Методика обучения решению текстовых задач алгебраическим способом

Дипломная работа
По теме:
«Методикаобучения решению текстовых задач алгебраическим способом»

Содержание
Введение
Глава 1.Научно-методические основы обучения решению текстовых задач
§1. Что такое задача? Чтозначит решить задачу?
§2. Этапы процессарешения задачи
§3. Решение задачвыделением 3-х этапов математического моделирования
Глава 2. Методикаобучения построению математических моделей в соответствии с сюжетом задачи
§1. Рольаналитико-синтетических рассуждений в формировании умений решать задачиалгебраическим способом
§2. Система упражненийучебника «Математика» 5-6 класс Зубарева И.И., Мордкович А.Г. по формированиюумений составления математических моделей
§3. Задания поформированию умений составления математических моделей
Заключение
Список литературы

Введение
 
Актуальностьвыбранной нами темы определяется тем, чтодалеко не все ученики основной школы осваивают алгебраический метод решениятекстовых задач даже на базовом уровне. Причин тому великое множество. Одни изних носят общий характер: устоявшийся страх перед задачей, отсутствие общихпредставлений о рассматриваемых в задачах процессах, неумение устанавливать,что дано в задаче, что надо найти, выявлять по тексту взаимосвязирассматриваемых в задаче величин и т.п. Другие свидетельствуют онесформированности определенных умений и навыков: незнание этапов решениязадачи, непонимание содержания и цели собственной деятельности на каждом изних, неумение решать уравнения или неравенства (или их системы) определенноговида, неумение производить отбор корней уравнения или решений неравенства всоответствии с условием задачи и т.д. Недостатки в овладении необходимымиприемами рассуждений, незнание общих методов решения задач не дают возможностимногим школьникам успешно работать над конкретной задачей.
Следует отметить инедостатки в методике построения различных моделей обучения как на этапетекущего обучения решению текстовых задач, так и на этапе работы с задачами впроцессе обобщающего повторения по отдельной теме или по целому курсу. Работаянад конкретной задачей в классе, учитель дает пояснения, сущность и значимостькоторых понимают и запоминают в классе лишь отдельные ученики. Как правило, этипояснения не систематизированы учителем и носят локальный характер. Учитель нетребует записи этих пояснений, их запоминания, что большей частью школьниковвоспринимается как сигнал: «это не столь важно, это можно забыть». А поэтомуопыт этих учеников по решению задач носит неполный и бессистемный характер, азначит и воспользоваться им – дело почти безнадежное.
К субъективным причинамможно отнести влияние индивидуальных особенностей школьников на процессусвоения материала и формирование необходимых умений. Затрудненное восприятие,плохая память, слабое владение анализом и синтезом, отсутствие достаточногоопыта в решении простейших задач оказывают несомненное влияние на освоениетакими учениками алгебраического метода решения текстовых задач.
Известно, что решениесюжетной задачи алгебраическим методом состоит в последовательной реализациитрех этапов:
— перевод текста задачина алгебраический язык – составление математической модели данной сюжетнойзадачи;
— решение полученнойматематической задачи – внутримодельное решение;
— ответ на вопросзадачи, перевод полученного результата на язык исходной ситуации –интерпретация внутримодельного решения.
Процесс обучениярешению текстовых задач в контексте алгебры в основной школе построен так, чтосначала школьники осваивают эту деятельность в пределах одной темы, а затем –на этапе обобщения и систематизации в пределах более крупного раздела.
Когда речь идет орешении текстовых задач в пределах одной темы, то сначала осваивается решение определеннойматематической задачи: решение уравнений определенного вида, системы уравнений,неравенства, системы неравенств или смешанной системы. После рассмотрениярешения математической задачи определенного вида, например, решения уравненийвторой степени с одной переменной (квадратных уравнений) ученикам предлагаетсярешить ряд текстовых задач, решение каждой из которых сводится к только чтоизученной математической задаче – к уравнению второй степени с однойпеременной. Таким образом, в контексте обучения решению текстовых задач впределах определенной темы сначала ведется работа над вторым этапом – решениемматематической задачи (модели текстовой задачи), т.е. над внутримодельнымрешением. Это служит определенной подсказкой ученику при работе над задачей: унего есть четкий ориентир – вид модели. На этом этапе ученики довольно успешносправляются с решением текстовых задач. Значит, при обучении решению задач впределах определенной темы акцент в работе над задачей можно и нужно перенестина первый и третий этапы: переводе задачи на математический язык иинтерпретации полученного на втором этапе результата. Практика показывает, чтосущественные затруднения возникают у «средних» и «слабых» школьников именно напервом этапе, хотя и на этапе интерпретации тоже встречаются определенныеошибки, связанные как с невнимательностью, так и с неумением производить отборрешений.
Когда же требуетсяперенос знаний в новую ситуацию и отсутствует предопределенность видаматематической модели, учащиеся часто не справляются с решением даже совсемнесложных задач, хотя при работе над темой могли решать и более сложные задачи.
Поскольку наиболеесложным для учащихся является этап составления математической модели (уравненияили системы уравнений) целью исследования стала разработка комплексаупражнений, предназначенных для обучения составлению математических моделейреальных ситуаций, т.е. переводу сюжета задачи на математический язык.
Для достиженияуказанной цели необходимо решить следующие задачи:
1) проанализироватьпсихолого-педагогическую литературу по данной теме;
2) изучитьпедагогический опыт учителей по данному вопросу;
3) изучитьнаучно-методическую литературу, направленную на обучение решению текстовыхзадач;
4) разработатьтребования к упражнениям, подводящим к составлению математической моделиситуации, описываемой в задаче;
5) разработать комплексупражнений, направленных на обучение составлению математический моделей.

Глава1. Научно-методические основы обучения решению текстовых задач
 
§1.Что такое задача? Что значит решить задачу?
Понятие задачи имеетразличные трактовки. Их обстоятельное исследование в психологической литературебыло проведено Г.А. Баллом [1]. Термин «задача», отмечает Г.А. Балл,употребляется для обозначения объектов, относящихся к трем различнымкатегориям:
1) к категории цели действий субъекта,требования, поставленного перед субъектом;
2) к категорииситуации, включающей, наряду с целью, условия, в которых она должна бытьдостигнута;
3) к категории словесной формулировкиэтой ситуации.
Г.А Балл отмечает, чтов психологической литературе наиболее распространено употребление термина«задача» для обозначения объектов второй категории. Для объектов первойкатегории, Указывает Г.А. Балл, вполне подходит выражение «цель действия»,«требование задачи», а для объектов третьей категории – «формулировка задачи».
Сторонники трактовкизадачи как ситуации, в которой должен действовать субъект, явно включаютсубъекта в само понятие задачи. В методике обучения математике подобноетолкование задачи особенно характерно для работ Ю.М. Колягина [11]. Безсубъекта, отмечает он, нет задачи. То, что для одних является задачей, длядругих может ею не быть.
Сторонниками другойтрактовки задачи субъект не включается в понятие задачи. Наиболее четко ипоследовательно эта точка зрения реализуется в работах Л.М. Фридмана, которыйопределяет задачу как модель проблемной ситуации, выраженную с помощью знаковнекоторого естественного или искусственного языка [21,24]. Проблемная ситуация,отмечает Фридман, возникает тогда, когда субъект в своей деятельности,направленной на некий объект, встречает какое-то затруднение, преграду. Однакопроблемная ситуация – это не просто затруднение, преграда в деятельностисубъекта, а осознанное субъектом затруднение, способ устранения которого онжелает найти. Таким образом, в понятие проблемной ситуации Л.М. Фридманвключает субъект. Значит, задача есть модель ситуации, элементом которойявляется субъект, осознавший затруднение в своей деятельности. Отсюда следует,что возникновение задачи обязано деятельности субъекта. Другими словами, Л.М.Фридман наделил понятие задачи «субъективными генами» [21, 24]. Заметим, чторазличные авторы по-разному подходят к соотношению понятий «задача» и«проблемная ситуация». Одни (Л.М. Фридман) считают первичным понятие проблемнойситуации [24], причем некоторые психологи считают субъекта элементом проблемнойситуации. Другие (С.Л. Рубинштейн) под проблемной ситуацией понимают некоторуюобъективную ситуацию, в которой берет начало процесс мышления [21]. Задача, поРубинштейну, есть результат того, что проблемная ситуация, содержащая какие-тонераскрытые звенья, подвергается анализу со стороны человека. То есть, субъектрассматривается как элемент задачи. Существует и противоположная точка зрения,при которой первичным считается понятие задачи, а вторичным – понятиепроблемной ситуации. Проблемная ситуация оценивается как фактор,рассматриваемый в отношении субъекта, тогда как задача признается существующейобъективно.
Наиболеераспространенным является использование термина «задача» для обозначенияситуации, включающей цель и условия ее достижения. Для понятия задачихарактерны две стороны: объективная и субъективная. К первой относятся предметдействия, требование, место в системе задач, логическая структура решениязадачи, определенность или неопределенность или неопределенность условия ит.д., ко второй – способы и средства решения.
В методике обученияматематике многие годы была распространена классификация, основу которойсоставлял характер требования: а) задачи на доказательство; б) задачи напостроение; в) задачи на вычисление. Длительный успех этой классификацииобеспечивало то, что она в какой-то степени предопределяла метод решениякаждого типа задач. В связи с расширением целей обучения и роли задач в ихобеспечении в школьный курс математики начали проникать задачи, неукладывающиеся в традиционную типологию. Функции задач в обученииподчеркиваются в следующей классификации: а) задачи с дидактическими функциями;б) задачи с познавательными функциями; в) задачи с развивающими функциями (К.И.Нешков и А.Д. Семушкин). Данная классификация позволяет обоснованноосуществлять отбор задач, хотя на практике довольно трудно отделить друг отдруга указанные типы задач. Задачи с дидактическими функциями предназначены дляусвоения теоретического материала, в процессе решения второго типа задачучащиеся углубляют теорию и методы решения задач, задачи третьего типахарактеризуют то, что их содержание может отходить от основного курса.Соглашаясь с авторами в целесообразности широкого использования задач вобучении, нельзя согласиться с тем, что развивающие функции присущи толькозадачам, содержание которых отходит от обязательного курса, расширяя его.Отметим, что указанная публикация является первой теоретической работой, вкоторой исследуются функции задачи (1971г)
В последнее времяполучила распространение типология задач, в которой каждый тип задачсоотносится с компонентами учебной деятельности: организационно-действенным,стимулирующим и контрольно-оценочным. Указанное сопоставление выделяетследующие типы задач:
1) задачи,стимулирующие учебно-познавательную деятельность;
2) задачи, организующиеи осуществляющие учебно-познавательную деятельность школьников;
3) задачи, в процессерешения которых осуществляется контроль и самоконтроль эффективностиучебно-познавательной деятельности.
В зависимости отконкретизации учебной деятельности классификация будет наполняться болееконкретным содержанием:
1) задачи,стимулирующие усвоение знаний, умений и навыков;
2) задачи, в процессерешения которых осуществляется усвоение знаний, умений и навыков;
3) задачи,контролирующие усвоение знаний, умений и навыков.
Теперь мы немножкопоговорим о методике обучения решению математических задач. Методика решениязадач впервые в достаточно общем виде была разработана Д. Пойа и представлена визвестной книге «Как решать задачу?». Автор выделяет в решение задачи четыреэтапа:
1) понимание постановкизадачи;
2) составление планарешения;
3) осуществление плана;
4) взгляд назад(изучение и анализ плана решения).
Итак, методика обучениярешению задач предполагает выделение спектра умений решать задачи. Первый этапсоставляют действия: выделение условия и требования задачи, объектов иотношений между ними, выполнение рисунка, отметка на нем данных и искомыхэлементов, краткая запись условия и заключения задачи. Содержание этого этапарешения, как правило, реализуется на практике. Второй этап включает в себяанализ условия и требования задачи. Под анализом условия задачи будем пониматьвыявление такой информации, которая непосредственно не задана условием, ноприсуща ему. Анализ требования задачи предполагает выяснение возможных путейответа на вопрос задачи. Информация, являющаяся результатом анализа условиязадачи, может быть получена следующими способами:
1) выведением следствийнепосредственно из условия задачи;
2) переосмысливаниемобъектов (фигур, отношений между ними) с точки зрения других понятий;
3) заменой термина егоопределением;
4) использованиемхарактеристических свойств понятия;
5) интерпретациейсимволических записей;
6) переводом содержаниязадачи на язык специальной теории и наоборот.
Важнейшим компонентомумения анализировать требование задачи является умение преобразовыватьтребование задачи в равносильное ему. Проблема формирования этого умениянепосредственно связана с вооружением учащихся как можно большим числомпризнаков и свойств понятий. Выполнение анализа требования задачи предполагаетналичие ассоциаций: осознание термина, обозначающего понятие, – осознаниеопределения этого понятия и термина, обозначающего понятие, – осознание егохарактеристических свойств. Важными компонентами анализа требования задачявляется умение составлять вспомогательные задачи и умение видеть различныепути решения задачи.
Обобщая все то, чтобыло сказано выше, отметим, что обучение решению задач включает формированиеумений школьников выполнять действия, адекватные поиску способа решения задачи.
Следующий этап –осуществление плана решения – Д. Пойа характеризует так: осуществляя планрешения, контролируйте каждый свой шаг. Особое значение имеет четвертый этап –взгляд назад. Его особенность обусловлена тем, что он является хорошимполигоном для развития творческой инициативы учащихся, самостоятельности ихмышления. Несмотря на большие возможности этого этапа в развитии ученика, онпочти не используется учителями на практике. Решение задачи, как правило,заканчивается получением ответа или, в лучшем случае, обсуждением базиса и идеирешения. Между тем реализация этого этапа должна включать, кроме изученияполученного решения, составление задач – аналогов данной, задачи-обобщения,задачи-конкретизации, задач, решаемых тем же способом, что и основная задача,поиск различных способов решения данной задачи, их оценку, выбор наиболеепростого. Исследование задачной ситуации может осуществляться со стороны: а)способа поиска решения задачи; б) способа развития ученика; в) способасистематизации знаний. Каждое из указанных направлений будет служить основойсоставления новых задач. Учитывая сказанное, можно заключить, что сущностьрассматриваемого этапа заключается не столько «во взгляде назад», сколько «вовзгляде вперед».
В своих работах ФридманЛ.М.[1] отмечал, решение задач – это работа несколько необычная, а именноумственная работа. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительнохорошо изучить тот материал, над которым придется работать, те инструменты, спомощью которых выполняется эта работа.
Значит, для того чтобынаучиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют,как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, спомощью которых производится решение задач.
Если приглядеться клюбой задаче, то увидим, что она представляет собой требование или вопрос, накоторый надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны взадаче. Поэтому, приступая к решению какой-либо задачи, надо ее внимательноизучить, установить, в чем состоят ее требования (вопросы), каковы условия,исходя из которых, надо решать задачу. Все это называется анализом задачи.
Получив задачу, мысначала внимательно ее читаем. Первое, что можно заметить при чтении любойзадачи, это то, что в ней есть определенные утверждения и требования. Частотребование формулируется в виде вопроса. Но всякий вопрос предполагаеттребование найти ответ на этот вопрос, а поэтому всякий вопрос можно заменитьтребованием. Как мы знаем из любой задачи, что формулировка состоит изнескольких утверждений и требований. Утверждения задачи называются условиямизадачи.
Отсюда ясно, что первое,что нужно сделать при анализе задачи, — это расчленить формулировку задачи наусловия и требования. Будем иметь в виду, что в задаче обычно не одно условие,а несколько независимых элементарных условий, требований в задаче также можетбыть не одно. Поэтому необходимо расчленить все утверждения и требования задачина отдельные элементарные условия и требования. Но, производя анализ задачи,вычленяя из формулировки задачи ее условия, мы все время должны соотносить этотанализ с требованием задачи, как бы постоянно оглядываться на требование. Инымисловами, анализ задачи всегда направлен на требования задачи. Анализируяусловия задач, можно заметить, что каждое из них состоит из одного илинескольких объектов и некоторой их характеристики. Если в условии один объект,то указывается его характеристика в виде некоторого свойства этого объекта;если же объектов два, то характеристикой служит некоторое отношение этихобъектов. После того, как задача проанализирована, ее условие надо как-тозаписать. Но записывать ее словесно, описательно малоудобно, так как это займетмного места и времени. Поэтому надо найти более удобную, более компактную и вто же время достаточно наглядную форму записи результатов анализа задач. Такойформой является схематическая запись задачи.
Заметим, что не длявсякой задачи надо делать схематическую запись. Так, например, для задач порешению уравнений, неравенств, преобразований выражений анализ проводитсяобычно устно и никак не оформляется. Вообще для задач, которые записаны насимволическом языке, схематическая запись не нужна.
Первой отличительнойособенностью схематической записи задач является широкое использование в нейразного рода обозначений, символов, букв, рисунков, чертежей и т.д. Второйособенностью является то, что в ней четко выделены все условия и требованиязадачи, а в записи каждого условия указаны объекты и их характеристики,наконец, в схематической записи фиксируется лишь только то, что необходимо длярешения задачи; Все другие подробности, имеющиеся в задаче, при схематическойзаписи отбрасываются.
Для схематическойзаписи геометрической и некоторых других задач полезно использовать чертеж тойфигуры, которая рассматривается в задаче.
Задачи, которыерешаются в школе, различаются в первую очередь характером своих объектов. Водних задачах объектами являются реальные предметы, в других – все объектыматематические (числа, геометрические фигуры, функции и т.д.). Первые задачи, вкоторых хотя бы один объект есть реальный предмет, называются текстовыми(практическими, житейскими, сюжетными), вторые, все объекты которыхматематические, называются математическими задачами.
В связи с тем, чтонашей темой является рассмотрение текстовых задач, мы будем рассматриватьименно их.
В следующем примере мыпроизведем анализ задачи, вычленяя из формулировки задачи ее условия, исоотнесем этот анализ с требованиями задачи.
Задача.
Катер прошел 20 км по течению реки и 20 км против течения реки. Затратит ли он на весь путь больше времени, чемему требуется на прохождение 40 км в стоячей воде, меньше или столько же?
Первичный анализ этойзадачи позволяет вычленить такие условия:
1) катер прошел 20 км по течению реки;
2) он прошел 20 км против течения реки;
3) он же прошел 40 км в стоячей воде.
Но, сопоставив этиусловия с требованием задачи: узнать больше, меньше или столько же временизатратил катер на первый и второй пути вместе по сравнению с третьим, мыобнаруживаем недостаточность произведенного анализа. Эта недостаточностьпроявляется хотя бы в том, что в условиях ничего не говориться о времени, атребование задачи сводится к сравнению промежутков времени. Поэтому нужнопродолжить анализ. Для этого вдумаемся в требование задачи. Надо сравнить времядвижения катера в стоячей воде. От чего зависит это время? Очевидно, отсобственной скорости катера, от скорости течения реки и, конечно, пройденныхрасстояний. Но если пройденное расстояние в формулировке задачи даны, тоскорости катера и реки даже не упоминаются. Как же быть? В таких случаях этивеличины, без которых решение задачи невозможно, принимаются за неопределенныепараметры. Положим, например, что собственная скорость катера равна vкм/ч,а скорость течения реки aкм/ч. Теперь мы можем вычленить такие условия:
1) собственная скоростькатера vкм/ч;
2) скорость теченияреки a км/ч;
3) катер проплыл 20 км по течению реки;
4) он же проплыл 20 км против течения реки;
5) на весь путь туда иобратно по реке катер затратил /> ч;
6) в стоячей воде катерпроплыл 40 км;
7) на этот путь онзатратил /> ч;
Требование задачи:сравнить /> и/>ч, иустановить, равны ли они или нет, а если нет, то, что больше.
Следующий примерприведем для того, чтобы рассмотреть схематическую запись задачи, котораяявляется очень важным этапом в решение задач, во-первых она наиболее краткаяиз-зи использования в ней различных обозначений, символов, чертежей и др.,во-вторых в ней наиболее четко выделены все условия и требования, и в-третьих всхематической записи фиксируется только то, что требуется для решения, всеостальное отбрасывается.
Задача.
С одного участка 1440ц. пшеницы, а с другого, площадь которого на 12 га меньше, — 1080 ц. Найти площадь первого участка, если известно, что на первом участке собиралипшеницы с каждого гектара на 2 ц больше, чем на втором.
Анализ задачипоказывает, что в ней рассматривается сбор урожая пшеницы с двух участков, приэтом этот сбор характеризуется тремя величинами: массой собранной пшеницы,площадью участка и урожаем с одного гектара. Исходя из этого, составим таблицудля схематической записи условий и требований задачи. Неизвестные величины,встречающиеся в задаче, запишем в таблице буквами, притом искомое обозначимбуквой />:участки Масса собранной пшеницы, ц Урожай с 1 га, ц Площадь участка, га первый 1440 а+2 х второй 1080 а х-12
В этой схематическойзаписи выделены все условия, их объекты и характеристики. Указано и требованиезадачи: найти площадь первого участка. В то же время эта запись оченькомпактная, наглядная и полностью заменяет саму формулировку задачи.
Задачи, которые былиприведены выше – практические задачи, т.е. задачи в которых объектами являютсяреальные предметы, их еще называют житейские, текстовые, сюжетные. Приведемпример еще одной такой задачи.
Задача.
Телефонная проволокадлиной 15 м протянута от столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найти расстояние между домом и столбом, если проволока не провисает
Объектами этой задачиявляются вполне реальные предметы: проволока, столб, дом. Поэтому этопрактическая задача. Чтобы ее решить с помощью математики, надо построитьсоответствующую ей математическую задачу, которая получается путем отвлеченияот конкретных особенностей реальных предметов и заменой их математическимиобъектами. В данном случае проволоку, столб и дом (точнее стену дома) можнорассматривать как отрезки. Считая, что поверхность земли есть прямая, аотрезки, изображающие столб и дом, перпендикулярны к этой прямой, получаемтакую математическую задачу.
Отрезки длиной 8 м и 20 м перпендикулярны к прямой, соединяющей их концы, и расположены по одну сторону от этойпрямой. Отрезок, соединяющий другие концы этих отрезков, имеет длину 15 м. Найти расстояние между отрезками.
Мы рассмотрелисоставные части задачи, то, как надо производить анализ задач. Теперьрассмотрим сущность решения задачи, структуру процесса ее решения. Но сначала,ответим на вопрос, что значит решить математическую задачу. Решитьматематическую задачу, это значит найти такую последовательность общихположений математики (определений, аксиом, теорем, правил, законов, формул),применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточнымрезультатам решения), получаем то, что требуется в задаче.
 
§2.Этапы процесса решения задачи
Если под процессомрешения задач понимать процесс, начинающийся с момента получения задачи домомента полного завершения ее решения, то очевидно, что этот процесс состоит нетолько из изложений уже найденного решения, а из ряда этапов, одним из которыхи является изложение решения.
Из каких же этаповсостоит процесс решения задачи?
Очевидно, получивзадачу, первое, что нужно сделать, это разобраться в том, что это за задача,каковы ее условия, в чем состоят ее требования, т.е. провести анализ задачи.Этот анализ и составляет первый этап процесса решения задачи.
В ряде случаев этотанализ надо как-то оформить, записать. Для этого используются разного родасхематические записи задач, построение которых составляет второй этап процессарешения.
Анализ задачи ипостроение ее схематической записи необходимы главным образом для того, чтобынайти способ решения данной задачи. Поиск этого способа составляет третий этаппроцесса решения.
Когда способ решениязадачи найден, его нужно осуществить, — это будет четвертый этап процессарешения – этап осуществления (изложения) решения.
После того как решениеосуществлено и изложено (письменно или устно), необходимо убедиться, что эторешение правильное, что оно удовлетворяет всем требованиям задачи. Для этогопроизводят проверку решения, что составляет пятый этап процесса решения.
При решении многихзадач, кроме проверки, необходимо еще произвести исследование задачи, а именноустановить, при каких условиях задача имеет решение и притом, сколько различныхрешений в каждом отдельном случае; при каких условиях задача вообще не имеетрешения и т.д. Все это составляет шестой этап процесса решения.
Убедившись вправильности решения и, если нужно, произведя исследование задачи, необходимочетко сформулировать ответ задачи, — это будет седьмой этап процесса решения.
Наконец, в учебных ипознавательных целях полезно также произвести анализ выполненного решения, вчастности установить, нет ли другого, более рационального способа решения,нельзя ли задачу обобщить, какие выводы можно сделать из этого решения и т.д.Все это составляет последний, конечно не обязательный, восьмой этап решения.
Итак, весь процессрешения задачи можно разделить на восемь этапов:
1 этап – анализ задачи;
2 этап – схематическаязапись задачи;
3 этап – поиск способарешения задачи;
4 этап – осуществлениерешения задачи;
5 этап – проверкарешения задачи;
6 этап – исследованиезадачи;
7 этап – формулированиеответа задачи;
8 этап – анализ решениязадачи.
Приведенная схема даетлишь общее представление о процессе решения задачи, поэтому приведем примеррешения задачи.
Задача.
Лодка прошла по течениюреки расстояние между двумя пристанями за 6 часов, а обратный путь онасовершила за 8 часов. За сколько времени пройдет расстояние между пристанямиплот, пущенный по течению реки?
1. Анализ задачи. Взадаче речь идет о двух объектах: лодка и плот. Лодка имеет какую-тособственную скорость, а река, по которой плывут и лодка, и плот, имеетопределенную скорость течения. Именно поэтому лодка совершает путь междупристанями по течению реки за меньшее время (6ч), чем против течения (8ч). Ноэти скорости (собственная скорость лодки и скорость течения реки) в задаче неданы (они неизвестны), так же как неизвестно расстояние между пристанями.Однако требуется найти не эти неизвестные скорости и расстояние, а время, закоторое плот проплывет неизвестное расстояние между пристанями.
2. Схематическая записьзадачи.
/>/>лодка 6ч
 А В
/>/>/>плот лодка
 8 ч
3. Поиск способарешения задачи. Нужно найти время, за которое плот проплывет расстояние междупристанями А и В. Для того чтобы найти это время, надо знать расстояние АВ искорость течения реки. Оба они известны, поэтому обозначим расстояние АВ буквой/> (км), аскорость течения реки примем равной /> км/ч. Чтобы связать этинеизвестные с данными задачи (время движения лодки по и против течения реки),нужно еще знать собственную скорость лодки. Она тоже неизвестна, положим, чтоона равна /> км/ч.Отсюда естественно возникает план решения, заключающийся в том, чтобы составитьсистему уравнений относительно введенных неизвестных.
4. Осуществлениерешения задачи. Итак, пусть расстояние АВ равно s км,скорость течения реки /> км/ч, собственная скорость лодки /> км/ч, аискомое время движения плота на пути в />км равно /> часов.
Тогда скорость лодки потечению реки равна /> км/ч. За 6 ч лодка, идя с этойскоростью, прошла путь АВ в /> км. Следовательно.
/> (1)
Против течения эталодка идет со скоростью /> км/ч и путь АВ в />км она проходит за 8 ч,поэтому
/> (2)
Наконец, плот, двигаясьсо скоростью /> км/ч, покрыл расстояние /> км за /> ч,следовательно,
 
/> (3)
Уравнения (1), (2) и(3) образуют систему уравнений относительно неизвестных /> и />. Так как требуетсянайти лишь/>,то остальные неизвестные постараемся исключить.
Для этого из уравнений(1) и (2) найдем
/>.
Вычитая из первогоуравнения второе, получим:
решениезадача текстовый алгебраический

/>, отсюда />.
Поставим найденноевыражение для /> в уравнение (3)
/>.
Так как, очевидно, /> не равно нулю,то можно обе части полученного уравнения разделить на />. Тогда найдем: />.
5. Проверка решения.Итак, мы нашли, что плот проплывает расстояние между пристанями за 48 ч.Следовательно, его скорость, равная скорости течения реки, равна /> км/ч. Скорость же лодкипо течению равна /> км/ч, а против течения /> км/ч. Для тогочтобы убедиться в правильности решения, достаточно проверить, будут ли равнысобственные скорости лодки, найденные двумя способами:
1) от скорости лодки потечению отнять скорость течения реки, т.е. />,
2) к скорости лодкипротив течения реки прибавить скорость течения реки, т.е. />.
Произведя вычисления,получаем верное равенство: />.
Значит, задача решенаправильно.
6. Исследование задачи.В данном случае этот этап решения не нужен.
7. Ответ: плотпроплывет расстояние между пристанями за 48 ч.
8. Анализ решения. Мысвели решение этой задачи к решению системы трех уравнений с четырьмянеизвестными. Однако найти-то надо было нам лишь одно из этих неизвестных.Поэтому, естественно, возникает мысль, что проведенное решение не самоеудачное, хотя и достаточно простое. Можно предложить другое решение.
Зная, что лодкапроплыла расстояние АВ по течению реки за 6 ч, а против – за 8 ч, найдем, что в1 ч лодка, идя по течению, проходит /> часть этого расстояния, а противтечения />.Тогда разность между ними /> есть удвоенная часть расстоянияАВ, проплываемая плотом за 1 ч. Значит, плот за 1 ч проплывет /> часть расстояния АВ,следовательно, все расстояние АВ он проплывет за 48 ч.
Как видим, при такомрешении нам не понадобилось составлять систему уравнений. Однако, несомненно,это решение сложнее приведенного выше, хотя бы потому, что не всякий догадаетсянайти разность скоростей лодки по течению и против течения реки. Часто такжеэту разность принимают не за удвоенную часть расстояния АВ, проплываемую плотомза 1 ч, а за скорость плота, что, конечно, приводит к ошибочному результату.
Как мы уже знаем,решение задачи состоит из последовательности шагов (действий). Поэтомуотыскание этой последовательности шагов есть самое главное, что нужно сделатьдля того, чтобы решить задачу.
Вот этим и занимаетсяматематика, установлением для многих видов задач правил, пользуясь которымиможно найти указанную последовательность шагов для решения любой задачи.
Приведем некоторыетакие правила.
1. Словесное правило.Примером такого правила может служить правило нахождения степени произведения,которое изучается в 6 классе: степень произведения равна произведению степенейсомножителей.
Это правило позволяетсоставить такую последовательность шагов: 1) установить все сомножителипроизведения; 2) найти данную степень каждого из этих сомножителей; 3)результаты второго шага перемножить.
2. Правило-формула.Примером такого правила служит формула корней квадратного уравнения. В курсеалгебры 7 класса эта формула дается в таком виде: корни уравнения />, если /> и />, где />, можновычислить по формуле />.
В этом правиле легкоуказать последовательность шагов на основе указанного правила-формулы:1)проверим условие: />; 3) находим: />; 3) проверяем условие />; если этиусловия выполнены, то вычисляем корни по формуле />.
3. Правило-тождество.Примером такого правила может служить тождество квадрата двучлена, котороеизучается в 6 классе: />.
Словесная формулировкаэтого тождество такова: квадрат двучлена равен сумме квадрата первого члена наудвоенное произведение первого и второго членов и квадрата второго члена.
В соответствии с этимтождеством можно составить такую последовательность шагов: 1) найти первый члендвучлена; 2) найти второй член двучлена; 3) возвести первый член в квадрат; 4)возвести второй член двучлена в квадрат; 5) составить произведение первого ивторого членов двучлена; 6) результат пятого шага удвоить; 7) результаты 3, 4,и 6-го шагов сложить.
4. Правило-теорема.Многие теоремы могут служить правилами для решения задач соответствующего вида.Например, теорема: средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, и длина ееравна полусумме длин оснований, изучается в курсе геометрии в 7классе.Последовательность шагов очень простая: 1) устанавливаем длину основаниятрапеции; 2) находим их полусумму. Это и будет длина средней линии.
5. Правило-определение.Иногда основой для правила решений задач некоторого вида может служитьопределение соответствующего понятия. Например определение решения системнеравенств с одной переменной. Это определение дано в учебнике алгебры 7 классав таком виде: решением систем неравенств с одной переменной называется значениепеременной, при котором верно каждое из неравенств системы.
Последовательностьшагов к данному правилу будет такова: 1) решить каждое из неравенств системы,получим для каждого неравенства числовой промежуток – его решение; 2) найтипересечение полученных числовых промежутков. Найденное пересечение и будетрешением системы неравенств.
Математические задачи,для решения которых в школьном курсе математики имеются готовые правила или этиправила непосредственно следуют из каких-либо определений или теорем,определяющих программу решения этих задач в виде последовательности шагов,назовем стандартными. При этом предполагается, что для выполнения отдельныхшагов решения стандартных задач в курсе математики также имеются вполнеопределенные правила.
Что такое стандартнаязадача понятно, но если есть стандартная, значит, есть и нестандартная.Нестандартные задачи – это такие, для которых в курсе математики не имеетсяобщих правил и положений, определяющих точную программу их решения.
Задача.
Расстояние от реки дотурбазы туристы рассчитывали пройти за 6 ч. Однако после 2 ч пути они уменьшилискорость на 0,5 км/ч и в результате опоздали на турбазу на 30 минут. С какойскоростью шли туристы первоначально?
Решение. Эта задачаявляется текстовой. Для подобных задач никакого общего правила, определяющеготочную программу их решения, не существует. Однако общие указания для решениятаких задач есть.
Обозначим искомуюпервоначальную скорость туристов через /> км/ч. Тогда за 6 ч, за которыеони рассчитывали пройти расстояние от реки до турбазы, они прошли /> км. Фактическиэтот путь они прошли следующим образом: 2 ч они шли с первоначальной скоростью,а затем еще 4,5 ч (т.к. они опоздали на 0,5 ч к сроку) – с уменьшением скорости/> км/ч.Следовательно, они прошли /> км и /> км, а всего /> км, что равнорасстоянию от реки до турбазы, т.е. /> км. Получаем уравнение: />.
Решив это уравнение,найдем: /> Значит,первоначальная скорость туристов равна 4,5 км/ч.
Итак, процесс решениянестандартной задачи состоит в последовательном применение двух основныхопераций:
1) сведениенестандартной задачи к другой ей эквивалентной, но уже стандартной задаче;
2) разбиениенестандартной задачи на несколько стандартных подзадач.
В зависимости отхарактера нестандартной задачи мы используем либо одну из этих операций, либообе. При решении более сложных задач эти операции приходиться использоватьмногократно.
Существуют различныеметоды решения текстовых задач [6]: арифметический, алгебраический,геометрический, логический, практический и др. В основе каждого метода лежатразличные виды математических моделей. Например при алгебраическом методерешения задачи составляются уравнения или неравенства, при геометрическом –строятся диаграммы ил графики. Решение задачи логическим методом начинается ссоставления алгоритма. Различные методы решения конкретной задачи будемназывать способами решения.
Арифметический метод.Решить задачу арифметическим методом – значит найти ответ на требование задачипосредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачуво многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задачасчитается решенной различными способами, если ее решения отличаются связямимежду данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностьюиспользования этих связей.
Пример. Поют в хоре изанимаются танцами 82 студента, занимаются танцами и художественной гимнастикой32 студента, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78студентов. Сколько студентов поют в хоре, занимаются танцами и художественнойгимнастикой отдельно, если известно, что каждый студент занимается только чемто одним?
Решение.
1 способ.
1) 82+32+78=192 чел. –удвоенное число студентов, поющих в хоре, занимающихся танцами и художественнойгимнастикой;
2) 192÷2=96 чел.– поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой;
3) 96_32=64 чел. – поютв хоре;
4) 96-78=18 чел. –занимаются танцами;
5) 96-82=14 чел. – занимаютсяхудожественной гимнастикой.
2 способ.
1) 82-32=50 чел. – настолько больше студентов поют в хоре, чем занимаются художественнойгимнастикой;
2) 50+78=128 чел. –удвоенное число студентов поющих в хоре;
3) 128÷2=64 чел.– поют в хоре;
4) 78-64=14 чел. –занимаются художественной гимнастикой;
5) 82-64=18 чел. –занимаются танцами.
Ответ:64 студента поют в хоре; 14 студентов занимаются художественной гимнастикой; 18студентов занимаются танцами.
Алгебраический метод.Решить задачу алгебраическим методом – это значит найти ответ на требованиезадачи, составив и решив уравнение или систему уравнений. Одну и ту же задачуможно также решить различными алгебраическими способами, если для ее решениясоставлены различные уравнения или системы уравнений, в основе составлениякоторых лежат различные соотношения меду данными и искомыми.
Пример. Рабочий можетсделать определенное число деталей за три дня. Если он в день будет делать на10 деталей больше, то справиться с заданием за 2 дня. Какова первоначальнаяпроизводительность рабочего и сколько деталей он должен сделать?
Решение.
1 способ. Пустьxд./день – первоначальная производительность рабочего. Тогда (x+10)д./день – новая производительность, 3xд. – число деталей, которые он должен сделать. По условию получаем уравнение 3x=2(+10),решив, которое найдем x=20.Первоначальная производительность рабочего 20 деталей в день, он должен сделать60 деталей.
2 способ. Пусть xд. – число деталей, которое должен сделать рабочий. Тогда x/2д./день – новая производительность, (x/2-10)д./день – первоначальная производительность рабочего. По условию получаемуравнение x=3(x/2-10),решив которое найдем x=60.Рабочий должен сделать 60 деталей, его первоначальная производительность 20деталей в день.
Ответ:20 деталей в день, 60 деталей.
Геометрический метод.Решить задачу геометрическим методом – значит найти ответ на требование задачи,используя геометрические построения или свойства геометрических фигур. Одну иту же задачу можно также решить различными геометрическими способами. Задачасчитается решенной различными способами, если для ее построения используютсяразличные построения или свойства фигур.
Логический метод.Решить задачу логическим методом – это значит найти ответ на требование задачи,как правило, не выполняя вычислений, а только используя логические рассуждения.Примерами таких задач могут служить задачи «на переправы», классическимпредставителем которых является задаче о волке, козе и капусте, или задачи «навзвешивание».
Практический метод.решить задачу практическим методом – значит найти ответ на требование задачи,выполнив практические действия с предметами или их копиями (моделями, макетамии т.д.)
Т.к. тема нашейкурсовой решение текстовых задач алгебраическим способом, именно его рассмотримболее подробно.
Алгебраический методрешения задачи позволяет легко показать, что некоторые задачи, отличаются другот друга лишь фабулой, имеют не только одни и те же соотношения между данными иискомыми величинами, но и приводят к типичным рассуждениям, посредством которыхустанавливаются эти соотношения. Такие задачи дают лишь различные конкретныеинтерпретации одного и того математического рассуждения, одних и тех жесоотношений, т.е. имеют одну и туже математическую модель.
Рассмотримклассификацию задач решаемых алгебраическим способом по фабуле, из-замногообразия уравнений и неравенств [6].
Задачи на движение
К этой группе задачотносятся задачи, в которых говорится о трех величинах: пути, скорости ивремени. Как правило, в них речь идет о равномерном прямолинейном движении. Вэтих задачах весьма полезно делать иллюстрированный чертеж, который помогает всоставлении уравнений и неравенств.
Данную группу задач,можно разбить на задачи, в которых рассматриваются движения тел: 1) навстречудруг другу, 2) в одном направлении(«вдогонку»), 3) в противоположныхнаправлениях, 4) по замкнутой траектории, 5) по течению реки.
Задачи на работу.
К этой группе задачотносятся задачи, в которых говорится о трех величинах: работе, времени, втечение которого производится работа, производительности – работе,произведенной в единицу времени. К задачам на работу относят и задачи,связанные с наполнением и опорожнением резервуаров с помощью труб, насосов идругих приспособлений. В качестве произведенной работы в этом случае рассматриваютобъем перекачанной воды.
Задачи на работу можноотнести к группе задач на движение, т.к. в задачах такого типа можно считать,что вся работа или полный объем резервуара играют роль расстояния, апроизводительности объектов, совершающих работу, аналогичны скоростям движения.Однако по сюжету, фабуле эти задачи совершенно отличаются.
Задачи на смеси ипроценты.
К этой группе задачотносятся задачи, в которых речь идет о смешении различных веществ вопределенных пропорциях, а также задачи на проценты
Мы рассмотрелинекоторые классификации задач, а сейчас мы бы хотели рассмотреть более подробнорешение задач с помощью математического моделирования.
 
§3.Решение задач выделением 3-х этапов математического моделирования
Математики отличаютсядруг от друга тем, что говорят друг с другом и пишут на особом «математическомязыке». Используя математический язык можно составлять математические моделиреальных ситуации. В процессе решения задачи выделяются три этапаматематического моделирования: 1) составление математической модели, 2) работас математической моделью, 3) ответ на вопрос задачи. Рассмотрим некоторыепримеры, в которых рассматриваются этапы математического моделирования.
Задача.
Турист шел 2 ч пешкомиз пункта А в пункт В, затем в В он сел на катер, скорость которого в 4 разабольше скорости туриста как пешехода, и ехал на катере 1,5 ч до пункта С. В Сон сел на автобус, скорость которого в 2 раза больше скорости катера, и ехал нанем 2 ч до пункта D. С какойскоростью ехал турист на автобусе если известно, что весь его путь от А до Dсоставил 120 км?
Решение.
Первый этап.Составление математической модели.
пусть х км/ч – скоростьпешехода. За 2 ч он пройдет 2х км.
Из условия следует, чтоскорость катера 4х км/ч. За 1,5 ч катер пройдет путь 4х×1,5 км, т.е. 6хкм.
Из условия следует, чтоскорость автобуса равна 2×4х км/ч, 8х км/ч. За 2 ч автобус пройдет8х×2 км, т.е. 16х км.
Весь путь от А до Dравен: 2х+6х+16х, что составляет, по условию, 120 км. Таким образом,2х+6х+16х=120.
Это математическаямодель задачи.
Второй этап. Работа ссоставленной моделью.
Сложив одночлены 2х,6х, 16х, получим 24х. Значит, 24х=120, откуда находим х=5.
Третий этап. Ответ навопрос задачи.
За х мы принялискорость пешехода, она равна 5 км/ч. Скорость катера в 4 раза больше, т.е. 20км/ч, а скорость автобуса еще в 2 раза больше, т.е. 40 км/ч.
Ответ:скорость автобуса 40 км/ч.
Задача.
Пункты А, В и Срасположены на шоссе друг на другом. Расстояние между А и В равно 16 км. Из Впо направлению к С вышел пешеход. Через 2 ч после этого из А по направлению к Свыехал велосипедист, скорость которого на 6 км/ч больше скорости пешехода.Через 4 ч после своего выезда велосипедист догнал пешехода в пункте С. Чемуравно расстояние от В до С?
Решение.
Первый этап.Составление математической модели.
Пусть х км/ч – скоростьпешехода, тогда (х+6) км/ч – скорость велосипедиста.
Расстояние от А до Свелосипедист проехал за 4 ч, значит, это расстояние выражается формулой 4(х+6)км; иными словами, АС=4(х+6).
Расстояние от В до Спешеход прошел за 6 ч (ведь до выезда велосипедиста он уже был в пути 2 ч),следовательно, это расстояние выражается формулой 6х км, иными словами, ВС=6х.
По условию мы знаем,что пункты А, В и С следуют друг за другом, поэтому АС-ВС=АВ, т.е. АС-ВС=16.Это основа для составления математической модели задачи. Напомним, чтоАС=4(х+6), ВС=6х; следовательно,
4(х+6)–6х=16.
Второй этап. Работа ссоставленной математической моделью.
Для решения уравненияпридется, во-первых, умножить одночлен 4 на двучлен х+6, получим 4х+24.Во-вторых, придется из двучлена 4х+24 вычесть одночлен 6х:
4х+24-6х=24-2х.
После этихпреобразований уравнение принимает более простой вид:
24-2х=16.
Далее имеем:
-2х=16-24,
-2х=-8,
х=4.
Третий этап. Ответ навопрос задачи.
Мы получили, что х=4,значит, скорость пешехода 4 км/ч. Но нам нужно найти не это, в задаче требуетсянайти расстояние от В до С. Мы установили, что ВС=6х, значит, ВС=6×4=24.
Ответ:расстояние от В до С равно 24 км.
Задача.
Лодка плыла по течениюреки 3 ч 12 мин, а затем против течения 1,5 ч. Найти собственную скоростьлодки, если известно, что скорость течения реки 2 км/ч, а всего лодкой пройденпуть 41 км.
Решение.
Первый этап.Составление математической модели.
Пусть х км/ч –собственная скорость лодки, тогда по течению она плывет со скоростью (х+2)км/ч, а против течения – со скоростью (х_2) км/ч.
По течению реки лодкаплыла 3ч 12 мин. Поскольку скорость выражена в км/ч, это время надо записать вчасах. Имеем: 12 мин=12/60 ч=1/5 ч=0,2 ч. Значит, 3 ч 12 мин=3,2 ч. За этовремя со скоростью (х+2) км/ч лодкой пройден путь 3,2(х+2) км.
Против течения лодкаплыла 1,5 ч. За это время со скоростью (х-2) км/ч лодкой пройден путь 1,5(х-2)км.
По условию весь ее путьсоставил 41 км. Так как он состоит из пути по течению и пути против течения, тополучаем:
3,2(х+2)+1,5(х-2)=41.
Это уравнение –математическая модель задачи.
Второй этап. Работа ссоставленной математической моделью.
Как всегда, на этомэтапе думаем только о том, как решить модель – уравнение, а не о том, откудаэта модель взялась. Выполним в левой части уравнения умножение одночлена 3,2 надвучлен х+2, одночлена 1,5 на двучлен х-2, а затем полученные многочленысложим:
3,2х+6,4+1,5х-3=41;
4,7х+3,4=41;
4,7х=41-3,4;
4,7х=37,6;
х=8.
Третий этап. Ответ навопрос задачи.
Спрашивается, чемуравна собственная скорость лодки, т.е. чему равен х? Но ответ на этот вопросуже получен: х=8.
Ответ:собственная скорость лодки 8 км/ч.
Задача.
В седьмом классе впонедельник не пришли в школу одна девочка и пять мальчиков. При этом числодевочек в классе оказалось в 2 раза больше числа мальчиков. Во вторник непришли один мальчик и девять девочек. При этом число мальчиков оказалось в 1,5раза больше числа девочек. В среду на уроки пришли все ученики. Сколькошкольников присутствовало на уроках в среду в седьмом классе?
Решение.
Первый этап.Составление математической модели.
Пусть х – числодевочек, у – число мальчиков в седьмом классе.
В понедельник было(х-1) девочек, (у-5) мальчиков. При этом оказалось, что девочек вдвое больше,т.е.
/>.
во вторник было (х-9)девочек, (у-1) мальчиков. При этом оказалось, что мальчиков в 1,5 раза больше,т.е.
/>.
Математическая модельситуации составлена:

/>
Второй этап. Работа ссоставленной математической моделью.
Сначала упростим каждоеуравнение системы.
Для первого уравненияимеем:
/>
Для второго уравненияимеем:
/>
(обе части уравненияумножили на 2); далее,
/>
Итак, получилиследующую систему двух линейных уравнений с двумя переменными:
/>
Решаем систему методомподстановки. Из первого уравнения системы находим: х=2у-9. Подставим этотрезультат вместо х во второе уравнение системы находим: х=2у-9. Подставим эторезультат вместо х во второе уравнение системы. Получим:

/>
Так как х=2у-9, тох=2×13-9=17.
Итак, х=17, у=13 –решение системы.
Третий этап. Ответ навопрос задачи.
Спрашивается, сколькошкольников было в седьмом классе на уроках в среду, когда пришли все ученики.Поскольку х=17, у=13, т.е. в классе было 17 девочек и 13 мальчиков, делаемвывод: всего в классе 17+13=30 учеников.
Ответ:30 учеников.

Глава2. Методика обучения построению математических моделей в соответствии с сюжетомзадачи
 
§1.Роль аналитико-синтетических рассуждений в формировании умений решать задачиалгебраическим способом
Многие учителяматематики, работая с текстовыми задачами, стремятся в процессе обучения какможно быстрее перейти к решению их алгебраическим способом, не понимая, чторешение текстовой задачи арифметическим способом (т.е. по действиям, спостановкой вопросов к каждому действию или с пояснением) учит детей особомуспособу мышления – синтезу (от данных к искомому), в то время как «алгебраический»способ решения задачи учит анализу (от искомого к данным). Если учесть, чтопосле прохождения курса математики 5-6 класса учащиеся в курсе алгебры основнойшколы длительное время решают текстовые задачи только алгебраическим способам,т.е. составлением уравнения (или системы уравнений), и тем самым учатся мыслитьаналитически, становится ясно, что исключение или сокращение числа текстовыхзадач, решаемых арифметически из практики обучения в 5-6 классах (и в начальнойшколе) не только обедняет само обучение математике, но и лишает учащихсяразностороннего математического развития. Подчеркнем, что при решении текстовойзадачи арифметическим способом на уровне поиска решения идет обучение детей нетолько синтезу (зная …, можно узнать … ), но и анализу (чтобы узнать …, нужнознать …).
В виду методическойзначимости заявленной проблемы рассмотрим более подробно в данном параграфевзаимосвязь анализа и синтеза, которая ярко иллюстрируется при решениитекстовых задач курса математики 5-6 класса.
В психологии установлено,что полноценное мышление человека формируется только тогда, когда он владеетаналитико-синтетическим способом рассуждений. Всякая составная текстовая задачапредставляет собой логически связанную последовательность простых задач.Структура этой последовательности и определяет ход решения задачи, ведущего отусловия к искомому результату. Трудность решения задачи, которая не являетсястандартной (задачей с известным ходом решения) и состоит в обнаружении этойпоследовательности действий. Явно или неявно всякий человек, решающийпоставленную задачу использует аналитико-синтетический способ рассуждений.
Проиллюстрируем этотметод рассуждений на примере задачи 5 класса.
Задача. «Из пунктов А иВ одновременно навстречу друг другу выехали два автобуса. Первый шел соскоростью 50 км/ч, а второй – 40 км/ч. Их встреча произошла в 20 км от серединыпути АВ. Найти расстояние между пунктами А и В.»
Представим условиезадачи на схеме:
/>/>2 автобус – 40км/ч 1 автобус – 50 км/ч А  В
 20км 20км
1) Проведем рассужденияаналитически, сопровождая их схемой и записью решения.
Чтобы узнать расстояние, пройденное автомобилем до встречи, нужно знать скорость их сближения и время сближения. скорость сближения находится действием:
50+40=90 (км/ч)
Чтобы узнать время сближения, нужно узнать разницу в пройденном пути и в скоростях движения, из-за которой один путь оказался меньше другого.
Оба результата находятся так:
50-40=10 (км/ч),
20+20=40 (км).
Теперь нетрудно получить результат:
40÷10=4 (ч),
90×4=360 (км).
Расстояние АВ
/>/>90×4=360
скорость время
сближения сближения
/>/>50+40=90 40÷10=4
разность разность
расстояния скорости
20+20=40 50-40=10
Решение
Пусть x(км)– расстояние АВ, тогда x/2+20(км) – расстояние, пройденное 1 автобусов до встречи, а x/2-20(км) – расстояние, пройденное 2 автобусом до встречи.
/>(ч) – время движения 1автобуса, а /> (ч)– время движения 2 автобуса.
Составляем уравнение:
/>
x= 360 (км).
2) Проведем теперьрассуждения синтетически, также сопровождая их схемой и записью решения.
Зная скорость движения автомобилей, можно узнать скорость сближения
(50+40=90(км/ч)).
Зная место встречи, можно узнать на сколько один автомобиль проехал больше другого (20+20=40(км)); зная скорости автомобилей, можно узнать разность скоростей, которая обусловила разность пройденных до встречи путей (50-40=10 (км/ч)). Зная оба различия, можно узнать время сближения – время пути до встречи (40÷10=4(ч)). Зная время сближения и скорость сближения, можно найти путь АВ (90×4=360 (км)).
скорость разность
сближения расстояния
50+40=90 20+20=40
 разность
 скоростей
 50-40=10
 время
 сближения
 40÷10=4
Расстояние АВ 90×4=360

Решение
1) 20+20=40(км),
2) 50-40=10 (км/ч),
3) 40÷10=4(ч),
4) 50+40=90(км/ч),
5) 90×4=360 (км).
Анализ открывает путьрешения задачи, а синтез осуществляет это решение. Поэтому анализ иногданазывают методом открытия. А синтез методом обоснования. Решая любую текстовуюзадачу арифметическим способом, ученик (и учитель) обязательно намечают планрешения (а это и есть скрытый анализ), и уже затем формулируют первый вопрос(или записывают первое действие). Решение многих текстовых задач методомуравнений, несомненно, легче, чем их решение арифметическим методом. Вместе стем, следует помнить, что только анализ не имеет доказательной силы и поэтомувсегда соседствует с синтезом. Поэтому решение задачи методом уравненийнуждается в смысловой проверке, а выкладки, полученные аналитическим путем (отискомого к данным) нуждаются в синтетическом подтверждении (от данных кискомому).
При работе с текстовымизадачами, необходимо, прежде всего, помнить, что важно не столько решитьзадачу, сколько научить учащихся решать задачи, догадываться, рассуждать,обосновывать или опровергать свои догадки и уметь проверять полученныйрезультат.
Работа по формированиюумений перевода сюжета задачи на математический язык разбивается на несколькоэтапов.
1 этап. Составление ирасшифровка числовых выражений
2 этап. Составлениебуквенных выражений
3 этап. Расшифровкабуквенных выражений в соответствии с данной ситуацией.
4 этап. Составлениеравенств.
5 этап. Расшифровкаравенств.
§2.Система упражнений учебника «Математика» 5-6 класс Зубарева И.И., МордковичА.Г. по формированию умений составления математических моделей
Для рассмотрения этаповформирования умений перевода сюжета задачи на математический языкпроанализируем учебник И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича «Математика, 5 класс».
1 этап. Составление ирасшифровка числовых выражений.
§ 2. Числовые ибуквенные выражения.
№32
Стоимость батона хлеба- 5р., а стоимость плитки шоколада – 15р. Запишите в виде выражения:
1) на сколько плиткашоколада дороже батона хлеба;
2) Во сколько разплитка шоколада дороже батона хлеба;
3) стоимость плиткишоколада и батона хлеба вместе;
4) стоимость двухплиток шоколада;
5) стоимость трехбатонов хлеба;
6) стоимость двухплиток шоколада и трех батонов хлеба вместе;
7) на сколько двеплитки шоколада дороже трех батонов хлеба;
8) во сколько раз двеплитки шоколада дороже трех батонов хлеба.
Найдите значенияполученных выражений.
Начинаем разбор задачис вопроса «Что нам известно в задаче?». Известно, что батон хлеба стоит 5 р., аплитка шоколада – 15 р. Мы должны записать выражения и найти их значения. Детиэто делать умеют.
1) 15-5=на 10р. плиткашоколада дороже батона хлеба;
2) 15÷5=в 3 разаплитка шоколада дороже батона хлеба;
3) 15+5=20р. стоятбатон хлеба и плитка шоколада вместе;
4) 15×2=30р.стоятдве плитки шоколада;
5) 5×3=15р. стояттри батона хлеба;
6)15×2+5×3=45р. стоят 2 плитка шоколада и 3 батона хлеба вместе;
7)15×2-5×3=на 15р. две плитки шоколада дороже трех батонов хлеба;
8)(15×2)÷(5×3)= в 2 раза две плитки шоколада дороже трехбатонов хлеба.
Мы ответили на всевопросы задачи. Нашли значения полученных выражений.
После этой задачиучащимся сообщается: все выражения, которые у вас получились, содержат толькочисла и знаки действий, такие выражения называются числовыми.
Дальше идет задача №33.Она другая, но при записи решения выясняется, что это то же самое, что и предыдущаязадача, только в буквенном варианте.
2 этап. Составление ирасшифровка буквенных выражений
№33.
Цена груш — />р. за 1 кг, ацена моркови — />р. за 1 кг. Запишите в видевыражения:
1) на сколько 1 кг грушдороже 1 кг моркови;
2) во сколько раз 1 кггруш дороже, чем 1 кг моркови;
3) стоимость 1 кг груши 1 кг моркови вместе;
4) стоимость 2 кг груш;
5) стоимость 3 кгморкови;
6) стоимость 2 кг груши 3 кг моркови вместе;
7) на сколько 2 кг грушдороже 3 кг моркови;
8) во сколько раз 2 кггруш дороже 3 кг моркови.
Чем отличаются этивыражения от тех, которые были получены в предыдущем задании? Как бы вы назвалиэти выражения?
В задаче нам известно:
Цена 1 кг груш — />р., цена 1 кгморкови — />р.
Отличие этой задачи отпредыдущей в том, что в задаче №32 были даны числовые значения. В этой задачеданы буквенные значения, получаются такие выражения:
/>
Разбирается с детьмито, что эти выражения отличаются от выражений, полученных в предыдущем задании,тем, что они записываются с помощью букв и можно было бы их назвать буквенными.
Сразу после этой задачиидут выводы о том, что это действительно буквенные выражения. А также о том,что найти значения буквенных выражений можно, зная значения входящих в нихбукв.
Рассмотрим болеесложное задание для 1-го этапа.
№39
Саша и Миша – братья.Саша любит ходить за грибами, а Миша ловить рыбу. Обычно, рано утром из домаони выходят одновременно, но идут в противоположных направлениях. Саша, собираягрибы, идет медленно, со скоростью 2 км/ч, а Миша торопится поскорее дойти доозера и идет быстро, со скоростью 6 км/ч.
Запишите выражения дляследующих величин:
1) расстояние междугрибником и рыболовом через час после начала движения;
2) скорость, с которойгрибник и рыболов удаляются друг от друга;
3) расстояние междугрибником и рыболовом через 2 ч после выхода;
4) расстояние,пройденное грибником за 2 ч;
5) расстояние,пройденное рыболовом за 2 ч;
6) на сколькорасстояние, пройденное рыболовом за 2 ч, больше расстояния, пройденного за тоже время грибником;
7) во сколько разрасстояние, пройденное рыболовом за 2 ч, больше расстояния, пройденного за тоже время грибником.
Найдите значенияполученных выражений.
Что нам известно?
Саша ходит за грибами,со скоростью 2 км/ч,
Миша ходит ловить рыбусо скоростью 6 км/ч.
1)6×1-2×1=4 км расстояние между ребятами через 1 ч;
2) 6-2=4 км/ч скоростьудаления;
3)6×2-2×2=8 км расстояние меду ребятами через 2 ч;
4) 2×2=4 кмпрошел Саша за 2 ч;
5) 6×2=12 кмпрошел Миша за 2 ч;
6) 12-4= на 8 кмрасстояние, пройденное Мишей больше расстояния пройденного Сашей.
7) 12÷4= в 3раза расстояние, пройденное Мишей больше расстояния пройденного Сашей.
Следующий №40 из 2этапа.
Из одного гаражаодновременно в противоположных направлениях выехали автомобиль и автобус.Скорость автомобиля — /> км/ч, а автобуса — /> км/ч, причем автомобильедет быстрее, чем автобус.
Запишите в видевыражения:
1) расстояние междуавтомобилем и автобусом через час после начала движения;
2) скорость, с которойавтомобиль и автобус удаляются друг от друга;
3) расстояние междуавтомобилем и автобусом через 2 ч после начала движения;
4) расстояние, котороепрошел автомобиль за 2 ч;
5) расстояние, котороепрошел автобус за 2 ч;
6) на сколькорасстояние, пройденное автомобилем за 2 ч, больше расстояния, пройденного за тоже время автобусом;
7) во сколько разрасстояние пройденное автомобилем за 2 ч, больше расстояния, пройденного за тоже время автобусом.
Нам известно, чтоскорость автомобиля — /> км/ч, а автобуса — /> км/ч.
/>
Сравнивая №39 и №40понимаем, что выражения с 1 по 7 получились одинаковые, только в №39 числовыевыражения, а в №40 буквенные выражения. И если заменить скорости Миши и Саши набуквенные обозначения /> и />, то выражения станут одинаковыми.
№49
Какое число больше, aили b, если:
а)/>b;
б) /> a;
в)/>b;
г)/>a.
№50
Какое число больше, /> или />, если:
а) /> m
б) /> m
в) /> n
г) /> n
№51
а) число mна 8 больше числа n: m-8=n;
б) число aв четыре раза больше числа b:4×b=a;
в) число cна 3 меньше числа d: d-3=c;
г) число eв шесть раз меньше числа g:6×e=g.
Постепенно ситуацияусложняется.
№60. Движение навстречу(числовые выражения)
Из пунктов А и В,расстояние между которыми 260 км, одновременно навстречу друг другу выехаливелосипедист и мотоциклист. Скорость велосипедиста – 13 км/ч, а мотоциклиста –52 км/ч.
Запишите в видевыражения:
1) на сколько скоростьвелосипедиста меньше скорости мотоциклиста: 52-13= на 29 км/ч скоростьвелосипедиста меньше скорости мотоциклиста;
2) во сколько разскорость велосипедиста меньше скорости мотоциклиста: 52÷13= в 4 разаскорость велосипедиста меньше скорости мотоциклиста;
3) время, котороепотребуется велосипедисту на весь путь из А в В: 260÷13=20 часовпотребуется велосипедисту на весь путь;
4) время, котороепотребуется мотоциклисту на весь путь из А в В: 260÷52=5 часовпотребуется на весь путь мотоциклисту;
5)на сколько меньшевремени потребуется на весь путь мотоциклисту, чем велосипедисту: 20-5=на 15часов меньше потребуется мотоциклисту, чем велосипедисту;
6)во сколько раз меньшевремени потребуется на весь путь М., чем В.: 20÷5=в 4 раза меньшевремени потребуется М., чем В.
7) скорость сближенияВ. и М.: 13+52=65 км/ч;
8) через какое времяпосле начала движения В. и М. встретятся: 260÷(13+52)= через 4 ч.
№61. Движение навстречу(буквенные выражения).
Из пунктов А и В,расстояние между которыми 260 км, одновременно навстречу друг другу выехалиавтобус и автомобиль. Скорость автобуса – xкм/ч, а скорость автомобиля – yкм/ч />.Запишите в виде выражения:
1) на сколько скоростьавтобуса меньше скорости автомобиля:
/>;
2) во сколько разскорость автобуса меньше скорости автомобиля: />;
3) время, котороепотребуется автобусу на весь путь из А в В: />;
4) время, котороепотребуется автомобилю на весь путь из А в В:/>;
5) на сколько меньшепотребуется времени на весь путь из А в В автомобилю, чем автобусу: />;
6) во сколько разменьше потребуется времени на весь путь из А в В автомобилю, чем автобусу: />;
7) скорость сближенияавтобуса и автомобиля: />;
8) через какое времяпосле начала движения автобус и автомобиль встретятся: />.
Если сравнивать условияпоследних двух задач, то в них описаны похожие реальные ситуации на движениенавстречу, только в первом случае выражения, которые мы составляли, быличисловые, а во втором случае – буквенные.
№75. Движение вдогонку.
Вини-Пух был в гостях уПятачка. Уходя, он забыл у него свой воздушный шарик. Пятачок заметил этотолько через 12 минут после ухода Вини-Пуха и сразу побежал за ним вдогонку,чтобы отдать шарик. Ему удалось догнать Вини-Пуха довольно быстро, посколькутот шел не торопясь, со скоростью 50 м/мин, а Пятачок бежал быстро – соскоростью 200 м /мин.
Запишите наматематическом языке:
1) какое расстояниеВини-Пух прошел за 12 минут: 50×12=600 метров;
2) на какое расстояниеПятачок приближался к Вини-Пуху за одну минуту: на 200 м;
3) сколько временипонадобилось Пятачку, чтобы догнать Вини-Пуха: 600÷200=3 минуты.
Следующая задача №76такая же, только вместо числовых выражений составляются буквенные и вместоВинни-Пуха и Пятачка – волк с зайцем.
Задачи на движение пореке
№81
Скорость течения реки 2км/ч, а собственная скорость катера 15 км/ч. Составьте выражения для следующихвеличин и найдите их значения:
1) скорость катера придвижении по течению реки: 15+2=17 км/ч;
2) скорость катера придвижении против течения реки: 15-2=13 км/ч;
3) расстояние, котороепройдет катер за 3 ч, двигаясь по течению реки: 17×3=51 км;
4) расстояние, котороепройдет катер за 3 ч, двигаясь против течения реки: 13×3=39 км;
5) время, котороепотребуется катеру на путь 68 км при движении по течению реки: 68÷17=4ч;
6) время, котороепотребуется катеру на путь 78 км при движении против течения: 78÷13=6 ч;
7) на сколько скоростькатера при движении по течению больше его скорости при движении против течения:17-13=на 4 км/ч.
Полезно давать заданияна составление буквенных и числовых выражений на геометрическом материале.
№92.
Длина отрезка АВ равна50 см. Точки M и Nлежат на этом отрезке. Найдите длину отрезка MN,если:
а) AM=15см, NB=19 см, значит MN=50-15-19=16см;
б) AN=38 см, MB=26 см, значит MN=38+26-50=14см;
в) AM=23см, NB=21 см, значит MN=50-23-21=6см;
г) AN=42см, MB=34 см, значит MN=42+34-50=26см.
№93.
Длина отрезка АВ равна /> см. Запишитевыражение для длины отрезка:
а) MN,который в 3 раза длиннее AB:MN=3/>;
б) KL,который на 25 см длиннее AB:KL=/>+25;
в) CD,который в 4 раза короче AB:CD=/>÷4;
г) EF,который на 8 см короче AB:EF=/>-8.
№108.
Запишите выражение длядлины ломаной ABCD, если:
а) AB=x,DC в 2 раза больше AB, а CD на 6 см меньше AB:AB=x,BC=2x,CD=x-6,тогда ABCD=x+2x+(x-6);
б) AB=y,BC в 3 раза меньше AB,а CD на 8 больше BC:AB=y,BC=y÷3,CD=y÷3+8,тогда ABCD=y+y÷3+(y÷3+8).
Далее переходим кследующему 3 этапу расшифровке буквенных выражений в соответствии с даннойситуацией
№113
Книга стоит xр., а альбом – y р. Какой смыслимеет выражение:
а) 3x– стоимость трех книг;
б) 2y– стоимость двух альбомов;
в) y-x– разница между стоимостью альбома и стоимостью книги;
г) 5x+4y– стоимость пяти книг и четырех альбомов.
№114
Скорость пассажирскогопоезда — /> км/ч,а товарного — /> км/ч. Что записано наматематическом языке:
а) /> - скорость сближенияпассажирского и товарного поездов;
б) 1750÷/> — время, закоторое пассажирский поезд пройдет расстояние в 1750 км;
в) 1750÷/> — время, закоторое товарный поезд пройдет расстояние в 1750 км;
г) 1750÷(/>) – время,через которое два поезда встретятся.
§12. Формулы.
На этом этапе большоезначение имеет введение понятия «формула», т.к. это тоже перевод вматематический язык.
§13. Законыарифметических действий.
Словесная и буквеннаяформулировка законов сложения и умножения.
§16. Математическийязык.
Математическая модель.
Второй и третий этапыне отделяются четко друг от друга, например, когда мы переходим к расшифровкевыражения, это не значит, что мы перестаем составлять выражение.
После того как детиполучили элементарное представление о составление выражений и их расшифровкецелесообразно ввести такие понятия как математический язык и математическаямодель, что авторы и делают.
№260
Переведите на обычныйязык:
1) />;
2) />;
3) />;
4) />.
Проверьте себя
1) />;
произ-ние суммы чисел /> и /> и числа 5
2) />;
частное числа 10 и разности чисел /> и />
3) />;
сумма числа 5 и произ-ния чисел /> и />
4) />.
разность утроенного числа /> и числа />
Обращается внимание нато, что чтение выражений начинается с последнего выполняемого действия.
№ 261
Переведите на обычныйязык:
1) />;
2) />;
3) />;
4) />.
Проверьте себя.
1) />;
произведение суммы чисел /> и /> и числа 5 равно 15
2) />;
частное числа 10 и разности чисел /> и /> больше двух
3) />;
сумма числа 5 и произведения чисел /> и /> меньше семи
4) />.
разность утроенного числа /> и числа /> не равна трем
Следующие заданияобратные двум предыдущим, теперь дана фраза, и надо записать ее наматематическом языке.
№262
Запишите наматематическом языке такие «слова»:
1) сумма первых четырехнатуральных чисел;
2) произведение первыхчетырех натуральных чисел;
3) частное наибольшегодвузначного и наибольшего однозначного чисел;
4) разность наименьшеготрехзначного и наименьшего двузначного чисел,
В результате детиполучают такие выражения:
1) />;
2) />;
3) />;
4) />.
№263
Запишите наматематическом языке предложения:
1) сумма первых четырехнатуральных чисел равна десяти;
2) произведение первыхчетырех натуральных чисел равно двадцати четырем;
3) частное наибольшегодвузначного и наибольшего однозначного чисел равно одиннадцати;
4) разность наименьшеготрехзначного и наименьшего двузначного чисел равна девяноста.
В результате детиполучают такие выражения
1) />;
2) />;
3) />;
4) />.
Следующее задание насоставление выражения.
№264.
Цена хризантемы — />р. за одинцветок, а цена одной розы – на 30 р. больше. Запишите на математическом языке:
а) цену розы;
Если цена хризантемы — />р, а цена розына 30р. больше, тогда ответ цена розы – (30+/>)р.
б) стоимости пятихризантем;
Если цена однойхризантемы — />р., то ответ цена пятихризантем –5/>р.
в) стоимости трех роз;
Если цена одной розы — (30+/>)р.,тогда ответ цена трех роз –3(30+/>) р.
г) стоимость букета изпяти хризантем и трех роз.
Если цена пятихризантем — 5/>р. и цена трех роз – (3(30+/>))р., то ответбукет из этих цветов будет стоить – (5/>+3(30+/>))р.
Переходим к 4 этапу:составление равенств и неравенств.
№266.
Цена хризантемы — /> р. за одинцветок, а цена одной розы – на 30 р. больше. Запишите на математическом языке:
а) букет из пятихризантем и трех роз стоит 250 р.: ответ />;
б) три розы дороже пятихризантем на 50 р.: ответ />;
в) стоимость букета изсеми хризантем меньше трехсот рублей: ответ />;
г) стоимость букета изсеми роз больше трехсот рублей: ответ />.
§17. Математическаямодель
С целью дальнейшегоформирования представлений о том, что с помощью одной и той же математическоймодели могут быть описаны различные с обыденной точки зрения ситуации, учащимсяпредлагаются следующие задачи.
№273.
Расстояние 180 км легковой автомобиль может преодолеть за 2 ч, а грузовому автомобилю на то же расстояниетребуется 3 ч. Через какое время они смогут встретиться, если выедут навстречудруг другу из пунктов, расстояние между которыми 300 км?
Решение
180 км легковойавтомобиль — за 2 ч, значит за 1 ч – 90 км. 180 км грузовой автомобиль – за 3ч, значит за 1 ч – 60км.
300÷(90+60)=через 2 ч автомобили встретятся.
Ответ:через 2 часа.
№274
Одной бригадетрактористов, чтобы вспахать 180 а, требуется 2 дня, а другой – 3 дня. За какоевремя эти бригады смогут вспахать 300 а, работая одновременно?
Решение
300÷(180÷2+180÷3)=за2 ч эти бригады могут вспахать 300 а.
Ответ:за 2 часа.
Для решения этих двухзадач требуется найти значение одного и того же числового выражения:300÷(180÷2+180÷3). Но это не является для учеников чем-тосовершенно новым и необычным. Они уже сталкивались с тем, что на математическомязыке различные с точки зрения обыденной жизни ситуации описываются совершенноодинаково.
В учебникерассказывается о том, что полученное в процессе решения выражение – этоматематическая модель реальной жизненной ситуации, о которой говорится взадаче. В первой задаче рассматривается встречное движение, во второй –совместная работа, и обе эти ситуации описываются одинаковыми математическимимоделями.
Ученики, выполняязадания из предыдущих пунктов по «переводу» обычной речи на математический языккаждый раз составляли математическую модель данной ситуации.
§27. Определение угла.Развернутый угол.
№509
Прочитайте задачу.Постарайтесь найти разные способы решения.
В двух коробках 16 кгпеченья. Найдите массу печенья в каждой коробке, если в одной из них печенья на4 кг больше, чем в другой.
Проверьте так ли вырешали задачу:
1 способ.
Если из первой коробкидостать 4 кг печенья, то в обеих коробках печенья станет поровну, а всегоостанется 16-4=12 кг – печенья. Тогда в каждой коробке будет 12÷2=6 кгпеченья. Но это как раз та масса печенья, которая была во второй коробке:6+4=10 кг.
Ответ:масса печенья в первой коробке – 10 кг, а во второй – 6 кг.
2 способ.
Если во вторую коробкудобавить 4 кг печенья, то в обеих коробках печенья станет поровну, а всего вдвух коробках станет 16+4=20 кг печенья. Тогда в каждой коробке станет20÷2=10 кг печенья. Но это как раз та масса печенья, которая была впервой коробке. Теперь можем узнать массу печенья во второй коробке: 10-4=6кг.
Ответ:масса печенья в первой коробке – 10 кг, а во второй – 6 кг.
3 способ.
Обозначим массу печеньяво второй коробке буквой xкг.
Тогда масса печенья впервой коробке будет равна (x+4)кг, а масса печенья в двух коробках – ((x+4)+x)кг.
Но, по условию задачи,в двух коробках было 16 кг печенья. Значит, можем составить уравнение
(x+4)+x=16.
Решив его получаем x=6.
Итак, мы получили, чтово второй коробке было 6 кг печенья, значит, в первой было 6+4=10 кг печенья.
Ответ:масса печенья в первой коробке – 10 кг, а во второй – 6 кг.
4 способ.
Обозначим массу печеньяв первой коробке буквой xкг.
Тогда масса печенья вовторой коробке будет равна (x-4)кг, а масса печенья в двух коробках – (x+(x-4))кг.
По условию задачи, вдвух коробках было 16 кг печенья. Составим уравнение
x+(x-4)=16.
Отсюда x=10.
Итак, мы получили, чтов первой коробке было 10 кг печенья, значит, во второй было 10-4=6 кг печенья.
Ответ:масса печенья в первой коробке – 10 кг, а во второй – 6 кг.
3 и 4 способы решениязадачи – это один и тот же способ: алгебраический. Решая задачу алгебраическимспособом, обозначают неизвестную величину буквой, составляют уравнение поусловию задачи и решают его.
№510.
С трех участков землисобрали 156 ц картофеля. С первого и второго участков картофеля собралипоровну, а с третьего – на ц больше, чем с каждого из первых двух. Сколькокартофеля собрали с каждого участка?1 поле
/> 2 поле 3 поле  2 ц
Всего 156 ц
1 способ.
Если на двух первыхполях количество собранного картофеля одинаковое, на третьем на 12 ц больше, томы можем из общей суммы 156 ц вычесть 12ц, чтобы получить количество картофеляна трех полях 156-12=144 ц картофеля на трех полях. А теперь мы можем144÷3=48 ц картофеля собрали с первого и второго поля, а с третьего полясобрали 48+12=60 ц картофеля.
Ответ:с первого и второго поля собрали по 48 ц картофеля, а с третьего поля собрали60 ц картофеля.
2 способ.
Обозначим количествокартофеля собранного с первого поля буквой xц. Тогда со второго собрали тоже xц картофеля, а с третьего поля собрали картофеля на 12 больше, значит обозначим(x+12) ц. Количество собранногокартофеля с трех полей x+x+(x+12).
По условию задачи стрех полей собрали 156 ц картофеля. Составим уравнение
x+x+(x+12)=156.
Отсюда 3x=144,а x =48.
Итак, мы получили, чтос первого и второго полей собрали по 48 ц картофеля, а с третьего 48+12=60 цкартофеля.
Ответ:с первого и второго поля собрали по 48 ц картофеля, а с третьего поля собрали60 ц картофеля.
В следующих задачахуровень сложности повышается.
№544.
1) Решите задачу.
На первом элеваторезерна в три раза больше, чем на втором. Если с первого элеватора вывезти 850 т,а со второго – 150 т, то на обоих элеваторах зерна останется поровну. Какоеколичество зерна было на первом элеваторе?
Если вы догадалисьсоставить к задаче такую схему, то возможно, вы смогли решить ее устно:1 элеватор
/> 850 2 элеватор
/>150
850-150=600 т зерна вдвух частях 1 элеватора;
600÷2=300 тзерна на втором элеваторе;
600+300=900 т зерна напервом элеваторе.
2) Обозначьте буквой xколичество зерна на втором элеваторе. Подумайте, для каких величин можносоставить выражения с этой буквой, и запишите их.
3) составьтематематическую модель задачи
Пусть х – количествозерна на втором элеваторе, тогда 3х – количество зерна на первом элеваторе.
Если с первого вывезли850 т зерна (3х-850), а со второго вывезли 150 т (х-150), то в обоих элеваторахзерна останется поровну, тогда получаем 3х-850=х-150.
Это уравнение учащиесярешить не могут, но такая задача перед ними и не ставиться, еще раз подчеркнем,что в 5 классе, главная задача научить составлять математические модели. Работатьс математическими моделями они будут в следующих классах.
Следующие задачи авторыучебника предлагают решить двумя способами: арифметическим и алгебраическим.Если будут затруднения с решением уравнения, подставьте в него найденныйарифметическим способом результат и проверьте справедливость составленного вамиравенства. В 6-м классе дети познакомятся с методом, который позволит без трударешить все составленные ими уравнения.
№636.
Стоимость автомобиля сгаражом составляет 355600р. Сколько стоит автомобиль, если он на 97300р дорожеудвоенной стоимости гаража?
Первый способ.автомобиль  97300 р. гараж
Вся стоимостьавтомобиля с гаражом 355600р.
1) 355600–97300=258300р. цена трех гаражей;
2)258300÷3=86100 р. стоимость гаража;
3) 355600–86100=269500р. стоимость машины.
Ответ:стоимость автомобиля 269500 р.
2 способ.
Пусть стоимость гаража– х рублей, тогда стоимость машины – (2х+97300) р. Стоимость гаража иавтомобиля вместе составляет 355600 р.
Составим уравнение:
х+2х+97300=355600,
3х=258300,
х=86100 р. – стоимостьгаража, тогда стоимость автомобиля 86100×2+97300=269500р.
Ответ:стоимость автомобиля 269500 р.
№637.
В двух кусках поровнуткани. После того как от первого куска продали 14 м, а от второго – 22 м, впервом куске осталось втрое больше ткани, чем во втором. Сколько метров тканибыло в каждом куске первоначально?
Решение:
1 способ.
 14 м1 кусок 2 кусок
22 м1 кусок 2 кусок
Нам известно, что тканипервоначально было поровну, затем от 1 куска отрезали 14 м, а от 2ого – 22 м, итогда в первом куске осталось втрое больше, чем во втором. Поэтому если мы из22 вычтем 14, то получим 8 м, а это составляет 2 одинаковых части в первомкуске, значит если 8÷2=4 м осталось во втором куске, после того как отнего отрезали 22 м. Значит первоначально в нем было 26 м. Можно проверить,посчитав сколько было м в первом куске: 4×3=12 м осталось в первом кускепосле того, как от него отрезали 14 м, и для того, чтобы найти, сколько было мыдолжны 14+12=26 м было в первом куске первоначально.
Ответ:первоначально в каждом куске ткани было 26 м
2 способ.
Пусть во второмосталось х м ткани, тогда в первом осталось 3х м ткани.
Мы знаем, что отпервого куска отрезали 14 м, а от второго – 22 метра, тогда в 1 куске было(3х+14) м ткани, а во втором было – (х+22) м ткани.
В условии сказано, чтоткани изначально было поровну, значит можем составить уравнение:
1) 3х+14=х+22,
2х=8,
х=4 м ткани осталось вовтором куске,
2) 4×3=12 м тканиосталось в первом куске,
3) 4+22=26 м было впервом куске изначально.
Мы знаем, что в первоми втором кусках ткани было поровну, следовательно, и во втором куске было 26 мткани.
Ответ:первоначально в каждом куске ткани было 26 м
№638.
У двоих братьев быловместе 112р. После того как старший отдал младшему 14 р., у него осталось всеже денег больше, чем у младшего, но всего лишь на 10 р.Сколько денег было укаждого мальчика первоначально?
Решение:
1 способ.
 10р. 14р.1 брат 2 брат

14р.
Всего у двух братьев112 р.
10р.1 брат 2 брат
14р
1) 112-24=88 р у двухмальчиков, после того как 1ый отдал 2ому – 14 р, и если у 1ого забрать 10 р.
2) 88÷2=44 р.стало у 2ого мальчика, когда 1ый отдал ему 14 р.,
3) 44-14=30 р. было у2ого мальчика первоначально,
4) 44+10+14=68 р. былоу первого мальчика вначале.
Ответ:у первого брата было 68 р., а у второго – 30 р.
6 класс.
§20.
В 6 классе после тогокак дети познакомились с действиями над положительными и отрицательнымичислами, научились решать уравнения, можно приступать к решению задач выделениемтрех этапов математического моделирования. Но решать с шестиклассниками задачитаким способом без предварительной подготовки преждевременно. Поэтому решениекаждой такой задачи следует предварять специальной системой упражнений.
Например, №593.
В одном бидоне xл, а в другом – y л молока.
а) что означаютвыражения />?
б) что означаютравенства />?
Эта задачапредварительного этапа, затем следует задача №594:
В одном бидоне молока в3 раза больше, чем в другом. когда из одного бидона перелили в другой 5 литров,молока в бидонах стало поровну. Сколько литров было в каждом бидонепервоначально?
Решите задачуалгебраическим способом.
Решение.
Пусть xл – количество молока, которое было до переливания во втором бидоне. Тогда впервом бидоне его было 3xл.
После переливания впервом бидоне осталось (3x-5)л молока, а во втором стало (x+5)л.
Поскольку послепереливания в обоих бидонах молока стало поровну, можно составить уравнение:
3x-5=x+5.
Учитель сообщает, чтоэту часть рассуждений при решении задачи называют составлением математическоймодели. На этом этапе переводят текст задачи с обыденного языка наматематический язык. В результате получают математическую модель ситуации,описанной в условии задачи. Такой математической моделью и являетсясоставленное уравнение. После этого приступают ко второму этапу, которыйназывают работой с математической моделью. На этом этапе нам надо решитьсоставленное уравнение 3x-5=x+5.
Решение (учащиесявыполняют самостоятельно):
3x-x=5+5,
2x=10,
x=5.
Уравнение решено,теперь надо приступить к третьему этапу – ответу на вопрос задачи: скольколитров было в каждом бидоне первоначально?
 Мы получили x=5,а за x было принятоколичество молока (в литрах), которое было во втором бидоне. Итак, во второмбидоне было 5 л молока. По условию задачи, в первом бидоне молока было в 3 разабольше, значит, в первом бидоне было 15 л молока.
Ответ:в одном бидоне было 5 л, а в другом – 15 л молока.
После этого в 7 классеповторяются этапы математического моделирования и они уже к этому подготовлены,но тем не менее нулевой этап своей актуальности не теряет, т.к. появляютсяболее сложные задачи.
Рассмотрим задачникматематика «Алгебра, 7» авторов Мордковича А.Г. и др. и составим кзадачам, данным в этом учебнике, упражнения подводящие к их решению.
№95
Расстояние междугородами мотоциклист проехал за 2 часа, а велосипедист – за 5 часов. Скоростьвелосипедиста на 18 км/ч меньше скорости мотоциклиста. найдите скоростивелосипедиста и мотоциклиста и расстояние между городами.
Решение.
Т.к. скоростивелосипедиста и мотоциклиста неизвестны, то мы можем взять за x– скорость мотоциклиста, а скорость велосипедиста – (x-18).Мотоциклист двигался в течение 2-х часов со скоростью xкм/ч, а велосипедист – 5 ч со скоростью (x-18)км/ч. Зная, что велосипедист и мотоциклист преодолели одно и то же расстояние,составим уравнение:
2x=5(x-18),
3x=90,
x=30км/ч скорость М.,
30-18=12 км/ч скоростьВ.
 
Ответ:За 2 часа мотоциклист и за 5 ч велосипедист пройдут путь в 60 км.
Но перед тем как решатьэту задачу можно рассмотреть другие задачи, направленные на подготовку к еерешению:
Пешеход идет со скоростьюx км/ч, велосипедист на 10 км/ч быстрее. Расстояние от точки А до точки В пешеход преодолел за 3 ч, а велосипедист за 1 час.
Что обозначаютвыражения:
(x+10)– скорость велосипедиста;
3x– расстояние, которое прошел пешеход за 3 часа;
Что обозначаетравенство:
3x=x+10–пешеход и велосипедист преодолели одинаковое расстояние.
№96.
В одном доме на 86квартир больше, чем в другом. Сколько квартир в каждом доме, если в двух домах792 квартиры?
Решение
1 дом – xкв.
2 дом – (x+86)кв.
Всего 792 кв.
x+x+86=792,
2x=706,
x=353кв. в 1 доме, 439 кв. во 2 доме.
Задача нулевого этапа.
В одной деревне xдомов, а в другой на 112 домов больше. Всего в двух деревнях 504 дома. Чтообозначают выражения и равенства:
x+112– столько домов во второй деревне;
2x+112- столько домов в двух деревнях;
2x+112=504– всего в двух деревнях 504 дома.
№97.
В жилом доме всего 215квартир. Сколько из них однокомнатных, если известно, что трехкомнатных квартирна 10 меньше, чем двухкомнатных, и на 5 больше, чем однокомнатных?
Решение
Пусть x– число трехкомнатных квартир, тогда
число однокомнатных кв.– (x-5),
число двухкомнатных – (x+10),
Составим уравнение:
x+x-5+x+10=215,
3x=210,
 
Ответ:x=70 кв. трехкомнатных, 80 кв. –двухкомнатных, 65 кв. – однокомнатных.
Нулевой этап: наогороде выросло всего 220 кг овощей. Картошки – xкг, капусты на 10 кг меньше, свеклы на 15 кг больше. Что означают выражения и равенства:
x+15– количество кг свеклы;
x-10– количество кг капусты;
x+15+x-10– количество кг свеклы и капусты;
x+x+15– количество кг картошки и свеклы;
x+x-10– количество кг картошки и капусты;
x+x+15+x-10=220– сколько всего кг овощей выросло на огороде.
№98.
В двух залах кинотеатра460 мест. Сколько мест в большом зале, если в нем в 3 раза больше мест, чем вмалом?
Малый зал – xмест, большой зал – 3xмест.
Решение
Составим уравнение:
x+3x=460,
4x=460,
x=115мест в малом зале,
115×3=345 мест вбольшом зале.
Ответ345 мест в большом зале.
Нулевой этап к этойзадаче.
В двух книгах 580страниц. В одной книге xстраниц, а в другой книге – в 3 раза больше. Что обозначают эти выражения:
3x– страниц в во второй книге,
x+3x– число страниц в двух книгах,
x+3x=580– уравнение из которого следует, что в двух книгах 580 страниц.
№309.
В магазин завезлиапельсины и бананы, причем бананов в 3 раза больше. Когда продали половинубананов и 2/3 апельсинов, оказалось, что бананов осталось на 70 кг больше, чемапельсинов. Сколько бананов и апельсинов завезли в магазин?
Пусть в магазин завезлиx кг апельсинов, тогда бананов – 3xкг. После продажи апельсинов стало 2/3xкг, а бананов – 3/2x кг. Но банановосталось на 70 кг больше, чем апельсинов.
Решение
Составляем уравнение:
/>x+70=/>x,
4x-9x+420=0,
5x=420,
x=84кг апельсинов завезли в магазин.
Бананов в 3 разабольше, значит, 84×3=252 кг бананов завезли в магазин.
Ответ:252 кг бананов завезли в магазин.
Нулевой этап.
В игрушечный магазинзавезли x штук машин, а кукол в3 раза больше. Когда продали половину кукол и 2/3 машин, оказалось, что куколосталось на 70 больше, чем машин.
Что значат выражения:
3x– столько кукол завезли в магазин,
/>x– осталось машинок после продажи,
/>x – осталось кукол после продажи,
/>x+70 – на столько больше осталось кукол, чем машин,
/>x+70=/>x – столько стало кукол и машин после продажи вместе.
№412.
Из пункта А в пункт Всо скоростью 12 км/ч выехал велосипедист, а через полчаса вслед за ним выехалдругой велосипедист, проезжавший в час 14 км и прибывший в пункт В одновременнос первым велосипедистом. Найдите расстояние между А и В.
Решение
Пусть 1ый велосипедистбыл в пути x ч, тогда второйвелосипедист (x-0,5)ч. Скорость 1оговелосипедиста 12 км/ч, значит, расстояние, которое он прошел 12xкм, а второй велосипедист 14(x-0,5)км. Т.к. прибыли они одновременно, то можно составить уравнение:
12x=14(x-0,5);
12x=14x-7;
2x=7;

x=3,5часа 1ый велосипедист был в пути, тогда 2ой — был в пути 3 часа.
Расстояние которое онипрошли от пункта А до пункта В составляет 42 км.
Ответ:расстояние 42 км.
Нулевой этап.
Из пункта А в пункт Ввышел пешеход со скоростью 6 км/ч и был в пути xчасов, через 30 минут из пункта А вышел 2ой пешеход и шел со скоростью 8 км/ч.Пришли в пункт В они одновременно.
Что обозначаютвыражения:
6x– расстояние, которое прошел 1 пешеход,
(x-0,5)– столько времени 2ой пешеход был в пути
8(x-0,5)– расстояние, которое прошел 2ой пешеход.
№413.
Лодка плыла 6 ч потечению реки, а затем 4 ч против течения. Найдите собственную скорость лодки(т.е. скорость в стоячей воде), если известно, что скорость течения реки равна3 км/ч, а всего лодкой пройдено расстояние 126 км.
Решение
Пусть xкм/ч– собственная скорость лодки, тогда по течению она плывет со скоростью (x+3)км/ч (течение помогает), а против течения – со скоростью (x-3)км/ч (течение препятствует).
По течению реки лодкаплыла 6 ч. За это время со скоростью (x+3)км/ч лодкой пройден путь 6(x+3)км.
Против течения лодкаплыла 4 ч. За это время со скоростью (x-3)км/ч лодкой пройден путь 4(x-3)км.
По условию весь ее путьсоставил 126 км. Т.к. он состоит из пути по течению и пути против течения, тополучаем:
6(x+3)+4(x-2)=126,
6x+18+4x+8=126,
10x=116,
x=11,6км/ч собственная скорость лодки.
Ответ:собственная скорость лодки 11,6 км/ч.
Нулевой этап:
Лодка плыла 3 ч потечению реки, а затем 2 ч против течения. Собственная скорость лодки xкм/ч, скорость течения реки равна 1,5 км/ч, всего лодкой пройдено 63 км. Чтообозначают следующие выражения:
(x+1,5)км/ч – скорость лодки по течению реки,
(x-1,5)км/ч – скорость лодки против течения реки,
3(x+1,5)км – путь, пройденный лодкой по течению реки,
2(x-1,5)км – путь, пройденный лодкой против течения реки,
3(x+1,5)+2(x-1,5) км – весь пройденный путь.
№414.
От поселка до станциивелосипедист ехал со скоростью 10 км/ч, а возвращался со скоростью 15 км/ч, поэтому он затратил на обратный путь на 1 ч меньше. Найдите расстояние отпоселка до станции.
Решение
Пусть xч велосипедист был в пути от поселка до станции, тогда если он затратил наобратный путь на 1 ч меньше, то он был в пути (x-1)ч.
Т.к. он ехал туда соскоростью 10 км/ч, то он проехал 10xкм, а обратно он ехал со скоростью 15 км/ч, тогда он проехал 15(x-1)км.
Т.к. путь туда иобратно был одинаковым, то мы можем записать уравнение:
10x=15(x-1);
10x=15x-15;
5x=15;
x=3ч время которое он потратил на путь туда, а обратно он ехал на 1 ч быстрее,значит 2 часа.
Отсюда можно найтирасстояние умножив 10 км/ч на 3 ч или 15 км/ч на 2 ч, получаем 30 км.
Ответ:расстояние 30 км.
Нулевой этап:
Из пункта А в пункт Вмотоциклист проехал со скоростью 20 км/ч и потратил на весь путь xч, а обратно ехал со скоростью 25 км/ч и затратил на обратный путь на 1 чменьше. что обозначают эти выражения:
(x-1)ч – время, потраченное на обратный путь,
20xкм – путь туда,
25(x-1)км – путь обратно,
20x=25(x-1)км – путь туда и обратно.
№1135
Для учащихся приобрелифутбольные и волейбольные мячи, причем волейбольных в 5 раз больше, чемфутбольных. На следующий год приобрели новую партию мячей, причем футбольныхстало в 6 раз больше, чем было, волейбольных – в 4 раза больше, чем было, авсего мячей стало 52. Сколько мячей закупили в первый год?
Решение
Пусть x– число футбольных мячей, приобретенных в первый год, а y– число волейбольных мячей, приобретенных в первый год. По условию задачи y=5x.
Далее, на второй годфутбольных мячей приобрели в 6 раз больше и их стало 6x,а волейбольных мячей приобрели в 4 раза больше и их стало 4y.По условию всего стало 52 мяча, т.е. 6x+4y=52.Итак наша математическая модель готова, она состоит из двух линейных уравненийс двумя переменными x и y:
/>,

Подставляем первоеуравнение во второе, получаем
6x+20x=52,
26x=52,
x=2,т.е. 2 футбольных мяча закупили в первый год, тогда волейбольных мячейзакупили10 штук. Вопрос задачи: сколько мячей закупили в первый год?
Ответ:12 мячей.
Нулевой этап.
Света и Гоша посадилина балконе цветы. Света в первый раз посадила xцветков, Гоша y цветков, у Гошицветов получилось в 3 раза больше, чем у Светы. Во второй раз Света посадила в2 раза больше, чем было, а Гоша в 5 раз больше, чем было. Всего они посадили 34цветка.
Что обозначаютследующие выражения:
y=3x– во столько раз число цветов у Гоши было больше цветов Светы в первый раз,
2x– столько цветов стало у Светы,
5y– столько цветов стало у Гоши,
15x– столько цветов стало у Гоши,
2x+15x–общее количество цветов у детей и оно равно 34.
8 класс
№893
Из пункта А в пункт В,удаленный от А на расстояние 100 км, отправился междугородный автобус. Из-заненастной погоды он ехал со скоростью на 10 км/ч меньшей, чем предполагалось порасписанию, и поэтому прибыл в пункт в пункт В с опозданием на 30 минут. Скакой скоростью должен был ехать автобус по расписанию?
Решение
Пусть xкм/ч – скорость автобуса по расписанию. Так как расстояние от А до В равно 100км, то время отведенное на данное расстояние составляет />ч.
Фактически автобуспрошел расстояние в 100 км со скоростью />км/ч, значит время затраченное напрохождение пути, равно />ч.
Из двух величин />ч и />ч вторая большепервой на 30 минут, т.е. на />ч. Значит, мы приходим к уравнению
/> - это рациональноеуравнение,
/>,
Преобразуем левую частьуравнения
/>,
Приравняв числительэтой дроби нулю, получим квадратное уравнение />, находим,
/>.
Оба значенияудовлетворяют условию />, следовательно, эти значениякорни составленного рационального уравнения.
В задаче спрашивается,с какой скоростью должен был ехать автобус по расписанию? Именно эту величинумы обозначили буквой x.Получилось, что x = 50, либо x= –40. Второе значение нас явно не устраивает, поскольку скорость движенияпоезда не может выражаться отрицательным числом. Значит, выбираем значение x= 50.
Ответ: 50 км/ч.
Нулевой этап.
Из пункта А в пункт Врасстояние между которыми 100км, отправился автомобиль, который шел соскоростью x км/ч. Из-за сильногоснегопада водитель ехал со скоростью на 20 км/ч меньше, чем он рассчитывал ипоэтому прибыл в пункт В с опозданием на 1 час.
Что обозначаютследующие выражения:
/> - время, за котороеводитель должен был доехать до пункт В;
/> - время, затраченное напрохождение пути;
/> - первое время большевторого времени на 1 час.
В этой главе мырассмотрели задачи из учебника «Математика» 5, 6 класс, а также рассмотрелиучебники «Алгебра» 7, 8 класс, в которых сделали нулевые этапы к задачам,который нужен для того, чтобы ребенок был подготовлен к составлениюматематических моделей.

Заключение
В ходе работы былирешены все поставленные задачи:
1) Изученапсихолого-педагогическая литература, по данной теме. В ходе ее анализа былоизучено, что такое задача, классификации задач. Были рассмотрены несколькоопределений задачи. Например «задача» по Баллу употребляется для обозначенияобъектов. Другие, например Колягин рассматривают задачи как ситуации, в которыхдолжен действовать субъект, которого включают в само понятие задачи. Еще в одномопределение по Фридману субъект не включается в понятие задачи.
2) Изученаучебно-методическая литература, направленная на обучение решению текстовыхзадач. Было рассмотрено несколько классификаций задач. В одной из которыхоснову составляет характер требования, другая рассматривается по функциямзадачи, еще одна классификация по компонентам учебной деятельности.
3) Изученпедагогический опыт учителей по вопросу решения текстовых задач. Рассмотренаметодика решения задач, которая была представлена в книге Д. Пойя «Как решатьзадачу». Методика обучения решению задач предполагает выделение спектра уменийрешать задачи. Весь процесс решения задачи можно разделить на 8 этаповпредставленных в нашей дипломной работе. В ней также рассмотрены правила,пользуясь которыми можно найти последовательность шагов для любой задачи.Рассмотрены методы решения текстовых задач, в основе которых лежат различныевиды математических моделей. Рассмотрена классификация задач, решаемыхалгебраическим способом по фабуле, из-за многообразия уравнений и неравенств. Впроцессе решения текстовых задач выделяются 3 этапа математическогомоделирования. Самые большие трудности у детей появляются при составленииматематической модели.
4) был разработанкомплекс упражнений, предназначенных для обучения составлению математическихмоделей реальных ситуаций, т.е. переводу сюжета задачи на математический язык.В этот комплекс включены линейные уравнения, системы уравнений,дробно-рациональные уравнения.
Подводя итогипроделанной работы, можно утверждать, что цели дипломной работы достигнуты.

Библиография
 
1. Балл, Г.А. О психологическомсодержании понятия «задача» [Текст] / Г.А. Балл // Вопросы психологии.– 1970.– №5.– С. 81-87.
2. Бобровская, А.В.  Текстовые задачикурса алгебры средней школы. [Текст] / А.Б. Бобровская.– 3-е изд., доп. иперераб.– Шадринск: Исеть, 1999.– 64 c: ил.
3. Ванцян, А.Г. Эти непростые«простые задачки» [Текст] / А.Г. Ванцян // Практика образования.–2007.– № 3.– C. 20-22.
4. Гороховцева, Л.А. Процесс решениятекстовой задачи при изучении математики в средней школе. [Текст] /Л.А. Гороховцева // Теория и практика высш. проф. обр.– 2003.– № 9.–С. 14-21.
5. Дашинимаева, Ц.Д. Текстовые задачи[Текст]: учеб. пособие по математике для 7-11 кл. / Ц.Д. Данишимаева.– М.:Спутник, 2006.– 50 с: ил.
6. Демидова, Т.Е. Теория и практикарешения текстовых задач [Текст]: пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений /Т.Е. Демидова, А.П. Тонких.– М.: Академия, 2002.– 288 с.
7. Демидова, Т.Е. Текстовые задачи иметоды их решения [Текст] / Т.Е. Демидова, А.П. Тонких.– М.: изд-во Моск.ун-та, 1999.– 261 с.: ил.
8. Зайцева, С.А. Организация работы надтекстовой задачей на основе модели. [Текст] / С.А. Зайцева, И.И. Целищева //Начальное образование.– 2007.– № 4.– C. 9-15
9. Зубарева, И.И. Математика [Текст]: 5кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / И.И. Зубарева,А.Г. Мордкович.– 3-е изд., добав. и испр.– М.: Мнемозина, 2004.–270 с.: ил.
10. Зубарева, И.И. Математика [Текст]: 6кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.–4-е изд.– М.: Мнемозина, 2005.– 264 с.: ил.
11. Колягин, Ю.М. Задачи в обученииматематике. [Текст] / Ю.М. Колягин.– М.: Просвещение, 1977.– 267 с.: ил.
12. Крутецкий, В.А. Психологияматематических способностей школьников [Текст] / В.А. Крутецкий.– М.:Просвещение, 1968.– 432 с.
13. Кузнецов, С.А. Научим учениковрешать текстовые задачи по алгебре [Текст]: из опыта работы учителя математикиКузнецова С. А. / С.А. Кузнецов // М-лы метод. каб. Ромодан. отд. обр.– Б.М.,2000. – 32 с.
14. Кулагина, И.Ю. Возрастная психология[Текст]: Учебное пособие / И.Ю. Кулагина.– 3-е изд.– М.: УРАО,1997.–176 с.
15. Мордкович, А.Г. Алгебра. 7 кл.[Текст]: Учеб для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович.– 3-е изд.,доработ.– М.: Мнемозина, 2000.– 160 с.: ил.
16. Мордкович, А.Г. Алгебра. 8 кл.[Текст]: Учеб для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович.– 3-е изд.,доработ.– М.: Мнемозина, 2001.– 223 с.:ил.
17. Мордкович, А.Г. Алгебра. 7 кл.[Текст]: Задачник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович и др.– 3-еизд., доработ.– М.: Мнемозина, 2000.– 160 с.:ил.
18. Мордкович, А.Г. Алгебра. 8 кл.[Текст]: Задачник для общеобразоват. учреждений. / А.Г. Мордкович.– 3-е изд.,испр.– М.: Мнемозина, 2001.– 239 с.:ил.
19. Панкова, О.А. Текстовые задачи вучебниках Л.Г. Петерсон [Текст]: учеб. пособие к курсу методикипреподавания математики в нач. кл. / О.А. Панкова.– М.: СМУ, 2005.– 76 с.
20. Панкова, О.А. Текстовые задачиначального курса математики в разных системах обучения [Текст]: учеб. пособие ккурсу методики преподавания математики в нач. кл. / О.А. Панкова.– Магадан:изд-во Север. междунар. ун-та, 2002.– 97 с.:ил.
21. Саранцев, Г.И. Методика обученияматематике в средней школе [Текст]: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед.вузов и ин-тов / Г.И. Саранцев.– М.: Просвещение, 2002.– 224 с.: ил.
22. Сафонова, Л.А. О действиях,составляющих умение решать текстовые задачи [Текст] / Л.А. Сафонова //Математика в шк.– 2000.– № 8.– С. 34-36.
23. Захарова, А.Е. Как помочь школьникампреодолеть некоторые затруднения в овладении решением текстовых задач. [Текст]/ А. Захарова // Сборник научных трудов математического факультета МГПУ.М.: МГПУ, 2005.- С. 119-124.
24. Савинцева, Н.В. О текстовых задачахв современном курсе математики 5-6 класса. [Текст] / Н. Савинцева // Сборникнаучных трудов математического факультета МГПУ. М.: МГПУ, 2005.-С. 144-148.
25. Фридман, Л.М. Как научиться решатьзадачи [Текст]: Кн. для учащихся ст. кл. средн. шк. / Л.М. Фридман, Е.Н.Турецкий.– 3-е изд., дораб.– М.: Просвещение, 1989.– 192 с.: ил.
26. Целищева, И. Как помочь каждомуученику самост-но решать текстовые задачи [Текст] / И. Целищева, С. Зайцева //Нач. шк.: еженед. прил. к газ. «Первое сентября».– 2001.–00.05 (№ 18).– С. 2-5.
27. Шавернева, Л.А. Решение текстовыхматематических задач разными способами в системе развивающего обучения Л. В.Занкова [Текст] /Л.А. Шавернева.– Самара: Федоров, 2007.– С. 268-294.
28. Шевкин, А.В. Текстовые задачи[Текст]: 7-11 кл.: Учеб. пособие по математике / А.В. Шевкин.– М.: Русскоеслово, 2003.– 182 с.: ил.
29. Шикова, Р.Н. Использованиемоделирования в процессе обучения решению текстовых задач. [Текст] / Р.Н.Шикова // Начальная школа: ежемес. науч.-метод. журн.– 2004.– № 12.–С. 32-41.