точки эвольвенты до точки касания равен радиусу кривизны;3)эвольвента не бывает внутри основной окружности.
/>
k1– точка касания, a– угол профиля
k0k1=k1k0¢, rb×(q+a)=rb×tga, q=tga–a, inva=tga–a – уравнение эвольвенты, ry×cosa=rb, ry=rb/cosa. Основная теорема зацепления (т.Виллиса): w1/w2=p2p / p1p
/>
Vk1¢=Vk1cosa1 = r1w1cosa1
Vk2¢=Vk2cosa2 = r2w2cosa2
O1L1w1 = O2L2w2, w1/w2 = O2L2/ O1L1.
Теорема: нормаль в точкекасания в высшей кинематической паре делит межосевое расстояние (O1O2) на части обратно пропорциональные угловым скоростям. Основныесвойства эвольвентного зацепления: 1)Эвольвентное зацепление обеспечиваетпостоянство передаточных отношений:
w1/w2=O2p/O1p = rw2/rw1=rb2/rb1.
2)Прямая N1N2 является общей касательной Þ точка соприкосновение зубьев всегдалежит на ней и тогда она называется прямой зацепления, aw – угол зацепления, который всегдаравен 20°.3) Если одно из колес будет увеличиваться в ¥ размерах, то профиль зуба будет прямой), то она превратитсяв в зубчатую рейку и будет перемещаться поступательно.
Элементы геометрии прямозубых зубчатых колес. Угловойшаг, окружный шаг, модуль, окружности: основная, делительная, впадин и вершинзубьев
/>
p–окружной шаг, py – шаг по промежуточному радиусу, ra – радиус окружности внешних зубьев, rf – радиус окружности впадин междузубьями, r – радиус делительной окружности, ry – радиус промежуточной окружности,
ha – высота головки зуба (часть зубавыше делительной окружности), hf –высота ножки зуба (ниже делительной окружности), y = 2p/z – угловой шаг, где z – число зубьев, p = r×y = r×2p/z, py = ry×y =ry×2p/z, p×z –длина делительной окружности, d –диаметр делительной окружности Þ pz=pd, откуда
d=z×p/p= z×m,
где m – модуль.
da = d+2ha, df = d+2hf, ha=ha*m=m,
где ha*–коэффициент высоты головки зуба, равный 1.
hf=(ha*+c*)m, где c*–коэффициент стандартного радиальногозазора, равный 0,25. da=d+2m=m(z+2),
df=d–2m= d–2×(1,25m) = m(z–2,5).
rb –радиус основной окружности = r×cosa, a=20°.
Методы нарезаниязубчатых колес
Зубчатыеколеса изготавливаются двумя методами: 1) метод копирования. Состоит в том, чтопо чертежам тщательно изготавливается дисковая фреза. Режущая кромка фрезыимеет очертание впадины между зубьями. Вращаясь, фреза перемещается внаправлении боковой образующей зуба. За каждый ход фрезы вдоль оси колесаполучается нарезанной одна впадина. По прохождении всей впадины фрезавозвращается в исходное положение. После этого нарезаемое колесо поворачиваетсяна величину угла t=2p/z, где z–число зубьев нарезаемого колеса и процессповторяется. 2) метод огибания и метод обкатки. Этот метод заключается в том,режущему инструменту и заготовке сообщают то относительное движение, котороеимели бы 2 зубчатых колеса, находящихся в правильном зацеплении. В таком случаережущий инструмент должен представлять собой также зубчатое колесо. Такоеколесо инструмент носит название долбяк, который совершает поступательноедвижение параллельно оси х-х нарезаемого колеса. Одновременно долбяку и колесусообщается вращательное движение с соотношением угловых скоростей, как если быдолбяк и колесо находятся в зацеплении. Практически долбление происходитпоследовательно этап за этапом, а не непрерывно: долбяк движется вверх и вниз,поворачивается нарезаемое колесо и т.д. Тогда профиль нарезаемого колесаполучается как огибающая всех положений режущей кромки долбяка, т.е. инструменткак бы обкатывает нарезаемое колесо (позволяет вырезать колеса с внутреннимзацеплением). Первый метод более простой, второй требует специальногодорогостоящего оборудования и является более точным.
Нарезание производящейрейкой без смещения. Геометрический расчет таких колес
Таккак для любого колеса может быть спроектирована сопряженная с колесом рейка, товместо колеса-инструмента в качестве использована рейка. Рейка совершает ввертикальном направлении возвратно-поступательное движение, параллельное осинарезаемого колеса. Заготовка имеет двойное движение в горизонтальнойплоскости. Вращаясь вокруг оси, она одновременно перемещается вдоль рейки.Таким образом, заготовка осуществляет движение колеса относительно рейки, ипрофили зубьев нарезаемого колеса получаются процессом обкатывания. Геометрическийрасчет зубчатых колес без смещения:
/>
Делительнаяпрямая делит шаг рейки пополам. Шаг рейки равен p=pm, ha*–коэффициентвысоты зуба, c* – коэффициент радиального зазора. ha = ha*m, c = c*m, m –стандартныймодуль. ha – высота головки зуба,
ha=(ha*+X–Dy)m – для случая со смещением, X – коэффициент смещения, Dy– коэффициент уравнительного смещения, hf – высота ножки зуба. hf = (ha*–X+C*)m –для случая со смещением, da – окружности вершин зубьев, da =d+2ha=mz+2(ha*+X–Dy)m, df–диаметр окружности впадин зубьев, df = d–2hf= mz-2(ha*–X + C*)m, d– диаметр делительной окружности.
Минимальное число зубьев шестерни без подрезания.Основные причины введения смещения при нарезании зубчатых колес
PB£PN, PB×sina=ha*m,PB=ha*m/sina, PN = mz/2×sina, ha*m/sina£mz/2sina, Zmin =2ha*/sin2a=2×1/sin220°= 17,097»17
Причинывведения смещения инструментальной рейки при нарезании зубчатых колесследующие: 1) устранение подрезания (подрезание уменьшает эвольвентную частьпрофиля зуба и ослабляет его опасное сечение; 2) увеличение прочности зуба; 3)вписывание в заданные межосевые расстояния.
Определениеминимального коэф-та смещения. Два вида геометрического расчета зубчатых колеспри смещении (дано: 1)z1, z2, m, α, x1, x2; 2)z1, z2, m, α, αW)
PB£PN, PB×sina=(ha*–X)m,PB=mz/2 ×sina, (ha*–X)m/sina£mz/2 × sina,
ha*–z/2×sin2a £ X, Xmin=ha*[1–z/(2ha*/
/sin2a)]. Минимальное число зубьев, своб. от подрезания равно 17, Þ, Xmin = ha*(zmin–z)/zmin,т.к. ha*=1, то Xmin=(zmin-z)/zmin= (17-z)/17.Расчетзубчатых колес
1) αW– угол зацепления, α – угол рейки. inv αW = inv α+ 2xΣtgα/(z1+z2), inv αW =tg αW – αW (инвалюта). aW – межосевое расстояние при смещении, a – межосевое расстояние без смещения. aW=a×cosα/cosαW,a=r1+ r2, r1 – радиус делительной окружности шестерни, r2 – радиус делительной окружности зубчатого колеса. a=r1+r2=(m/2)(z1+z2).y – коэф-т воспринимаемого смещения. ym=αW-a, y=(αW-a)/m.Δy – коэф-т уравнительного смещения.
½mz1+½mz2+ym=½mz1+(ha*+x1+Dy)m+ ½mz2–(ha*–x2+c*)m+c*m
aW=r1+r2+ym,aW=r1a+rf2+c*m,
сократив одинаковыевыражения в левой и правой частях уравнения и разделив все на m, получим: y=x1+x2-Δyx1+x2=xΣ – суммарный коэф-т смещения,
Δy= xΣ–y
2) aW =a∙cosα/cosαW,
αW =arccos(a∙cosα/aW),
inv αW= inv α + 2xΣtgα/(z1+z2)
xΣ=(invαW– invα)(z1+z2)/2tgα
y=(αW-a)/m.Δy= xΣ–y
Коэф-т перекрытия.Определение его графическим и аналитическим методами
Коэф-т перекрытияопределяет плавность работы зубчатой передачи и показывает среднее значениечисла пар сопряжения зубьев, находящихся в сопряжении. Такие качества передачиобеспечиваются перекрытием работы одной пары зубьев работой другой пары. Дляэтого каждая последующая пара зубьев должна войти в зацепления еще до того, какпредшествующая пара выйдет из зацепления. E=B1B2/πmcosα, πm – шаг по делительной окружности, πmcosα – шаг по основной окружности, B1B2 – часть линии зацепления ограничительной окружности вершинзубьев шестерни зубчатого колеса, которая называется активной частью линии зацепления.
Аналитический метод. B1B2=B1P+PB2=B1N1–PN1+BN2–PN2=√(r2a1–r2b1)+√(r2a2–r2b2)–N1N2,
N1N2=rW1sinαW+rW2sinαW=aWsinαW
rW1, rW2– радиусы начальных окруж.
/>
E > 0 должно быть всегда. Для обычныхпередач Е ≈ 1,3. Чем больше число зубьев, тем больше Е.Графический метод
О величине перекрытиясудят по коэффициенту перекрытия, который выражают отношением угла торцовогоперекрытия к угловому шагу. Угол торцового зацепления a – это угол поворота колеса отположения зубьев при входе в зацепление. Следовательно,
Е = jа1/t1,
где t1=2p/z1– угловой шаг.
/>
Если Е
Виды смещений.Основной вид смещения при нарезании, уравнительное и воспринимаемое смещения
1)смещение равно 0
/>
2) Начальная прямая,которая катится без скольжения в процессе нарезания зубчатых колес Хm>1 Þ это случай положительного смещения.
/>
3) Xm
начальная прямая
/>
xΣ – суммарный коэф-т смещения x1+x2=xΣ, y – коэф-т воспринимаемого смещения, Δy – коэф-т уравнительного смещения.
Δy= xΣ–y
Передаточное отношение одно- и многоступенчатых зубчатых передачс неподвижными осями вращения
Одноступенчатая передачас внешним зацеплением. Особенность: меняет знаки.
u12=±ω1/ω2, ω1=vk/r1, ω2=vk/r2.
/>
Одноступенчатая зубчатаяпередача с внутренним зацеплением. Особенность: не меняет знаки.
/>
Подставим ω1 и ω2 в формулу для передаточного отношения u12:
u12=±r2/r1=±z2/z1.
Многоступенчатая зубчатаяпередача с неподвижными осями (односторонние зубчатые передачи соединены последовательно:
/>
u16 =u12 ∙ u34 ∙ u56 = (-1)ω1/ω2 ∙ω3/ω4 ∙ (-1)ω5/ω6= ω1/ω2∙ ω3/ω4 ∙ ω5/ω6= (-1) z2/z1∙ z4/z3 ∙ (-1) z6/z5
Передаточное отношениемногоступенчатой зубчатой передачи = передаточному отношению входному колесу отвыходного колеса.
z2∙z4∙z6 — произведение числа зубьев ведомых колес.
z1∙z3∙z5 — произведение числа зубьев ведущих колес. Тогда
Uвх/вых = Пzведомых колес/Пzведущихколес × (-1)k,
где k – число внешних зацеплений.
Определениепередаточного отношения планетарного механизма аналитическим методом (методом обращениядвижения)
Если одно из центральныхколес многоступенчатого зубчатого механизма неподвижно, то она называется планетарныммеханизмом.
Число степеней свободы W=3n-2p1-
-2p2=3∙3-2∙3-2=1
/>
Планетарный механизм,имеющий неподвижное звено всегда можно превратить в дифференциал, и наоборот.Это и есть свойство обратимости планетарных механизмов. Основная идея методаВиллиса (метода обращения движения): берем центральное звено планетарногомеханизма и даем ему дополнительное вращение равное скорости вращения водила,но направленное в противоположную сторону. Тогда водило становится неподвижнымзвеном и механизм из планетарного превращается в зубчатый механизм снеподвижными осями колес (обращенный механизм), состоящий из несколькихпоследовательных соединенных пар зубчатых колес.Движение
Z1 в
Z4 действит.
Ω1
ωв Дополнит
-ωв
-ωв
-ωв суммарное
ω1-ωв
-ωв
Передаточное отношениеобращенного механизма имеет вид:
u14(в)=(ω1-ωв)/(-ωв)=(-1)2z2z4/z1z3
u1в(4)=ω1/ωв=1-u14(в)
u1в — передаточное отношение планетарногомеханизма.
uв1(4)=1/u1в(4)=1/1-u14(в)
Передаточное отношение отчетвертого колеса к водилу, если первое колесо остановлено:
u4в(1)=1-u41(в)
uв4(1)=1/u4в(1)=1/1-u41(в)
u1в(4)=1/1-u14(в)=1-z2z4/z1z3=1-99∙101/100∙100=0,0001
uв1(4)=1/u1в(4)=10000
Т.е. при одном оборотеводила колесо повернется на 0,0001.
Передаточное отношение планетарного механизма по методубаланса мощностей в балансу моментов
u1в — ?
/>
u1в=1-u14(в)=1-(-1)2z2z4/z1z3=1-r2r4/r1r3
⌠M1ω1+Mвωв=0
│M1+Mв+M4=0
ω1/ωв=-Mв/M1=(M1+M4)/M1=1+M4/M1
M1=F12∙r1, M4= -F43∙r4, F34∙r3=F21∙r2,
F34= F21∙ r2/r3, F43= -F34= -F21∙ r2/r3,
u1в=ω1/ωв=1+M4/M1=1-F12∙r2∙r4/F12∙r1∙r3=1-r2r4/r1r3
Передаточное отношениепланетарных механизмов графическим методом
/>
Особенностиопределения передаточного отношения дифференциальных механизмов с замыкающейкинематической цепью аналитическим и графическим методами
/>
Механизм имеет два водила«a», «в» Þ содержит 2 планетарных механизма.Т.к. оба центральных колеса могут вращаться, заключаем, что левая частьзаданного механизма, состоящая из водила «а», сателлита 2-3 и центральных колес1,4 является дифференциалом (два колеса могут вращаться). Данный механизмявляется замкнутым, т.к. в выделенном дифференциале водило «а» и колесо 4соединены между собой зубчатой передачей. Замыкающая цепь содержит водило «в»,на котором установлен сателлит. Поскольку центральное колесо 7 здесьнеподвижно, то замыкающая цепь (колеса 5 и 7, водило «в» и сателлит 6)представляет собой простой планетарный механизм. Рассмотрим дифференциал(1,2-3, «а», 4) отдельно. Воспользуемся методом Виллиса, т.е. остановим водило,преобразуем дифференциал в приведенный зубчатый механизм.
Движение а 1 4 действит.
ωа
w1
w4 дополнит.
-ωа
-ωа
-ωа суммарное
w1(а)=
=w1–wа
ω4(а)=
=w4–wа
Далее, для приведенногомеханизма составляем отношение угловых скоростей центральных колес и выражаемего через радиусы:
i14(a)=w1(a)/w4(a)=(w1–wa)/(w4–wa)=(r2r4)/(r1r3)
После этого рассматриваемотдельно замыкающую цепь. Поскольку она выполнена в виде простого планетарногомеханизма, то и здесь применяем метод Виллиса:Движение в 5 7 действит.
ωв
w5
w7 =0 дополнит
-ωв
-ωв
-ωв суммарное
w5(в)= w5–wв
ω7(в)= –wв
i57=w5(в)/w7(в)=(w5–wв)/(–wв) = –r7/r5.
С целью определенияискомого передаточного отношения решаем полученные уравнения совместно:
(1-е): (w1–w5)/(w4–w5) = r2r4/(r1r3),
(2-е): 1–w5/w4= –r7/r5.
Из 2-го уравнения w5=w4(1+r7/r5). Подставив это значение в 1-е уравнение,получим: [w1–w4(1+r7/r5)] /
/ [w4–w4(1+r7/r5) = (r2r4)/(r1r3), сократив на w4,получим: [(w1/w4) – (1+r5/r7)] /
/ [1–(1+r7/r5)]=r2r4/(r1r3).Отсюда i14=w1/w4=1+r7/r5–(r2r4r7)/(r1r3r5).
Дифференциалавтомобиля и его кинематика
/>
(ω1-ωв)/(ω4-ωв)=1,ω1-ωв= — (ω4-ωв)
(ω1+ω4)/ω2=ωв
Имитация движенияавтомобиля на повороте:
/>
Ω=vЛ/(R+a)= vП/(R–a)
ωЛ/(R+a)=ωП/(R–a)
ωЛ/ωП=(R+a)/R–a)
Кулачковые механизмы.Назначение и виды кулачковых механизмов
Кулачковые механизмыпреобразуют вращательное движение начального звена (кулачка) ввозвратно-поступательное движение выходного звена (толкателя). При этом формакулачка определяет закон движения толкателя. Кулачковые механизмы бываютследующих видов:
1) Плоский кулачок с качающимся толкателем.1-кулачок, 2-толкатель, 3-ролик, 4-силовой элемент (пружина).
/>
2)Плоский кулачок с поступательноперемещающимся толкателем.
/>
3)Пространственный кулачок.
/>
Основные этапы проектирования кулачкового механизма
1)Выбор схемы кулачковогомеханизма, 2)Определение закона движения толкателя, 3)Выбор основных размеровкулачкового механизма, 4)Профилирование кулачка.
vT=ST¢∙ωK,
где S¢T – аналог скорости толкателя,
dS/dφk, aT≈ST¢¢∙ωK2, aT=ST¢¢∙ωK+ST¢∙EK, ST¢¢=d ST¢/dφk≈ ∆ST¢/∆φ= ST¢/∆φ
при Δφ→0,ST¢¢→ ∞, что соответствуетжесткому удару (скачкообразно изменяется аналог скорости толкателя ST¢)
/>
jП – фаза подъематолкателя. 1– жесткий удар, 2–мягкий удар (скорость толкателя нарастает быстрее),3, 4, 5– безударное движение.
Графические методы определения закона движения толкателя
/>
Схема механизмампоступательно движущимся толкателем
/>
Закон движения ведомогозвена (толкателя)
Определение минимальных размеров кулачка
Режим самозаклиниваниятолкателя – когда толкатель не может передвигаться. r0– минимальный радиус. Для кулачков с поступательным движениемтолкателя угол давления (α) не более 300. Для кулачков скачающимся толкателем угол давления (α) допускается до 450.
/>
По основной теоремезацепления:
wK/wT=KOT/OKK = ℓT/DB
(по подобиютреугольников),
DB = ℓTwT/wK, S¢×wK = VT. tgq=DN/NOK = [(ℓT+ST¢)–a×cosjT]/[a×sinj], q–угол зацепления.
a×sinjT × tgq + a×cosjT = (ℓT+ST¢), a=(ℓT+ST¢)/ (sinjT × tgq + cosjT)
/>
r0= Ö(a2+ℓT2–2aℓTcosjT0)
Определение действительного профиля кулачка
/>
⌠xB=a-eTcosφT(φK)
│yB=eTsinφT(φK)
(x-xB)2+(y-yB)2=r2
-2(x-xB)∙dxB/dφK–2(y-yB)∙dyB/dφK=0
(x-xB)=-(y-yB)(dyB/dφK)/(dxB/dφK)
(y-yB)2∙[(dyB/dφK)/(dxB/dφK)]2+(y-yB)2=r2,
(y – yB)2= r2 × (dxB/djK)2 / [(dxB/djK)2 + (dyB/djK)2], y = yB± r × (dxB/djK) / Ö[(dxB/djK)2 + (dyB/djK)2]
x = xB± r × (dyB/djK) / Ö[(dxB/djK)2 + (dyB/djK)2]