ГОУ СПО «Кунгурское педагогическое училище»
ПЦК преподавателей естественно-математических дисциплин
Выпускная квалификационная работа
по методике математики
Использование разнообразных форм уроковпри изучении темы «Квадратные уравнения» в 8 классе
Исламовой Энзиры Таузифовны
Специальность 050201
Математика
Группа М-51
отделение: очное
Руководитель: Л.Г. Янкина
преподаватель математики
2008
Оглавление
Введение
Глава 1. Теоретические аспекты обучению решения уравненийучащихся 8 класса
1.1 Основные направления изучения линии уравнений вшкольном курсе алгебры
1.2 Методика изучения квадратных уравнений
1.3 Характеристика разнообразных форм уроков
Глава 2. Разработка и практическое использование различныхформ уроков математики
2.1 Разработка уроков по теме«Неполные квадратные уравнения»
2.2 Разработка уроков по теме «Полные квадратныеуравнения»
2.3 Разработка уроков по теме «Приведенные квадратныеуравнении
Заключение
Литература
Введение
Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место.На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курсаматематики. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значениедля познания естественных законов, но и служит конкретным практическим целям. Большинствозадач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводитсяк решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, люди находятответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность,связь и т.д.). Так же для формирования умения решать уравнения большое значениеимеет самостоятельная работа учащегося при обучении решения уравнений. При изучениилюбой темы уравнения могут быть использованы как эффективное средство закрепления,углубления, повторения и расширения теоретических знаний, для развития творческойматематической деятельности учащихся [12,241].
Автором данной работы выбрана тема „Использование разнообразныхформ уроков при изучении темы “Квадратные уравнения» в 8 классе",так как она актуальна в современном мире; это объясняется тем, что уравнения широкоиспользуются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.
Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатствоустанавливаемых с ее помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения.Поэтому она занимает исключительное положение в линии уравнений.
Исходя из вышесказанного, автор, выбирая тему, руководствовалсяее значимостью и сложностью при обучении учащихся решению квадратных уравнений разноговида.
Цель работы: разработка и апробация уроков по теме«Квадратные уравнения» в 8 классе. Исходя из данной цели, были поставленыследующие задачи:
· изучить научно-методическую литературу, касающуюся изучению уравнений;
· проанализировать школьные учебники и выделить в них место уравнений.
· подобрать, систематизировать дополнительный материал по данной темедля разработки уроков.
Объект исследования работы: процесс обучения школьниковрешению квадратных уравнений.
Предмет: методические условия усвоения решения квадратныхуравнений при использовании разных форм уроков.
Контингент: учащиеся 8-го класса Иштеряковской среднейшколе.
Гипотеза: если на уроках использовать различные формыуроков, то это способствует лучшему усвоению решения квадратных уравнений разноговида.
Глава 1. Теоретические аспекты обучению решения уравненийучащихся 8 класса
1.1 Основные направления изучения линии уравнений вшкольном курсе алгебры
Уравнение как общематематическое понятие многоаспектно. Можновыделить главные области возникновения и функционирования понятия «уравнение»как:
· средства решения текстовых задач;
· особого рода формулы, служащей в алгебре объектом изучения;
· формулы, которой косвенно определяются числа или координаты точекплоскости (пространства), служащие его решением [12,268].
Каждое из этих представлений оказалось в том или ином отношенииполезным.
Названным областям относятся три основных направления изучениялиний уравнений в школьном курсе алгебры.
1. Прикладная направленность линии уравнений раскрывается главнымобразом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот методшироко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам,используемым в приложениях математики.
В настоящее время, ведущее положение в приложениях математикизанимает математическое моделирование. (Математическое моделирование заключаетсяв конструировании по определенным правилам некоторой формальной системы, котораяотображает через совокупность математических операций над величинами определеннуюгипотезу о структуре или воспитания). Используя это понятие, можно сказать, чтоприкладное значение уравнений, их систем определяется тем, что они являются основнойчастью математических средств, используемых в математическом моделировании [2,246].
2. Теоретико-математическая направленность линии уравнений раскрываетсяв двух аспектах:
· выделение и изучение наиболее важных классов уравнений, и их систем;
· изучение обобщенных понятий, относящихся ко всей линии в целом.
Оба эти аспекта необходимы в курсе школьной математики. Основныеклассы уравнений связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическимимоделями. Использование обобщенных понятий и методов позволяет логически упорядочитьизучение линии в целом, поскольку они описывают то общее, что имеется в процедурахи приемах решения, относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем.В свою очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия:неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые также должныбыть раскрыты в линии уравнений.
3. Направленность на установление связей с остальным содержаниемкурса математики. Эта линия тесно связана с числовой линией, причем эта связь- двусторонняя. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этихлиний, — это идея последовательного расширения числовой системы. Все числовые области,рассматриваемые в школьной алгебре и началах анализа, за исключением области всехдействительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений.
Например, введение арифметического квадратного корня из рациональныхчисел позволяет записывать корни не только уравнений вида х2 = b, где b-неотрицательное рациональное число, но и любыхквадратных уравнений с рациональными коэффициентами и неотрицательным дискриминантом[5,36].
Линия уравнений тесно связана также и с функциональной линией.Одна из важнейших таких связей — приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений,к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение области определения некоторыхфункций, их корней, промежутков знакопостоянства и т.д.). С другой стороны, функциональнаялиния оказывает существенное влияние, как на содержание линии уравнений, так и настиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлеченияграфической наглядности к решению и исследованию уравнений и их систем [12,269].
Характеризуя уравнение, нужно учитывать разные стороны этогопонятия. Уравнение представляет собой некоторую запись, составленную по определеннымправилам (синтаксический подход). Заменяя в записи буквы (переменные) конкретнымичислами, переходят к верным или неверным равенствам (логический подход). Стоящиев левой и правой частях уравнения, выражения задают функции, значения которых связанызнаком "=" (функциональный подход). Действия над уравнениями производятсяпо некоторым правилам (операционный подход). Задание «решить уравнение»предполагает отыскание всех его корней (целевой подход).
На практике понятие уравнения может быть введено посредствомвыделения его в результате решения задач алгебраическим методом. В этом случае существеннымявляется подход к понятию уравнения, при котором уравнение представляет косвеннуюформу задания некоторого неизвестного числа, имеющего в соответствии с сюжетом конкретнуюматематическую интерпретацию (модельный подход). Указанный способ введения понятияуравнения соответствует прикладному аспекту понятия уравнения, отраженному в следующемопределении: «Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой,называется уравнением. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, прикотором уравнение обращается в верное равенство».
Существует другой вариант определения уравнения: «Равенствос переменной называется уравнением. Значение переменной, при котором равенство переменнойобращается в верное числовое равенство, называется корнем уравнения». Это определениехарактеризует уравнение как предикат особого вида, а корень уравнения — число измножества истинности этого предиката. Термин «уравнение» несет в себепризнаки знакового компонента, а термин «корень уравнения» учитывает смысловойкомпонент.
Можно встретить и третий вариант определения, роль которого проявляетсяпри изучении графического метода решения уравнений: «Уравнение — это равенстводвух функций».
Классификация уравнений тесно связана с конкретными функциями,изучаемыми в школьном курсе математики. В соответствии с этим в школьном курсе алгебрывыделяются определенные виды уравнений:
/>
В отношении формирования понятия равносильности и его примененияучебные пособия можно разделить на две группы. К первой относятся те пособия, вкоторых использовании е равносильных преобразований явно основано на введении иизучении понятия равносильности; ко второй — те, в которых применение равносильныхпреобразований предшествует определению понятия равносильности [9,102].
Методика работы над понятием при указанных подходах существенноотличается.
В школьном курсе математики можно выделить три этапа, связанныхс рассмотрением этого вопроса.
Во-первых, в начальном курсе математики и в начале изучения алгебрырешаются простейшие модели. Используемые преобразования получают индуктивное обоснование.По мере накопления опыта индуктивные рассуждения чаще заменяются такими, где равносильностьиспользуется, но сам термин не вводится.
Во-вторых, выделяется понятие равносильности и сопоставляетсяего теоретическое содержание с правилами преобразований, которые выводятся на егооснове.
В-третьих, на основе понятия равносильности происходит развертываниеи общей теории, и теории отдельных классов уравнений. Это характерно для старшихклассов при изучении курса «Алгебры и начала анализа», а также имеет местои в начальной школе в классах углубленного изучения математики [17,172].
В процессе решения уравнений также используется понятие логическогоследования, которое изучается позже понятия равносильности и является дополнениемк нему. Методика работы с понятием логического следования имеет много общих чертс методикой изучения равносильности и равносильных преобразований. Нередко в практикеработы учителей логическое следование применяется как прием, упрощающий процессрешения, если сохранение равносильности может быть достигнуто сравнительно«дорогой ценой» [14, 111].
Среди неравносильных преобразований есть преобразования, не являющиесялогическим следованием. Например, переход к рассмотрению частного случая (пример:переход от уравнения />и рассматривать как практические приемы,позволяющие сосредоточить внимание на отдельных шагах процесса решения уравнения).
Можно выделить три основных типа таких преобразование:
1) Преобразование одной из частей уравнения.
2) Согласованное преобразование обеих частей уравнения.
3) Преобразование логической структуры.
Преобразования первого типа используются при необходимости упрощениявыражения в какой-то из частей уравнения. Например, решая уравнение /> можно пытатьсязаменить выражение в левой части более простым. В данном случае соответствующеепреобразование приводит к уравнению />, неравносильному исходномуза счет изменения области определения. Возможность получения при такой замене уравнения,неравносильного данному, приходится учитывать при изучении некоторых типов уравнений,например тригонометрических или логарифмических.
В классе дробно-рациональных уравнений с этим явлением приходитсясталкиваться гораздо реже. Здесь это связано с возможностью потери корней при сокращениидробей. Наконец, в классе целых алгебраических уравнений рассматриваемый тип преобразованийвсегда приводит к уравнениям, равносильным данным.
Преобразования второго типа состоят в согласованном измененииобеих частей уравнения в результате применения к ним арифметических действий илиэлементарных функций. Преобразования второго типа сравнительно многочисленны. Онисоставляют ядро материала, изучаемого в линии уравнений.
Приведем примеры преобразований этого типа.
1) Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же выражения.
2) Умножение (деление) обеих частей уравнения на одно и того же выражения.
3) Переход от уравнения а = b куравнению f (a) =f (b), где f- некоторая функция, или обратный переход.
К третьему типу преобразований относятся:
· преобразования, осуществляемые на основе свойств арифметических операций.К ним можно отнести переход от уравнения к совокупности уравнений после предварительногоразложения на множители; переход от уравнения к системе после приравнивания суммыквадратов выражений к нулю; почленное сложение, умножение, деление уравнений, неравенстви т.д.
· преобразования, осуществляемые при помощи логических операций. Примерамиих являются выделение из системы одного из компонентов, замена переменных.
Таким образом, владение содержанием линии уравнений позволяетрасширить список выполнимых преобразований.
В итоге изучения материала линий уравнений учащиеся должны нетолько овладеть применением алгоритмических предписаний к решению конкретных заданий,но и научиться использовать логические средства для обоснования решений в случаях,когда это необходимо.
С началом систематического курса алгебры основное внимание уделяетсявнимание способам решения линейных и квадратных уравнений, которые становятся специальнымобъектом изучения.
Далее рассмотрим различные виды квадратных уравнений и методикуих изучения.
1.2 Методика изучения квадратных уравнений
С началом изучения систематического курса алгебры основное вниманиеуделяется способам решения квадратных уравнений, которые становятся специальнымобъектом изучения. Для изучения данной темы по программе для общеобразовательныхучреждений отводится 26 часов [8, 151]. Основная цель — выработать умения решатьквадратные уравнения и решать задачи, сводящиеся к ним.
Квадратным уравнением называется уравнение вида /> bx + c = 0, где х — переменная, а, b и с — некоторые числа, причем а />. Числа а, b и с — коэффициенты квадратного уравнения[1, 98].
Умение решать квадратные уравнения служит базой для решения другихтипов уравнений и их систем (дробных рациональных, иррациональных, высших степеней).
Для того чтобы решить любое квадратное уравнение, учащиеся должнызнать:
· формулу нахождения дискриминанта;
· формулу нахождения корней квадратного уравнения;
· алгоритмы решения уравнений данного вида.
В результате изучения данной темы учащиеся должны уметь:
· решать неполные квадратные уравнения;
· решать полные квадратные уравнения;
· решать приведенные квадратные уравнения;
· находить ошибки в решенных уравнениях и исправлять их;
· делать проверку.
Решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:
· преобразования данного уравнения к простейшим;
· решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.
При изучении темы «Квадратные уравнения» рассматриваютсянеполные, полные и приведенные квадратные уравнения. Для изучения данной темы былипроанализированы современные школьные учебники разных авторов, таких как А.Г. Мордкович,С.М. Никольский, Ю.Н. Макарычев, М.И. Башмаков (Приложение 6)
Можно сделать следующие выводы:
1) во всех современных школьных учебниках алгебры методическаялиния изучения квадратных уравнений одинакова.
2) в учебнике под ред.М.И. Башмакова дается историческая справка,а в других учебниках этого нет.
3) в учебниках алгебры С.М. Никольского и Ю.Н. Макарычева приизучении темы «Квадратные уравнения» рассматриваются прямая и обратнаятеорема Виета.
Обучение решению уравнений начинается с простейших их видов,и программа [5,131] обусловливает постепенное накопление как их видов, так и«фонда» тождественных и равносильных преобразований, с помощью которыхможно привести произвольное уравнение к простейшим. В этом направлении следует строитьи процесс формирования обобщенных приемов решения уравнений в школьном курсе алгебры.В курсе математики старших классов учащиеся сталкиваются с новыми классами уравнений,систем или с углубленным изучением уже известных классов. Однако это мало влияетна уже сформированную систему знаний, умений и навыков; они дополняют ее новым фактическимсодержанием.
Обобщение способов деятельности учащихся при решении квадратныхуравнений происходит постепенно. Можно выделить следующие этапы при изучении темы«Квадратные уравнения»:
I этап — «Решение неполных квадратных уравнений».
II этап — «Решение полных квадратных уравнений».
III этап — «Решение приведенных квадратных уравнений».
На первом этапе рассматриваются неполные квадратные уравнения.Так как сначала математики научились решать неполные квадратные уравнения, посколькудля этого не пришлось, как говорится, ничего изобретать. Это уравнения вида: ах2= 0, ах2 + с = 0, где а ≠ 0 и с≠ 0, ах2 + bх = 0, где а ≠ 0 и
b ≠ 0.Рассмотрим решение несколько таких уравнений:
1. Еслиах2 = 0. Уравнения такоговида решаются по алгоритму:
1) найтих2;
2) найти х.
Например, 5х2 = 0. Разделив обе частиуравнения на 5 получается: х2= 0, откуда х = 0.
2. Еслиах2 +с = 0, с ≠0 Уравнения данного вида решаются поалгоритму:
1) перенести слагаемые в правую часть;
2) найти все числа, квадраты которых равны числу с.
Например, х2 — 5 = 0, Это уравнение равносильноуравнению х2 = 5. Следовательно, надо найти все числа, квадратыкоторых равны числу 5. Таких чисел только два /> и — />. Таким образом, уравнение х2- 5 = 0 имеет два действительных корня: x1 =/>, x2 = — /> и других действительныхкорней не имеет.
3. Если ах2+ bх= 0, b ≠ 0. Уравнениятакого вида решаются по алгоритму:
1) вынести общий множитель за скобки;
2) найти x1, x2.
Например, х2— 3х = 0. Перепишем уравнениех2 — 3х = 0 в виде х (х — 3) = 0. Это уравнение имеет, очевидно,корни x1 = 0, x2 = 3. Других корней оно не имеет, ибо еслив него подставить вместох любое число, отличное от нуля и 3, то в левойчасти уравнения х (х — 3) = 0 получится число, не равное нулю.
Итак, данные примеры показывают, как решаются неполные квадратныеуравнения:
1) если уравнение имеет вид ах2 = 0, то оноимеет один корень х = 0;
2) если уравнение имеет видах2 + bх = 0, то используется метод разложения на множители: х(ах +b) = 0; значит, либо х = 0, либо ах + b = 0. В итоге получается два корня: x1= 0; x2 = — />;
3) если уравнение имеет вид ах2 + с = 0, тоего преобразуют к виду
ах2 = — с и далее х2. = — /> В случае, когда- />х2 = — /> не имеет действительных корней (значит,не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда — /> > 0, т.е.- /> = m, где m>0, уравнение х2= m имеет два корня /> = />, /> = — />, в этом случаедопускается более короткая запись />= />. Таким образом, неполное квадратноеуравнение может иметь два корня, один корень, ни одного корня.
На втором этапе осуществляется переход к решению полногоквадратного уравнения. Это уравнения вида ах2 + bx + c = 0, где a,b,c — заданные числа, а ≠ 0, х — неизвестное.
Любое полное квадратное уравнение можно преобразоватьк виду />, для того, чтобы определятьчисло корней квадратного уравнения и находить эти корни. Дискриминант уравненияравен: D = p2 — 4q. Рассматриваются следующие случаи решенияполных квадратных уравнений: D 0.
1. Если D = 16 — 56 = — 40. Так как D
2. Если D = 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0, где а ≠ 0, имеетдва равных корня, которые находятся по формуле />.
Например, 4х/> — 20х + 25 = 0. Решение: а = 4, b = — 20, с = 25. D = b2 — 4ас = (-20) 2 — />= 400 — 400= 0. Так как D = 0, то данное уравнениеимеет два равных корня, которые находятся по формуле />. Значит,/>
3. Если D > 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0, где а ≠ 0 имеетдва корня, которые находятся по формулам: />; /> (1)
Например, 3х2 +8х — 11 = 0. Решение: а = 3, b = 8, с = — 11. D =b2 — 4ас = 82 — /> (-11) = 64 + 132= 196. Так как D >0, то данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находятся по формулам:
/>.
Составляется алгоритм решения уравнения вида ах2+ bx + c = 0.
1. Вычислить дискриминант D поформуле D = b2- 4ас.
2. Если D
3. Если D = 0, то квадратное уравнение имеет два равных корня,который находятся по формуле />
4. Если D > 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет два корня:
/>; />.
Это алгоритм универсален, он применим как к неполным,так и к полным квадратным уравнениям. Однако неполные квадратные уравнения обычнопо этому алгоритму не решают.
Математики — люди практичные, экономные, поэтомупользуются формулой:
/>. (2)
Итак, можно сделать вывод, что квадратные уравнения можно решатьподробно, используя сформулированное выше правило; можно — записать сразу формулу(2) и с ее помощью делать необходимые выводы [1,98].
На третьем этапе рассматриваютсяприведенные квадратные уравнения, которые имеют вид х2 +px + q = 0 (3), где p и q — данные числа. Число p — коэффициент при х, а q — свободныйчлен.
Дискриминант уравнения равен: D = p2 — 4q.Приведенные квадратные уравнения получаются из полного квадратного уравнения следующимобразом:
/>
Где /> и />.
Рассматривают 3 случая:
1. D > 0,тогда уравнение (3) имеет два корня, вычисляемые по формуле
/>.
(Приложение 1) (4)
2. D = 0, тогдауравнение (3) имеет единственный корень, или, как говорят, два совпадающих корня:/>
3. D , имеющее тотже знак, что и D. При этом формулу корней приведенного квадратногоуравнения (4) записывают так: />
Отсюда следует, что:
1) если /> тоуравнение (3) имеет два корня;
2) если /> тоуравнение имеет два совпадающих корня;
3) если /> тоуравнение не имеет корней.
Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрениетеоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентамиприведенного квадратного уравнения [23,17].
Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравненияравна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корнейравно свободному члену. (Приложение 2)
Иначе говоря, если x1 и x2 — корни уравнениях2 +px + q = 0, то
/>
x1 + x2 = — p,
x1 x2 = q. (5)
Данные формулы называют формулами Виета в честь французскогоматематика Ф. Виета (1540-1603), (Приложение 3) который ввел систему алгебраическихсимволов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числастал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений.
Например, приведенное уравнение х2 — 7х +10= 0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Видно, чтосумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведениекорней равно свободному члену.
Справедлива также теорема, обратная теореме Виета.
Теорема, обратная теореме Виета. Если для чисел x1,x2, p, q справедливы формулы (5), то x1 и x2 — корниуравнения х2 + px + q = 0 [2,49].
Теорема Виета и теорема, обратная ей, часто применяются при решенииразличных задач.
Например. Напишем приведенное квадратное уравнение, корнями которогоявляются числа 1 и — 3.
По формулам Виета
p = x1+ x2 = — 2, q = x1x2 = — 3.
Следовательно, искомое уравнение имеет вид х2 + 2х- 3 = 0.
Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами.Прежде всего, требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы. В прямой теоремеВиета даны квадратное уравнение и его корни; в обратной — только два числа, а квадратноеуравнение появляется в заключении теоремы. Учащиеся часто совершают ошибку, обосновываясвои рассуждения неверной ссылкой на прямую или обратную теорему Виета.
Например, при нахождении корней квадратного уравнения подборомссылаться нужно на обратную теорему Виета, а не на прямую, как часто делают учащиеся.Для того чтобы распространить теоремы Виета на случай нулевого дискриминанта, приходитсяусловиться, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня. Удобствотакого соглашения проявляется при разложении квадратного трехчлена на множители
Таким образом, неполные и приведенные квадратные уравнения имеютразные алгоритмы решения, при изучении данной темы необходимо показать, что общаяформула корней применима и для этих случаев. Обычно они изучаются перед выводомкорней общего квадратного уравнения. В целом можно сказать, что освоение темы«Квадратные уравнения» поднимает учащихся на качественно новую ступеньовладения содержанием школьной математики.
Важную роль в учебном процессе играют формы организации или видыобучения, в качестве которых выступают устойчивые способы организации педагогическогопроцесса.
Основной формой организации учебно-воспитательной работы с учащимисяявляется урок.
1.3 Характеристика разнообразных форм уроков
Урок — логически законченный, целостный, ограниченных определеннымирамками времени отрезок учебно-воспитательного процесса, где представлены все основныеэлементы этого процесса (цели, содержание, средства, методы, формы организации).Урок представляет собой форму организации деятельности учителя и учащихся.
Урок — это занятие с классом учеников, продолжительностью 40-45минут. Количество таких занятий определяет учебный план школы, а их содержание- Госстандарт и школьные программы [2,65].
Понятие урок имеет характерные черты (основные характеристики),позволяющие рассматривать его с разных позиций. Иначе, урок состоит из компонентов:
· цель;
· содержание;
· средства и методы обучения;
· организация учебной деятельности.
Главную роль среди основных характеристик урока играют цели урока:образовательные, воспитательные и развивающие. В соответствии с целью урока отбираетсясодержание обучения, и, прежде всего содержание урока.
На разных уроках ставится разная дидактическая цель и дидактическиезадачи не могут иметь одинаковые объем и значение, поэтому различают:
урок обычный, на котором решается лишь одна дидактическая задача(изучение нового материала, или закрепление изученного, или контроль);
урок комбинированный (смешанный), где последовательно решаютсянесколько дидактических задач;
урок синтетический, на котором решаются одновременно несколькодидактических задач.
В практике обучения наиболее часто проводятся комбинированныеуроки. Структура такого урока включает:
1) Организационный момент.
2) Проверка знаний и умений учащихся.
3) Изучение нового материала.
4) Закрепление изученного материала.
Выделяют четыре основных типа уроков:
· урок по ознакомлению с новым материалом;
· урок по закреплению изученного материала;
· урок проверки знаний, умений и навыков;
· урок по систематизации и обобщению изученного материала.
Кроме рассмотренной классификации получила распространение классификацияпо способам проведения уроков (урок-лекция, урок-практикум, урок-презентация, урок- контрольная работа, комбинированный урок, урок — игра и т.д.) [22,64].
Урок — лекция. Материал лекции должен быть интересным,сопровождаться показом наглядных пособий, содержать много примеров из опыта учителяи школьников. Лекция проводится в течение 20 минут, в остальное время урока можнопровести самостоятельную работу по проверке усвоения материала или провести этапзакрепления и систематизации знаний.
Как правило, это уроки, на которых излагается значительная частьтеоретического материала изучаемой темы.
По характеру изложения и деятельности учащихся лекция может бытьинформационной, объяснительной, лекцией-беседой и т.д.
Лекционная форма проведения уроков целесообразна при:
изучении нового материала, мало связанного ранее изученным;
рассмотрении сложного для самостоятельного изучения материала;
подаче информации крупными блоками;
применении изученного материала при решении практических задач.
Структура лекции определяется выбором темы и цели урока. Другимисловами, лекция строится на сочетании этапов урока: организации; постановки целии актуализации знаний, сообщение знаний учителем и усвоения их учащимися; определениидомашнего задания.
Структура данного типа урока может быть такова:
1) повторение материала, необходимого для сознательного усвоенияновых математических знаний;
2) изучение нового материала;
3) первичное закрепление изучаемого материала;
4) задание на дом.
Последовательность структурных элементов урока может быть и другой,но в любом случае основная часть урока данного типа посвящается работе над новымматериалом [21,95].
Урок — практикум. Основное место на уроках данного типазанимает выполнение учащимися различных тренировочных упражнений и творческих работ.Предлагаются упражнения в определенной системе. Большое место на этих уроках отводитсясамостоятельной работе учащихся.
Структура этих уроков, как правило, следующая:
1) воспроизведение учащимися знаний, умений и навыков, которые потребуются длявыполнения заданий;
2) самостоятельное выполнение учащимися различных упражнений;
3) проверка выполнения работы и подведение итогов;
4) задание на дом.
С целью развития знаний, умений и навыков на таких уроках иногдавключаются элементы нового. Кроме этого, с помощью специальных упражнений проводитсяподготовительная работа к изучению к следующих тем. Но эти дидактические цели подчиняютсяосновной цели урока — закреплению изученного материла [8,25].
Контрольные уроки. Основное место на таких уроках отводитсяустной и письменной проверке усвоения изученного материла. Проверка, как правило,сочетается с закреплением знаний, умений и навыков. Самостоятельные письменные работызанимают от 15 до 30 минут, остальное время отводится на закрепление ранее изученного.В конце урока, если проверка проводилась в устной форме, учитель, как правило, даеткраткую характеристику знаниям, умениям и навыкам учащихся, указывает на достижения,недостатки и пути их преодоления. Если проверка проводилась в письменной форме,то последующий урок посвящается анализу результатов контрольной работы, исправлениютипичных ошибок, повторению и закреплению тех разделов, которые оказались хуже усвоенными[22,35].
Урок — путешествие. Урок проводится в форме воображаемогопутешествия. Этапами урока являются остановки по пути следования. Экскурсоводом(инструктором) может быть учитель или заранее подготовленный ученик.
Урок построен в виде практических исследований, работы с изображениями,наглядными пособиями, бесед и докладов о событиях математики.
По окончанию путешествия составляют отчет об «увиденных»событиях.
Урок — презентация. Преимущество компьютерной презентациисостоит в облегчении труда преподавателя, упорядочивании и сохранности наглядногоматериала, необходимого для конкретного занятия.
Презентации дают возможность подать впривлекательном виде тщательно подготовленную информацию. Главная дидактическаяфункция презентации обусловлена тем, что реализуемая в ней последовательность представлениявизуальных компонентов определяет порядок восприятия учебного материала. Презентацияобеспечивает методически выверенное распределение внимания. Компьютерная презентацияпомогает упорядочить весь материал, выстроить его, следуя логике изложения и хранитьего в одном файле. Сохранение наглядных материалов и возможность их корректированиятоже является важным моментом для преподавателя.
Возможны различные виды уроков с применением информационных технологий:
уроки-беседы с использованием компьютера как наглядного средства;уроки постановки и проведения исследований;
уроки практической работы;
уроки — зачеты;
интегрированные уроки и т.д.
Компьютер можно использовать на различных этапах процесса обучения:при объяснении нового материала, закреплении, повторении, контроле знаний, уменийи навыков.
Урок — соревнование. Основу урока соревнования составляютсостязания команд при ответах на вопросы и решении чередующихся заданий, предложенныхучителем.
Формы проведения таких уроков самая различная. Это поединок,бой, эстафета, соревнования, построенные по сюжетам известных игр: «КВН»,«Брейн-ринг», «Счастливый случай», «Звездный час»и др.
Урок — экскурсия проводится с целью накопления непосредственныхвосприятий и наблюдений учащимися объектов и явлений, связанных с изучением материалапо математике. Проводя экскурсии, предусмотренные программой, в природу и на производство(например, в сад, на ферму, строительную площадку и т.п.), учитель организует наблюденияза количественными изменениями, сбор числового материла и т.п.
Экскурсия может явиться началом работы по теме программы. Цельее — вызвать у учащихся интерес к изучению темы, содействовать накоплению материала,необходимого для последующей работы по теме.
Экскурсия может быть организована в процессе работы над темой.Ее назначение — содействовать частичной проверке уже полученных знаний и умений,а также дополнить материал, необходимый для дальнейшей работы по теме. Она можетподвести итог работы по теме или нескольким темам. Цель такой экскурсии — закрепитьи расширить знания учащихся, обобщить материал, полученный на уроке или ряде уроков.
Таким образом, существует многообразие форм уроков [11, 32].
Далее рассмотрим применение вышеперечисленных форм уроков приобучении математике.
Глава 2. Разработка и практическое использование различныхформ уроков математики
Для того чтобы доказать или опровергнуть, что использование различныхформ уроков способствует улучшению качества знаний школьников по теме «Квадратныеуравнения», были разработаны и проведены разнообразные формы уроков в 8 классеМОУ “Иштеряковская средняя общеобразовательная школа". При изучении темы быливыбраны такие формы уроков, как:
· урок — лекция;
· урок — презентация;
· урок — практикум;
· урок — игра «Звездный час»;
· урок — программирование;
· контрольный урок.
2.1 Разработка уроков по теме «Неполные квадратныеуравнения»
Урок — лекция по теме «Неполные квадратные уравнения»
Тип урока: изучение новой темы.
Цели урока: ввести понятие квадратного и неполного квадратногоуравнения; показать решения неполных квадратных уравнений; формировать умение решатьнеполные квадратные уравнения; развивать математическую речь, мышление, внимание;воспитывать интерес к предмету, самостоятельность. Ход урока: 1. Организационныймомент. 2. Сообщение темы и цели урока.
У нас сегодня урок — лекция, учимся решать неполные квадратныеуравнения.
3. Актуализация знаний
3.1 Устный счет4,8: 2 2,4 3 — 0,4 2,6 1,4 + 4,9 6,3 + 0,8 3,2 : 0,13 20 : 3 2,1 : 0,4 8 : 0,1 200 + 5,9 8
/>0,2 1,8 : 0,2 1000 : 20 0,4
3.2 Повторение вопросов теории
Что такое уравнение?
Что значит решить уравнение?
Что такое корень уравнения?
3.3 Итог
Итак, мы вспомнили, что такое уравнение, корень, немного посчиталиустно. А сейчас открываем тетради, записываем сегодняшнее число и тему урока«Неполные квадратные уравнения».
4. Работа по теме урока
4.1 Историческая справка
Квадратные уравнения умели решать еще вавилоняне. Это было связанос решением задач о нахождении площадей земельных участков, а также с развитием астрономии.Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяясовременную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются,кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения.
4.2 Объяснение нового материала
(Учитель, объясняя тему урока, делает на доске короткие записив виде схем, которые остаются на доске во время всего этого урока. Эти записи нужны,чтобы дети хорошо усвоили тему).
Квадратным уравнением называется уравнение вида /> bx + c = 0, где х — переменная, а, b и с — некоторые числа, причем а />. Числа а, b и с — коэффициенты квадратного уравнения.Число D =/>называют дискриминантом квадратногоуравнения. Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов равен нулю,то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.
Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:
/> /> />
/> /> />
Рассмотрим решение каждого из этих видов (составляется таблицапо решению неполных квадратных уравнений).
/>
/>
/>
/>
/>/>
/>
/>
/>
единственный корень уравнения равный
нулю один из корней уравнения всегда равен нулю корни противоположны по знаку и равные по модулю
5. Закрепление.
5.1 Выполнение заданий № 504, 505, 508 — устно по цепочке (привыполнении заданий учитель обращает внимание школьников на вид уравнений и способамих решения, используя таблицу).
5.2 Выполнение задания №509 — у доски.
5.3 Выполнение задания №510 — с комментированием.
5.4 Выполнение задания №511 (а, б) — самостоятельно (взаимопроверка)
6. Подведение итогов.
Какие уравнения называются квадратными?
Какие квадратные уравнения называются неполными?
Сколько корней имеет неполное квадратное уравнение вида:
1) /> 2) /> 3) />
/> /> />
7. Домашнее задание: №511 (в, г), теория.
Урок — игра по теме «Решение неполных квадратных
уравнений»
Тип урока: закрепление.
Цели урока: повторить и закрепить умение решать неполные квадратныеуравнения, развивать математическую речь, логическое мышление, сообразительность,внимание, воспитывать интерес к предмету, самостоятельность.
Оборудование: жетоны, карточки с заданиями.
Ход урока:
1. Организационный момент (класс делится на две команды, выбираюткапитана, название команды, в конце урока капитаны оценивают своих игроков).
2. Сообщение темы и цели урока.
Сегодня на уроке мы с вами повторим решение неполных квадратныхуравнений, задач. Урок мы проведем в виде игры. Я вас разделю на две команды, причему каждой команды должен быть капитан и название команды. Даю три минуты, для тогочтобы выбрать капитана и придумать название своей команды.
3. Работа по теме урока (открывается доска, на которой написаныназвания игр).
3.1 Представление команд.3.2 «Заполни квадрат» (упражнениена развитие памяти и внимания).
Итак, первый этап игры называется «Заполни квадрат».Обеим командам дам таблицу (на обратной стороне доски висит таблица с буквами).Вам нужно за 10 секунд запомнить, что записано в клетке и записать в свой квадрат,угадать слово. За правильно выполненное задание команда получает 1 жетон.Н Е Н Л У А Н О Ы П Е П Н В Р Е Я
3.2 «Отвечай-ка» (повторение теории).
Сейчас команды будут отвечать на вопросы.
Вы сначала подумайте, а потом поднимите руку. Итак, слушайтевнимательно. За правильный ответ — 1 жетон.
1) Какое уравнение называется неполным?
2) Приведите пример неполного квадратного уравнения?
3) Назовите коэффициенты уравнения />/>.
4) Назовите виды неполных квадратных уравнений?
5) Что такое уравнение?
6) Что значит решить уравнение?
3.3 «Посчитай-ка» (за правильный ответ — 2 жетона)
Итак, мы с вами повторили теорию, а сейчас необычное задание.Вы командой решаете данное задание: найдите сумму, разность и произведение корнейнеполного квадратного уравнения/>/>. На работу вам 3 минуты. (Ответ: корни:0 и 1; 0+1=1; 0-1=-1; 0*1=0).
3.3.1 Проверка (за правильный ответ — 2 жетона).
3.4 «Соображай-ка» (3 жетона)
Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 большедругого, равно 187. Найдите эти числа.
3.5 «Решение уравнений» (каждой команде учитель раздаеткарточки с заданиями, учащиеся решают вместе и выносят ответы на доску.
За каждое правильно решенное задание команда получает по одномужетону).
На работу вам 10 минут.
Решить неполные квадратные уравнения:
/> />
3.5.1 Проверка ответов.
4. Итог урока
Что мы повторили?
Сейчас посмотрим, какая команда набрала больше жетонов (за первоеместо грамота). Теперь капитаны каждой команды должны оценить работу каждого членакоманды.
Урок-практикум по теме «Неполные квадратные
уравнения»
Тип урока: закрепление и проверка знаний.
Цель: закрепить и проверить знания по теме «Неполныеквадратные уравнения», развивать математическую речь, внимание, воспитыватьсамостоятельность, интерес к предмету.
Оборудование: карточки с заданиями для самостоятельнойработы, листочки для математического диктанта.
Ход урока:
1. Организационный момент.
2. Сообщение темы и цели урока.
3. Актуализация знаний.
3.1 Математический диктант (на листочках).
1) Какое уравнение называют квадратным уравнением?
2) Какое уравнение называют неполным квадратным уравнением?
3) Какие виды неполных квадратных уравнений бывают?
4) Сколько корней может иметь неполное квадратное уравнение />?
5) Сколько корней может иметь неполное квадратное уравнение />?
6) Сколько корней может иметь неполное квадратное уравнение />?
3.2 Проверка математического диктанта (меняются листочками).
4. Работа по теме урока.
4.1 Решение неполных квадратных уравнений.
4.1.1 Решение у доски:
а) />
б) />
4.1.2 Самостоятельная работа (по вариантам). На работу 4 минуты.Кто решит первым запишет свой ответ на доске.
1 вариант: />
2 вариант: />.
4.1.3 Проверка самостоятельной работы: сверка с доской.
4.2 Докажите, что:
а) числа 5 и — 5 являются корнями квадратного уравнения />;
б) числа о и — 7 являются корнями квадратного уравнения />
Под буквой а решает 1 ученик с обратной стороны доски,под б — 2 ученик, остальные решают самостоятельно в тетрадях.
4.2.1 Проверка: самопроверка.
5. Самостоятельная работа на 1 вариант.
Решаем до конца урока и сдаем тетрадь на проверку.
1. Найти корни уравнения:
а) />;
б) />.
2. Решите уравнение:
а) />;
б) />.
3. Какие из следующих уравнений являются неполными? В Случаенеполного уравнения найдите его корни.
а) />;
б) />;
в) />;
г) />.
4. Найдите сумму корней неполного уравнения />.
6. Итог урока.
Баллы по заданиям: за каждое правильно решенное задание 1 балл.
Итоговая шкала оценок:
9б. — «5»
7-8 б. — «4»
5-6 б. — «3»
Менее 5 б. — «2»
Анализ уроков по теме «Неполные квадратные уравнения»
В связи с тем, что по тематическому планированию изучение темы«Квадратные уравнения», начинается с рассмотрения вопроса о неполных квадратныхуравнениях, были разработаны и апробированы уроки именно по этой теме: урок — лекция,урок — игра и урок — практикум.
Цели и задачи уроков выполнены. Все учащиеся были хорошо подготовленык урокам. Они с интересом работали на уроках, этому служит эмоциональная речь учителя,приветливое отношение, поддержка отстающих. Ученики внимательны, сосредоточены.
Изучение всех тем начинается с организационного момента. Всеэтапы урока взаимосвязаны, каждый этап заканчивался микрообобщением. Время былораспределено рационально.
В этапе объяснения нового материала используется историческаясправка, что способствует развитию познавательного интереса, при закреплении темыиспользуется игра, которая состоит из нескольких этапов. В процессе игры у детейформируются общеучебные умения и навыки, в частности умения контроля и самоконтроля,формируется такие черты характера, как взаимопонимание, ответственность, честность.
Также был разработан и проведен урок — практикум. Урок началсяс повторения ранее изученного материала, необходимый для выполнения самостоятельнойработы. Дети были активны, практически все знали ответы на задаваемые вопросы, отвечалиправильно без затруднений и подсказок. Умеют привести примеры неполных квадратныхуравнений каждого вида.
Выполняя задания по ранее изученному материалу, было видно, чтоученики поняли тему. Задания выполняли быстро без ошибок, объясняя каждый моментрешения.
Самостоятельная работа была напечатана на листочках. Данная работане вызвала трудностей.
Самостоятельную работу писали 12 человек. После проверки самостоятельнойработы, получились следующие результаты:Оценка Количество человек % «5» 10 83 «4» 2 17 «3» - -
/>
Таким образом, с заданием справились все, отрицательных оценокнет. Были допущены ошибки при вычислениях.2.2 Разработка уроков по теме «Полные квадратныеуравнения»
Урок-программирование по теме " Полные квадратные уравнения"(уравнения общего вида)
Тип урока: изучение новой темы.
Цели урока: ввести понятие полного квадратного уравнения,научить учащихся решать полные квадратные уравнения, развивать математическую речь,внимание, самостоятельность.
Оборудование: карточки с пропущенными словами или формулами,алгоритм решения полных квадратных уравнений.
Ход урока:
1. Организационный момент.
2. Сообщение темы и цели урока.
3. Актуализация знаний.
3.1 Опрос теории.
1) Что называют квадратным трехчленом?
2) Что называют дискриминантом квадратного уравнения?
3) Приведите пример квадратного уравнения, дискриминант которого:
а) больше нуля;
б) равен нулю;
в) меньше нуля.
4) Назовите коэффициенты a, b и c квадратного трехчлена (трехчлены заранее записаны на доске):
а) />;
б) />;
в) />.
4. Работа по теме урока.
4.1 Изучение нового материала. Учащиеся самостоятельно изучаюттему, для этого учитель раздает карточки с текстом (приложение 6), где учащиесядолжны заполнить пустые строчки и записать в тетрадь, то что необходимо для решенияданного вида уравнения. На работу дается 20 минут. Потом вместе с учителем проверяют.
Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в которомприсутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициентыb и с отличны от нуля. Это уравнениявида ах2 + bx + c = 0, где a,b,c — заданные числа,а ≠ 0, х — неизвестное.
Любое полное квадратное уравнение можно преобразоватьк виду />, для того, чтобы определятьчисло корней квадратного уравнения и находить эти корни. Рассмотриваются следующиеслучаи решения полных квадратных уравнений: D 0.
1. Если D
Например, 2х2 +4х + 7 = 0. Решение: здесь а =., b = …, с = …. D =….
Так как D
2. Если D = 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет два равных корня, которые находятся поформуле />.
Например, 4х/> — 20х + 25 = 0. Решение: а =.., b = ……., с = …. …. D = …. Так как D =0, то данное уравнение имеет … корни. Эти корни находятся по формуле />.Значит, х = ……….
3. Если D > 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет два различных корня, которые находятсяпо формулам: />; />. Например, 3х2 +8х — 11 = 0. Решение: а =.., b = ……, с = …….
D = ………
Так как D > 0, то данное квадратное уравнение имеет … корня. Эти корнинаходятся по формулам: /> => />/>=…….
4.2 Проверка и составление алгоритма решения полногоквадратного уравнения.
Составляется алгоритм решения уравнения вида ах2+ bx + c = 0.
1. Вычислить дискриминант D по формуле D =b2 — 4ас.
2. Если D
3. Если D = 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которыенаходятся по формуле
/>
4. Если D > 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет два корня:
/>; />.
5. Закрепление.
5.1 Выполнение задания № 533 (устно)
5.2 Выполнение задания №534 (самостоятельно по вариантам) — ответына обратной стороне доски.
1 вариант — а, г, е.
2 вариант — б, з, е.
6. Итог урока.
Какие уравнения называются полными? И как они решаются?
7. Домашнее задание: учить теорию, № 535, 536 (а-в).
Урок — «Математическая эстафета» по теме "Решение полных квадратных уравнений"
Цели урока: закрепить умение решать полные квадратныеуравнения; рассмотреть различные задания, решающиеся с помощью квадратного уравнения;проверить умение учащихся решать полные и неполные квадратные уравнения.
Тип урока: закрепление.
Оборудование: 3 таблицы с заданиями.
1. Организационный момент(выбирают жюри, учащиеся объединяютсяв две команды)
2. Сообщение темы и цели урока.
Сегодня у нас необычный урок, мы с вами проведем математическуюэстафету.
3. Работа по теме урока.
Наша эстафета состоит из 3-х этапов. На каждом этапе вы получаетеодинаковое количество заданий. Задания будут усложняться. Решив уравнения однойсложности, получаете задания другой сложности, т.е. переходите на 2 этап. Победитта команда, которая первой пройдет все этапы.
Итак, начнем.
3.1 I этап.Задания 1-ой сложности. Решаете вместе, чтобы было быстрее. Ответы записать в таблицуи сдать на проверку жюри. За каждое правильное решение команда получает по 1 балл.Уровень 1 Примеры Ответы
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
3.2.2 этап — задания 2-ой сложности с ответами. За каждоеправильное решение команда получает — 2 балла (жюри проверяет решение). На этомэтапе ответы даны, нужно решить данные уравнения и получить правильный ответ. 2 уровень Ответы (х+8) (х-9) =-52
(-4;
5) (х+1) (х+2) = (2х-1) (2х-10)
(/>;
8)
/> (1; — 2)
/>
/>
/>
(/>)
/> Нет корней
3 этап — на 3 этапе учащиеся решают не командой, а работаютиндивидуально (в тетрадях). Кто первым справится с заданием, тот ученик выноситответы на доску. Класс оценивает этого ученика, после того, как большинство учащихсясправится с заданием.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> (х-1) (х-2) = (3х+1) (х-2)
3. Итог урока. Жюри проводит итог, объявляет результаты. Команды,которая набрала большее количество баллов, получают отметку «5», другаякоманда получает отметку «4».
4. Домашнее задание: учитель раздает карточки с заданиями.
Тест по теме «Полные квадратные уравнения»
Тип урока: урок — контроля.
Цель урока: проверить знания по теме «Полные квадратныеуравнения», развивать самостоятельность, внимание, навыка самооценки, воспитыватьинтерес к предмету.
Ход урока:
1. Орг. момент.
2. Сообщение темы и уели урока.
Проверим, как вы усвоили тему «Полные квадратные уравнения».
3. Работа по теме урока.
Тест решаете до конца урока и сдаете на проверку.
Тест по теме «Полные квадратные уравнения»
Вариант 1.
1. Полное квадратное уравнение — это уравнение вида:
А) />, где а/>; Б) ах +bx+0=0;
В) />, где а/>; Г) />, где а/>.
2. Если в квадратном уравнении D = 0, то уравнение имеет:
А) 1 корень Б) 3 корня
В) не имеет корней Г) 2 корня
3. Какой из предложенных многочленов является квадратным трехчленом?
А. /> Б. />
В. /> Г. />
4. Какое из чисел — 2, — 1, 3, 5 являются корнем уравнения
/>?
А. — 1 Б. — 2 В.3 Г.5
5. Чему равна сумма корней уравнения />?
А. /> Б. — /> В. /> Г. />
6. Какое из предложенных квадратных уравнений не имеет корней?
А. /> Б. />
В. /> Г. />
7. Чему равна сумма квадратов корней уравнения
/>? />
А.4 Б.18 В.16 Г.6
8. Какое из чисел 9, — 1, 6, /> является корнем уравнения />.
А) 9 Б) /> В) — 1 Г) 6
9. При каких значениях параметра /> квадратное уравнение /> имеет только одинкорень?
А. Нет таких значений Б. />
В. /> Г. />
10. Если в полном квадратном уравнении D
А) один корень Б) два корня
В) не имеет корней Г) четыре корня
Вариант 2.
1. Полное квадратное уравнение — это уравнение вида:
А) />, где а />, b/>; Б) ах +bx+0=0;
В) />, где а/>; Г) />, где а/>.
2. Если в квадратном уравнении D > 0, то уравнение имеет:
А) 1 корень Б) 3 корня
В) не имеет корней Г) 2 корня
3. Какой из предложенных многочленов является квадратным трехчленом?
А. /> Б. />
В. /> Г. />
4. Какое из чисел — 2, — 1, 3, 5 являются корнем уравнения/>?
А. — 2 Б. — 1 В.3 Г.5
5. Чему равна сумма корней уравнения />?
А. /> Б. — /> В. /> Г. />
6. Какое из предложенных квадратных уравнений не имеет корней?
А. /> Б. />
В. /> Г. />
7. Чему равна сумма квадратов корней уравнения
/>?
А.4 Б.18 В.9 Г.1
8. Какое из чисел 9, — 1, 6, /> является корнем уравнения
/>.
А) 9 Б) /> В) — 1 Г) 6
9. При каких значениях параметра /> квадратное уравнение /> имеет только одинкорень?
А. Нет таких значений Б. />
В. /> Г. />
10. Если в полном квадратном уравнении D
А) один корень Б) два корня
В) не имеет корней Г) четыре корня
Критерии оценок:
«5» — 9-10 б.
«4»-7-8 б.
«3» — 5-6 б.
4. Подведение итогов.
5. Домашнее задание: решить тест противоположного варианта.
Анализ уроков по теме «Полные квадратные уравнения»
Так как на втором этапе внимание уделяется на решение полныхквадратных уравнений, автором были разработаны и апробированы различные по формеуроки по данной теме.
При изучении нового материала был использован урок — программирование.Урок изучения нового материала начинается с организационного момента. Все учащиесябыли хорошо подготовлены к уроку. При изучении темы была связь предыдущего материалас новым. На данном уроке каждый ученик получил карточку с текстом, где учащиесясами должны были заполнить текст, найти пути решения полных квадратных уравнений.Данный урок был полезным для учащихся, каждый из них старался находить различныепути решения, все учащиеся были вовлечены в работу. Данный урок смог заинтересоватьучащихся, что способствовало лучшему усвоению темы.
Для закрепления темы по решению полных квадратных уравнений былапроведена «Математическая эстафета», с целью: закрепить умение решатьполные квадратные уравнения, также решать различные задания, решающиеся с помощьюквадратного уравнения. Урок начался с организационного момента. Класс делился надве команды, выбрали капитанов. Учащиеся двух команд на каждом этапе получали одинаковоеколичество заданий. Решив уравнения одной сложности, команда получала задание другойсложности. В игру включались все учащиеся. Всем данный урок очень понравился, таккак такой урок проводился впервые. Они были заинтересованы и задания выполняли беззатруднений и подсказок учителя. Победила та команда, которая первой прошла всеэтапы. В конце урока жюри подводила итоги. Ученики той команды, которая набралабольшее количество баллов, получили отметку «5». Команда, которая набраламеньшее количество — отметка «4».
Также по теме «Полные квадратные уравнения» авторомбыл разработан тест, который состоял из 10 вопросов. Тест решали 12 человек. И получилисьследующие результаты:Отметка Количество человек % «5» 9 75 «4» 3 25 «3» - -
/>
Таким образом, тест показал высокий уровень знаний теоретическогои практического материала учащихся. Проведенные автором уроки повлияли на успеваемостьположительно. Учащиеся знают алгоритм решения полного квадратного уравнения, умеютнаходить дискриминант и корни квадратного уравнения. Было видно, что ученики понялитему. Задания выполняли быстро без ошибок, объясняя каждый момент решения (Приложение4).
2.3 Разработка уроков по теме «Приведенные квадратныеуравнении
Урок — презентация по теме „Приведенные квадратные уравнения
Тип урока: изучение новой темы.
Цели: повторить понятие квадратного уравнения; ввести понятиеприведенного квадратного уравнения; формировать умение распознавать квадратные уравненияи приводить к ним.
Ход урока:
Организационный момент.
Актуализация знаний.
2.1. Устный счет. 4,8: 2 2,4 3 — 0,4 2,6 1,4 + 4,9 6,3 + 0,8 3,2 : 0,13 20 : 3 2,1 : 0,4 8 : 0,1 200 + 5,9 8
/>0,2 1,8 : 0,2 1000 : 20 0,4
2.2. Устный опрос.
Какие уравненияназываются квадратными? (Квадратное уравнение />, /> a — старший коэффициент;b— второй коэффициент; c— свободный коэффициент (свободный член уравнения)).
Чему равен дискриминантквадратного уравнения?
Как найти корниполного квадратного уравнения?
Какие уравненияназываются неполными?
Сколько корнейимеет полное квадратное уравнение, если
а) D = 0; D
б) D > 0
/>
/>
Сообщение темыи цели урока.
Объяснение новогоматериала.
Далее учительобъясняет новую тему.
/>
Приведенное квадратноеуравнение/>получается из квадратного уравнения по схеме:
/>
(Ученики делаютзаписи в тетрадь)
Например, приведеннымиквадратными уравнениями являются уравнения:
/>
Таким образом,приведенное квадратное уравнение можно рассматривать как частный случай полногоквадратного уравнения />, где а = 1, b = p, c = q. Дискриминант уравнения/>равен: D = b/>
/>
/>
/>
Обычно в случаеприведенного уравнения вместо дискриминанта D рассматривается выражение />. При этом формулу корней приведенного уравнения записывают так:/>.
5. Закрепление.
5.1 Решите уравнение:
1) /> (учитель решает у доски, учащиеся в тетрадях).
2) /> (1 ученик у доски, остальные в тетрадях).
3) />; /> (самостоятельно).
6. Итог урока.
Какие уравненияназываются неполными, полными, приведенными?
Приведите примерынеполных, полных, приведенных квадратных уравнений.
Чем они отличаются?
7. Домашнеезадание: теория, решитьуравнения:
/>
Урок — практикумпо теме “Решениеквадратных и приведенных квадратных уравнений»
Цели урока: отработка общих умений и навыков прирешении квадратных уравнений; развитие внимания, навыков самоконтроля и самооценки.
Оборудование:карточки для самостоятельнойработы, портрет ученого.
Ход урока:
1. Организационныймомент (1 мин)
2. Сообщение темыи цели — повторим, то, что необходимо знать при решении квадратных уравнений; проверимсвои умения решать квадратные уравнения в самостоятельной работе.
3. Разминка (6 мин)
3.1 Игра«Заполни квадрат». (Упражнение на развитие памяти и внимания). За 10 секундзапомнить, что записано в клетках квадрата, и записать в свой квадрат. А Р У Е Н В Е И Н
Расшифруйте слово. Зашифровано слово «УРАВНЕНИЕ»
3.2 Историческая справка. Простые уравнения люди научились решатьболее трех тысяч лет назад в Древнем Египте, Вавилоне и только 4000 лет назад научилисьрешать квадратные уравнения. Одним из тех, кто внес большой вклад в развитие математики,был французский математик Виет. Имя этого математика нам скоро встретится.
4. Повторение (фронтальный опрос 6 мин)
4.1 Вычислите:
а) — 4*1* (-4), — 4*2*5, — 5*6*4;
б) (-10) 2, 32, (-7) 2
Это нужно уметь при нахождении дискриминанта D.
4.2 Игра «Срочная радиограмма». Класс делится на двекоманды: девочки — мальчики. В двух конвертах — отдельные слова. Задача: составитьодно математическое предложение из имеющихся слов. Трудность состоит в том, чтоодного слова не хватает.
«Если ДИСКРИМИНАНТ больше нуля, то уравнение имеет два различныхкорня»;
«Если квадратное уравнение записано в СТАНДАРТНОМ виде,то можно находить дискриминант».
5. Тестовые вопросы (5 мин)
На доске 8 квадратных уравнений. Эти задания на слух, повторяютсятолько два раза. Залог успеха — огромное внимание.
1. 2х2 — 8х +4 = 0; 5.5х2+ 6х = 0;
2. 3х2 + 4х — 1 = 0;
3. 6. х2 — 8х + 12 = 0;
4. 4х2 — 8 = 0; 7.3х2 = 0;
5. х2 — 10х + 100 = 0; 8.14 — 2х2 + х = 0
а) Выпишите номера полных квадратов уравнений.
б) Выпишите коэффициенты а, b,c в уравнении 8.
в) Выпишите номер неполного квадратного уравнения, имеющего одинкорень.
г) Выпишите коэффициенты a, b, c в уравнении 5.
д) Найдите дискриминант в уравнении 6.
е) Найдите дискриминант в уравнении 4 и сделайтевывод о количестве корней.
Проверяем, оцениваем себя сами:
нет ошибок — «5»
1 — 2 ошибки — «4»
3 — 4 ошибки — «3»
6. Игра " Следствие ведут знатоки " (10 мин)
Прежде чем доверить расследование серьезного дела, необходимопройти проверку.
а) Сможете ли вы отыскать ошибку в решении уравнения?
/> - х2+ 6х + 16 = 0, х2 — 6х + 16 = 0,a = 1, b = — 6,c = — 16.
D = b2 — 4ac =( — 6) 2 — 4 * 1 * ( — 16) = 36 +64 = 100
Ошибку ищем по этапам, с самого начала. Ошибка: — 16, отсюдадискриминант равен 38.
7. Самостоятельная работа (12 мин)
Выполнив самостоятельную работу, узнаете, можете ли вы решатьквадратные уравнения без ошибок.
Первые два уравнения можно проверить (решения на оборотной сторонедоски).
1. х2 + 2х — 25 = 0.
2. 9х2 — 6х + 1 = 0.
3. 3х2 + 8х — 3 = 0.
8. Подведение итогов урока.
Обобщающий урок по теме «Квадратные уравнения» вформе игры «Звездный час»
Цели урока:
· закрепить практические и теоретические знания и умения учащихся привыполнении заданий по теме «Квадратные уравнения»;
· развивать самостоятельность, активность, внимание;
· воспитывать интерес к предмету.
Оборудование: звездочки, таблицы с цифрами.
Ходурока:
1.Организация класса
а) Приветствие
б) Проверкаготовности рабочих мест
2.Сообщение темы и цели урока
Сегодняу нас особенный урок, мы проведем с вами «Звездный час» по теме«Квадратные уравнения», тем самым еще раз проверим свои знания и умения.
3.Закрепление материала
3.1 Знакомствос правилами игры.
Итак,представим, что мы с вами в студии. Вы игроки, а я ведущая. У вас у каждого на партахлежат таблички с цифрами от 1 до 5.1 2 3 4 5 /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
Итак,послушайте условия игры.
Я будузадавать всем вопросы, а соответственно поднимать табличку с тем номером, которыйсоответствует правильному ответу. А так же у каждого из вас лежат на партах листочки.За каждый правильный ответ, когда я вам скажу, вы будете на нем чертить звездочку.А в конце игры мы их подсчитаем и оценим работу каждого из вас.
3.2 Проведениеигры.
Итак,начинаем игру. Сейчас мы будем работать с вами по 1 таблице
Таблица№11 2 3 4 5
/>
/>
/>
Д = />
/>
Итак,сверху вы видите номера ответов, а под ними соответствующие ответы. Я задаю вопрос,вы 5 секунд, думаете и поднимаете таблички с правильными ответами.
1. Какой вид имеет квадратное уравнение.
2. Назовите формулы корней квадратного уравнения.
3. Назовите неполное квадратное уравнение.
4. Назовите, чему равен дискриминант квадратного уравнения.
Хорошос этим заданием вы справились хорошо, почти все учащиеся поднимали таблички с правильнымиответами. А кто ошибался, он еще раз увидел правильные формулы и надеюсь, так жедоучит материал.
А теперьмы все переходим во второй тур. Во втором туре мы выясним знание правил по даннойтеме. Работать будем со второй таблицей.
Таблица№21 2 3 4 5 Теорема обратная теореме Виета Квадратное уравнение Теорема Виета Неполное квадратное уравнение Приводимое квадратное уравнение
Я будуговорить вам правило, а вы поднимайте соответствующую карточку.
1) Суммакорней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому спротивоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Верно,следующий вопрос, слушайте и поднимайте таблички.
2) Еслив квадратном уравнении /> хотя бы один из коэффициентов вили с равен нулю, то такое уравнение называется….
Верно,приведите пример квадратного уравнения.
3) Уравнениевида />, гдех переменная, а, в, с — некоторые числа, причем, а ¹ 0 называется….
Верно,приведите пример квадратного уравнения
4) Если для чисел x1, x2, p, q справедливыформулы
/>
x1 + x2 = — p,
x1 x2 = q,
то x1 и x2 — корни уравнения х2 + px + q = 0.
Верно,скажите, сколько корней имеет неполное квадратное уравнение каждого вида.
Молодцы.
5) Какназываются полные квадратные уравнения, у которых все три коэффициента отличны отнуля и в которых первый коэффициент равен 1.
Хорошои с этим заданием вы справились.
4. III тур. Самостоятельная работа.
Вам вэтом туре необходимо решить квадратные уравнения, которые написаны на доске. (7мин)
1. х2 — 2х — 10 = 0.
4. 9х2 + 12х + 4 = 0.
5. 3х2 — х +10 = 0.
6. х2 — 3х — 4 = 0.
Вы самостоятельнорешаете эти уравнения в тетради, а потом мы проверим (диктую ответы, дети сами проверяют).
Хорошодавайте проверим.
Итак,ребята, если вы правильно решили все 4 уравнения, то получите 4 звездочки; если3, то 3 звездочки; если 2, то 2 звездочки; если 1, то 1 звездочку.
5.Подведение итогов
Итак,вот и подходит к концу наша игра. В ходе игры мы повторили теоретический и практическийматериал, и теперь мы можем подвести итог игры. Подсчитайте свои звездочки.
Кто набралот 20 до 25 звезд, получают «5»
Кто набралот 20 до 15 звезд, получают «4»
Кто набрал15 звезд и меньше, получают «3»
Контрольная работа по теме «Квадратные уравнения»
Цели урока: проверить знания и умения решения учеников потеме «Квадратные уравнения».
Оборудование: карточки с заданиями.
Ход урока:
1. Организационный момент
2. Сообщение темы и цели урока.
3. Работа по теме урока.
Вариант I
1. Имеет ли корни уравнение:
а) />;
б) />?
2. Решите уравнение:
а) />;
б) />;
в) />;
г) />;
3. Сократите дробь />.
4. Один из корней уравнения /> равен 5. Найдите другой корень и коэффициент/>.
5. Площадь квадрата на 8см2 меньше площади прямоугольника. Сторонаквадрата в три раза меньше одной стороны прямоугольника и на 2 см больше второй его стороны. Найдите длину стороны квадрата.
6. Поезд должен был пройти 840 км в определенное время. На половине пути онбыл задержан на 30 мин из-за технической неисправности. Чтобы прибыть во время,ему пришлось увеличить скорость на 2 км/ч. Сколько времени поезд находился в пути?
Вариант II
1. Имеет ли корни уравнение:
а) />;
б) />?
2. Решите уравнение:
а) />;
б) />;
в) />;
г) />;
3. Сократите дробь
/>.
4. Один из корней уравнения /> равен 12. Найдите другой корень икоэффициент />.
5. Периметр прямоугольника равен 32 см, а его площадь равна 60см2. Найдите длину меньшей стороны прямоугольника.
6. Из города А в город В выехали велосипедист и мотоциклист. Скорость велосипедистана 10 км/ч меньше скорости мотоциклиста, поэтому он затратил на весь путь на 6 чбольше. С какой скоростью ехал мотоциклист, если расстояние между городами 120 км?
4. Подведение итогов.
Анализ уроков по теме «Приведенные квадратные уравнения»
При проведении уроков по теме «Приведенные квадратные уравнения»были использованы: при изучении новой темы — урок — презентация, т.е. на уроке использовалсямультимедийный проектор. Урок начался с повторения ранее изученного материала. Ученикибыли активны и заинтересованы, т.к. такие уроки проводятся в школе очень редко.При закреплении и повторении был разработан урок — практикум, с использованием игровыхмоментов. Здесь даже пассивные, несмелые дети активно включались в работу, применяяна практике свои знания и умения. Особенно учащимся нравились задания, в которыхнадо исправить ошибки. В ходе игры выяснилось, что ученики хорошо различают квадратныеуравнения. При выполнении практического задания трудностей не возникло.
Также автором разработан и проведен обобщающий урок по всей темев форме игры «Звездный час», целью которого являются: закрепить практическиеи теоретические знания и умения, учащихся при выполнении заданий по теме «Квадратныеуравнения»; развивать самостоятельность, активность и внимание. И можно сделатьвывод о том, что учащиеся теорию знают хорошо и умеют ее применять на практике.
В конце изучения темы «Квадратные уравнения» была проведенакомплексная контрольная работа. После проверки контрольной работы получились следующиерезультаты:Оценка Количество человек % «5» 4 33 «4» 5 42 «3» 3 25
/>
Контрольная работа показала средний уровень знаний по даннойтеме (Приложение 5).
/>
Сравнив результаты трех этапов, можно увидеть, что на первоми третьем этапах преобладающей отметкой является «5», результаты показаливысокий уровень знаний. А на третьем этапе уровень знаний хуже, чем в предыдущихэтапах. Этому повлияло то, что контрольная работа была комплексная, где включалисьрешения квадратных уравнений различных видов. По результатам контрольной работывидно, что учащиеся умеют:
· решать неполные квадратные уравнения;
· решать полные квадратные уравнения;
· умеют использовать формулы для решения квадратных уравнений;
· решать приведенные квадратные уравнения;
· умеют находить ошибки в решенных уравнениях и исправлять их;
· делать проверку.
Также контрольная работа выявила недочеты в работе по определенныммоментам, и определил пути их устранения. В связи с этим рекомендуется провестиопределенную работу по отработке и коррекции знаний учащихся, и обратить вниманиена некоторые ее моменты, а именно:
· закрепить умения в решении задач;
· устранить пробелы в знаниях по теме «Сложение и вычитание отрицательныхчисел»;
· развивать вычислительные навыки.
Таким образом, проведенный в 8 классе комплекс уроков показал,что использование разных форм уроков способствует лучшему усвоению решения квадратныхуравнений разного вида.
Заключение
Материал, связанный с уравнениями, составляет значительную частьшкольного курса математики. На изучение темы «Квадратные уравнения» попрограмме дается всего 16 ч. В процессе выполнения данной работы были созданы конспектыуроков с использованием разнообразных форм уроков именно по теме «Квадратныеуравнения».
При применении их в образовательный процесс были достигнуты достаточновысокие результаты обучения. Ученики 8 класса показали достаточно высокие результатыпри выполнении самостоятельных и контрольных работ. На уроках учащиеся были заинтересованнымии активными.
Задачи, которые были поставлены в начале работы, решены: изученаметодическая литература по данной теме; созданы и апробированы на практике конспектыуроков, проанализированы результаты применения его на практике, цель достигнута.
Гипотеза, которая была поставлена в начале работы, нашла своёподтверждение, то есть автором в данной работе было доказано, что при использованииразнообразных форм уроков при изучении темы «Квадратные уравнения», повыситсяуспеваемость учащихся и поэтому существует необходимость применения на уроках алгебры.
При выполнении данной работы понадобились не только те знания,которые имеются у самого автора, но и необходимая работа с дополнительной литературой,составление конспектов уроков.
Данную выпускную квалификационную работу можно использовать впедагогической деятельности, она может стать методическим пособием для студентовКунгурского педагогического училища, как при подготовке докладов, сообщений на этутему, так и при проведении пробных уроков или преддипломной практики. А также еюмогут воспользоваться учителя математики, преподающие в средней школе, которые стремятсявызвать интерес к урокам математики.
Литература
1. Алимов, Ш.А. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений /Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. — 10-е изд. — М.: Просвещение, 2003.
2. Бантова, М.А. Методика преподавания математики в начальных классах/Бантова М.А., Бельтюкова А.М. и др. Ё Учеб. пособие для учащихся школьных отд-нийпед. училищ. Изд.2-е. — М.: Просвещение, 1998.
3. Башмаков, М.И. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений/М.И. Башмаков. — М.: Просвещение, 2004.
4. Бекаревич, А.Б. Уравнения в школьном курсе математики/ А.Б. Бекаревич.- М., 1968.
5. Бурмистрова, Т.А. Программы общеобразовательных учреждений/ Т.А. Бурмистрова.- М.: Просвещение, 1994.
6. Глейзер, Г.И. История математики в школе VII- VIII классы/ Г.И. Глейзер. — М.,1997.
7. Зильзерберг, Н.И. Урок математики: Подготовка и проведение/ Н.И. Зильзерберг.- М., 2002.
8. Иванова, Т.А. Как подготовить уроки — практикумы/ Т.А. Иванова/ Математикав школе. — 2001.
9. Колягин, Ю.М. Методика преподавания математике в средней школе/ Ю.М.Колягин. — М.: Просвещение, 2001.
10. Кузнецова, Г.М. Программы для общеобразоват. Школ, гимназий, лицеев:Математика 5-11 кл. / Г.М. Кузнецова. — М.: Дрофа, 2002.
11. Лягущенко, Е.И. Методика обучения математике в 5 кл. / Е.И. Лягущенко.- Минск, 2001.
12. Маркушевич, Л.А. Уравнения и неравенства в заключительном повторениикурса алгебры средней школы / Л.А. Маркушевич, Р.С. Черкасов. / Математика в школе.- 2004. — №1.
13. Мордкович, А.Г. Алгебра 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений/А.Г. Мордкович. — М.: Мнемозина, 2003.
14. Мордкович, А.Г. Алгебра.8 кл.: Метод. пособие для учителя/ А.Г. Мордкович.- М.: Мнемозина, 1999.
15. Мишин, В.И. Методика преподавания математики в средней школе/ В.И.Мишин. — М., 2201.
16. Никольский, С.М. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ С.М. Никольский, М.К. Потапов и др. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 2003.
17. Оганесян, В.А. Методика преподавания математики в средней школе/ В.А.Оганесян. — М.: Просвещение, 2000.
18. Сабинина, Л.В. Методика в понятиях и терминах. Ч.1. /Л.В. Сабинина.- М.: Просвещение, 1998.
19. Саранцев, Г.И. Методика обучения математике в средней в школе/ Г.И.Саранцев. — М., 2002.
20. Стефанова, Н.Л. Методика и технология обучения математике. Курс лекций:пособие для вузов/ Н.Л. Стефанова. — М.: Дрофа, 2005.
21. Столяр, А.А. Общая методика преподавания математики/ А.А. Столяр.- М., 1999.
22. Темербекова, А.А. Методика преподавания математики: Учеб. пособиедля студ. высш. Учеб. Заведений/ А.А. Темербекова. — М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС,2003.
23. Шаталова, С. Способы решения квадратных уравнений / С. Шаталова// Математика в школе. — 2004. — №42.