ФІЗИЧНІ НАУКИ. 7’ 2001
Верифікація закону всесвітнього тяжіння Встановлені за результатами астрономічних спостережень руху планет закони [8] Й. Кеплера відіграли основну роль у відкритті І. Ньютоном формули [8] для сили
Тут
1. Рух об’ємного тіла в центральному полі
Нехай точкова маса
Таким чином, формулу (1) можна переписати у вигляді:
Тут
Нехай у ґравітаційному полі маси
Помноживши (4) векторно на
Можна довести [8], що ґравітаційне поле сферично-симетричного тіла збігається з полем точкової маси, поміщеної в центрі симетрії, а самі тіла взаємодіють за тими ж законами, що й точкові. Однак, якщо для матеріальної точки перехід від рівняння (4) до (5) не викликає жодних заперечень, то для об’ємного тіла згадана процедура виглядає сумнівною. Справді, рівняння (4) описує поступальних рух, а (5) – обертальний. Поступальний же рух по орбіті навколо силового центра
Пояснимо, як узгодити рівняння (4) поступального руху та рівняння обертального руху. Позначивши орбітальний момент імпульсу тіла через
у замкненій системі, матимемо:
Застосовуючи для конкретизації характеристик обертального руху тіла навколо власної осі основний закон динаміки [8] обертального руху, отримаємо вираз для моменту сили (фіктивного), який діє на тіло:
Тут
Породжуючою причиною моменту сили
Напрям момента сили
Інтегруючи співвідношення (12), одержимо вираз:
Для планет Сонячної системи числове значення співмножника
Перейшовши в (11) від параметра
із використанням зв’язку (13) рівняння (11) зведемо до вигляду:
Будемо шукати розв’язок (15) за умови
із (15) отримаємо рівняння гармонічного осцилятора
відносна частота коливань якого відрізняється від одиниці. Фактично це означає, що перицентр орбіти об’ємної планети зміщується в прямому напрямі з частотою:
Частота
Обчислене для планет Сонячної системи відношення
наведене в табл.1.
Таблиця 1
Планета | Меркурій | Земля | Юпітер | Сатурн |
| 0,008 | 0,024 | 0,57 | 0,23 |
У [3] знайдено формулу для обчислення швидкості зміщення перицентра в релятивістській механіці. Зважаючи, що тут нас цікавить не сама форма траєкторії, а лише швидкість повертання перицентра, ми пропонуємо знайдену за результатами цифрового моделювання розв’язку рівняння (39) евристичну формулу для обчислення останньої:
Розбіжності між (19) та (21) зумовлені головним чином заміною
Миттєва швидкість
У формулі (21) циклічна частота
Аналіз причин відмінностей у формулах (19) та (22) для обчислення
2. Релятивістська задача двох тіл
У релятивістській механіці масиУведемо поняття центра інерції (центроїда) з радіусом-вектором
як показано на мал.1.
Диференціюючи (23) за часом
– імпульс системи двох тіл. Серед різноманіття інерційних систем відліку можна вибрати таку, в якій сумарний імпульс системи тіл був би нульовим:
де
Швидкості змін мас тіл у релятивістській механіці визначаються рівнянням Лоренца-Айнштайна. Зважаючи на (27), для маси
Введемо поняття зведеної маси
Без обмеження загальності у подальшому викладі вважатимемо, що
Використовуючи зв’язки (26), (28), перепишемо формулу (24) для обчислення швидкості руху центроїда в ізодромній системі відліку в такому вигляді:
Враховуючи (28), дамо оцінку величини
Терм
досягає максимального значення при
Початок координат
Наведений аналіз показує, що в цілому форма траєкторії у релятивістській задачі двох тіл нічим суттєво не відрізняється від аналогічної, котра визначається засобами класичної механіки. Відмінності проявляються лише в інтегральних ефектах, тобто тих, які накопичуються в процесі руху. Одним із них є повертання перицентра орбіти. Нижче, використовуючи квазікласичний підхід, ми покажемо, як оцінити величину таких впливів.
Диференціюючи (31) за часом
Зважаючи, що швидкість швидкості зміни маси
та нехтуючи членами вищого порядку мализни, запишемо вираз для прискорення центроїда в наступному вигляді:
У виразах (36) та (37)
Порівняємо величини прискорення центроїда та напруженості
Із (38) видно, що це відношення не перевищує квадрата зведеної швидкості
Тому, що швидкість
Врахування
Розрахунок дає наступну швидкість
Функція (41) має екстремум при
Для планет Сонячної системи
У системі двох тіл зі співмірними масами необхідно враховувати і вплив на певертання перицентра руху другого тіла навколо центроїда. Момент сили
3. Обговорення результатів
Астрономічні спостереження доводять, що за 100 років перигелій Меркурія зміщується у прямому напрямку на 574",10±0",41 [8]. Його більша частина припадає на взаємний вплив планет. Обчислена за теорією Ньютона вона складає 531",5±0",5 за століття [8]. Таким чином, залишається непоясненою величина в 42",6±0",9 [8] за століття. Після розробки ЗТВ довший час вважалося, що теорія Айнштайна, яка вказує на зміщення в 43",03±0",03 за століття [8], прекрасно узгоджується з даними спостережень. Однак проведені Дікке та Голденбергом точні виміри видимої сплюснутості Сонця показали [4], що викликані цим ефектом збурення дають зміщення перигелію Меркурія в 3",4 за століття (у зворотному напрямку), порушуючи цим самим узгодженість теорії та спостережень. Вражає еклектика наведених у ЗТВ міркувань. Так, спочатку 93% ефекту зміщення перигелію Меркурія пояснюють законом всесвітнього тяжіння. Потім вказують на його невідповідність фізичним реаліям і 7% ефекту пояснюють методами ЗТВ. Валідність подібних міркувань завжди було прийнято ставити під сумнів.
Якщо в класичній механіці напрями сили та прискорення тіла збігаються, то в релятивістській механіці названа особливість не виконується і в замкненій системі двох тіл появляється момент сили. Останній перпендикулярний до площини орбіти тіл і періодично змінюється. Перші спроби врахування цього моменту сили обмежувались його дією лише на орбітальний момент імпульсу [8], тому ефект впливу виявився втричі менший очікуваного. Виявлений [3] фактор орбітально-обертальної взаємодії та зроблене уточнення формули для
Основним результатом, отриманим у цьому дослідженні, ми вважаємо реабілітацію закону (1) всесвітнього тяжіння Ньютона, справедливість виконання якого для планет Сонячної системи в рамках єдиного підходу доведена з точністю до 10-10. Усі спроби покращити [8] форму закону (1) притягування тіл виявилися безрезультатними.
Література
Берс Л. Математический анализ. – М.: Высш. шк., 1975.
Богородский А.Ф. Всемирное тяготение. – К.: Наукова думка, 1971.
Горбачевська М. Перерозподіл енергії в релятивістській задачі двох тіл // Науковий вісник ВДУ. – Луцьк: ВДУ, 1998. – С. 19-25.
Дикке Р. Гравитация и Вселенная. – М.: Мир, 1972.
Пастернак М.П., Горбачевська М.С. Релятивістське наближення задачі двох тіл при довільному співвідношенні їхніх мас // Науковий вісник ЛДТУ. – Луцьк: ЛДТУ, 1999, с.61–66.
Пастернак М., Горбачевська М. Матеріальна точка як об’єкт дослідження механіки // Науковий вісник ВДУ. – Луцьк: ВДУ, 1998. – С. 15–19.
Пастернак Р.М. Швидкість зміщення перицентра планет у класичній механіці // Науковий вісник ЛДТУ. – Луцьк: ЛДТУ, 1999. – С. 56–61.
Угаров В.А. Специальная теория относительности. – М.: Наука, 1969.
Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения. – М.: Физматгиз, 1955.
139
! |
Как писать рефераты Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов. |
! | План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом. |
! | Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач. |
! | Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты. |
! | Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ. |
→ | Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре. |