--PAGE_BREAK--1. Разработка математической модели процесса переработки полимерных материалов 1.1 Общие теоретические сведения о теплообмене 1.1.1 Теплообмен
Различают три вида теплообмена: теплопроводность, теплопередача конвекцией и лучистый теплообмен.
Передача тепла за счет теплопроводности осуществляется в результате движения молекул, атомов и электронов; она играет значительную роль при теплообмене в твердых и расплавленных полимерах. При конвекции, которая возможна только в жидкостях и газах, тепло передается за счет относительного движения частиц нагретого тела. При лучистом теплообмене передача тепла между пространственно разделенными частями тела происходит за счет электромагнитного излучения.
1.1.2 Теплопроводность
Основной задачей теории теплопроводности является установление распределения температур внутри тела. Если распределение температур не зависит от времени, то задача теплопроводности является стационарной; если распределение температур зависит от времени, то задача становится нестационарной.
Передача тепла происходит во всех случаях, когда в теле существует температурный градиент. По закону Фурье, который лежит в основе всех расчетов теплопроводности, для изотропных материалов вектор теплового потока q пропорционален температурному градиенту:
Полагая в уравнении энергетического баланса V = О, получим:
Уравнение (1.2) представляет собой уравнение теплопроводности для изотропного твердого тела.
Если внутри изотропного тела имеется источник тепла, то уравнение (1.2) необходимо дополнить членом, учитывающим тепловыделение
Примерами внутренних тепловыделений являются поглощения инфракрасного излучения в полупрозрачных средах, экзотермический эффект химических реакций и т. п.
1.1.3 Теплопередача в стационарном режиме.
Теплопередачу в непрерывно действующих нагревательных системах перерабатывающего оборудования можно рассматривать как независящую от времени. Следовательно, распределение температур носит установившийся характер и определяется интегрированием дифференциального уравнения (4.5)
продолжение
--PAGE_BREAK--1.1.4 Нестационарная теплопроводность.
В большинстве случаев в реальных процессах переработки приходится иметь дело с нестационарным режимом теплопроводности, когда полимер подвергают нагреву или охлаждению (например, охлаждение в форме отлитого изделия). Теоретические исследования процесса нестационарной теплопроводности представляют собой обширный раздел математической физики. Решения, получаемые в результате интегрирования уравнения (2.5), представляют собой функции времени и пространственных координат, удовлетворяющие начальным и граничным условиям. Различают четыре рода граничных условий Условия первого рода: задано распределение температур на поверхности, которое может либо быть постоянным, либо зависеть от времени; в простейшем случае, если положение границ определяется одним числом (например, расстоянием L), такие граничные условия математически определяются выражением вида (4.6):
Условия второго рода: задана плотность теплового потока для каждой точки поверхности тела как функция времени:
Условия третьего рода: задан коэффициент теплообмена, а на границе и температура контактирующей с граничной поверхностью среды:
Условия четвертого рода: соответствуют теплообмену тела с окружающей средой по закону теплопроводности или теплообмену системы тел, находящихся в тепловом контакте (температура соприкасающихся поверхностей одинакова):
Аналитическая теория нестационарной теплопроводности располагает большим набором решений одномерных задач, к которым принято сводить все многообразие задач, встречающихся в инженерной практике. В настоящее время получены аналитические решения для теплопроводности в плоской стенке, в цилиндре, в корпусе и в сфере.
2. Составление математической модели теплообменного процессав прямоугольных координатах
Рассмотрим симметричный процесс нагрева бруска полимера, в этом случае температура будет функцией координаты х и времени t.
Рис. 2.1 Процесс нагрева тела
Для вывода уравнения теплопроводности введем следующие предпосылки:
· количество тепла, которое необходимо сообщить однородному телу для нагрева на ΔТ, равно
где С – теплоемкость, γ – плотность, кг/м3, V – объем.
· Количество тепла, протекающее через поперечное сечение за момент времени Δt, пропорциональна площади сечения, скорости изменения температуры в направлении, перпендикулярном сечению и промежутку времени Δt.
где λ – коэффициент теплопроводности, Вт/м2К
Выделим (рис. 1.1) участок бруска сечением с абсциссой x+Δx и составим для него уравнение теплового баланса.
Поскольку , то при х=x+Δx значение частной производной
Взяв разность величин входящего Q и выходящего Q1 тепловых потоков, получим количество тепла ΔQ, сообщенное выбранному участку за время Δt.
С другой стороны, за этот же промежуток времени температура изменилась на величину , поэтому по формуле (2.3) сообщенное количество тепла равно
Приравнивая выражения (2.4) и (2.3) получим , сократив общие множители, получим следующее уравнение
Уравнение (2.5) является математической модель процесса нагрева тела в прессе в прямоугольных координатах.
Для определения температуры в каждой точке необходимо дополнить уравнение 2.5 граничными и начальными условиями. Считаем, что ТП – температура плит пресса, Т0– начальная температура материала, Т текущая температура в заданной точке сечения.
Тогда получим следующие начальные условия:
· При t=0 →T=T0;
· При t=∞ → Т=ТП;
· x=0→T=T0;
· x=S →T=TП;
Для получения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, аппроксимирующих уравнение (2.5), разобьем материал на ряд слоев одинаковой толщины h.
Будем считать, что точки на оси Х расположены на небольшом расстоянии и температура для каждой из этих точек – функция времени. Частная производная приближенно может быть выражена через значения функции Tj(t) в точке xj и в двух соседних точках Tj-1(t) и Tj+1(t) следующей формулой
если рассматривать n точек (узлов) в материале, то получим систему их n дифференциальных уравнений. Примем n=5, тогда система будет выглядеть следующим образом:
Моделирование процесса сводиться к решению системы дифференциальных уравнений.
Для достижения стабильности решения системы дифференциальных уравнений, шаг интегрирования по времени dt должен удовлетворять условию , где k– температуропроводность материала.
продолжение
--PAGE_BREAK--2.1 Выбор и описание численного метода решения уравнения модели
Для решения дифференциального уравнения теплопроводности бесконечного цилиндра воспользуемся методом сеток, суть которого заключается в разбиении координатной плоскости на равные части и вычислении значения искомой функции в узлах образуемой сетки. Используя значения функции в крайних точках можно последовательно вычислить её значение в любой части координатной плоскости.
2.1.1 Метод сеток для уравнения параболического типа
В качестве уравнения параболического типа остановимся на уравнении теплопроводности для однородного стержня :
и(х,
t) — температура и t — время. В дальнейшем для простоты будем полагать а = 1 (к такому случаю всегда можно прийти путем введения нового времени (τ=а2·t).
Итак, рассмотрим уравнение . Пусть, кроме того, в начальный момент времени t= 0 задано распределение температуры u(x,0)=f(
x) и законы изменения температуры в зависимости от времени (тепловые режимы) на концах стержня х = 0 и х = l:
Требуется найти распределение температуры и=и(х, t)вдоль стержня в любой момент времени t. Решим эту смешанную задачу методом сеток [6], [7]. Для этого рассмотрим пространственно-временную систему координат (рис. 2.2). В полуполосе t≥0, 0≤x≤lпостроим прямоугольную сетку
Рис. 2.2
x =
i
·
h(i = 0, 1, 2, ..., п),
t=
j
·
k(j=0, 1, 2, ...),
где — (n — целое) — шаг вдоль оси Ох и k=σ·
h2(σ — постоянная)- шаг вдоль оси Ot, вообще говоря, различны. Величина σ будет выбрана ниже. Введя обозначения
xi = i·htj=j·k uij=u(xi,tj)
и заменяя уравнение (2.8) конечно-разностным уравнением, будем иметь (2.9)
Отсюда
Из рассмотрения формулы (4) ясно, что, зная значения функции и(х, t) в точках j-го слоя t=
j
·
k, с помощью этой формулы можно вычислить значения и(х, t)в точках следующего (j+1)-гoслоя t = (j+1)k(рис. 2.3). При вычислении пользуются четырьмя соседними узлами — явная схема вида (схема 1).
Рис. 2.3
Таким образом, исходя из начального слоя t = 0, значения и(х, t)для которого определяются из начального условия
u(xi, 0) =f(xi) (i = 0, 1, 2, ..., п),
и используя значения функции и(х, t)в крайних узлах (0, t), (l, t,)(j= 0, 1, ...), определяемые граничными условиями
по формуле (2.10) последовательно вычисляем:
(i = 0,1,….n)
т. е. находим значения искомой функции и (х,
t) во всех узлах полуполосы.
Остается разумно выбрать величину σ. При этом будем исходить из требования, чтобы ошибка при замене дифференциального уравнения (2) конечно-разностным уравнением (3) была наименьшей.
Будем считать, что точки (узлы в материале) расположены на небольшом расстоянии и температура для каждой из этих точек – функция времени. Частная производная приближенно может быть выражена через значения функции Tj(t) в точке xj и в двух соседних точках Tj-1(t) и Tj+1(t) следующей формулой
Если задать интервал времени dt, тогда распределение температуры по длине материала значение температуры в материале в следующий момент времениt+dt получается:
Данная рекуррентная формула вычисляется для всех m интервалов времени. В результате получаем температурное поле – повременное изменение температуры в материале с расстоянием.
продолжение
--PAGE_BREAK--2.2 Составление программы и решение её на ЭВМ
Программа решения уравнения математической модели методом сеток составлена в математическом процессоре MathCad 13 с применением встроенных методов программирования.
1. Определение исходных данных относительно варианта задания
2. Исходя из критерия сходимости решения уравнения выбираем интервал отсчета времени dt
3. Задаем начальные и граничные условия в сетке
4. Используя формулу (2.11) производим рекуррентные вычисления в сетке для каждого момента времени с интервалом dt для всех точек в материале:
Полученные значения распределения температуры по толщине материала:
Более наглядно эту информацию можно изобразить на графике
где 1 – температура после 5-ти секунд, 2 – температура через ¼ всего времени моделирования, 3 – температура после 5 отсчетов времени от начала моделирования.
Полученное температурное поле для всего времени моделирования – 5 сек и m=2000 интервалов отсчета времени.
5. Анализируем полученное температурное поле. Необходимо найти значение времени, при котором материал полностью прогреется до температуры плиты пресса. Значение времени получим из матрицы заполненной сетки Т, искомым значением будет номер столбца, в котором значение элемента в последней строке больше или равно , где ΔТ — приближенное значение температуры.
2.3 Анализ полученных результатов
Применение ЭВМ в химической технологии производства полимерных материалов позволяет существенно ускорить процесс расчета параметров процесса и получать адекватные математические модели для изучения процессов переработки полимеров.
Результаты, получаемые с помощью расчетных листов MathCad 13 можно использовать для моделирований реальных технологических процессов связанных с охлаждением и нагреванием полимеров в пресс-формах и определение времени выдержки для различных материалов и режимов работы оборудования.
3. Разработка математической модели процесса экструзии в зоне дозирования 3.1 Описание технологии процесса экструзии
Экструзия (выдавливание) вязкотекучих материалов как метод изготовления изделий известен около 200 лет и первоначально применялся при переработке глины, мыла, теста (макароны) и др. Чтобы изготовить изделие в виде стержня или трубы, вязкий материал помещался в цилиндр и с помощью поршня продавливался через формующий инструмент, который имел цилиндрический канал при формовании стержня или кольцевой зазор при формовании трубы.
Для переработки полимера такой поршневой метод экструзии впервые был применен в 1870 г. Основным недостатком поршневого метода была периодичность действия поршня. Но через несколько лет появляются (1873 г. Германия, 1879 г. Англия и США) первые патенты на непрерывный способ выдавливания вязких материалов с помощью шнека. Моделью шнекового экстру-зионного способа переработки материала может служить хорошо знакомая всем мясорубка. Прообраз современных конструкции, экструдеров появляется в 1930 гг.
Экструзия — это современный, высокоавтоматизированный непрерывный процесс производства изделий и полуфабрикатов нужной формы, осуществляемых путем продавливания расплава полимерного материала через формующий инструмент (головку). Экструзию применяют для приготовления: гранул, листов, пленок, труб, профильных и выдувных изделий, тонкослойных покрытий на бумагу, ткани, картон, провода и кабели в пластмассовой изоляции.
Методом экструзии перерабатываются практически все известные термопластические полимеры и композиции на их основе. ""«Процесс перестройки производства на основе требований XXVII съезда КПСС делает актуальной задачу повышения производительности труда за счет технической и технологической модификации, улучшения организации труда и системы управления экструзионных производств.
Для решения этих задач необходимо разработать и пустить в эксплуатацию мощные и высокоскоростные машины, осуществить более точное и автоматизированное регулирование параметров экструзионных технологических процессов, внедрить полную механизацию и автоматизацию основных и вспомогательных операций, разработать и внедрить единые технологические комплексы, объединенные общей программой и дистанционно управляемые
посредством компьютеров. Необходимо также резко повысить качество полимерных материалов, поступающих на переработку.
В мировой практике выпускаются установки для производства пленки из ПЭ с производительностью 1500—2000 кг/ч при диаметре шнека D = 200 мм. Скорость отвода пленок достигает 90—100 м/мин и более. В ближайшее время эти скорости превысят 300 м/мин.
В настоящее время наблюдается тенденция к увеличению параметра L/D, где L — длина шнека. Если сейчас этот параметр находится в пределах от 24:1 до 30:1, то в дальнейшем он будет увеличиваться до 40:1.
Увеличение отношения L/D обеспечивает улучшение процесса нагрева полимера и повышение гомогенизации расплава. Однако дальнейшему увеличению параметра L/D препятствует повышение напряжений внутри шнека и чрезмерное увеличение габаритов экструдеров. Считают, что шнек должен обеспечивать быстрое и эффективное перемешивание полимерного материала не за счет увеличения продолжительности пребывания его в цилиндре, а за счет совершенствования конструкции шнека.
Особый интерес представляет идея совмещения реактора для синтеза полимера с экструдером. При этом отпадает необходимость в промежуточной стадии — грануляции полимерного материала. Расплав из реактора поступает непосредственно в экструдер. Благодаря этому экономится энергия, затрачиваемая на дополнительное плавление полимера, улучшаются свойства самого материала.
Разработан и применяется процесс соэкструзии, при котором несколько экструдеров пластицируют разные полимерные композиции и выдавливают их через общую комбинированную головку. Такие агрегаты используют для производства многослойных листов и плит, многослойных пленочных материалов. Весьма перспективны процессы производства вспененных одно-и многослойных пленок. Пленки начали изготавливать и из наполненных термопластов, что сулит значительные технико-экономические выгоды.
Показано, что из ПЭНП могут быть изготовлены методом экструзии трубы диаметром 1500 мм при толщине стенки 52 мм и массе 1 м трубы 220 кг. Изготавливаются такие трубы на одно- или двухшнековых машинах с диаметром шнека 200 мм.
Будут изготавливаться трубы с диаметром 3000 мм, а также листы и плиты из ПЭВП и ПС шириной до 3000 мм.
Создаются совмещенные процессы, посредством которых можно будет получать изделие непосредственно из мономеров.
В процессе экструзии исходный полимерный материал через загрузочное окно поступает в цилиндр и перемещается в осевом направлении в спиральном канале шнека, образованном внутренней поверхностью цилиндра и нарезкой шнека. При движении полимерный материал уплотняется, размягчается и расплавляется. Из него удаляется воздух, расплав гомогенизируется и под действием усиливающегося давления продавливается через формующую головку. Горячее изделие непрерывно охлаждается, что и позволяет ему стать твердым и сохранить форму. Таким образом, непосредственно экструзионное формование состоит из трех стадий: пластикации полимерного материала, формования расплава и охлаждения готового изделия.
Рис. 3.1. Схема экструзионной машины
Подготовка полимерного материала к формованию, его нагрев, пластикация и гомогенизация осуществляются с помощью вращающегося шнека в цилиндре экструдера. Шнек характеризуется следующими основными геометрическими параметрами: диаметром D; длиной L; шагом винтовой нарезки /; глубиной нарезки Л; шириной гребня витка е; величиной зазора между гребнем шнека и внутренней стенкой цилиндра б; углом подъема винтовой линии нарезки шнека
Зона загрузки шнека составляет обычно около трети длины рабочей части шнека, но длина ее в разных шнеках сильно колеблется и составляет LЗагр = (2 — 10)D. Зона загрузки предназначена для захвата небольшого количества материала, поступающего через горловину в цилиндр, и проталкивания его вперед по цилиндру. Производительность загрузочной зоны зависит от объема спирального канала v (в см3), образованного поверхностями цилиндра и шнека:
(3.1)
где d — диаметр тела шнека, см.
При d = D — 2/h
(3.2)
Таким образом, загрузочная зона шнека будет тем больше забирать поступающего материала, чем больше диаметр шнека, глубина нарезки и шаг резьбы. Естественно, что чем больше будет производительность загрузочной зоны, тем выше станет общая производительность экструдера. Условия захвата и продвижения твердого материала вперед по цилиндру являются основными факторами, обусловливающими производительность процесса экструзии. Поэтому производительность экструдера будет зависеть от природы пластмассы, формы загружаемого материала (гранулы, лента, порошок) и плотности его.
Глубина спирального канала в зоне загрузки h1>2l, где l — максимальный размер гранулы перерабатываемого материала.
Однако наличие большого свободного объема v в загрузочной зоне не может еще полностью определять производительность ее, так как движение твердого полимерного материала вдоль спирального канала возможно лишь в том случае, если трение материала о поверхность цилиндра будет намного больше, чем о поверхность шнека. В противном случае поступательное движение прекратится, и исходный материал будет вращаться вместе со шнеком на одном и том же месте. Это может происходить, например, в случае перегрева зоны загрузки и прилипания размягченного полимера к шнеку. Сила, заставляющая продвигаться материал вперед, вдоль спирального канала шнека, зависит от коэффициентов трения материала о цилиндр и шнек, от угла подъема винтовой линии и глубины нарезки шнека.
(3.3)
или
(3.4)
Наилучшими считаются шнеки с углом подъема винтовой линии φ = 17-18°. Когда шаг нарезки t = D, угол φ = 17,5°, такие шнеки наиболее распространены. Глубина нарезки и угол подъема винтовой линии для данного шнека являются величинами постоянными, а коэффициенты трения полимерного материала о цилиндр и шнек зависят от перерабатываемого материала и температур цилиндра и шнека.
Коэффициент трения пластмасс о горячий металл f имеет сложную зависимость от температуры. С ростом температуры (до точки плавления полимера) значение f резко возрастает, а при температуре выше точки плавления падает (рис. 3.2).
Рис. 3.2
Зависимость коэффициента трения f пластмасса — сталь от температуры. 1 — полиэтилен, 2 — поливинилхлорид средней жесткости
Для термопластов при t = 20 °С коэффициент трения по стали колеблется в небольших пределах.
При передвижении чечевицеобразных гранул ПЭНП с насыпной плотностью 0,59 г/см3 и углом естественного откоса 25° в зоне загрузки развиваются нормальные напряжения 12—13 МПа, а для ПЭВП с кубической формой гранул, насыпной массой 0,52 г/см3, углом откоса 27° — 16—17 МПа.
Когда давление в конце зоны загрузки начинает достигать 8—10 МПа, гранулы полимерного материала уплотняются почти полностью, что значительно изменяет пористость и теплопроводность движущегося твердого слоя. Появляется пленка расплава и возникает скорость сдвига.
Для предотвращения преждевременного размягчения (расплавления) материала и налипания его на шнек температура в зоне загрузки должна поддерживаться ниже температуры размягчения перерабатываемого полимера.
Зона сжатия необходима для уплотнения материала, создания монолитной массы, обладающей значительно большей теплопроводностью, чем рыхлый, неуплотненный полимерный материал. Благодаря уплотнению, интенсивному механическому воздействию, твердые гранулы быстрее расплавляются, причем не только за счет внешних обогревателей, но и в результате выделяющейся внутренней теплоты трения частиц. Уплотненный материал образует в зоне гомогенную свободную от пустот пластифицированную массу, которая поступает в следующую зону — дозирования.
Сжатие материала в зоне может достигаться либо за счет уменьшения шага нарезки, либо в результате уменьшения глубины нарезки, что в обоих случаях приводит к уменьшению объема спирального канала.
Уменьшение глубины нарезки в зоне сжатия ускоряет проплав-ление полимерного материала еще за счет уменьшения толщины слоя полимера, помещающегося в канале.
Длина зоны сжатия LСЖ = (1-15)D зависит от свойств перерабатываемого материала, в первую очередь, от его термостабильности τТ, поэтому желателен выбор соответствующего шнека для переработки конкретного материала. Так, при переработке термостабильных материалов, не боящихся быстрого сжатия и, следовательно, интенсивного механического и теплового воздействия, могут применяться шнеки с короткой зоной сжатия (обычно Lсж = (l-4)D). Если же перерабатываются материалы с малой термостабильностью, то Lсж = L/2, т. е. сжатие материала должно осуществляться постепенно. Давление расплава в конце зоны сжатия может достигать в зависимости от конструкции шнека, свойств материала и режима переработки: Рсж = 15 — 50 МПа.
Зона дозирования предназначена для равномерного выдавливания (дозирования) пластицированного и гомогенизированного полимерного материала в формующую головку. Поэтому в этой зоне должны быть постоянный шаг и глубина нарезки.
Длина зоны дозирования Lд = (3-7)D при общей длине применяемых шнеков L= (16 -25)D. Основное влияние на производительность экструдера оказывает именно зона дозирования. Ее пропускная способность характеризует производительность машины.
продолжение
--PAGE_BREAK--