Содержание
Введение
1. Научно-исследовательская работа школьников в РБ. Формы исодержание
1.1 О научно-исследовательской работе школьников в РБ
1.2 Республиканская летняя научно-исследовательская школаучащихся и учителей
1.3 Турнир юных математиков
1.4 Научно-исследовательские конференции и семинары
2. Методы и приемы научно-исследовательской работышкольников
2.1 Неполная индукция
2.2 Обобщение
2.3 Аналогия
2.4 Специализация
3. Пример задачи исследовательского характера дляшкольников
3.1 Пример 1: неприводимые многочлены
3.2 Пример 2: волнистые числа
Заключение
Список используемой литературы
Приложение 1
1.1 Старшая группа (9-11 классы)
1.2 Средняя группа (6-8 классы)
1.3 Младшая группа (2-5 классы)
1.4 Дополнительные вопросы
/>Введение
Исследование — универсальный способ познаниядействительности, который помогает развитию личности в динамично изменяющемсямире. Руководство научно-исследовательской деятельностью школьников — одно из направленийв работе современного учителя. Организация данного вида деятельности опираетсяна ряд условий. И главным из них можно считать наличие у педагога и учащегосяобщей точки соприкосновения в какой-либо области, интересной для исследования. Именноотсутствие этого общего интереса делает многие темы научной работыбесперспективными.
Исследовательская и проектная деятельность учащихся являетсярезультативным способом достижения одной из важнейших целей образования: научитьдетей самостоятельно мыслить, ставить и решать проблемы, привлекая знания из разныхобластей; уметь прогнозировать вариативность результатов.
Организация и дальнейшее развитие научно-исследовательскойработы школьников — одна из основных форм творческой работы с молодежью. Онатребует применения современных информационных технологий, обеспечивающих доступк необходимым профильным базам, банкам данных, источникам информации по темеисследования.
Как показывает опыт, метод проектов и деятельностный подходк обучению как нельзя лучше решают задачи новой школы. Раннее приобщение детейк научно-исследовательской и поисковой деятельности позволяет наиболее полноопределять и развивать интеллектуальные и творческие способности, причем не тольков старшей школе, но и в начальной. Исследовательская работа обучающихся каксамостоятельный вид учебной деятельности осуществляется на всех уровняхобразовательной системы в разном объёме.
Сейчас в РБ сложилась и успешно действует практиканаучно-практических конференций, на которых юные исследователи выступают с сообщениямиоб исследованиях, выполненных самостоятельно или под руководством школьныхучителей, преподавателей вузов, научных сотрудников институтов. Подобныемероприятия не замыкаются в рамках страны, а выходят международный уровень.
Цель данной работы — создать т. н. пособие для учителей истудентов, желающих заниматься данным видом творческой работы со школьниками.
Исследовательская деятельность учащихся во многихучреждениях становится средством интеграции образовательных программ общегосреднего и дополнительного образования. Это позволяет объединять преимущества,свойственные образовательным программам этих двух типов: ориентированностьобщего среднего образования на выполнение государственного и социального заказаобщества на воспроизводство профессионально-кадрового потенциала и направленностьдополнительного образования на свободный выбор ребенком и его семьей видов и формдеятельности, формирование его собственных представлений о мире, развитиипознавательной мотивации, способностей и склонностей.
Работа состоит из 3 разделов. В первом разделе идет речь оформах и содержании научно-исследовательской работы школьников в РБ, приведеныпримеры (Республиканская летняя научно-исследовательская школа учащихся иучителей, турнир юных математиков). Второй раздел посвящен методам и приемамнаучно-исследовательской деятельности школьников, а именно: неполная индукция,обобщение, аналогия, специализация. В третьем разделе представлены примерызадач исследовательского характера.
/>1. Научно-исследовательскаяработа школьников в РБ. Формы и содержание
1.1 О научно-исследовательской работе школьников вРБ
Научно-исследовательской работой школьника в РБ активнозанимаются сотрудники факультета прикладной математики и информатики БГУ. Главнаяцель такой работы — создание и поддержка такой единой, непрерывной системыобразования, ориентированной на математику и информатику, которая, вовлекая всферу своей деятельности любого увлеченного школьника (см. ниже):
• помогает ему определить свои склонности (и способности) длявыбора своей будущей деятельности;
• предоставляет ему все условия для развития своихспособностей, укрепления и углубления знаний и навыков в выбранном (ых) предмете(ах) на всех этапах обучения;
• сводит к минимуму негативные факторы (если таковые будутпри этом существовать) при переходе из школы в вуз, обеспечивает дополнительноеобучение студентов на младших курсах;
• ускоряет процесс формирования из него будущего ученого илиспециалиста-профессионала самой высокой квалификации.
Научно-исследовательская работа со школьниками ведется по 4основным этапам:
1-й этап: вовлечение и определение склонностей (5-9классы);
2-й этап: создание условий для развития способностейи углубления и укрепления знаний (5-11 классы — 1-2 курсы);
3-й этап: переход: школа-вуз и дополнительноеобразование на младших курсах (10-11 классы — 1-2 курс);
4-й этап: завершение образования и получение высшейквалификации (3-5 курсы, аспирантура, последипломное образование (переподготовка,повышение квалификации).
Основные принципы научно-исследовательской работы в РБ:
Круглогодичность (цикличность);
Непрерывность;
Дополнительность (сочетание общего образования с различными формамидополнительного обучения);
Пролонгированность (продолжение дополнительного обучения исохранение основных принципов его после школы на младших курсах вуза и далее,вплоть до обучения в аспирантуре и т.п.);
Преемственность.
В научно-исследовательской работе со школьниками имеет место:сочетание классических методов обучения с современными, использованиесовременных обучающих и тестирующих программ (в том числе, создание собственных),использование возможностей Интернет-технологий.
Основными формами проведения научно-исследовательской работыв РБ являются:
Республиканская летняя научно-исследовательская школа учащихсяи учителей;
Турнир юных математиков;
Научно-исследовательские конференции и семинары.
Теперь поподробнее о каждой из них.
1.2 Республиканская летняя научно-исследовательскаяшкола учащихся и учителей
Республиканская летняя научно-исследовательская школаучащихся и учителей (далее — летняя научно-исследовательская школа) — сменалетнего профильного оздоровительного лагеря — проводится Белорусскимгосударственным университетом под эгидой Министерства образования РеспубликиБеларусь на базе сезонно-оздоровительного лагеря.
Цели и задачи:
Основными целями летней научно-исследовательской школыявляются выявление одаренных школьников, обладающих нестандартным творческиммышлением, склонных к творческой и исследовательской работе, поддержка идальнейшее развитие таких школьников.
Задачами летней научно-исследовательской школы являются:
развитие у учащихся интереса к творческой инаучно-исследовательской деятельности;
вовлечение в учебную научно-исследовательскую работуталантливых школьников, выявление и отбор школьников, способных кнаучно-исследовательской деятельности и дополнительная работа с ними;
развитие форм и методов дополнительной работы с талантливымишкольниками;
стимулирование деятельности педагогических коллективов поразвитию способностей одаренных учащихся;
создание ситуации индивидуально ориентированного обучениячерез непосредственное общение и сотрудничество (вплоть до работы в составеодной исследовательской группы) ученых, учителей, студентов и школьников;
гармоничное сочетание учебно-научной и воспитательной работыс активным отдыхом и оздоровлением;
стимулирование школьников к продолжению исследований повыбранным темам в течение учебного года и представлению своих результатов нареспубликанскую конференцию школьников, активизация деятельности учителей вразличных направлениях и формах учебно-исследовательской деятельности учащихся,привлечение к такой деятельности представителей высших учебных заведений иинститутов Национальной Академии наук Беларуси;
реализация идеи непрерывного образования путем подготовкиодаренных учащихся для продолжения обучения в учреждениях, обеспечивающихполучение высшего образования.
Летняя научно-исследовательская школа проводится ежегодно втечение одной из летних смен СОЛ, как правило, в июле текущего года. Участникамилетней научно-исследовательской школы могут быть учащиеся учреждений образования,обеспечивающих получение общего среднего образования. Отбор учащихся дляучастия в работе школы осуществляется на основе заявок учреждений образования,обеспечивающих получение общего среднего образования республики (средних школ,лицеев, гимназий и др. учебных заведений), с учетом активности и/или успешностиучастия школьников в различных мероприятиях научно-исследовательского иолимпиадно-конкурсного характера в течение учебного года.
Для организации и проведения летней научно-исследовательскойшколы из числа представителей Министерства образования Республики Беларусь,Белорусского государственного университета, других учреждений образования ииных организаций, осуществляющих образовательную или научную деятельность,формируется организационный комитет (далее — оргкомитет). Персональный составоргкомитета ежегодно утверждается приказом БГУ.
Оргкомитет осуществляет весь комплекс мероприятий поорганизации и проведению летней научно-исследовательской школы:
публикует в республиканской периодической печатиинформационные сообщения о проведении летней научно-исследовательской школы,
формирует состав участников летней научно-исследовательскойшколы,
разрабатывает и утверждает программу работы летнейнаучно-исследовательской школы,
утверждает расписание занятий в летнейнаучно-исследовательской школе (до четырех академических часов учебных инаучных семинаров ежедневно),
обеспечивает проведение учебной и научно-исследовательскойработы со школьниками, студентами и учителями в летней научно-исследовательскойшколе, а также организацию культурно-оздоровительных мероприятий,
проводит оповещение педагогической общественности о работепрошедшей летней научно-исследовательской школы и ее итогах.
Все решения оргкомитета принимаются на заседаниях иоформляются протоколами. Решение оргкомитета считается принятым, если за негопроголосовало более половины присутствующих на заседании членов оргкомитета.
Основными формами учебно-научной работы в летнейнаучно-исследовательской школе являются:
разработка исследовательских задач — индивидуально или всоставе творческой группы (проводится, как правило, в виде научных семинаровили в виде выполнения индивидуальной научно-исследовательской работы подруководством преподавателей и студентов, имеющих опыт руководства школьнойнаучно-исследовательской работой);
обсуждение методологии и промежуточных результатовисследований на семинарах, круглых столах и т.п.;
организация спецкурсов, семинаров, кружков по дополнительнымтемам математики, физики, астрономии, информатики и т.д.
выступление перед участниками школы ведущих ученыхреспублики;
научная конференция, по результатам которой определяютсялучшие работы, выполненные во время работы школы, делаются рекомендации подальнейшему проведению исследований, публикации материалов и т.д.
/>1.3 Турнир юныхматематиков
Турнир юных математиков — командные соревнования учащихся вумении решать исследовательские задачи, убедительно представлять полученныерезультаты и аргументировано отстаивать свою точку зрения в публичныхдискуссиях.
Основные цели турнира состоят в привлечении учащихся кисследовательской работе и привитии им навыков проведения научных исследований,представления и защиты своих результатов, ведения научной дискуссии. Задачамитурнира являются:
популяризация новых форм работы с талантливой молодежью;
развитие и укрепление контактов между учреждениямиобразования, способными учащимися, учителями, преподавателями вузов и ученымиреспублики и других стран;
обмен опытом в сфере дополнительного образования, изучение ииспользование лучших форм и методов внеклассного обучения, апробированного ииспользуемого в различных странах;
привлечение ведущих ученых и преподавателей вузов кдополнительному образованию учащихся, предоставление талантливым школьникамблагоприятных возможностей для общения с ними и получения советов иконсультаций профессионального и профориентационного характера.
Организацию и проведение турнира осуществляеторганизационный комитет (далее — оргкомитет). Состав оргкомитета утверждаетсяМинистерством образования. Оргкомитет определяет и утверждает составспециального жюри, обеспечивающего подготовку заданий, отбор команд, судействои правильность ведения соревнований.
Информационное сообщение о проведении турнира и условиязаданий публикуются в республиканской периодической печати не менее чем за двамесяца до начала турнира.
К участию в турнире юных математиков допускаются командыучащихся старших классов общеобразовательных учреждений, а также учащихсяпрофессионально-технических или средних специальных учреждений образования. Кромекоманд-участниц на турнир могут приглашаться наблюдатели.
Команда — участник турнира может либо представлять одноучреждение образования, либо быть сборной города, района или нескольких учрежденийобразования. Не допускается участие в турнире двух и более команд от одногоучреждения образования, а также включение учащихся одного учрежденияобразования в две и более команд.
В состав команды может входить не более шести учащихся. Командувозглавляет капитан, назначаемый из числа участников команды. Каждая командадолжна сопровождаться руководителем, который является официальнымпредставителем соответствующего учреждения образования на турнире и несетответственность за все действия команды во время проведения турнира.
Общий порядок проведения турнира зависит от числаучаствующих команд. При наличии не менее 9 команд, он определяется следующим расписанием:1-й день
Конкретные
даты см. в
Приложении В Открытие турнира и жеребьевка отборочных боев первого тура См. пп.8,16 2-й день Письменный (нулевой) тур См. п.10 3-й день
Отборочные бои первого тура См. пп.8,11,13 4-й день
Отборочные бои второго тура См. пп.8,11,13 5-й день
Финальные бои (основной и малый финалы) См. пп.8,11,14
Закрытие турнира
Для планирования турнира и разрешения спорных ситуаций,возникающих при его проведении, используется корректируемый рейтинг команд.
Рейтинг каждой команды — это величина, аккумулирующаярезультаты, полученные командой в ходе турнира, и призванная отражать ееотносительную силу в ряду других участников. Он вычисляется по следующимправилам:
На основе рассмотрения предварительных материалов (см. п.4) каждаякоманда получает свой предварительный рейтингRпредв,который определяется следующим образом: суммируются баллы команды за всерешения (находится сумма баллов команды Sком),после этого по суммарным баллам всех команд, приглашенных на турнир,вычисляется средний балл Sср ипредварительный рейтинг каждой команды
Rпредв = 0,5·Sком/Sср.
После проведения письменного (нулевого) тура происходиткорректировка рейтингов команд. Для этого определяется приращение рейтингакаждой команды за нулевой тур R0,равный отношению суммы баллов команды к среднему баллу всех команд, набранных вписьменном туре. Скорректированный рейтинг команды равен:
R: = Rпредв + R0.
После подведения итогов боя для каждой команды,участвовавшей в нем, производится корректировка текущего рейтинга. Для этого поитоговым суммам баллов всех команд (Sк,см. п. 20.2) находится средний итоговый балл команд в этом бою Sбояи приращение рейтинга каждой команды,равное отношению Sк/Sбоя. Приращения рейтингов команд, полученныеими в отборочных боях первого и второго тура и в финальных боях, обозначаютсясоответственно: R1, R2, Rф.Скорректированные рейтинги, которые становятся после пересчета текущими,вычисляются по правилам:
после отборочных боев первого тура:
R: = Rпредв + R0+ R1,после отборочных боеввторого тура:
R:= Rпредв + R0+ R1 + R2,послефинальных боев (основного и малого финала):
R: = Rпредв + R0+ R1 + R2+ Rф.
Победителями турнира юных математиков (первое, второе итретье место) признаются команды, занявшие соответствующие места в финальномбое. Победители турнира награждаются дипломами Министерства образованиясоответствующих степеней.
Победителям малого финала (командам, занявшим в малом финалепервое, второе и третье места) присуждаются соответствующие места,непосредственно следующие за местами команд — участников основного финала. Победителималого финала награждаются грамотами специального жюри.
Кроме этого, отдельные команды и участники могут бытьотмечены поощрительными свидетельствами или похвальными отзывами.
Математический бой — главная составная часть турнира юныхматематиков. Под математическим боем понимается организованная дискуссиянескольких команд, в которой каждая участвующая команда поочередно выступает вкачестве докладчика своих результатов, оппонента по выступлению докладывавшейкоманды и рецензента, оценивающего качество дискуссии двух других команд.
Команды, участвующие в математическом бое, называютсяучастниками боя. Как правило, число команд-участников боя три или четыре (висключительных случаях возможно участие пяти или шести команд в одном бое, см. пп.7и 8). Все участники боя образуют состав боя.
Математический бой состоит из нескольких раундов, в каждомиз которых обсуждается одна задача, отличная от задач других раундов. Количествораундов совпадает с числом команд, участвующих в этом бое. В каждом раундекоманда-участник исполняет только одну из ролей: Докладчика (Д), Оппонента (О),Рецензента (Р) или Наблюдателя (Н1, Н2 или Н3) (см. п. 19). Оппонент, Рецензенти Наблюдатели называются оппонирующими командами (участниками). Смена ролейкоманд в последовательных раундах определяется циклической перестановкой в ряду«Д, Н3, Н2, Н1, Р, О». В наиболее полном случае шестикомандного бояэта смена определяется следующей таблицей:
Раунд → 1 2 3 4 5 6 Команда 1 Д Н3 Н2 Н1 Р О Команда 2 О Д Н3 Н2 Н1 Р Команда 3 Р О Д Н3 Н2 Н1 Команда 4 Н1 Р О Д Н3 Н2 Команда 5 Н2 Н1 Р О Д Н3 Команда 6 Н3 Н2 Н1 Р О Д
Первое место в математическом бое присуждается команде,имеющей наибольшую итоговую сумму баллов за бой. Последующие места присуждаютсякомандам с меньшими итоговыми суммами баллов в порядке убывания.
Если расхождение итоговых сумм баллов двух или более командневелико, должна быть вычислена относительная разность итоговых баллов этих команд,равная разности их баллов, выраженной в процентах от наибольшей итоговой суммыбаллов в этом бое. Если относительная разность итоговых баллов команд непревосходит 5%, им присуждается одинаковое место в бое.
Если первое место в бою присуждено только одной команде, тотакое первое место называется единоличным, а команда, занявшая его, считаетсяодержавшей в этом бою чистую победу.
/>1.4 Научно-исследовательскиеконференции и семинары
Также большую роль в научно-исследовательской работешкольников играют научно-исследовательские конференции и семинары. Их основнаяцель — установление научного сотрудничества, поиск путей для взаимовыгоднойисследовательской деятельности между учеными и преподавателями различныхкафедр, с одной стороны, и старшеклассниками, с другой.
Практическая задача семинаров и конференций, направлена наосуществление основной цели, — изучение дополнительных тем математики,проведение исследовательской работы в специальных группах (секциях,минисеминарах) по конкретным научным проблемам или задачам исследовательскогохарактера, с вынесением важнейших достижений, результатов, а также возникающихновых проблем на общий постоянно действующий семинар, а затем на конференцииразличного уровня (от школьных до международных).
/>2. Методы и приемынаучно-исследовательской работы школьников
2.1 Неполная индукция
Неполнаяиндукция — типиндуктивных умозаключений, посылки которых являются единичнымисуждениями, содержащими эмпирические данные об исследованных объектах некоторойобласти, а заключение — общим суждением обо всех предметах данной области или онекоторых, неисследованных предметах этой же. Доказательная сила Неполнойиндукции ограничена, поскольку связь между её посылками и заключением носитвероятностный, проблематичный характер. И тем не менее, именно Неполнаяиндукция есть основной путь получения новых знаний, в отличие от так называемойполной индукции, посылки и заключение которой содержат в точности одну и ту жеинформацию.
Неполная индукция — индуктивный вывод о том, что всемпредставителям изучаемого множества принадлежит свойство Р на том основании,что Р принадлежит некоторым представителям этого множества. Так, напр., узнав отом, что инженер А работает продавцом, инженер B работает продавцом и инженер Стакже работает продавцом, вы можете сделать индуктивный вывод, что все инженерыныне работают продавцами. Множество инженеров велико, трудно или даженевозможно установить, чем сейчас занимается каждый из них, поэтому вашеиндуктивное заключение связано с риском: оно может оказаться ошибочным.
Неполная индукция дает вероятностное заключение иприменяется при невозможности рассмотрения всех без исключения случаев. Кнеполной индукции относится перечислительная, аналитическая, научная.
Перечислительная (популярная) индукция осуществляется наосновании повторяемости одного и того же признака у ряда факторов и отсутствияпротиворечивого случая, выводом что, все факторы этого рода имеют указанныйпризнак. Так, обнаруживая массу у всех известных ему предметов, Ньютон обобщил:«Все тела имеют массу». Но подобные обобщения не всегда правомерны. Примеромпоспешного обобщения служат лебеди: европейцы считали что, все лебеди белые,пока не обнаружили в Австралии черных. Поскольку перечислительная индукциядопускает исключения из правил, ее выводы лишь правдоподобны, а не достоверны. Уверенностьв их истинности растет с появлением новых подтверждений, но утверждение еевозможно лишь через другие способы умозаключений.
Аналитическая индукция с целью исключить случаи поспешногообобщения предполагает выбор наиболее типичных факторов, разнородных по времении другим возможным условиям. Например, о качестве партии товара судят пообразцам из разных вагонов и разных мест вагона (при перечислительной индукции,проверяющие полностью проверили бы 2 вагона из 50 и, уморившись, решили бы:«Да че там проверять — вся партия такая!» — а в следующем вагонемогла бы начаться другая картина).
Научная индукция обобщает путем отбора необходимых иисключения случайных обстоятельств, учитывая важнейшую из необходимых связей — причинную и, при условии что, выбранная связь сочтена причинной не ошибочно,дает абсолютно достоверную информацию обо всех явлениях, какого либо класса наосновании изучения некоторого их числа. При этом возможность установленияпричинной связи обусловлена тем что, если достоверно известно что, во всякихситуациях, при всяких стечениях обстоятельств, только одно, в своем отличии,необходимо для отличия в исследуемом явлении, то оно и есть его причина.
2.2 Обобщение
Обобщение есть переход от рассмотрения данного множествапредметов к рассмотрению большего множества, содержащего данное. Например, мыделаем обобщение, когда переходим от рассмотрения треугольников к рассмотрениюмногоугольников с произвольным числом сторон. Мы делаем обобщение и когдапереходим от изучения тригонометрических функций острого угла к изучениютригонометрических функции произвольного угла.
Обобщение — как метод научного познания, во-первых,логический процесс перехода от единичного к общему, от менее общего к болееобщему знанию, установления общих свойств и признаков предметов, во-вторых, — результат этого процесса: обобщенное понятие, суждение, закон, теория. Получениеобобщенного знания означает более глубокое отражение действительности,проникновение в ее сущность. Принято различать два вида научных обобщений: выделениелюбых признаков (абстрактно-общее) или существенных (конкретно-общее, т.е. закон).
По другому основанию можно выделить обобщения:
а) от отдельных фактов, событий к их выражению в мыслях (индуктивноеобобщение);
б) от одной мысли к другой, более общей мысли (логическоеобобщение). Мысленный переход от более общего к менее общему есть процессограничения.
Обобщение не может быть беспредельным. Его пределом являютсяфилософские категории, которые не имеют родового понятия и потому обобщить ихнельзя.
2.3 Аналогия
Аналогия есть некоторого рода сходство. Она, можно сказать,есть сходство, но на более определенном и выражаемом с помощью понятий уровне. Однакомы можем выразиться несколько более точно. Существенное различие междуаналогией и другими видами сходства заключается, как мне кажется, в намеренияхдумающего. Сходные предметы согласуются между собой в каком-то отношении. Есливы намереваетесь свести это отношение, в котором они согласуются, к определеннымпонятиям, то вы рассматриваете эти сходные предметы как аналогичные. Если вамудается добраться до ясных понятий, то вы выяснили аналогию.
Сравнивая молодую женщину с цветком, поэты ощущают, янадеюсь, некоторое сходство, но обычно они не имеют в виду аналогии. Действительно,они едва ли намериваются покинуть мир эмоций и свести это сравнение к чему-тоизмеримому или определимому с помощью понятий.
Рассматривая в музее естественной истории скелеты различныхмлекопитающих, вы можете обнаружить, что все они страшны. Если в этом всесходство, которое вы между ними обнаружили, то вы видите не такую уж сильнуюаналогию. Однако вы можете подметить удивительно много говорящую аналогию, еслирассмотрите руку человека, лапу кошки, переднюю ногу лошади, плавник кита икрыло летучей мыши — эти столь различно используемые органы, как состоящие изсходных частей, имеющих сходное отношение друг к другу.
Аналогияесть умозаключение о принадлежности единичному явлению определенного признакана основе сходства этого явления в существенных признаках с другим ужеизвестным единичным явлением. Она рассматривается в качестве разновидностииндукции.
Приведемследующий пример умозаключения по аналогии: Для существования живых существнеобходимы вода, воздух, соответствующая температура и т.д. На Марсе есть вода,воздух, соответствующая температура и т.д. Следовательно, на Марсе, возможно,существуют живые существа. Поскольку в данном силлогизме содержится ошибка,заключающаяся в том, что среднее понятие не распределено (ложностьнераспределенного среднего термина), ценность заключения находится на уровневероятности. Однако если среднее понятие будет распределенным (то есть, еслибудут установлены все условия, необходимые для существования живых существ), тои заключение станет определенным.
Другимисловами, аналогия — это подобие, сходство предметов или явленийв каких-либо свойствах, признаках, отношениях, причем сами эти предметы, вообщеговоря, различны. В математике часто рассматривают умозаключение по аналогии,сходству отдельных свойств (признаков) при сравнении двух множеств (фигур,отношений, объектов и т.д.).
Аналогия весьма доступна и проста как прием рассуждения, ноона в первую очередь позволяет выдвинуть гипотезу, которую потом требуетсястрого доказать./>2.4 Специализация
Специализация есть переход от рассмотрения данного множествапредметов к рассмотрению меньшего множества, содержащегося в данном.
Например, мы специализируем, когда переходим от рассмотрениямногоугольников к рассмотрению правильных многоугольников, п специализируем ещедальше, когда переходим от правильных многоугольников с п сторонами кправильному, т.е. равностороннему треугольнику.
Эти два последовательных перехода осуществлялись в двух характерноразличных направлениях. В первом переходе, от многоугольников к правильныммногоугольникам, мы ввели ограничение, именно потребовали, чтобы все стороны ивсе углы многоугольника были равны. Во втором переходе мы заменили переменныйпредмет конкретным, поставили 3 вместо переменного целого числа п.
Очень часто мы производим специализацию, переходя от целогокласса предметов к одному предмету, содержащемуся в этом классе. Например,когда мы хотим проверить некоторое общее утверждение относительно простыхчисел, мы выбираем какое-нибудь простое число, скажем 17, и исследуем,справедливо ли это общее утверждение или нет именно для этого числа 17.
/>3. Пример задачиисследовательского характера для школьников
3.1 Пример 1: неприводимые многочлены
Многочлен h (x) с целыми коэффициентами положительной степениназывается неприводимым, если он не представим в виде произведения двухмногочленов положительных степеней с целыми коэффициентами.
Пусть g (x)= (x-a1)… (x-an),где a1,…,an — различные целые числа.
Пусть f (x)=mx+1, где m — целое число. Найдите все значения m,для которых многочлен f (g(x)) неприводим.
Пусть f (x)=mx2+1, где m — натуральное число. Докажите, что многочлен f (g (x))неприводим.
Исследуйте неприводимость многочленов вида f (g (x))для других неприводимых многочленов f (x) (например, для неприводимых квадратичных многочленов ax2+bx+1).
Решение.
1. Предположим, что многочлен f(g (x)) приводим,то есть для некоторых двух многочленов f1(x) и f2(x) положительной степени с целымикоэффициентами
m (x-a1)… (x-an) +1 = f1 (x) f2(x).
Это верно для всех x, в томчисле и для x=a1,…, x=an.Получаем,
f1 (a1) f2 (a1) =1,…,
f1 (an) f2(an) =1.
Рассмотрим первое из этих равенств. Оно возможно для целого a1 и многочленов f1(x), f2(x) с целыми коэффициентами только если f1 (a1)=f2 (a1)=1 или f1 (a1)=f2 (a1)=-1. Аналогично и для остальных равенств. Пусть в iслучаях будет 1, в j будет — 1. Тогда i+j=n.
Покажем, что n — четное и i= j =/>. Допустим, что i>/> (т.е. j=n-i). Тогда многочлены f1 (x) — 1 и f2 (x) — 1имеют не менее i корней, а, следовательно, ихстепень больше />. Поэтому истепени многочленов f1 (x) и f2 (x) соответственно больше />.Таким образом степень f1 (x) f2 (x) = m (x-a1) … (x-an) +1 большеn. Противоречие показывает, что допущенное неверно. Аналогично, j не больше />.
Два числа не превосходящие /> всумме дают n. Значит, i = j =/> и n — четное число. При этом степени f1(x) и f2(x) также равны i=/>, иначе, рассуждая как ивыше, получим противоречие.
Не ограничивая общности, можно считать, что f1 (a1)=…=f1 (ai)=1, f1 (ai+1)=…=f1 (an)=-1. (При перестановке местами ak и al условие задачи не изменится, поэтому можно считать,что изначально их порядок такой, что f1(x) обращается в 1 в первых i).Тогда f1 (x) = t1× (x-a1)… … (x-ai) +1 = t2× (x-ai+1)… (x-an) -1. Аналогично, f2(x) = d1× (x-a1) … (x-ai) +1 = d2× (x-ai+1) … (x-an)-1.
Рассмотрим равенства
m (x-a1)… (x-an) +1 = f1 (x) f2(x) = (t1× (x-a1) … (x-ai)+1) × (d1× (x-a1) … (x-ai)+1);
m (x-a1)… (x-an) +1 = f1 (x) f2(x) = (t1× (x-a1) … (x-ai)+1) × (d2× (x-ai+1)… (x-an)-1).
Приравнивая коэффициенты при старшей степени (xn) левой и правой части, получаем m = t1d1 и m = t1d2. Отсюда d1= d2. Аналогично получаем, что t1 = t2.Таким образом, получаем, что m =t×d для некоторых целых t и d, причем:
f1 (x) = t× (x-a1) … (x-ai)+1 = t× (x-ai+1) … (x-an)-1
f2 (x) = d× (x-a1) … (x-ai)+1 = d× (x-ai+1) … (x-an) -1.
Вычтем из первого равенства второе
t× (x-a1)… (x-ai) — d× (x-a1)… (x-ai) = t× (x-ai+1)… (x-an) — d× (x-ai+1)… (x-an),
откуда, преобразовывая, получим
t× ( (x-a1) … (x-ai)- (x-ai+1) … (x-an))= d× ( (x-a1) … (x-ai) — (x-ai+1) … (x-an)).
Это равенство выполнено для всех x,поэтому можно считать, что
(x-a1) … (x-ai) — (x-ai+1)… (x-an) ¹0, и t =d.
Таким образом,
f1 (x) = f2 (x) = t× (x-a1) … (x-ai)+1 = t× (x-ai+1) … (x-an)-1.
Применим к этому равенству обобщенную теорему Виета ирассмотрим свободные члены
(-1) i×t×a1×…×ai+1 = (-1) i×t×ai+1×…×an-1.
Перенесем слагаемые с tвлево, без t вправо. Вынесем t за скобки
t× (a1×…×ai — ai+1×…×an)= ±2.
Выражение в скобках — целое число. Поэтому t может принимать только 4 различные значения: ±1 и ±2. Но как показано выше, m = t×t.Следовательно только для двух целых значений mмногочлен f (g (x)) приводим. Это m = 1 и m =4.
Приведем примеры приводимых многочленов для этих m.
(x-1) (x-2)(x-3) (x-4) + 1 =( (x-1) (x-4) +1)× ( (x-2) (x-3) -1)
Действительно, ( (x-1) (x-4) +1) ×( (x-2) (x-3) -1)= (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) — x2+5x — 4 + x2 — 5x+6-1= = (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) + 1.
Для m =4
4x (x-1)+1 = 4x2 — 4x + 1 = (2x-1) (2x-1)
Ответ: f (g (x)) неприводим при всехцелых mÏ{1;4}.
2. Допустим, что m (x-a1) 2…(x-an)2+1 приводим, тогда
m (x-a1) 2… (x-an) 2+1 = f1(x) f2(x).
Как и выше, f1 (x) = f2 (x) =1 либо f1 (x) = f2 (x) = — 1 для всех x из {a1; …; an}.Если f1 (x)принимает значения и 1 и — 1, то в силу непрерывности многочлена, f1 (x) = 0 длянекоторого x. Но тогда для этого x выполнено равенство
m (x-a1)2… (x-an) 2+1 = f1(x) f2 (x) = 0,
чего быть не может ни при одном натуральном m. Поэтому для определенности будем считать, что f1 (ai)= f2 (ai)=1 для всех i от 1 до n.(В случае, когда, f1 (ai) = f2(ai) =-1 для всех i от 1 до n доказательствопроводится аналогично) Как и в пункте 1, получаем
f1 (x) = t× (x-a1) … (x-an)+1;
f2 (x) = d× (x-a1) … (x-an)+1.
Отсюда,
m (x-a1)2… (x-an) 2+1 = f1(x) ×f2 (x)= t×d× (x-a1) 2… (x-an)2+ (t+d) × (x-a1) … (x-an)+1.
Из равенства многочленов получаем m = t×d и (t+d) × (x-a1) … (x-an) = 0. Последнее равенство выполнено привсех значениях x, поэтому из него следует, что t+d =0, то есть t = — d. Откуда натуральное m = — t2. Противоречиепоказывает, что многочлен m (x-a1) 2…(x-an)2+1 неприводим. Утверждение доказано.
3. Рассмотрим неприводимый многочлен ax2+bx+1. Допустим,дискриминант b2-4aa× (x-a1)2… (x-an) 2 + b× (x-a1)… (x-an) +1 = f1 (x) ×f2 (x) приводим. Как и в пункте 2, учитывая, что при отрицательномдискриминанте многочлен не будет обращаться в 0, получаем:
f1 (x) = t× (x-a1) … (x-an)+1;
f2 (x) = d× (x-a1) … (x-an)+1.
Отсюда,
a× (x-a1)2… (x-an) 2 + b× (x-a1)… (x-an) +1 =
= f1 (x) ×f2 (x) = t×d× (x-a1)2… (x-an) 2+ (t+d)× (x-a1) … (x-an) +1.
Из равенства многочленов получаем, что a = t×d и b = t+d. Значит t и d являются корнями уравнения x2-bx +a = 0. Но согласно предположениюдискриминант этого уравнения b2-4aa×(g (x)) 2+b×g (x) +1 неприводим.
3.2 Пример 2: волнистые числа
Назовем девятизначное число /> волнистым числом первоготипа, если
/> />
Например, число 162539581 волнистое число первого типа. Назовемдевятизначное число волнистым числом второго типа, если
/> />
а) Найдите количество девятизначных волнистых чисел первогои второго типа.
б) Найдите формулу для вычисления количества волнистых п-значныхчисел первого и второго типа.
Назовем девятизначное число /> волнистым числом третьеготипа, если
/> />
Назовем девятизначное число волнистым числом четвертоготипа, если
/> />
а) Найдите количество девятизначных волнистых чисел третьегои четвертого типа.
б) Найдите формулу для вычисления количества волнистых п-значныхчисел третьего и четвертого типа.
Предложите свои обобщения этой задачи и исследуйте их.
Решение
Лемма 1. Обозначим через f(n,k1,k2) — количество n-значныхволнистых чисел первого типа, начинающихся с цифры k1и заканчивающиеся на цифру k2, g (n,k1,k2) — количество n-значныхволнистых чисел второго типа, начинающихся с цифры k1и заканчивающиеся на цифру k2. Тогда
/> и
/>
Также, /> и
/>
Доказательство. Рассмотрим n-значныеволнистые числа первого типа.
Нетрудно заметить, как они получаются. Берутся все n-1-значные волнистые числа и, в зависимости от текущегознака (“”), дописывается каждому числу цифра, меньшая илибольшая последней, т.е. чтобы найти количество n-значныхволнистых чисел, заканчивающихся на k, надонайти сумму всех количеств n-1-значных чиселзаканчивающихся на цифры от 0 до k-1 или от k+1 до 9.Т. к. на каждом шаге мы корректно вычисляемволнистые числа, то нет необходимости знать всё число: все зависит от последнейцифры.
Следовательно, можно составить рекуррентную формулу, котораябудет корректно вычислять количество n-значныхволнистых чисел первого типа начинающихся на цифру k1и заканчивающихся на цифру k2.
Рассмотрим рекуррентную формулу для волнистых чисел первоготипа.
Начальные её значения />,т.е. есть только по одному однозначному волнистому числу, начинающемуся на i и заканчивающемуся на i (/>).
Пусть />, тогдапо четности/нечетности i (/>) определяем текущийзнак “”:
Если i-нечетное, то /> является суммой всехколичеств i-1-значные волнистых чисел первоготипа, которые начинаются на k1 и укоторых последняя цифра меньше k2.
Если i-четное, то /> является суммой всехколичеств i-1-значные волнистых чисел первоготипа, которые начинаются на k1 и укоторых последняя цифра больше k2.
Аналогично, выводится рекуррентное соотношение для волнистыхчисел второго типа.
Теорема 1. Количество n-значныхволнистых чисел первого типа:
/>
и количество n-значныхволнистых чисел второго типа:
/>.
Составим таблицу некоторых значений f(n,k,k2) k
/>
/>
/>
/>
/> 1 1 1 8 44 276 1650 2 1 7 42 259 1561 3 1 6 39 235 1430 4 1 5 35 205 1260 5 1 4 30 170 1055 6 1 3 24 131 820 7 1 2 17 89 561 8 1 1 9 45 285 9 1
/> 10 36 240 1410 8622 /> /> /> /> /> /> /> k
/>
/>
/>
/> 1 10032 60654 367422 2224299 2 9471 57309 347073 2101296 3 8651 52403 317253 1920984 4 7596 46067 278782 1688269 5 6336 38471 232715 1409487 6 4906 29820 180312 1092234 7 3345 20349 123003 745161 8 1695 10317 62349 377739 9
/> 52032 315390 1908909 11559469
Составим таблицу некоторых значений g(n,k,k2) k
/>
/>
/>
/>
/> 1 1 1 1 9 45 285 2 1 2 17 89 561 3 1 3 24 131 820 4 1 4 30 170 1055 5 1 5 35 205 1260 6 1 6 39 235 1430 7 1 7 42 259 1561 8 1 8 44 276 1650 9 1 9 45 285 1695
/> 10 45 285 1695 10317 k
/>
/>
/>
/> 1 1695 10317 62349 377739 2 3345 20349 123003 745161 3 4906 29820 180312 1092234 4 6336 38471 232715 1409487 5 7596 46067 278782 1688269 6 8651 52403 317253 1920984 7 9471 57309 347073 2101296 8 10032 60654 367422 2224299 9 10317 62349 377739 2286648
/> 62349 377739 2286648 13846117
Ответ:
а) первого типа: 11559469; второго типа: 13846117
б) />
/>
Лемма 2. Обозначим через t(n,k1,k2) — количество n-значныхволнистых чисел третьего типа, начинающихся с цифры k1и заканчивающиеся на цифру k2, r (n,k1,k2) — количество n-значныхволнистых чисел четвертого типа, начинающихся с цифры k1и заканчивающиеся на цифру k2. Тогда
/> и
/>
Также /> и />
Доказательство. Рассмотрим n-значныеволнистые числа третьего типа.
Нетрудно заметить, как они получаются. Берутся все n-1-значные волнистые числа и, в зависимости от текущегознака (”/>", ”",”/>”), дописывается каждомучислу цифра, меньшая, равная или большая последней, т.е. чтобы найти количествоn-значных волнистых чисел, заканчивающихся на k, надо найти сумму всех количеств n-1-значныхчисел заканчивающихся на цифры от 0 до k, или от0 до k+1, или от k+1до 9, или от k до 9.Т. к. на каждом шаге мыкорректно вычисляем волнистые числа, то нет необходимости знать всё число: всезависит от последней цифры.
Следовательно, можно составить рекуррентную формулу, котораябудет корректно вычислять количество n-значныхволнистых чисел третьего типа начинающихся на цифру k1и заканчивающихся на цифру k2.
Рассмотрим рекуррентную формулу для волнистых чисел третьеготипа.
Начальные её значения />,т.е. есть только по одному однозначному волнистому числу, начинающемуся на i и заканчивающемуся на i (/>).
Пусть />, тогдапо остатку от деления i-2 на 4 определяемтекущий знак: ”/>", ”", ”/>”:
Если (i-2) mod4=0, /> является суммой всехколичеств i-1-значные волнистых чисел третьеготипа, которые начинаются на k1 и укоторых последняя цифра меньше либо равна k2.
Если (i-2) mod4=1, /> является суммой всехколичеств i-1-значные волнистых чисел третьеготипа, которые начинаются на k1 и укоторых последняя цифра меньше k2.
Если (i-2) mod4=2, /> является суммой всехколичеств i-1-значные волнистых чисел третьеготипа, которые начинаются на k1 и укоторых последняя цифра больше.
Если (i-2) mod4=3, /> является суммой всехколичеств i-1-значные волнистых чисел третьеготипа, которые начинаются на k1 и укоторых последняя цифра больше либо равна k2.
Аналогично, выводится рекуррентное соотношение для волнистыхчисел четвертого типа.
Теорема 2. Количество n-значныхволнистых чисел третьего типа:
/>
и количество n-значныхволнистых чисел четвертого типа:
/>.
Составим таблицу некоторых значений t(n,k,k2) k
/>
/>
/>
/>
/> 1 1 1 9 36 240 990 2 1 8 28 196 826 3 1 7 21 154 665 4 1 6 15 115 510 5 1 5 10 80 365 6 1 4 6 50 235 7 1 3 3 26 126 8 1 2 1 9 45 9 1 1
/> 10 45 120 870 3762 k
/>
/>
/>
/> 1 7722 28182 190740 796521 2 6412 23310 157926 659835 3 5131 18564 125922 526449 4 3906 14053 95449 399334 5 2771 9907 67382 282126 6 1766 6271 42711 178971 7 936 3300 22506 94380 8 330 1155 7887 33099 9
/> 28974 104742 710523 2970715
Составим таблицу некоторых значений r(n,k,k2) k
/>
/>
/>
/>
/> 1 1 1 1 1 10 45 2 1 2 3 29 126 3 1 3 6 56 235 4 1 4 10 90 365 5 1 5 15 130 510 6 1 6 21 175 665 7 1 7 28 224 826 8 1 8 36 276 990 9 1 9 45 330 1155
/> 10 45 165 1320 4917 k
/>
/>
/>
/> 1 285 1155 9042 33099 2 810 3300 25806 94380 3 1531 6271 48982 178971 4 2406 9907 77289 282126 5 3396 14053 109502 399334 6 4499 18564 144486 526449 7 5586 23310 181236 659835 8 6732 28182 218922 796521 9 7887 33099 256938 934362
/> 33099 137841 1072203 3905077
Ответ:
а) третьего типа: 2970715; четвертого типа: 3905077
б) />
/>
3. Используя метод рекуррентного соотношения для подсчётаколичество волнистых чисел, можно составить рекуррентную формулу для любойконфигурации знаков ””,”/>”,”/>”,”=". Какой знак натекущем шаге вычисления рекуррентного соотношения можно легко определять поостатку от деления текущего i-2(/>) на количестворазличных знаков до повторения.
Например, выведем формулу для нахождения количестваволнистых чисел типа:
/>
Количество различных знаков до повторения — 3.
q (n,k1,k2)- количество n-значных волнистых чисел данноготипа, начинающихся с цифры k1 изаканчивающиеся на цифру k2.
Начальные значения />,т.е. есть только по одному однозначному волнистому числу, начинающемуся на i и заканчивающемуся на i (/>).
Пусть />, тогдапо остатку от деления i-2 на 3 определяемтекущий знак:
Если (i-2) mod3=0, /> является суммой всехколичеств i-1-значные волнистых чисел данноготипа, которые начинаются на k1 и укоторых последняя цифра меньше либо равна k2.
Если (i-2) mod3=1, /> равно количеству i-1-значных волнистых чисел данного типа, которыеначинаются на k1 и у которыхпоследняя цифра равна k2.
Если (i-2) mod3=2, /> является суммой всехколичеств i-1-значные волнистых чисел данноготипа, которые начинаются на k1 и укоторых последняя цифра больше либо равна k2.
В итоге получаем формулу:
/> и
/>
Количеством n-значных чиселданного типа будет:
/>
Составим таблицу некоторых значений q(n,k,k2) k
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> 1 1 1 9 9 54 375 375 2475 2 1 8 8 52 356 356 2366 3 1 7 7 49 329 329 2205 4 1 6 6 45 295 295 1995 5 1 5 5 40 255 255 1740 6 1 4 4 34 210 210 1445 7 1 3 3 27 161 161 1116 8 1 2 2 19 109 109 760 9 1 1 1 10 55 55 385
/> 10 45 45 330 2145 2145 14487 /> /> /> /> /> /> /> /> />
Заключение
Научно-исследовательская работа является важным этапомподготовки будущих научных кадров. Она открывает перед учащимися один изаспектов математики, столь же важный, сколь редко упоминаемый: математикапредстает в этих задачах наукой, тесно связанной с другими; естественныминауками, разновидностью «экспериментальной науки», в которойнаблюдение (эксперимент) и аналогия могут привести к открытиям (этот аспектматематики должен особенно привлекать будущих «потребителей» математики- естествоиспытателей и инженеров). Она может привить им вкус к математике, таккак открывает возможность для самостоятельной, творческой работы.
В данной дипломной работе были рассмотрены основные цели изадачи, формы и содержания, методы и приемы научно-исследовательской работышкольников по математике. Примеры заданий научно-исследовательского характерапомогают читателю получить более полное представление о рассматриваемом вопросе.
/>Список используемойлитературы
1. Д. Пойа, Математическое открытие, «Наука», Москва 1970.
2. Д. Пойа «Математика и правдоподобные рассуждения», М.: «Наука».,1975
3. http://www.fpmi. bsu. by/UniXXI/index.html
/>Приложение 1
ЗАДАЧИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ
1.1 Старшая группа (9-11 классы)
Задача 1.1.1 Найти наименьшее значение суммы 21•А +14•В, если известно, что А•В = 6 и В > 0.
Задача 1.1.2 Найдите 2006 последовательныхнатуральных чисел, среди которых нет ни одного квадрата натурального числа.
Задача 1.1.3 Медианы треугольника имеют длины 9, 12,15. Чему равна площадь этого треугольника?
Задача 1.1.4 Слава сложил из одинаковых кубиков сребрами, равными 1, прямоугольный параллелепипед. Затем записал на бумажке тричисла — 42, 48 и 82 и, показывая ее друзьям, сказал, что это — объем, площадьповерхности и сумма длин всех ребер сложенного им параллелепипеда, но несказал, где какое число. Чему равны длины ребер этого параллелепипеда?
Задача 1.1.5 На чудо-дереве Мичурина растут бананы иапельсины, бананов в два раза больше, чем апельсинов. Каждый день он срываетдва плода и на их месте вырастает один новый, причем если он срывает дваодинаковых фрукта, то вырастает апельсин, а если два разных, то вырастает банан.Каким может оказаться последний фрукт на этом дереве?
Задача 1.1.6 Из четырех натуральных различных чисел,больших 1, составили всевозможные попарные суммы. Известно, что самая малая изэтих сумм равна 11, а самая большая — 29. Кроме того, среди этих сумм естьравные 12 и 21. Найдите те четыре числа, из которых составлялись указанныесуммы.
Задача 1.1.7 Можно ли числа 1, 2,. ., 10 расставить вряд в некотором порядке так, чтобы каждое из них, начиная со второго,отличалось от предыдущего на целое число процентов?
Задача 1.1.8 Известно, что в треугольниках АВС иА1В1С1 равны стороны АВ и А1В1, углы ÐАВС и углы ÐА1В1С1 и суммы длинсторон ВС + СА и В1С1 + С1А1. Докажите, что тогда равны и сами треугольники АВСи А1В1С1.
Задача 1.1.9 Дан треугольник со сторонами 4 см, 5 сми 6 см. В него вписана окружность, к которой проведена касательная,параллельная большей стороне. Эта касательная отсекла от исходного треугольникаменьший треугольник. В этот треугольник тоже вписана окружность и к нейпроведена касательная, параллельная первой. Получился новый треугольник, вкоторый снова вписана окружность и проведена касательная, параллельнаяпредыдущим. Такие построения можно продолжать неограниченно долго (бесконечно).Чему равна сумма радиусов всех окружностей?
Задача 1.1.10 На каждой из планет некоторой системынаходится ровно один астроном, и он наблюдает ближайшую планету. Расстояниямежду планетами попарно различны. Есть ли две планеты этой системы, астрономыкоторых наблюдают друг друга? Докажите, что если число планет нечетно, токакую-нибудь планету никто не наблюдает.
1.2 Средняя группа (6-8 классы)
Задача 1.2.1 В шахматном однокруговом турнире каждыедва участника встречались между собой один раз. Сколько человек участвовало втурнире, если после его окончания оказалось, что всего было сыграно 78 партий?
Задача 1.2.2 На столе лежат 2006 камешков. Двоеиграющих берут поочередно с этого стола камешки, причем за один раз не более 10камешков. Выигрывает тот, кто берет последний камешек. Кто должен навернякавыиграть: начинающий или его соперник? Как надо ему играть, чтобы навернякавыиграть?
Задача 1.2.3 Будем называть натуральное число «замечательным»,если оно — самое маленькое среди всех натуральных чисел с такой же, как у него,суммой цифр. Сколько существует трехзначных «замечательных» чисел? Выпишитеих все.
Задача 1.2.4 Саша отпил 1/6 чашечки черного кофе идолил ее молоком. Затем он выпил 1/3 той же чашечки и снова долил ее молоком. Послеэтого он выпил уже полчашечки смеси и снова долил ее молоком. Наконец, он выпилвсе содержимое чашечки. Чего Саша выпил больше — кофе или молока?
Задача 1.2.5 В тетради в клеточку нарисован квадрат5x5 клеток. Разрежьте этот квадрат по линиям клетчатой бумаги на семьпрямоугольников, среди которых нет одинаковых. Какие размеры полученныхпрямоугольников?
Задача 1.2.6 Можно ли в клетках таблицы 4 x 4расставить числа 2005 и 2006 так, что для любой клетки этой таблицы сумма чиселв ней и всех ее соседях будет нечетной? Соседними считаются клетки, имеющиеобщую сторону или вершину.
Задача 1.2.7 У Дениса есть рыболовная леска длиной192 см и ножницы. Он желает отрезать от нее кусок в 90 см. Сможет ли он этосделать, если у него нечем отмерить указанную длину? Если да, то, каким образом?Если нет, то обоснуйте почему?
Задача 1.2.8 Можно ли произвольный квадрат разрезатьна 6 меньших, необязательно равных, квадратов? А на 2006 можно?
Задача 1.2.9 Поезду-экспрессу требуется три секундына то, чтобы войти в туннель длиной в один километр. За какое время (в секундах)он пройдет весь туннель, если идет со скоростью 120 км/ч?
Задача 1.2.10 Вова задумал целое положительное число.Дима умножил его не то на 5, не то на 6. Женя прибавил к результату Димы то ли5, то ли 6. Витя отнял от результата Жени не то 5, не то 6. В итоге получилось71. Какое число мог задумать Вова?
/>1.3 Младшая группа (2-5классы)
Задача 1.3.1 Имеется восемь шариков для подшипника. Одиншарик оказался, при равных размерах с остальными, сделанным из более легкогосплава. Можно ли найти этот «легкий» шарик с помощью двух взвешиванийна чашечных весах без гирь?
Задача 1.3.2 За завтраком Дюймовочка съела двалепестка розы, два кукурузных зёрнышка и запила тремя каплями росы. Мальчик-с-пальчиксъел четыре лепестка розы, три кукурузных зёрнышка и выпил шесть капель росы. Послеэтого Дюймовочка стала весить на 14 граммов больше, а Мальчик-с-пальчик — на 25граммов. Сколько граммов весит зёрнышко кукурузы?
Задача 1.3.3 В одном учебнике по математике дляначальных классов есть такая задача: «Как 12 разделить, чтобы получилось двесемерки?». Ясно, что ее нельзя решить стандартно. А вообще можно ли еерешить и как?
Задача 1.3.4 а) Можно ли 44 монеты расположить вдесяти кошельках так, чтобы любые два из них содержали различное число монет? (Считаем,что два пустых кошелька содержат одинаковое число монет — нуль, и один кошелекв другой вкладывать нельзя). б) Та же задача, но теперь разрешается некоторыекошельки вкладывать в другие.
Задача 1.3.5 Имеются три сосуда емкостей 3 л, 3 л и 7л. Можно ли, пользуясь этими сосудами, налить в большой сосуд ровно 5 л воды?
Задача 1.3.6. Три кренделя, пять коврижек и шестьбаранок стоят по целому числу монеток, а все вместе 24 монетки. Что дороже: крендельили баранка?
Задача 1.3.7. Старинная задача: «В жаркий деньшесть косцов выпили бочонок кваса за восемь часов. Нужно узнать, сколько косцовза три часа выпьют такой же бочонок кваса».
Задача 1.3.8. Есть 2003 монеты, одна из которыхфальшивая, отличающаяся от остальных по весу. Выясните, легче или тяжелеефальшивая монета, чем настоящая, при помощи двух взвешиваний.
Задача 1.3.9. На столе лежат помидоры, огурцы изеленые мячики. Зеленых предметов 8, круглых — 12, а съедобных — 14. Сколькопомидоров лежит на столе?
Задача 1.3.10. На столе лежат три кучки камешков. Водной кучке один камешек, в другой — два, в третьей — три. Двое играющих берутпоочередно эти камешки, причем за один раз можно взять любое число камешков изодной кучки. Выигрывает тот, кто забирает последний камешек. Что можно сказатьоб игре начинающего: он наверняка проигрывает или выигрывает?
1.4 Дополнительные вопросы
1. Кто ввел в математику термины «инвариант» и«дискриминант», и что эти термины означают?
2. Когда и в чьих работах впервые появились матрицы? Являетсяли матрицей таблица Д.И. Менделеева?
3. Кем впервые решена (сначала на основе механическихсоображений, а потом и строго геометрически) известная задача о точкепересечения медиан треугольника?
4. Какие окружности и почему называют окружностями Аполлония?
5. Что утверждает теорема Стюарта, и где она обычноприменяется?
6. Давид Гильберт говорил, что тот, кто может решитьследующую задачу в уме без вычислений, — тот прирожденный математик. Задача:«Из чашки с кофе в чашку с молоком перелили ложку кофе, затем такую желожку смеси перелили обратно. Чего больше: молока в чашке с кофе или кофе вчашке с молоком?» Решите эту задачу и ответьте на вопрос: что вам известноо Д. Гильберте?