ДИПЛОМНАЯ РАБОТА
По теме
«Элементы истории математики при преподавании темы«Тригонометрия» в общеобразовательной школе»
Введение
Использование учителем математикиисторических сведений не является обязательным при изложении материала урока. Однако,как указывает К. А. Малыгин «… экскурсы в историческое прошлое оживляют урок,дают разрядку умственному напряжению, поднимают интерес к изучаемому материалуи способствуют прочному его усвоению»[1]. Тем более что материал поистории математики весьма обширен и интересен, так как развитие математикитесным образом связано с решением насущных задач, возникавших во все периодысуществования цивилизации.
Рассказав об исторических причинахвозникновения тригонометрии, показав, как плоды деятельности великих ученыхоказали влияние на развитие этой области математики и на решение конкретныхзадач, учитель возбудит у школьников интерес к изучаемому предмету и покажетего практическое значение. Очевидно, каждый учитель математики полагает, чтоиспользование исторических сведений повышает интерес учащихся, имеет большоемировоззренческое и общекультурное значение. И, тем не менее, учителя крайнередко излагают на уроке математики исторические сведения, или используют всистеме упражнений задачи с историческим содержанием. Здесь сказываетсянехватка учебного времени, отсутствие разработанной методики, желание большеуделить внимание закреплению.
Проблема использования историческогоматериала на уроках математики интересовала многих ведущих ученых, педагогов иметодистов, таких как: Г. И. Глеизер, Д. Я. Стройк, Н. Я. Виленкин, Я. И.Перельман, К. А. Рыбников, А. П. Юшкевич и другие. Увлечь учащихся, заставитьих заинтересоваться изучаемым предметом — вот первейшаяиглавнаязадача использования элементов истории математики на уроках.
Целью исследования является, во-первых,выявить целесообразно ли ознакомление учащихся с историческим материалом припреподавании тригонометрии в общеобразовательной школе, во-вторых, показать,как сочетается изучение определенных разделов программы по тригонометрии сизложением соответствующего исторического материала. Для этого необходимо было рассмотретьсамо содержание исторического материала и выбрать те его части, которые разумноиспользовать на уроках тригонометрии, предложить формы его изложения, иопределить объем материала, который можно предоставить учащимся для самостоятельногоизучения и использования на внеурочных занятиях.
Исходя из целей, в ходе нашегоисследования, мы ставим перед собой следующие задачи:
- выявитьвозрастные особенности старшего школьного возраста
- рассмотретьпонятие мотивации в процессе обучения;
- познакомитьсяс историко-генетическим методом в преподавании математики;
- показатьисторию развития тригонометрических понятий;
- сформулироватьдидактические принципы и требования к отбору историко-научного материала длявключения в процесс обучения тригонометрии;
- разработаемпримерное планирование уроков с использованием исторического материала;
- рассмотретьформы и примеры использования исторического материала на уроках геометрии итригонометрии в средней школе;
В первой главе дипломной работы рассмотреныпсихолого-педагогические основы, которые имеют непосредственное отношение кпреподаванию тригонометрии в средней школе.
Во второй главе изложенисторико-математический материал, связанный с возникновением и развитиемтригонометрических понятий.
В третьей главе изложены методическиеособенности использования исторического материала при изучении курса тригонометриив общеобразовательной школе и показали примеры использования историческогоматериала на уроках.
Завершается дипломная работа заключениеми библиографией.
Глава 1. Психолого-педагогические основыпреподавания тригонометрии в средней школе
1.1 Возрастные особенности старшего школьноговозраста
«Учение выступает как вид деятельности,целью которого является приобретение человеком знаний, умений и навыков» — такпишет в своих трудах известный психолог и педагог Р.С. Немов. «Учение в школе — это организованный процесс. Особенности учебной деятельности состоят в том, чтоона прямо служит средством психологического развития индивида». Эти словасправедливы и в отношении математики, ведь учение не может быть успешным, еслиучитель не знает психологических особенностей своих учеников.
Перед учителями во все времена стоитвопрос, как сделать свои уроки интересными, познавательными и развивающими. Какпривлечь внимание учеников, сделать их не пассивными слушателями, норавноправными участниками образовательного процесса. Для лучшего пониманиясвоих учеников учителя всегда должны учитывать психологические аспекты, окоторых речь идет ниже.
В подростковом возрасте начинаетформироваться мировоззрение, как основной мотив и регулятор поведения. Передучителем возникает цель развития в ученике целостного, интеллектуальноразвитого индивида. А при формировании научности мировоззрения необходимопомнить, что оно зависит от активности самого подростка, его самостоятельностив приобретении знаний.
Значительные изменения претерпевают вподростковом возрасте и познавательные процессы. Учебная деятельность,включающая в себя процесс усвоения знаний и способов их использования,позволяет подросткам устанавливать более широкие связи между имеющимися и вновьприобретаемыми знаниями, более сознательно контролировать свою мыслительнуюдеятельность и управлять ею. Постепенно у них формируется умение самостоятельнооперировать предположениями и критически оценивать их. Но, зачастую, взрослые,учителя безапелляционно отвергают наивные, односторонние, далеко еще не зрелыезаключения, создавая своей бестактностью предпосылки для конфликтов инедоразумений. Конечно же, таких столкновений учителя допускать не должны.
Нравственные и социальные качества старшеклассниковформируются ускоренными темпами. Этому способствует не только сензитивныйпериод зрелости, но и новая обстановка: изменение характера деятельности, положениев обществе, интенсивность общения. Появляется острое желание выразить своюиндивидуальность; у некоторых молодых людей это стремление приобретает гипертрофированныеформы. Любым способом им хочется обратить на себя повышенное вниманиеокружающих. Здесь могут помочь терпимость и заинтересованная помощь взрослых.
Далеко не последнюю роль в учебнойдеятельности подростка играет мотивационный момент. Мотивы обучения могут бытьсвязаны с его результатами. В таком случае от учащихся требуется немалое волевоеусилие как при положительной мотивации (похвала, хорошая отметка), так и темболее при отрицательной (плохой балл аттестата и т.п.). Также мотивы учениямогут содержаться как в самом процессе учебной деятельности, так и в целяхучения: стремление расширить свой кругозор, проявить свои способности, желаниеучиться дальше и т.д. В таких случаях усилению мотивации будут способствоватьпроблемные методы обучения, своевременная информация о достигнутом и т.п.
1.2 Мотивация как двигатель обучения
Современными исследователями мотивациярассматривается не просто как необходимое условие, но как движущая сила,способствующая достижению успеха. В педагогических пособиях «мотивация»определяется как «общее название для процессов, методов, средств побужденияучащихся к продуктивной познавательной деятельности, активному освоениюсодержания образования»[2]. В психологии термин«мотивация» является объяснительным конструктором, используемым для описания иобъяснения причин поведения людей, его направленности и механизмаосуществления. Как и интеллект, мотивацию нельзя наблюдать непосредственно, ноона может быть выявлена косвенно на основе некоторых когнитивных, поведенческихи эмоциональных показателей [1;7-8].
Известный американский когнитивныйпсихолог Роберт Стернберг, описывая причины, мешающие людям с высоким уровнеминтеллекта достигать высоких результатов и добиваться успеха, в качествеосновной причины указывает на недостаток мотивации: «Практически в любойокружающей обстановке… мотивация имеет не меньшую роль в достижении успеха,чем умственные способности» (Stenberg.1996, р. 251) [ 1; 6].
Успешность учения во многом зависит отмотивации, от того личностного смысла, который учение имеет для учащегося.Мотивация учения является проблемой, которая остро стоит и перед подростками, иперед учителями, и перед родителями. Если в первый класс ребенок приходитлюбознательным, желающим получить новые впечатления и выполнять заданияучителя, то по мере его обучения в школе, особенно в подростковом возрасте,учителя все чаще сталкиваются с негативным отношением учащихся к школе, курокам, со скукой, апатией, депрессией или агрессией. Отсутствие необходимоймотивации учения часто ведет к стойкой неуспеваемости, которая способствуетпоявлению отклонений в поведении школьника [2; 27].
Из всех отдельных видов человеческоймотивации мотивация достижения имеет непосредственное отношение к учебномупроцессу. Т. О. Гордеева определяет мотивацию достижения как мотивацию,направленную на возможно лучшее выполнение любого вида деятельности,ориентированной на достижение некоторого результата (так называемой продуктивнойдеятельности) [1; 8]. Она указывает, мотивация достижения является надежнымпредиктором успеваемости в школе и вузе, а также успешности в бизнесе и другихпрофессиях.
По свидетельству А. Анастази и С.Урбины, в свою очередь ссылающихся на внушительный список англоязычных работ,имеет место растущее признание роли мотивации учащихся в школьном обучении [1;5].
Особый интерес к проблематике мотивациидостижения показал, что она является одной из фундаментальных мотивацийчеловека, без которой невозможно его полноценное развитие. В современноминдустриальном обществе ситуации, связанные с деятельностью достижения,преобладают в учебной и профессиональной деятельности. Следует отметить, чтомотив достижения является главным «возрастным» мотивом учебной деятельностиподростков [2; 37]. Мотивация достижения проявляется в стремлении прилагатьусилия и добиваться, возможно, лучших результатов в области, которую субъектсчитает важной и значимой. В качестве деятельности достижения могут выступатьинтеллектуальная, спортивная, любая профессиональная, в том числе учебнаядеятельность. Мотивация достижения имеет наибольшее значение в активности,направленной на достижение определенного результата, который может быть оцененв соответствии с предметными, индивидуальными или социальными нормами. Однаконаиболее исследована мотивация достижения в области решения интеллектуальныхзадач, где испытуемыми выступают главным образом школьники и студенты [1; 8-9].
Успешное выполнение продуктивнойдеятельности требует не только развитых способностей, но и таких важныхмотивационных характеристик, как интерес к выполняемому делу, вара в своиспособности достичь успешного результата, умение справляться с трудностями,адекватно реагировать на неудачи и проявлять настойчивость (Dweck,1999) [1; 6-7].
Учение является одним из основных видовдеятельности школьников, поэтому многими психологами исследовались мотивыучебной деятельности как значимые в этот период психологического развития. Всемотивы учения, с точки зрения исследователя Л. И. Божович, подразделяются надве большие категории [3]. Одни из них непосредственно связаны с содержаниемучебной деятельности и процессом познания (познавательные); другие — с болееширокими взаимоотношениями ребенка с окружающей средой (социальные). Крометого, выделяют собственные, внутренние мотивы, учебной деятельности учеников ивнешние мотивы, мотивы-стимулы. Первые связаны с процессами познания исоциального взаимодействия, а также некоторыми личностными образованиями,такими как самоуважение и самооценка. Вторые с внешним стимулированием, использованиемсистемы поощрений, наказаний и т.д. [2; 28]
Оптимальный вариант функционированиямотивации достижения включает доминирование у субъекта в структуре мотивацииинтереса к деятельности,/> сопровождающегосяудовольствием от ее осуществления, а также ощущением компетентности и контроля.В исследовании М. Чиксентмихайи, основанное на тысячах интервью с людьми,описывающими то, что делает их счастливыми, показало: наибольшее счастьеприносит людям не зарабатывание денег или признание (внешняя мотивация), адеятельность, удовлетворяющая их самих и сопровождающаяся увлеченностью, когдавнимание человека чем-то захвачено (внутренняя мотивация). Например, одинученик может быть сильно мотивирован выполнением домашнего задания по тому, чтооно представляет для него интерес, другой — потому, что хочет заслужить похвалуродителя, третий в первую очередь ориентируется на мнение учителя или признаниесо стороны сверстников [1; 250-253]. Первый случай, когда работа, выполняемаяучеником важна для него и интересна сама по себе, как мы указывали выше,является оптимальным для продуктивности деятельности школьников.
Интересно, что большинство психологовсклоняются к мнению, что внешняя мотивация уменьшает внутреннюю. Регулярноедлительное подкрепление (в виде оценок, замечаний, системы наказаний и т.д.)воспринимается как внешний контроль и дает возможность ученикам снять с себяответственность за происходящее, что негативно сказывается на внутреннеймотивации. Более того, наличие корыстного подкрепления при наличии интереса кдеятельности смещает акценты с содержания самой деятельности на ее результат.Поэтому учителю следует обязательно включать задания, не связанные с получениемконкретного результата [2; 28].
Особое место среди мотивов учебнойдеятельности занимает познавательный интерес, появление которого тесно связано,во-первых, с наличием положительных эмоций, связанных с умственным трудом,когда ребенок воспринимает учебу не только как свой долг, но и как радостный приятныйпроцесс. Во-вторых, для развития познавательного интереса необходима такаясреда, которая бы стимулировала, любознательность ребенка, давала бы ему пищудля ума, заставляла задавать вопросы [2; 43].
Щукина Г. И., изучавшая проявленияпознавательного интереса у подростков, показала, что он как устойчивая черталичности встречается лишь у отдельных учащихся. При этом развитиепознавательного интереса не имеет четко выраженных возрастных градаций изакономерностей. У большинства школьников по мере обучения интересы не становятсяболее устойчивыми, широкими, теоретическими. Можно сказать, что в старшихклассах аморфных интересов оказывается больше, чем в младших. Исключениемявляется избирательное отношение к школьным предметам, связанными спрофессиональной направленностью. Кроме того, она показала, что одним изключевых факторов появления и развития познавательного интереса являетсякачество и уровень преподавания, подчас личная увлеченность предметом учителя[2; 43].
Традиционно успешную учебную деятельностьсвязывает с наличием у школьников внутренней познавательной мотивацией ипознавательного интереса. Отчасти это так, на наличие у ученика толькопознавательного интереса без каких-либо социальных мотивов может привести котсутствию у него чувства ответственности за учение. Подчас это выражается встремлении к «чистому» творчеству, пренебрежение к отработке учебных навыков,выполнение технических подсчетов, правильному оформлению решения задач, а такжев невнимании повторения пройденного, не выполнении домашних заданий и т.д.Поэтому для успешной учебной деятельности также необходим баланс внутреннихсоциальных и познавательных мотивов. При этом грамотно построенная системавнешних стимулов может способствовать появлению в перспективе внутренней мотивации[2; 29-30].
Исходя из всего выше изложенного, мыможем говорить о том, что в ходе учебного процесса, мотивационная сфераучащихся имеет большое значение и непосредственно влияет на деятельностьшкольников. Таким образом, задачей учителя, помимо реализации основных целейобучения, является увеличение и стимулирование интереса учащихся к изучаемомупредмету.
Как известно, использование на урокахэлементов истории математики повышает интерес учащихся, имеет большоемировоззренческое и общекультурное значение. Знакомя учащихся с ними, мы как быкратко повторяем путь развития математики как науки и ее связь с историейразвития цивилизации, что, несомненно, заинтересует учащихся и сделает более мотивированнымпроцесс обучения.
1.3 Об историко-генетическом методе
Вопросы использования элементов историиматематики в преподавании рассматривались многими известнымиучеными-математиками и деятелями в области математического образования. Срединаиболее известных исследований по этой теме, включающих отбор историко-математическогоматериала и рекомендации по его использованию на уроках математики в школе,можно отметить работы:
В этих, как и в большинстве работ,авторы сходятся во мнении, если учитель знает историю математики, знает какпроисходило становление и развитие основных математических понятий и идей, тоон будет лучше понимать внутреннюю логику учебных тем, сможет дидактическиболее грамотно вводить математические понятия. Учитель не только должен знать,как происходило развитие основных математических понятий и идей, но и понимать,что учащиеся в своем обучении кратко повторяют этот путь и сталкиваются с темиже трудностями, с какими сталкивались ученые, стоявшие у истоков формированиятого или иного математического понятия. Учителю необходимо не только быть знакомымс историей науки, но параллельно, неразрывно с излагаемым материалом, обращатьвнимание на то, какие методические идеи и находки подсказывает ему историянауки, следовать с историко-генетическому метод.
В основе историко-генетического методалежит следующее наблюдение: изучая математику, учащиеся кратко повторяют путьчеловечества, который оно прошло, добывая математические знания. Если мы знаемэтот путь, знаем историю математики, то можем, используя это знание,координировать учебный процесс, делая его более эффективным, а математику,преподносимую учащимся, более понятной. Поясним эту идею следующимвысказыванием американского профессора М. Клайна: «Нет никакого сомнения, чтозатруднения, которые встретили великие математики, являются теми же камнямипреткновения, какие встречают студенты, и что никакие попытки смазать этитрудности с помощью логической словесности не достигнут цели. И если нужны были1000 лет, чтобы первоклассные математики добрались до понятия отрицательныхчисел, и потребовалось еще 1000 лет, чтобы математики признали отрицательныечисла, то можно быть уверенным, что учащиеся испытают затруднения сотрицательными числами. Больше того, учащимся придется преодолеть эти трудностипочти тем же путем, каким это преодолели математики, постепенно привыкая кновым понятиям, оперируя с ними и используя все интуитивные средства, которые учительсможет им привести»([10] с. 7).
Для того чтобы лучше разъяснить сутьисторико-генетического метода, рассмотрим кратко главные этапы его становления.Началом его проникновения в преподавание математики можно считан, появление в1685 г. «Исторического и практического трактата по алгебре» Дж. Валлиса.Исторический подход к изложению предмета и метода алгебры, реализованный втрактате, вызывал у читателей большую заинтересованность и тем самымспособствовал ускоренному постижению смысла излагаемого материала, логикивыводов и доказательств. Таким образом, впервые было замечено, что если кматематическим понятиям, терминам и символам подойти с позиции историческогоразвития, то они перестанут казаться искусственными и оторванными от жизни.Станет, виден их глубокий жизненный смысл, их естественность и необходимость.«Трактат по алгебре» Валлиса можно считать первым курсом алгебры, построенномна историко-генетических началах.
В XVIIIв., т.е. спустя почти двести лет, французский математик А.К. Клеро, следуя запедагогической идеей Валлиса, уделил большое внимание историческому методу впроцессе обучения математике. Он считал очень продуктивной методику, котораяучит искать и делать открытия, потому что при таком изложении математическихутверждений указывается, каким образом люди пришли к открытию.
В середине XIXстолетия англичанин В.Г. Спенсер опубликовал книгу «Геометрия путемизобретения», в которой излагал для детей геометрию не обычным дидактическимспособом, а знакомил читателей с геометрическими представлениями, постепенно икак бы только подготавливая к ее изучению. Такая методика также далаположительные результаты.
В конце XIX— начале XX столетий историко-генетическийметод стал широко популяризироваться деятелями математического образования. В1904 г. французский математик А. Пуанкаре писал: «Зоологи считают, что закороткий период развития эмбриона животного он воспроизводит историю своихпредшественников всех эпох. Кажется, что-то же самое происходит в развитии ума.Задача воспитания — дать уму ребенка пройти то, что изведали его предки, пройтибыстро определенные этапы, но не опустить ни одного из них. Для достижения этойцели история науки должна служить поводырем».
В России одним из активныхпропагандистов историко-генетического метода был русский исследователь историиматематики и математического образования В.В. Бобынин. Приведем цитату из егоработы 1886 г. «Философское, научное и педагогическое значение историиматематики»: «Умственное развитие молодых поколений управляется теми жезаконами и вследствие этого проходит в существенных чертах те же самые фазыразвития, которые имели место в соответствующих ступенях умственного развитиявсего человечества… преподавание каждой науки должно идти тем же путем,которым шла при своем развитии сама наука...» ([10] с. 8). Такой метод В.В.Бобынин называет генетическим, понимая под этим «метод, развивающий в преподаванииположения и выводы науки именно таким образом, как они развивались вдействительности» ([10] с. 8). В качестве основного педагогического значенияистории математики Бобынин указывает именно на значение ее для генетическогометода преподавания. Фактически о том же говорит и русский психолог и педагогП.Ф. Каптерев: «Наиболее удобная в педагогическом отношении форма изложенияесть генетическая, когда сообщается история происхождения знания, показывается,как знание возникло и развивалось» ([10] с. 8).
Определенного рода повторяемость общего путиумственного развития человечества в формировании индивидуального сознания,которую на опыте собственной педагогической деятельности подмечали многиепреподаватели XIX в., в середине XXстолетия стала предметом психологических исследований. Психолог В.В. Давыдовсчитает, что учащиеся присваивают культурные формы в процессе учебнойдеятельности, осуществляя при этом мыслительные действия, адекватные тем,посредством которых исторически вырабатывались продукты духовной культуры, т.е.школьники как бы воспроизводят реальный процесс создания людьми понятий,образов, ценностей и норм. Отсюда В.В. Давыдов делает важный вывод о том, чтообучение в школе всем предметам необходимо строить так, чтобы оно «в сжатойсокращенной форме воспроизводило действительный исторический процесс рождения иразвития… знаний» ([11] с. 152). Таким образом, историко-генетический методдействительно может играть большую роль в преподавании математики, так какименно он позволяет учащимся пройти тот путь, который проходило человечество,добывая математические знания.
Историко-генетический метод побуждаеткаждый раз обосновывать введение того или иного понятия, рассказывая, какиезадачи практики привели к его открытию, и как оно впервые использовалось. С егопомощью учитель может предвидеть трудности, возникающие при усвоении учащимисяшкольной программы и преодолевать их, используя исторический опыт.
Историко-генетический метод способенподсказать учителю решение и некоторых чисто методических проблем, например,как лучше спланировать изучение данного учебного материала, какой методическойразработке отдать предпочтение, в какой последовательности изучать те или иныетемы. «Вообще, мы можем ожидать больший успех делая то, что нам подсказываетгенетический принцип, чем следуя чисто формальной концепции математики» ([12]с.91). Этот метод может оказать учителю большую помощь при реализации в учебномпроцессе эвристических приемов: чтобы подвести учащихся к открытиюматематического факта, учитель должен кратко пройти вместе с ними тот путь,который привел людей к установлению этого факта.
Однако преподаватели прекрасно понимают,что попытка воспроизвести весь исторический путь познания математическойистины, повторяя все детали ошибок и заблуждений первооткрывателей, приведет котказу от тех преимуществ, которые предоставляют дидактике современныеобобщающие идеи, концепции и методы науки, и, как следствие, к разрушениюлогической структуры курса. Поэтому историко-генетическому методупротивопоставляется другой метод преподавания — логический.
При логическом изложении не должно бытьничего лишнего, никаких нарушающих стройность предмета историческихслучайностей. Однако и ходе преподавания стало очевидным, что логический методтакже не лишен недостатков. В своей строго логической форме, без указаний напроисхождение понятий и выхода теории в практику, математическая дисциплинапринимает слишком искусственный характер, «… мы видим, как вопросы могут бытьразрешены, но перестаем понимать, как и почему они были поставлены» ([10] с.8). По этой причине логическое изложение не заинтересовывает даже способныхучащихся так, как могло бы.
Вот почему уже много лет не угасаетинтерес к историко-генетическому методу. Однако очевидно, что этот методэффективен лишь в том случае, когда в процессе изложения научных понятийправильно найдено соотношение логического и исторического подхода в преподавании.Говоря об историко-генетическом методе, мы, безусловно, не имеем в виду его крайниеформы — повторение в преподавании развития математического знания со всеминюансами и тонкостями. Для методически правильной организации обучения учителю,прежде всего, необходимо знать общие законы развития математической науки, путиформирования и становления математических понятий и идей.
В конце XIXв. история математики как наука лишь зарождалась и поэтому не могла решитьпоставленных перед нею задач. Только в наше время, когда, благодаряисследованиям таких историков математики, как Г.Г. Цейтен, Б.Л. Ван-дер-Варден,Г. Вилейтнер, И.Я. Депман, А.П. Юшкевич, Б.А. Розенфельда и др., накоплен исистематизирован колоссальный историко-математический материал, стало возможнымна основе этих данных делать обобщения, говорить об общих законах развитияматематического знания, прослеживать пути формирования математических понятийот их зарождения до современного состояния.
Исторические справки и сведения,эвристические идеи выводов формул и доказательств теорем, яркие несложныепримеры, несомненно, заинтересуют учащихся и сделают более эмоциональными урокиматематики, и главное, позволят им в случае необходимости даже через нескольколет снова вывести уже забытую формулу или теорему. Отметим также, что основныеэтапы эвристического рассуждения, реализуемого на уроке, могут быть подсказаныучителю данными истории математики и осуществлены с помощьюисторико-генетического метода.
Историко-генетический метод преподаваниянельзя сводить только к использованию отдельных историко-математическихсведений на уроках математики. Реализуя этот метод в своей работе, учительповторяет вместе с учащимися путь развития науки, ведет их по пути новыхоткрытий. Отдельные историко-математические сведения, которые он использует, — это лишь вершина айсберга, каким является метод. Разумеется, учителю необходимознать и отдельные частные сведения, которые он может непосредственно рассказыватьна уроке. Но если учитель знает основные этапы развития математических понятийи идей и знает конкретно, какой фрагмент этих сведений он хочет изложитьучащимся, то подобрать нужный историко-математический материал ему будетнесложно.
Историко-математические сведения,излагаемые учителем, могут быть самыми разными и нести самую разнообразнуюсмысловую нагрузку, однако наиболее эффективным их использование будет лишь втом случае, если они излагаются в системе, единым методом и если их использованиепозволяет сделать изложение материала более последовательным, понятным,целостным и интересным.
преподаваниетригонометрия школа математика
Глава 2. История развитиятригонометрических понятий
Термин«тригонометрия» дословно означает «измерение треугольников». Его ввёл вупотребление в 1595г. немецкий математик и богослов Варфоломей Питиск, авторучебника по тригонометрии и тригонометрических таблиц. Тригонометрия — разделматематики, который изучает зависимости между углами и сторонами треугольников,а также свойства тригонометрических функций синуса, косинуса, тангенса,котангенса, секанса и косеканса. К концу 17 века почти все эти функции былиуже, по существу, известны. Правда, самого понятия тригонометрических функций,как и их обозначений, тогда ещё не существовало. Вместо них говорили о длинахнекоторых хорд, касательных, секущих в окружности определённого радиуса. Втригонометрии изучались три вида соотношений: 1) между самимитригонометрическими функциями; 2) между элементами плоского треугольника(тригонометрия на плоскости); 3) между элементами сферического треугольника, т.е. фигуры, высекаемой на сфере тремя плоскостями, проходящими через её центр(сферическая тригонометрия).
Изучениесвойств тригонометрических функций началось при исследовании свойствсферической геометрии. Древние астрономы, наблюдая за движением небесных светил,обрабатывали измерения, необходимые для ведения календаря, определения времяначала сева и сбора урожая и дат религиозных праздников. По звёздам определялсякурс корабля в море или направление движения каравана в пустыне. Наблюдения зазвёздным небом с незапамятных времён вели и астрологи. Естественно, всеизмерения, связанные расположением светил на небосводе, являются косвенные.Прямые — осуществлялись только на поверхности Земли. Но и здесь далеко невсегда удавалось непосредственно определить расстояние между какими-топунктами. И тогда вновь прибегали к косвенным измерениям. Например, вычисляливысоту дерева или размеры острова в море, сравнивая длину его тени с длинойтени от какого-нибудь шеста, высота которого была известна. Подобные задачисводятся к анализу треугольника, в котором одни его элементы выражают черездругие, а поскольку звёзды и планеты представлялись точками на небесной сфер тосначала стала развиваться именно сферическая тригонометрия. Её считали разделомастрономии.
Отрывочныесведения по тригонометрии сохранились на клинописных табличках ДревнегоВавилона. Астрономы и астрологи Междуречья научились предсказывать положенияЛуны и Солнца, достигнув в этом больших успехов. От них мы унаследовали системуизмерения углов в градусах, минутах и секундах, основанную на секундах впринятой ими шестидесятеричной системе исчисления. Первые по-настоящему важныедостижения в математике, в частности в тригонометрии, принадлежат древнегреческимучёным.
2.1 О тригонометрических таблицах
ВДревней Греции тригонометрия как часть астрономии достигла значительногоразвития. Древнегреческие ученые впервые поставили перед собой задачу решения прямоугольноготреугольника, т. е. определения его элементов по двум данным элементам, изкоторых хотя бы один — сторона треугольника. Для решения этой задачи вначале составлялитаблицы длин хорд, соответствующих различным центральным углам круга постоянногорадиуса. Первые тригонометрические таблицы хорд были составлены астрономом-математикомГиппархом из Никеи (II в. до н. э.).Гиппарх был основоположником приложения математики к географии, кроме того, он составилзвездный каталог, довольно точно определил расстояние от Земли до Луны и ввелгеографические координаты — широту и долготу. Сочинения Гиппарха до нас недошли. Но многие из них вошли в «Альмагест» — знаменитое сочинениедревнегреческого астронома Клавдия Птолемея.
Альмагест— классическое сочинение, в котором изложена античная теория движения небесныхтел, геоцентрическая система мира. Эта система просуществовала до XVIв., когда появились труды Н. Коперника с изложением новой гелиоцентрическойсистемы мира. «Альмагест» содержит элементы прямолинейной и сферической тригонометрии,описание астрономических инструментов, звездный каталог таблиц хорд и др.Таблица хорд Птолемея составлена в шестидесятеричной системе счисления черезполградуса от 0 до 180° и играла такую же роль, как таблица синусов (т. е.полухорд), так как синус есть половина хорды окружности единичного радиуса,стягивающей дугу, соответствующую двойному углу.
Таблицысинусов были введены индийскими астрономами, которые рассматривали и линию косинуса.Техника тригонометрических вычислений (применявшихся для решения прямоугольныхтреугольников) получила значительное развитие в Индии. Так, для синуса 3°45'Бхаскара в своих таблицах указывает значение которое дает семь верныхдесятичных знаков. Дальнейшего развития тригонометрические таблицы достигли втрудах ученых стран ислама, которые ввели понятие линии тангенса. Абу-л-Вафа (Xв.) пользовался также величиной, обратной косинусу (секансом) и синусу(косекансом), и составил таблицу синусов через каждые 10'. Самые точные таблицыв начале XVв.были составлены ал-Каши. Большой точности таблицы тригонометрических функцийсоставил Региомонтан (1436—1476) и другие европейские ученые XVI—XVIIIвв.
ВРоссии первые тригонометрические таблицы были изданы в 1703 г. под названием«Таблицы логарифмов, синусов и тангенсов к научению мудролюбивых тщателей». Виздании этих таблиц участвовал Л. Ф. Магницкий.
2.2 О тригонометрических функциях и оразвитии тригонометрии
Индийские ученыеположилиначало учению о тригонометрических величинах, которые они рассматривали впределах первой четверти круга. Синус и косинус встречаются в индийскихастрономических сочинениях уже в IV—V вв. Заменив хорду синусом, индийцывначале называли синус «ардхаджива», т. е. половина хорды («джива» — хорда,тетива лука), а позже просто «джива». Это слово было, как полагают, искаженоарабами в «джайб», означающее по-арабски пазуха, выпуклость. Слово «джайб» былопереведено в XII в. на латыньсоответствующим словом sinus.Косинус индийцы называли «котиджива», т.е. синус остатка (до четвертиокружности). В XV в. Региомонтан,как и другие математики, применял для понятия «косинус дуги (х)» латинскийтермин sinuscomplementi, т.е. синусдополнения, имея в виду />.Отперестановки этих слов и сокращения одного из них (cosinus)образовался термин «косинус», встречающийся в 1620г. у английского астронома Э.Гунтера, изобретателя логарифмической линейки.
ВIX —X вв. ученые стран ислама (ал-Хабаш,ал-Баттани, Абу-л-Вафа и др.) ввели новые тригонометрические величины: тангенси котангенс, секанс и косеканс. В частности, ал-Баттани установил, что впрямоугольном треугольнике острый угол можно определить отношением одногокатета к другому. Происхождение названий двух тригонометрических функций,тангенса и секанса (термины, введенные в 1583 г. немецким математиком Т.Финком), связано с геометрическим их представлением в виде отрезков прямых.Латинское слово tangensозначает касающийся (отрезок касательной), secans— секущий (отрезок секущей). Термины «котангенс» и «косеканс» были образованы всредние века по аналогии с термином «косинус». Все три термина вошли вовсеобщее употребление в первой половине XVIIв. Сферическая тригонометрия, непосредственно применявшаяся в астрономии,начала развиваться раньше плоской как часть астрономии и самостоятельно несуществовала. Выдающийся ученый Насир ад-Дин ат-Туси (1201 — 1274), уроженециранского города Туc, первый открылпуть к отделению тригонометрии от астрономии и выделению ее в самостоятельнуюдисциплину. Его труд «Китаб аш-шакл ал-кита» (книга о фигуре из секущих),называемый также «Трактатом о полном четырехугольнике», является первым в миресочинением, специально посвященным тригонометрии. В нем достаточно полноизложено то, что было установлено раньше, а также отдельные исследования самогоавтора. Тригонометрический труд ат-Туси, как полагают некоторые ученые, оказалвлияние на европейских математиков, в частности на Региомонтана.
ВXV в. Региомонтан сыграл в Европепримерно ту же роль, какую играл Насир ад-Дин в странах ислама за двести лет донего. Труд Региомонтана «Пять книг о треугольниках всех видов» в свою очередь — имел большое значение для дальнейшего развития тригонометрии. Другие работы вобласти тригонометрии принадлежат Копернику, Виету, Кеплеру. Таким образом,процесс накопления тригонометрических знаний привел к тому, что, начинаяпримерно с XIII в., накопленныйматериал стал подвергаться систематизации, составляя отдельную, все болеесамостоятельную область математики — тригонометрию. Принципиально новый этап вразвитии тригонометрии состоял в установлении связей этой науки с алгеброй.Начало этому было положено в конце XVIв. Франсуа Виетом (1540—1603). Виет, французский математик, известный главнымобразом своими открытиями в алгебре, выпустил в 1579 г. в Париже обширныематематические таблицы («Canonmathmaticus»), содержащие главнымобразом тригонометрические таблицы, в которых радиус круга принимала за 100000. Уже в «Каноне» и особенно в XIXглаве «Восьмой книги» Виет формулирует без доказательств всю систему утвержденийсферической тригонометрии. Указанные теоремы косинусов Виет формулирует впредложениях 15 и 16 этой главы следующим образом:
«XV.Если в каком-либо сферическом треугольнике даны три стороны, то можно найти иуглы.»
«XVI.Если в каком-либо сферическом треугольнике даны три угла, то можно найтистороны.»
Полная аналогия между этими двумяпредложениями указывает на то, что Виету была совершенно ясна связь междуобеими теоремами косинусов и, весьма возможно, он знал, что вторая из них можетбыть получена из первой с помощью полярного треугольника.Он вывел среди многих других тригонометрических формул, выражения для синусов икосинусов кратных дуг. С тех пор установление связей между тригонометрией иалгеброй посредством взаимных интерпретаций прочно вошло в практику математическихисследований.
Следующий этап обогащения содержаниятригонометрии состоял в установлении более общей трактовки тригонометрическихфункций на базе математического анализа. Содержание тригонометрии, равно как исредства ее аналитического выражения, достигли состояния, близкого ксовременному, более 200 лет тому назад, во второй половине XVIIIв. Сущность произведенных в то время преобразований состояла в радикальнойперестройке тригонометрии на алгебраическо-аналитической основе, позволяющей ейсделаться важной частью математического анализа. Решающая роль в этом принадлежитЛеонарду Эйлеру (1707—1783).
Свой современный вид сферическаятригонометрия, как и тригонометрия, приняла в трудах великого Леонарда Эйлера,уроженца Базеля, работавшего в Петербурге и Берлине. Если до Эйлератригонометрия имела дело со значениями тригонометрических функций, тотригонометрия Эйлера имеет дело с тригонометрическими функциями, которые онсвязал с помощью известной формулы, носящей его имя, с экспоненциальнойфункцией благодаря этому из тригонометрических формул исчез sinustotus полный(наибольший) синус, т. е. радиус круга, место которого в этих формулах теперь занялаединица. Он создал тригонометрию как науку о функциях, дал ей аналитическое выражение.
Эйлеру принадлежит мысль рассматриватьтригонометрические функции как безмерные числа, называя их общим термином:«трансцендентные количества, получающиеся из круга». Эйлер ввел в тригонометриюсимволику, практически совпадающую с привычной для нас, получил ряд новыхсоотношений, установил связь тригонометрических функций с показательными, далправило знаков функций для всех четвертей, получил обобщенную формулуприведения и освободил тригонометрию от многих ошибок, которые допускалисьпочти во всех европейских учебниках математики (тупые углы не имеют функций ит.п.). Тем самым в развитии тригонометрии был сделан очень важный шаг.Тригонометрические функции оказались просто одним из классов аналитическихфункций.
Примерно в то же время, в 1770 г.,появился и удержался до нашего времени термин «тригонометрические функции». Еговвел Г.С. Клюгель в работе «Аналитическая тригонометрия» Эти функции сразуполучили широкое применение и стали важной частью аппарата математическогоанализа. Почти одновременно тригонометрия стала применяться в традиционнойобласти ее использования, в геометрии. Таким образом, к XIXв. тригонометрия, не теряя теоретической целостности, приобрела разнообразныеинтерпретации, проникла во многие разделы математики.
В современной структуре математическихнаук тригонометрия определяется как та их часть, где исследуют один из классованалитических функций, называемых тригонометрическими, а также их приложения. Этифункции чаще всего вводятся с помощью специальной конструкции — порождающейокружности. В качестве своих аргументов они могут иметь как действительные, таки комплексные величины, что придает им высокую степень общности. Их специфическиесвойства: периодичность, четность или нечетность и др. позволяют с помощьюформул (например, формул приведения) существенно упрощать и облегчать операциис ними.
2.3 История преподавания тригонометрии вшколе
Проблема преподавания тригонометрии, каки математики в целом, могла быть решена лишь при условии освоения достижениймировой математической науки. В России этому немало способствовал Л. Эйлер, являясьпочетным членом Санкт- Петербургской Академии Наук. Тригонометрическиеисследования Эйлера явились основой первого русского учебника по тригонометрии,коим являлась книга М.Е. Головина «Плоская и сферическая тригонометрия салгебраическими доказательствами» (1789г.).
Однако согласно программам 1804г.,которые своим названием «Математика чистая и прикладная, и физика» подчеркивалинаправление преподавания, перед тригонометрией ставилась определенная цель — решениетреугольников. Ярым противником формальной школы был М.В. Остроградский. Всвоем конспекте по тригонометрии он выступает как сторонник определения тригонометрическихфункций на первом этапе их изучения как отношения сторон в прямоугольномтреугольнике, но с последующим обобщением их определения и распространением егона углы любой величины.
Реформы графа Д. Толстого (см. приложение)отражаются и на изложении тригонометрии. 3-е издание учебника Ф. Семашкопоявляется в 1886 г., в момент рассвета «толстовской» школы. В предисловииавтор пишет: «В настоящее время программы всех учебных заведений требуютрассмотрения тригонометрических величин из круга; согласно этим программам япеределал теоретическую часть науки». Комиссия преподавателей средних школ высказаласьпо этому вопросу следующим образом:
«1. В курсе тригонометрии необходимоизучать теорию круговых функций с применением ее к решению треугольников; ни вкоем случае не ограничивать курс решением треугольников.
2. Приложения тригонометрии к геодезиине считать необходимым».
Министерство народного просвещения оченьбыстро откликнулось на это постановление. Но, таким образом, тригонометриявступила на путь формального изложения, которое характеризуется следующими особенностями:отсутствием пропедевтического курса; определением тригонометрических функцийкак отношений «тригонометрических линий» к радиусу; недостаточным использованиемпонятия функциональной зависимости и, в частности, изучением измененийтригонометрических функций в без применения их графиков неудовлетворительнымразвитием теории функций.
Под влиянием общественного мнения в 1906г. изменена программа курса тригонометрии, основная идея которой используется ив наши дни. Тригонометрия была разделена на два концентра. Первый концентр (6кл.) содержал материал, необходимый для решения прямоугольных и косоугольныхтреугольников с помощью таблиц тригонометрических величин. Второй концентр (7кл.) давал теорию гониометрических функций (включая понятия об обратныхфункциях), тригонометрические уравнения и неравенства, необходимые дляприближенного вычисления значений тригонометрических функций.
В связи с построением пропедевтическогокурса пересматривается вопрос об определениях тригонометрических функций. Напервом этапе вводятся определения синуса, косинуса и тангенса через стороныпрямоугольного треугольника. Во второй части широко используются графики тригонометрическихфункций, подробно рассматривается вопрос о вычислении приближенных значенийфункций и о составлении таблиц. Таким образом, преподавание тригонометрииприобретало новое направление, теоретически более обоснованное и рассчитанноена более широкое использование приложений.
В настоящее время тригонометрию изучаютв старших классах школы. Материал соответственно разделен на три части, которыеизучаются в разные периоды времени обучения. Впервые тригонометрическиевыражения появляются в курсе планиметрии, после теоремы Пифагора илинепосредственно перед ней. Используются они преимущественно для решения плоскихтреугольников. При этом отрабатываются первоначальные навыки работы с таблицамитригонометрических функций. Ученики усваивают определения синуса, косинуса итангенса острого угла.
Во второй раз тригонометрические функцииопределяются с помощью производящей окружности. Постепенно переходят крассмотрению тригонометрических функций любого аргумента, выраженного врадианах, и соотношений между ними. Школьников обучают строить графики функций,рассматриваются некоторые свойства.
В третьей части изучаются решениятригонометрических уравнений и неравенств. Рассматривается приложениетригонометрических функций в физике при изучении гармонических колебаниях.
Глава 3. Использование историко-научногоматериала при преподавании тригонометрии
3.1 Формы использования историческогоматериала при преподавании на уроках
Говоря о формах изложения учащимсяисторического материала, следует отметить, что нет и не может быть единогоправила, руководствуясь, которым можно было бы ознакомить с элементами историиматематики учащихся всех возрастов и классов. Форма изложения учащимсяисторического материала в школе, в первую очередь, зависит от возрастных психологическихособенностей учащихся. Основная форма введения исторического материала науроках математики представляет собой сообщение о исторических сведениях. Не накаждом уроке, но все же достаточно часто и систематически следует делатьисторические отступления и сравнения, а также приводить примеры решения историческихзадач.
/>
Необходимо упоминание о том, что приемырешения треугольников, конечно без соответствующих понятий и названий,встречались уже в древнейших цивилизациях. В качестве примеров здесь можноприводить задачи, связанные с солнечными часами и гомонами. Приведем вариант объясненияэтих задач на уроке.
«Ученики, исторически тригонометрия изначальнобыла теснее всего связана с астрономией, в которую долгое время входила вкачестве самостоятельного раздела. Задачи, теперь относящиеся к геометрии,встречаются довольно рано в математике разных цивилизаций. Например, в Вавилонене позднее второго века до н.э. решалась, следующая задача: Вычислить длинухорды S круга, исходя извеличины диаметра d и высоты а сегмента,отсеченного этой хордой (рис.1). Задачи такого типа были связаны с использованиемсолнечных часов, основным элементом которых был так называемый гномон. Прирешении этой задачи использовали соотношение сторон прямоугольноготреугольника, позднее получившее название теоремы Пифагора:
/>
/>
Древние вавилоняне умели вычислятьвысоту предмета по известной длине его тени. И в Египте и в Вавилонепользовались гномоном для наблюдения за движением Солнца. Гномон — этовертикальный шест, который устанавливали на ровной горизонтальной площадке.Длина тени, отбрасываемая шестом, зависит от положения солнца и меняется втечение дня. Самой длинной тень будет в момент восхода Солнца. В полдень, когдадлина тени наименьшая, ее направление совпадает с направлением истинногомеридиана. Используя гномон, в древности решали многие практические задачи. Однойиз них, была следующая: если L-длинагномона, то по длине l,отбрасываемой им в данный момент, определить угловую высоту hсолнцанад горизонтом.
По длине тени определяли точное время.Фиксировали линию, отбрасываемую концом гномона в течение дня, затем делили еена двенадцать равных частей, получали дневные часы. Поскольку длина линии тенименялась в зависимости от продолжительности светового дня, то в разное времягода была разная величина часа. Так, зимний час, был короче летнего. Изучаялинию тени, люди научились определять момент солнцестояния, находить длинусолнечного года и решать другие практические задачи.»
Учитель должен согласовать объем историческихсведений с материалом урока, он не должен перегружать урок, отвлекать учениковот изучаемой темы. Преподаватель математики на своих уроках сможет даватьучащимся более углубленные и систематические знания о развитии изучаемыхпонятий.
История тригонометрии в гораздо большемобъеме может излагаться на внеклассных занятиях… Формы внеклассной работымогут быть самые различные: факультативные занятия, математические кружки, занятияпо решению исторических задач, доклады, как самих учащихся, так и учителя,математические вечера и викторины, выпуск стенных газет, ведение историческогокалендаря и т.п… Следует отметить, что при занятиях в математическом кружкеучащихся смогут подготовить самостоятельные выступления лишь по тем вопросамистории, которые связаны с изучением частных вопросов математики, а не касаютсяболее широких, обобщающих тем. Учащиеся под руководством преподавателя могутразработать доклады и подготовить выступления о деятельности какого-либоматематика, или же, предварительно образовав группу из нескольких человек могутподготовить выступление, осветив более широкие темы, такие как «история измеренияуглов и дуг», «Тригонометрические функции в Индии», « Тригонометрия — автономная ветвь математики» и т.д..
Довольно занимательным для учащихсяможет стать участие в создании школьной математической стенной газеты. Задачейсоздания в школе математической газеты является общее повышение математическойкультуры в школе. На страницах газеты могут найти свое место небольшие статьипо вопросам математики, выходящие за рамки школьной программы; образцы наиболееинтересных в методическом отношении задач; исторические справки, историческиезадачи; биографии выдающихся современных или живших ранее математиков;математические софизмы и парадоксы; и прочее. Таким образом, газета может взначительной мере отражать интересы учащихся, в частности по историиматематики.
Необходимо привить учащимся способностьработать с учебной, справочной и популярной литературой, а также искатьнеобходимую информацию в Интернете. На первых порах возможно только знакомствос наиболее интересными задачами или математическими фактами, имеющими своеисторическое значение, в дальнейшем смогут разрабатывать более серьёзныевопросы, готовить развернутые доклады и сообщения, самостоятельно искать иготовить для них материал.
3.2 Основные принципы и требования котбору историко-научного материала для включения в процесс обучения математике
Рассмотрим принципы отбора и конкретныетребования, предъявляемые к историко-научному материалу.
Среди принципов отбора историко-научногоматериала для включения в содержание образования Л.Я. Зорина [12] называетследующие:
- созданиемотивации к познанию. Историко-научный материал привлекается для созданияучащихся мотивации, убежденности в необходимости новых знаний;
- формированиенаучного мировоззрения. Историко-научный материал привлекается, чтобы убедитьучащихся в познаваемости мира; показать эволюцию идей и понятий, проходящихчерез всю науку;
— раскрыть кризисные ситуации в науке, показать,как они возникают, как, преодолеваются;
- формированиенаучного мышления в процессе обучения. Историко-научный материал необходим,чтобы проиллюстрировать новый этап, в научном мышлении, связанный с введениемнового метода исследования, нового метода рассуждений, познакомить учащихся систорией так называемых случайных открытий, историей несостоявшихся открытий;дать представления об общих исканиях, стремлениях, и в особенности,заблуждениях, через которые человеку нужно пройти по пути к истине;
- формированиетворческого мышления в процессе обучения. Историко-научный материал помогаетраскрыть, истолковать возникновения научных проблем, внесших коренные измененияв дальнейшее развитие мира науки, ход решения проблемы, метода решенияпроблемы;
- />формированиенравственных качеств учащихся. Историко-научный материал помогает раскрытьучащимся необходимые качества творческой личности.
Рассмотрим конкретные правила отбораисторико-научного материала для использование его в процессе обучения. Выделяютсяследующие требования:
1)Органическоевключение историко-научного материал в курс математики, т.е. историко-научныйматериал привлекается в зависимости от цели и содержания изучаемого вопроса,требующего использования исторических сведений [13];
2)Целенаправленностьв изложении историко-научного материала в курсе математики, его использованиеотвечать целям и интересам успешного изучения учебного материала. Иначе говоря,исторические сведения не должны быть использованы сами по себе, а должныподчиняться учебной функции, которая служит доминантой в процессе обучения [14].
3)Доступностьв изложении историко-научного материала в курсе математики. При сообщенииисторико-научного материала надо помнить, что общее отвлеченное дается всегдатруднее, чем частное и наглядное, и вводить это общее и отвлеченное лишьпостепенно, осторожно, не обременяя учащихся непосильным материалом [14].
4)Эмоциональностьв изложении историко-научного материала в математике. Эмоциональное изложениепозволит стимулировать познавательную деятельность школьника.
Приведем примерное планированиеисторического материала.
Тематическое планирование По учебникуА.Г. Мордковича
Глава1. Тригонометрические функции (28часов)Название параграфа Исторически материал Литература Введение (длина дуги окружности). (1ч)
О происхождении тригонометрии;
Предпосылки возникновения науки;
Что означает слово тригонометрия;
Тригонометрия как часть астрономии.
1. Рыбников А.А. «История математики» Учебник – М.Изд-во МГУ,1994
2. История математики с древнейших времен до начала 19 столетия. В трех томах. Под редакцией А.П. Юшкевича Изд-во «Наука»1970
3. «Энциклопедия для детей, том 11- математика» Изд-во «Аванта плюс»М.1998 Числовая окружность. (2ч) Числовая окружность на координатной плоскости. (2ч) Синус и косинус. (3ч)
Появление терминов синус и косинус;
Тригонометрические функции в Индии.
1. Г.И. Глейзер «История математики в школе». Пособие для учителей.-М.: Просвещение,
1982
2. РыбниковА.А. «История математики» Учебник-М., Изд-во МГУ,1994 Тангенс и котангенс. (1ч)
Тень и рождение тангенса,
Учения о солнечных часах. 1. Г.И. Глейзер «История математики в школе». Пососбие для учителей.-М.: Просвещение,1982 Тригонометрические функции числового аргумента. (2ч) Тригонометрические функции углового аргумента. (2ч) Формулы приведения. (2ч) Кто установи формулы приведения.
1. «История неевклидовой геометрии. Развитие понятий о геометрическом пространстве» Розенфельд Б.А., М., «Наука»,1976
2. Г.И.Глейзер «История математики в школе».Пособие для учителей-М.: Просвещение,1982 Функция y=sin x, ее свойства и график. (2ч) Первый график появившийся в печати, Леонард Эйлер. Современный вид тригонометрии. 1. «История неевклидовой геометрии. Развитие понятия о геометрическом пространстве». Розенфельд Б.А. М., «Наука»,1976 Функция y=cos x, ее свойства и график. (2ч) Периодичность функции y= cos x, y = sin x. (1ч) Джон Валлис, первые доказательства периодичности 1.Г.И.Глеизер «История математики в школе». Пособие для учителей-М.: Просвещении е,1982 Как построить график функции y=mf(x), если известен график функции y=f(x). (1ч) Как построить график функции y=f(kx), если известен график функции y=f(x). (2x) График гармонического колебания. (1ч) Функции y=tgx, y=ctgx, их свойства и графики. (2ч)
На основе приведенного планированияприведем примеры конспектов урока с использованием элементов истории математикипри преподавании тригонометрии по учебнику Мордкович А.Г. Алгебра и началаанализа.10-11 кл.
Конспектурока по алгебре,10 класс.
Темаурока: « Введение. Длина дуги окружности».
Типурока: урок изучения нового материала.
Видурока: беседа, практическая работа.
Цельучения (для учащихся): изучить и закрепить понятие числовой окружности.
Цель:повторить геометрический материал о вычислении длин дуг окружностей; ввестипонятие числовой окружности.
Триединыедидактические цели урока:
· Образовательная- повторить геометрический материал о вычислении длин дуг окружностей,ознакомить учащихся с новой математической моделью — единичной окружностью,ввести понятия – единичная окружность, четверти окружности, открытые дуги.
· Развивающая– развивать логическое мышление, умение анализировать, сравнивать, обобщать.
· Воспитательная– воспитывать у учащихся интерес к изучению математики, развивать культуруустной и письменной математической речи.
Технологияорганизации проведения учебного занятия:
1. Подготовительныйэтап;
2. Проведениезанятия;
3. Подведениеитогов.
Алгоритмпроведения учебного занятия:
1. организационныймомент;
2. постановкацелей урока;
3. устноеповторение;
4. изучениенового материала;
5. подведениеитогов;
6. домашнеезадание.
Обоснованиевыбора методов, средств и форм обучения:
Оптимизироватьобучение путем разумного сочетания и соотношения методов, средств и форм,направленных на получение высокого результата за время урока.
— обязательный учет характера учебного материала;
— использование элементов истории;
— выбор исследовательского метод, как наиболее преемственного для понимания темы «Введение.Длина дуги окружности».
Условиядостижения результатов:
1. взаимосвязьтригонометрии с другими науками;
2. соблюдениепреемственного обучения;
3. опорана полученные ранее знания;
4. активноевзаимодействие учащихся в классе.
Основныепринципы проведения урока:
1. наглядность;
2. доступность;
3. систематичность;
4. связьс предыдущим (непрерывность).
Литература
Виддоски на начало урока: на доске изображена числовая окружность
Ходурока:Этапы Содержание Примечание Организационный момент. Здравствуйте, садитесь Постановка урока Сегодня мы продолжаем знакомство с большим разделом алгебры — тригонометрические функции, и хочется чтобы вы понимали какой многовековой опыт несет за плечами наука тригонометрия. Поэтому хочу несколько слов сказать о истории этой науки и предпосылках ее возникновения.
Изучение нового материала.
1) Сведения из истории тригонометрии.
Термин «тригонометрия» дословно означает «измерение треугольников». Она возникла, прежде всего, из практических нужд. Древние астрономы наблюдали за движением небесных светил. Учёные обрабатывали данные измерений, чтобы вести календарь и правильно определять время начала сева и сбора урожая, даты религиозных праздников. По звёздам вычисляли местонахождение корабля в море или направление движения каравана в пустыне. Наблюдения за звёздным небом с незапамятных времён вели и астрологи. Естественно, все измерения, связанные расположением светил на небосводе, — измерения косвенные. Прямые — осуществлялись только на поверхности Земли. Но и здесь далеко не всегда удавалось непосредственно определить расстояние между какими-то пунктами. И тогда вновь прибегали к косвенным измерениям. Например, вычисляли высоту дерева или размеры острова в море, сравнивая длину его тени с длиной тени от какого-нибудь шеста, высота которого была известна. Подобные задачи сводятся к анализу треугольника, в котором одни его элементы выражают через другие, с этим вы знакомились на уроках геометрии, изучая соотношения между сторонами и углами треугольника.
Всё это очень интересно и в дальнейшем на следующих уроках я расскажу о великих ученых, которые внесли, неоценимы вклад в историю тригонометрии, и расскажу историю возникновения основных тригонометрических терминах.
Пока же вернемся изучению тригонометрических функций и для введения этих функций нам понадобиться числовая окружность.
Отнеситесь к этому очень внимательно, поскольку, как показывает опыт, учащийся, хорошо овладевший понятием «числовая окружность», свободно и непринужденно работающий с ней, без труда будет обращаться с тригонометрическими функциями. Для облегчения восприятия материала вспомним некоторые знакомые вам понятия. Слушают Устное повторение Вспоминаем с учащимися понятие: дуга окружности, длина дуги окружности, формулу для нахождения длины дуги окружности. Учащиеся отвечают на вопросы учителя
Изучение нового материала
2) ввод понятий
1) единичная окружность
(после введения понятия)
«… Следует отметить, что к записи формул при единичном радиусе стали приходить со времен Леонарда Эйлера(1707-1783) Эйлер усовершенствовал как символику, так и содержание тригонометрии. Одна из его заслуг: в отличие от своих предшественников он исключил из своих формул R –целый синус, принимая R=1 и упрощая, таким образом, записи и вычисления.
2) 1,2,3,4 четверти окружности 3) открытые дуги слушают Практическое задание
1. Выполняют упражнение на нахождение длин различных дуг, выражая их в долях числа />.
2. Показать учащимся прием нахождения на единичной окружности точек, соответствующих числам 1,2,3,4,5, и т.д.(примеры2,3 из учебника Мордковича А.Г.)
3. Выполнить №1,2,6,7,8
1.Решают с учителем (как вариант в диалоговой форме, либо кто-то у доски, но также в диалоговой форме в решении принимает участие весь класс.
2.Конспекти-руют и принимают активное участие в разборе задачи.
3.Решают по очереди у доски
Дом задание
Итоги
№3,4,5.
Повторение пройденного материала, знать основные понятия. Записывают домашнее задание.
Конспектурока по алгебре,10 класс.
Темаурока: «Синус и косинус».
Типурока: урок изучения нового материала.
Видурока: лекция, практическая работа.
Цельучения (для учащихся): актуализировать определения синуса и косинуса, изучитьих свойства.
Цель:ознакомить учащихся с определением синуса и косинуса, составить таблицу знаковсинуса и косинуса по четвертям окружности, изучить свойства синуса и косинуса иформулы приведения, приучить к работе со справочной и дополнительной литературой.
Триединыедидактические цели урока:
· Образовательная– ввести название для декартовых координат точек числовой окружности: абсциссаточки М(t)-cos(t), ордината точки М (t)– sin(t).
· Развивающая– развивать внимание, логическое мышление, умение анализировать, обобщать исистематизировать.
· Воспитательная– развитие познавательного интереса, воспитание информационной культуры.
Технологияорганизации проведения учебного занятия:
1. Подготовительныйэтап;
2. Проведениезанятия;
3. Подведениеитогов.
Алгоритмпроведения учебного занятия:
1. организационныймомент;
2. постановкацелей урока;
3. изучениенового материала;
4. практическиезадания;
5. подведениеитогов;
6. домашнеезадание.
Обоснованиевыбора методов, средств и форм обучения:
Оптимизироватьобучение путем разумного сочетания и соотношения методов, средств и форм,направленных на получение высокого результата за время урока.
— обязательный учет характера учебного материала;
— использование элементов истории;
— выбор исследовательского метод, как наиболее преемственного для понимания темы «Синуси Косинус».
Условиядостижения результатов:
1. взаимосвязьтригонометрии с другими науками;
2. соблюдениепреемственного обучения;
3. опорана полученные ранее знания;
4. активноевзаимодействие учащихся в классе.
Основныепринципы проведения урока:
1. наглядность;
2. доступность;
3. систематичность;
4. связьс предыдущим (непрерывность).
Ходурока:Этапы Содержание Примечание Организационный момент Здравствуйте, садитесь Постановка целей урока Постановка целей урока
Изучение нового материала.
Ввод понятий На предыдущем уроке мы с вами познакомились с понятием числовая окружность, и знаем, что каждая точка числовой окружности имеет в системе хоу свои координаты. Это позволяет нам с вами сформулировать определение. Слушают и конспектируют Введение определений синус и косинус на числовой окружности Далее вводим определение синуса и косинуса.
Введение таблицы знаков
/>Таблицы значений
Составляем таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям окружности.
Вводим равенство, связывающее /> и /> Сведения из истории тригонометрии
Мы с вами ввели определение синуса и косинуса, составили таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям окружности, ввели равенство, связывающее />и /> и при этом потратили как нам кажется на это немало времени. Однако удалось нам это сделать благодаря многовековому наследию ученых древности, которые на протяжении веков по крупицам формировали понятия
тригонометрических функций. При том надо отметить только в 1748г. Леонард Эйлер впервые трактует синус, косинус и т.д. как тригонометрические функции, а много веков до него их рассматривали как тригонометрические линии, обязательно связанные с окружностью.
К примеру древнегреческие ученые не знали наших тригонометрических функций, вместо синуса они пользовались хордой. Начало учения о тригонометрических величинах было положено в Индии. Заменив хорду синусом, индийцы вначале называли синус «ардхаджива», т. е. половина хорды («джива» — хорда, тетива лука), а позже — просто «джива». Это слово было, как полагают, искажено арабами в «джайб», означающее по-арабски пазуха, выпуклость. Слово «джайб» было переведено в XII в. на латынь соответствующим словом sinus. Косинус индийцы назйвали «котиджива», т.е. синус остатка (до четверти окружности).В XV в. Региомонтан, как и другие математики, применял для понятия «косинус дуги (х)» латинский термин sinus complementi, т. е. синус дополнения, имея в виду />. От перестановки этих слов и сокращения одного из них (cosinus) образовался термин «косинус», встречающийся в 1620г. у английского астронома Э. Гунтера Для более полного представления о формировании тригонометрических функций я предлагаю всем подготовить доклады, желающие смогу выступить на классном часе :
— о индийском математике Ариабхатте и его трактате ;
— о развитии тригонометрии в странах Востока
-тень рождения тангенса
Для подготовки рекомендую( но не настаиваю) взять в школьной библиотеке книги-Глейзер «История математик в школе», РыбниковА.А. «История математики», энциклопедию Аванта плюс (том 11)
Учащиеся слушают
Распределяют между собой доклады, записывают литературу Практическое задание
Разобрать с учащимися пример 1, показывающий способы вычисления значений /> и /> Разбирают с учителем пример.
Домашнее задание
Итоги Повторение пройденного материала, подготовить доклад на предложенные темы, определения из учебника заучить Записывают д/з
Заключение
Раздел тригонометрии занимает важное местов процессе изучения математики в общеобразовательной школе и очень важно, чтобыэлементы истории при преподавании были актуальными, познавательными иразвивающими. Проведя анализ психолого-педагогической литературы, мы выяснили,что среди мотивов учебной деятельности познавательный интерес занимает особоеместо. Для успешной учебной деятельности необходим баланс внутренних,социальных и познавательных мотивов. При этом грамотно построенная системавнешних стимулов может способствовать появлению в перспективе внутреннеймотивации при изучении тригонометрии.
Анализ историко-генетического методапоказал его эффективность при изучении тригонометрии. Следует отметить что приэтом излагаемые учителем историко-математические сведения должны быть последовательны,понятны, целостны и вызывать интерес к изучаемому предмету у учеников.
Проследив исторические этапыформирования и развития тригонометрии в отдельную ветвь математики, а такжепоказав эволюцию преподавания тригонометрии в школе, мы изложили основныепринципы и требования к отбору историко-научного материала для включения впроцесс преподавания тригонометрии.
Современная школьная программа указываетна необходимость знакомства учеников с фактами из истории математики ибиографиями великих математиков. Но в программе нет конкретных указаний, какиесведения из истории, когда и как сообщать школьникам. В дипломной работеразработано примерное планирования уроков с включением в них историко-математическогоматериала.
Такимобразом, результаты дипломной работы показали, что какая бы ни была формасообщения исторических фактов — краткая беседа, экскурс, лаконичная справка,решение задачи, показ и разъяснение рисунка, использованное для этого на уроке времяпотрачено эффективно. Рассказ о исторических причинах возникновениятригонометрии, ее развитии и практическом применении побуждает у школьниковинтерес к изучаемому предмету, формирует их мировоззрение и повышает общуюкультуру. Представленные в работе конспекты уроков показывают, что всегда можнонайти как время, так и нужное место для сообщения ученикам сведений по историиматематики.
Библиография.
1. Гордеева, Т.О.Психология мотивации достижения.[тескт]/ Т.О. Гордеева.-М.: Смысл: Академия,2006г.-336с.
2. Методикаи технология обучения математике: Курс лекции: пособие для ВУЗов [текст] /подред. Н. С. Стефановой, Н. С. Подходовой.-М.: Дрофа,2005г.-416с.: ил.
3. Божович, Л.И.Избранные психологические труды: Проблема формирования личности [текст]/ Л.И.Божович; под.ред. Фельдштейна Д.И.-М.: Междунар.пел.акад.,1995.-209с.
4. Меморандумамериканских математиков.-пер. с англ.[текст]/ Математика в школе.-1964г.-№4.
5. АзевичА. И. Двенадцать уроков гармонии: Гуманитарно-математически курс.-М.:Школа-Пресс,1998г.-160с.: ил.(Библиотека журнала «Математика в школе». Вып.7).
6. БавринИ.И., Фрибус Е.А. Старинные задачи: Кн. Для учащихся.-М.: Просвещение,1994.-128с.: ил.
7. ВолошиновА.В. Математика и искусство.-2-е изд., дораб. и доп.- М.: Просвещение,2000-399с.: ил.
8. ГиндикинС.Г. Рассказы о физиках и математиках.-2-е изд.-М.: Наука, Гл.ред.физ.-мат.лит.;1985-192с.(Библиотека «Квант» вып.14)
9. ШибасовЛ.П., Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики: Мат. анализ. Теориявероятности. старин.и занимат. задачи: Кн. Для учащихся 10-11кл.общеобразоват.учреждений.-М.: Просвещение,1997.-269с.: ил.
10. БелобородоваС.В.Об историко-генетическом методе.//Математика в школе.-1999.-№6.-с.7-10.
11. ДавыдовВ.В. Теория развивающего обучения.-М.: ИНТОР,1996.-544с.: ил.
12. ЗоринаЛ.Я. Вопросы конструирования содержания среднего образования.М., НИИОП,1980.
13. БондаревскийВ.Б. Воспитание интереса к занятиям и потребности к самообразованию.М.1985.
14. БарсуковА.Н. Математика в школе.1956№2
15. МордковичА.Г. Алгебра и начала анализа.10-11 кл.: В двух частях.Ч1: Учеб.для общеобразоват.Учреждений.-3-е изд., испр.-М.: Мнемозина,2002.
16. МордковичА.Г и др. Алгебра и начала анализа.10-11кл.: Задачник для общеобразоват.учреждений.-М.: Мнемозина,2000.
17. РозенфельдБ.А. История неевклидовой геометрии. Развитие понятия о геометрическомпространстве.М., «Наука»,1976
18. ГлейзерГ.И. История математики в школе.-пособие для учителей.М.Просвещение,1981
Приложение
ТолстойДмитрий Андреевич (1823, Москва — 1889, Петербург), государственный деятель.
Происходилиз аристократического графского рода. В 1843 с отличием окончил Царскосельскийлицей и, увлекшись наукой, исследовал распространение в России различныхрелигий, за что был награжден премией Академии наук и пожалован бриллиантовымперстнем от Николая I. В 1853 был назначен директором канцелярии Морскогоминистерства. В 1861 стал управляющим департаментом Министерства народного просвещения.Либеральные воззрения Толстой не шли дальше отмены крепостного права, оноставался противником реформ 60 — 70-х гг. — судебной, земской и др., видя вних угрозу самодержавной власти.
В1865 Толстой был назначен обер-прокурором Синода. В 1866, после покушения Д.Д.Каракозова, когда было решено обратить серьезное внимание на воспитаниеюношества, усилив контроль за системой народного образования, Толстой добавил ксвоей должности обязанности министра народного просвещения, что, по мнению К.Д.Ушинского, позволило «давить народное просвещение тяжестью двухминистерств». В 1871 Толстой провел реформу среднего образования, направленнуюна уничтожение какой бы то ни было самостоятельности мысли учащихся. Вводилизучение мертвых языков вместо общеобразовательных предметов; реорганизовал реальныегимназии в училища, сократив в них срок обучения, и проводил в жизнь сословныйпринцип: церковноприходская школа для «народа», реальное училище длякупцов и промышленников, классическая гимназия и ун-т для дворян. Толстойвыступал также противником высшего образования женщин.
Вотпочему либерально-демократическими кругами реформа Толстой расценивалась какреакционная. Хотя за время пребывания Толстого у власти число средних и высшихучебных заведений увеличилось почти втрое, а низших — более чем в 20 раз, М.Т.Лорис-Меликов писал о нем: «Личность эта, стоявшая в продолжениепятнадцати лет во главе одной из важнейших отраслей государственного управления,сотворила больше зла Для России, чем все остальные деятели, даже вместевзятые». В 1880, во время подготовки либеральных реформ, Толстой был отправленв отставку. Убийство народовольцами Александра 2 похоронило надежды на новый правительственныйкурс и привело в 1882 Толстого на пост министра внутренних дел для наведения«твердого порядка». Толстой провел реорганизацию Министерства внутреннихдел и создал охранные отделения, где провокация стала нормой агентурной работы.Однако деятельность Г.П. Судейкина показала опасность подобной тактики.
Толстойнаряду с К.П. Победоносцевым являлся наиболее ярким, прямолинейным ипросвещенным выразителем узко дворянских интересов, подготовив проекты«контрреформ» — восстановления предварительной цензуры (1882), отменыавтономии ун-тов (1884), введения земских начальников (1889) и др. Как человек,известный рядом серьезных исследований («История финансовых учрежденийРоссии со времени основания государства до кончины императрицы Екатерины II»,«Римский католицизм в России», биографический словарь «Людиекатерининского времени» и др.), Толстой был назначен президентом Академиинаук. Будучи тяжело болен, до конца жизни оставался на своих постах, боясьприхода на свое место людей с либерально-демократическими убеждениями.
Использованыматериалы кн.: Шикман А.П. Деятели отечественной истории. Биографическийсправочник. Москва, 1997 г.