Элементарные конфортные отображения

Элементарные конфортные отображения ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек и . Если задан закон , ставящий в соответствие каждому точку или точки , то говорят, что на множествезадана функция комплекснойпеременной со значениями в множестве . Обозначают это следующимобразом . Часто говорят также, что отображает множество в множество .

Задание функции эквивалентно заданию двух действительныхфункций и тогда , где Как и в обычном анализе, втеории функций комплексной переменной очень важную роль играют элементарныефункции. Рассмотрим некоторые из них.1. - линейная функция. Определена при всех . Отображает полнуюкомплексную плоскость на полную комплекснуюплоскость . Функция и обратная ей - однозначны. Функция поворачивает плоскость на угол, равный , растягивает сжимает

ее в раз и после этого осуществляет параллельныйсдвиг на величину . Непрерывна на всейкомплексной плоскости. 2. . Определена на всейкомплексной плоскости, причем Однозначна, непрерывнавсюду, за исключением точки . Отображает полнуюкомплексную плоскость на полную комплекснуюплоскость , причем точки, лежащие наединичной окружности, переходят в точки этой же окружности. Точки, лежащиевнутри окружности единичного радиуса,

переходят в точки, лежащие вне ее, инаоборот.3. - показательная функция. По определению , т.е Из определения вытекаютформулы Эйлера Определена на всей комплексной плоскости и непрерывнана ней. периодична с периодом . Отображает каждую полосу,параллельную оси , шириной в плоскости в полную комплексную плоскость. Из свойств отметим простейшие , 4. - логарифмическая функция натуральный логарифм .

По определению . Выражение называется главным значением , так что . Определен для всехкомплексных чисел, кроме . - бесконечно-значная функция, обратная к 5. - общая показательная функция.По определению Определена для всех , ее главное значение , бесконечно-значна.6. Тригонометрические функции По определению, 7. Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же функциямидействительной переменной, а именно ,

Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости. Задачи с решением.1 Найти модули и главные значения аргументовкомплексных чисел , Решение.По определению, если , то очевидно , , Найти суммы 2 Пусть , а . Умножим вторую строчку на , сложим с первой и,воспользовавшись формулой Эйлера, получим Преобразуя, получим , 3. Доказать,что 1 2 3 4

Доказательство 1 Поопределению, 3 Выразить через тригонометрические и гиперболическиефункции действительного аргумента действительные и мнимые части, а также модулиследующих функций 3 Решение и, учитывая результаты предыдущего примера,получим ,Напомним, что 2 , ,3 , , , .Найти действительные и мнимые части следующих значенийфункций Решение.Следуя решению примера 4, будем иметь Вычислить 1 3 5 2 4 6

Решение.По определению 1 , , , 2 , , , 3 , , , 4 , , , 5 , 6 , , , Найти все значения следующих степеней 4 Выражение для любых комплексных и определяются формулой 1 2 3 4 .8. Доказать следующие равенства 3 Доказательство 1 , если , или , откуда , или . Решив это уравнение, получим , т.е. и 2 , если , откуда , или , следовательно, ,

3 , если , откуда , или . Отсюда , следовательно,