--PAGE_BREAK--В табл. 1 в графі “розрахункові” дані отримані наступним чином:
активи: кожне непарне (1,3,5,...,59) значення + (номер групи*4) = кожне непарне значення + 1*4;
прибуток: кожне непарне (1,3,5,...,59) значення + (номер групи*2) = кожне непарне значення + 1*2.
В табл.2 вихідних даних приведені розраховані згідно алгоритму методичних вказівок щомісячні показники вартості активів по банку № 17 (варіант завдання ) за 1996 –2000 роки.
Таблиця 2.
Вартість активів за роками по 17-ому банку
І. Зведення та групування статистичних даних за факторною ознакою Завдання етапу І:
Вихідні дані 2000 р. (табл. 1) проранжирувати, вибрати факторну ознаку і за нею побудувати ряд розподілу, утворивши 5 груп з рівними інтервалами. Резуль-тати побудови ряду розподілу оформити у вигляді таблиці. Побудований ряд розподілу зобразити графічно на основі звичайних і кумулятивних частот.
За роллю, яку відіграють ознаки у взаємозв’язку досліджуваних явищ, їх поділяють на факторні, що впливають на інші ознаки, і результативні, розмір і динаміка яких формуються під впливом інших ознак.
Обираємо факторну ознаку – активи. Групування виконується при рівних інтервалах та числі груп 4. Розмір інтервалу визначається за формулою:
Розмір інтервалу приймається рівним 15,4 млн.грн… Розраховуємо та побудуємо табл.3
Таблиця 3
Обчислення характеристик центра розподілу
Групи одиниць сукупності за результативною ознакою
Кількість одиниць (частота), f
Середина інтервалу (варіанти), x/
Варіанти зважені на частоти, x/f
Кумулятивні частоти, S
3–18,4
33
10,7
353,1
33
18,4–33,8
15
26,1
391,5
48
33,8–49,2
9
41,5
373,5
57
49,2–64,6
3
56,9
170,7
60
Всього
60
–
1288,8
–
Для інтервального варіаційного ряду порядок розрахунку моди та медіани наступний: спочатку находять інтервал, якому належить мода чи медіана, а потім розраховують відповідні значення цих показників.
Модальним в даному розподілі є інтервал 3-18,4, так як найбільше число банків f=33 находиться в цьому інтервалі. Значення моди визначається за формулою:
млн. грн.
де і –величина інтервалу; fMo – частота модального інтервалу; fMo-1 – частота інтервалу, що передує модальному; fMo+1 – частота інтервалу, наступного за модальним.
Моду можна визначити за гістограмою розподілу.
Гістограма – це графічне зображення інтервального варіаційного ряду. На осі абсцис відкладають розміри ознак (варіанти). Утворені прямокутники пропор-ційні за висотою частотам значень ознаки по кожному інтервалу[5].
\s
Рис. 1. Гістограма розподілу активів на кінець 2000 р.
Медіана відповідає варіанту, що стоїть в середині ранжированого ряду. Положення медіани визначається її номером:
Місце медіани , де n — число одиниць сукупності.
Медіанним є інтервал 3-18,4, так як в цьому інтервалі находяться номери 30 і 31 ряду.
млн. грн.
де xMe – нижня границя медіанного інтервалу; і – величина інтервалу; S(Me-1) – накопичена частота інтервалу, що передує медіанному; f – частота медіанного інтервалу.
Медіана визначається по кумуляті. Для її визначення висоту найбільшої ординати, котра відповідає загальній кількості, ділять пополам. Через отриману точку проводять пряму, паралельно вісі абсцис, до перетину її з кумулятою. Абсциса точки перетину є медіанною величиною[1].
\s
Рис. 2. Кумулятивна крива розподілу активів на кінець 2000 р.
Середня величина активів на кінець 2000 року дорівнює
млн. грн.
Висновки І. Вибірка факторної ознаки – активів банків має характеристики:
Мода – це величина, яка найчастіше зустрічається в даній сукупності. У варіаційному ряді це буде варіант, що має найбільшу частоту.
Мода активів досліджуємої вибірки банків= 12,96 млн. грн.
Медіана – це варіант, що знаходиться в середині упорядкованого варіаційного ряду, тобто ділить його на дві рівні частини. Медіана показує величину варіюючої ознаки, якої досягла половина сукупності.
Медіана активів досліджуємої вибірки банків = 17,23 млн. грн.
Середня величина це показник, що характеризує типовий рівень варіюючої ознаки в розрахунку на одиницю однорідної сукупності.
Середня величина активів розрахована за формулою середньої зваженої і дорівнює = 21,48 млн. грн.
Різниця між середньою величиною та характеристиками моди і медіани вибірки факторної ознаки свідчить про наявність суттєвих нерівномірностей кількісного розподілу банків по гістограмам факторних та результативних ознак,
тобто середня величина для даної виборки є недостатньо характерна величина.
ІІ. Зведення і групування статистичних даних за результативною ознакою Завдання етапу 2.
За вихідними даними 2000 р. (табл. 1) побудувати ряд розподілу за резуль-тативною ознакою, утворивши 4 групи з рівними інтервалами. На його основі обчислити характеристики розподілу – середню величину, моду і медіану (аналі-тично і графічно). Методику обчислення середньої величини та необхідних величин для розрахунку показати в таблиці.
Обираємо результативну ознаку – прибуток. Групування виконується при рівних інтервалах та числі груп 4. Розмір інтервалу визначається за формулою[3]:
Розмір інтервалу приймається рівним 1,75 млн.грн… Розраховуємо та побудуємо табл.4
Таблиця 4
Обчислення характеристик центра розподілу
Групи одиниць сукупності за результативною ознакою
Кількість одиниць (частота), f
Середина інтервалу (варіанти), x/
Варіанти зважені на частоти, x/f
Кумулятивні частоти, S
0,2 – 1,95
21
1,075
22,575
21
1,95 – 3,7
26
2,825
73,45
47
3,7 – 5,45
8
4,575
36,6
55
5,45 – 7,2
5
6,325
31,625
60
Всього
60
–
164,25
–
Модальним в даному розподілі є інтервал 1,95–3,7, так як найбільше число банків f=26 находиться в цьому інтервалі. Значення моди визначається за формулою:
млн. грн.
де і –величина інтервалу; fMo – частота модального інтервалу; fMo-1 – частота інтервалу, що передує модальному; fMo+1 – частота інтервалу, наступного за модальним.
\s
Рис. 3. Гістограма розподілу прибутку 2000 р. по 60 банках.
Місце медіани , де n — число одиниць сукупності.
Медіанним є інтервал 1,95–3,7, так як в цьому інтервалі находяться номери 30 і 31 ряду.
млн. грн.
де xMe – нижня границя медіанного інтервалу; і – величина інтервалу; S(Me-1) – накопичена частота інтервалу, що передує медіанному; f – частота медіанного інтервалу.
\s
Рис. 4. Кумулятивна крива розподілу прибутку 2000 р. по 60 банках.
Середня величина прибутку 2000 року дорівнює
млн. грн.
Висновки ІІ. Вибірка результативної ознаки – прибутку банків має наступні характеристики:
Мода – це величина, яка найчастіше зустрічається в даній сукупності. У варіаційному ряді це буде варіант, що має найбільшу частоту.
Мода прибутку досліджуємої вибірки банків= 2,33 млн. грн.
Медіана – це варіант, що знаходиться в середині упорядкованого варіаційного ряду, тобто ділить його на дві рівні частини. Медіана показує величину варіюючої ознаки, якої досягла половина сукупності.
Медіана прибутку досліджуємої вибірки банків = 2,59 млн. грн.
Середня величина це показник, що характеризує типовий рівень варіюючої ознаки в розрахунку на одиницю однорідної сукупності.
Середня величина прибутку розрахована за формулою середньої зваженої і дорівнює = 2,738 млн. грн.
Характер різниця між середньою величиною та характеристиками моди і медіани вибірки результативної ознаки повторює характер відповідних різниць між середньою величиною, модою та медіаною вибірки факторного признаку, тобто показники ранжирувані за зростанням у порядку Мода-Медіана-Середньозважена величина. Це свідчить про наявність суттєвих нерівномірностей кількісного розподілу банків по гістограмам факторних та результативних ознак,
тобто підтверджується гіпотеза, що середня величина для даної виборки є недостатньо характерна величина.
Для побудови подальших висновків необхідне продовження статистичного аналізу.
ІІІ. Обчислення показників варіації.
Завдання етапу 3.
За даними ряду розподілу побудованому в п. ІІ обчислити:
- розмах варіації;
- середнє лінійне відхилення;
- середнє квадратичне відхилення;
- дисперсію;
- коефіцієнт варіації.
Вихідні дані та розрахунки необхідних величин для обчислення всіх показників варіації подати в робочій таблиці.
Розмах варіації млн. грн., де xmax, xmin – максимальне та мінімальне значення ознаки.
Середнє лінійне відхилення обчислюється як частка від ділення суми всіх відхилень на їх число[2]
(1)
Ступінь варіації об’єктивно відображає показник середнього квадрату відхилення (дисперсія). Його обчислюють як середню арифметичну з суми квадратів відхилень окремих варіантів від їх середньої за формулою:
(2)
Корінь квадратний із середнього квадрату відхилень варіантів від їх середньої (тобто дисперсії) називається середнім квадратичним відхиленням:
(3)
Дисперсія і середнє квадратичне відхилення призначені для вимірювання варіації оцінки. середнє квадратичне відхилення є мірилом надійності середньої. Чим менше середнє квадратичне відхилення, тим повніше середня арифметична відображає всю сукупність. Всі показники варіації – розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середній квадрат відхилення та середнє квадратичне відхилення завжди виражаються в тих одиницях виміру, в яких виражені вихідні дані ряду та середні. Всі вони є абсолютним виміром варіації. А це значить, що порівнювати абсолютні показники варіації у варіаційних рядах різних явищ безпосередньо неможливо. Для того, щоб забезпечити їх порівняння, потрібно обчислити показники, які характеризували б варіацію, виражену в стандартних величинах, наприклад, у процентах. Якщо порівняти середнє квадратичне відхилення з середньою величиною, то і буде одержана ця стандартна величина. Одержаний відносний показник називається коефіцієнтом варіації :
(4)
де — середнє арифметичне інтервального ряду розподілу, f – частота.
Коефіцієнт варіації є в певній мірі критерієм типовості середньої. Якщо коефіцієнт дуже великий, то це означає, що середня характеризує сукупність за ознакою, яка суттєво змінюється у окремих одиниць.
Таблиця 5
Розрахунок показників варіації прибутку 2000 року
Таким чином, середнє лінійне відхилення млн. грн.
середнє квадратичне відхилення млн. грн.
дисперсія млн. грн.
коефіцієнт варіації , якій дорівнює відношенню середньоквадратичного відхилення до середньозваженої величини прибутку по досліджуваній виборці показників діяльності банків, розрахованій в розділі ІІ.
Висновки ІІІ. Додаткове дослідження відносних статистичних характеристик вибірки результативної ознаки (прибутку банку) для досліджуваної вибірки показало:
Розмах варіації величин в вибірці прибутку банків дорівнює 7 млн. грн. Недоліком цього показника є те, що він фіксує лише суму крайніх відхилень від середньої величини прибутку в вибірці і зовсім не враховує відхилень всіх інших варіантів прибутку від їх середньої величини. Узагальнюючу характеристику може дати лише середня величина, зокрема середня із відхилень варіантів прибутку від їх середньої величини прибутку.
Середнє лінійне відхилення в вибірці прибутку дорівнює 1,164 млн. грн. Однак і цей показник не завжди характеризує розсів варіантів.
Середнє квадратичне відхилення вибірки прибутку від середньої величини дорівнює 1,58 млн. грн. Середнє квадратичне відхилення велике, тобто середня арифметична не відображає цілком всю сукупність.
Дисперсія вибірки прибутку дорівнює 2,5 млн. грн.
Типовість середньої величини прибутку для характеризування досліджувальної вибірки банків сумнівна, оскільки має великі відхилення від середньої величини, які висвітлюються в величині коефіцієнта варіації = 57,68%.
Згідно з [ ], cукупність вважається однорідною для розподілів близьких до нормального, коли величина коефіцієнта варіації не перевищує 33%.
Таким чином, за даними статистичних досліджень, виконаних в пунктах І-ІІІ можна твердити, що ми маємо справу з вибіркою, яка не підкоряється нормальному закону розподілу відносно середньої величини, тобто вибірка банків, можливо, мала для характеризування банківського процесу.
ІV. Статистичні методи вивчення взаємозв’язків між факторною
та результативною ознаками.
Завдання етапу 4.
На основі розрахункових вихідних даних 2000 р. з табл. 1 виявити наявність і напрямок кореляційного зв’язку між факторною і результативною ознаками, оцінити тісноту зв’зку та перевірити його істотність (за рівнем істотності 0,05). Розрахувати лінійне рівняння взаємозв’язку між факторною та результативною ознаками.
Результативна ознака – прибуток, факторна ознака – активи. Тобто
ПРИБУТОК = f (АКТИВИ)
Нехай X – активи, Y – прибуток.
\s
Рис. 5. Графік кореляційного поля.
Рівняння лінійного регресії має вигляд: y=a+bx, де параметри a, b находимо з системи нормальних рівнянь[8]:
(5)
(6)
Таблиця 6
Розрахункова таблиця.
продолжение
--PAGE_BREAK--Yx — теоретичні значення результативної ознаки, які розраховуються за отриманим лінійним рівнянням регресії; Ysr – середня величина змінної Y.
, тобто y=1,2834+0,0629x
Знайдемо коефіцієнт детермінації і перевіримо адекватність отриманого рівняння лінійної регресії за критерієм Фішера. Коефіцієнт детермінації визначається наступним чином:
Коефіцієнт детермінації характеризує ту частину варіації результативної ознаки, яка відповідає лінійному рівнянню регресії.
При виконанні процедури перевірки значущості коефіцієнта детермінації висувається нульова гіпотеза H0проти альтернативи H1, котра заключаються в наступному:
H0: істотної різниці між вибірковим коефіцієнтом детермінації та коефіцієнтом детермінації генеральної сукупності не існує. Ця гіпотеза рівносильна гіпотезі H0: b=0, тобто змінні X не впливають суттєво на залежну змінну Y. Для оцінки значущості коефіцієнта детермінації використовується статистика:
що має F-розподіл Фішера з f1=1 та f2=n-2=60-2=58 ступенями вільності.
Значення статистики порівнюється з критичним значенням цієї статистики, знайденим за таблицею при заданому рівні значущості a=0,05 та відповідному числі ступенів вільності. Якщо F>F1,n-2,a, то обчислений коефіцієнт детермінації істотно відрізняється від нуля. Цей висновок забезпечується з ймовірністю 1-a.
Задамося рівнем значущості a=0,05. Кількість ступенів вільності наступна: f1=1, f2=58. По таблиці находимо критичне значення F1,58,0.05 = 4,03.
Так як F>F1,58,0.05 (23,7 > 4,03), то робимо висновок, що включені в регресію змінні достатньо пояснюють залежну змінну.
\s
Рис. 6. Графік теоретичної лінійної регресії.
Індекс кореляції: R==0,54. Індекс кореляції вимірює щільність зв’язку і не показує її напрямок.
Лінійний коефіцієнт кореляції обчислюється за формулою[9]:
Лінійний коефіцієнт кореляції чим ближче до 1, тим тісніше зв’язок. Знак коефіцієнта вказує напрямок зв’язку: знак “+” відповідає прямій залежності, знак “-“ – оберненій залежності.
Висновки ІV.
Аналіз кореляційного зв ' язку між факторною(активами) та результативною(прибутком) показниками досліджувальної вибірки показників діяльності банків дає наступні результати :
1. Кореляційний зв ' язок для лінійної регресії має наступне рівняння та відносні характеристики :
Рівняння лінійної регресії y=1,2834+0,0629x.
Коефіцієнт детермінації дорівнює 0,29.
За критерієм Фішера зв’язок знайдено істотним.
Індекс кореляції дорівнює 0,54.
Лінійний коефіцієнт кореляції дорівнює 0,54 (сила зв’язка – середня).
Напрямок зв’язку – додатній.
2. Оскільки отриманий коефіцієнт детермінації дорівнює 0,29, то тільки 29% варіації прибутку банків пов’язано з варіацією активів банків, а 71% варіації припадає на решту факторів. Тобто зв’язок не є щільним, оскільки економічно прибуток банків залежить не тільки від їх активів, а ще від доходності цих активів, яка залежить від їх структури, та собівартості послуг для кожного банку. Отриманий результат є об'єктивним, оскільки прибуток банку дорівнює різниці між доходами від застосування активів та собівартістю (витратами) банків при здійсненні різних за масштабами та рівнем витрат доходних операцій.
V.Обчислення характеристик рядів динаміки
Завдання етапу 5.
На основі даних про активи банка за 9-12 місяці 1996-2000 рр. (табл. 2) визначити:
1. Ланцюгові та базисні (по відношенню до 1996 р.) показники динаміки активів за 9, 10, 11, 12 місяці окремо:
- абсолютний приріст;
- темп зростання і темп приросту;
- абсолютне значення 1% приросту.
Результати розрахунків подати у 4 таблицях. Перевірити взаємозв’язок ланцюго-вих аналітичних показників ряду динаміки і базисних.
2. Середні значення вище перелічених показників:
- середній рівень;
- середній абсолютний приріст;
- середній темп зростання;
- середній темп приросту.
3. Індекси сезонності, що дають характеристику внутрішньорічній динаміці і побудувати графік сезонної хвилі активів банку.
У процесі аналізу рядів динаміки обчислюють і використовують наступні аналітичні показники динаміки: абсолютний приріст, темп зростання, темп приросту і абсолютне значення одного проценту приросту. Обчислення цих показників грунтується на абсолютному або відносному зіставленні між собою рівнів ряду динаміки. Рівень, який зіставляється, називають звітним, а рівень, з яким зіставляють інші рівні – базисним. За базу зіставлення приймають початковий (перший) рівень ряду динаміки. Якщо кожний наступний рівень зіставляють з попереднім, то отримують ланцюгові показники динаміки, а якщо кожний наступний рівень зіставляють з рівнем, що взятий за базу зіставлення, то одержані показники називають базисними [1] – [9].
Абсолютний приріст обчислюється як різниця між звітним і базисним рівнями і показує, на скільки одиниць підвищився чи зменшився рівень порівняно з базисним за певний період часу. Він виражається в тих же одиницях виміру, що й рівні динаміки.
або (7)
де yi – звітний рівень ряду динаміки; yi-1 – попередній рівень ряду динаміки;
y1 – початковий рівень ряду динаміки.
Темп зростання обчислюється як відношення зіставлюваного рівня з рівнем, прийнятого за базу зіставлення, і показує, у скільки разів (процентів) зрівнюваний рівень більший чи менший від базисного.
або (8)
Темп приросту визначається як відношення абсолютного приросту до абсолютного попереднього або початкового рівня і показує, на скільки процентів порівнювальний рівень більший або менший від рівня, взятого за базу порівняння.
або (9)
Абсолютне значення одного проценту приросту визначається шляхом ділення абсолютного приросту на темп приросту за один і той же період.
(10)
Середній абсолютний приріст визначається як середня арифметична проста з ланцюгових приростів за певні періоди і показує, на скільки одиниць в середньому змінився рівень порівняно з попереднім.
(11)
Середній темп зростання розраховується за формулою середньої геометричної для ланцюгових темпів зростання:
, або (12)
Середній темп приросту визначається як різниця між середнім темпом зростання та одиницею (якщо середній темп зростання вигляді коефіцієнта), бо між середнім темпом зростання та 100% (якщо він у процентах)
(у вигляді коефіцієнтів); (13)
(у вигляді процентів). (14)
Середній темп приросту показує, на скільки процентів збільшився або зменшився рівень порівняно з попереднім в середньому за одиницю часу.
Середній рівень досліджуємого моментного ряду динаміки зміни показників у часі розраховується за формулою середньохронологічної (n- кількість членів хронологічного ряду динаміки показників), згідно з якою крайні члени враховуються в величинах 50% від свого значення:
(15)
В таблиці 7 наведені результати розрахунків по формулам (7) –(15)
параметрів часового ряду динаміки показників активів банку за дев ' яті місяці.
Розрахунки виконані з використанням таблиць EXCEL-2000 з послідовним програмуванням ячеєк вищенаведеними формулами. Середні характеристики ряду динаміки розрахоівані
- середньохронологічний рівень інтервального ряду динаміки активів дорівнює по (15):
— середньоарифметичне значення абсолютного ланцюгового прирісту активів дорівнює ( та має сенс для характеризування ряду між його крайніми значеннями, що підтверджується порівненням з базисними значеннями абсолютного прирісту в табл.7, які вказують на проміжні накоплені характеристики приросту значень членів ряду динаміки відносно початкового-базисного рівня 1996 року):
Середній темп зростання активів банку та середній коефіцієнт росту активів банку розраховуємо за формулою середньогеометричної величини (12):
або 100,2528%
Середній темп приросту активів банку розраховуємо за формулою (14) як:
Середня величина абсолютного приросту активів на 1% приросту розраховується як середньоарифметична значень, розрахованих за формулою(10) в табл.7 для всіх моментів часу.
Результати розрахунків наведені в табл. 7,8,9,10.
Таблиця 7
Розрахунок показників динаміки активів за 9-ті місяці 1996-2000 рр.
Таблиця 8
Розрахунок показників динаміки активів за 10-ті місяці 1996-2000 рр.
Таблиця 9
Розрахунок показників динаміки активів за 11-ті місяці 1996-2000 рр.
продолжение
--PAGE_BREAK--