Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ

Экзаменационная программа По курсу математического анализа для студентов групп 03-112 - 1. Понятие n-мерного арифметического пространства Rn. Метрика. Метрические пространства. Открытые и замкнутые множества в Rn. 2. Общее определение функции. Сложная, неявно и параметрически заданная функции, обратная функция. 3. Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела числовой последовательности.

Ограниченность сходящейся последовательности. 4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. Переход к пределу в неравенствах. 5. Понятие предела функции. Односторонние пределы. Теорема о единственности преЯсла. Теорема об ограниченности на некоторой окрестности точки а функции fх, имеющей конечный предел при

х а. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства. 6. Связь функции с ее пределом. Арифметические операции над пределами функций. Предельный переход в неравенствах. 7. Теорема о пределе сложной функции. 8. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Сравнение бесконечно малых функций. 9. Непрерывность функций в точкеке. Односторонняя непрерывность.

Точки разрыва функции их классификация. Теорема о сохранении -знака непрерырывной функции. 10. Свойства непрерывных функций на промежутках. Равномерная непрерывность. 11. Теорема о непрерывности сложной функции. 12. Теорема о непрерывности обратной функции. 13. Непрерывность элементарных функций. 14. Понятие числового ряда. частичные суммы, определение сходимости ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда.

Исследование на сходимость ряда 15. Свойства сходящихся рядов. 16. Ряды с неотрицательными членами. Признак сравнения и предельный признак сравнения. 17. Признаки Даламбера и Коши. 18. Знакопеременные числовые ряды Теорема Лейбница для знакочередующегося ряда. Оценка остатка ряда. 19. Абсолютная и условная сходимость. Теорема о связи между сходимостью рядов и .

Свойства абсолютно сходящихся рядов. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов. 20. Ряды с комплексными членами. 21. Производная и дифференциал функции. Необходимое условие существования производной. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке. 22. Геометрический смысл производной и дифференциала.

Уравнение касательной и нормали к графику функции. 23. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями. 24. Производная сложной функции. 25. Производная обратной функции. 26. Логарифмическая производная. Производные основных элементарных функций. 27. Производые и дифференциалы высших порядков. Формула

Лейбница. 28. Параметрическое дифференцирование. 29. Теорема Ферма. Геометрическая ннтерпритадия. 30. Теорема Ролля. Геометрическая интерпрнтация. 31. Теорема Лагранжа. Геометрическая интерпретация. 32. Теорема Коши. 33. Правило Лопиталя. 34. Формула Тейлора с остаточным членом в форме

Лагранжа и Пеано. 35. Разложение основных элементарных функции по формуле Маклорена. 36. Признак монотонности функции. 37. Необходимое условие экстремума функции. Достагочное условие экстремума функции. 38. Выпуклость и точки перегиба. 39. Асимптоты. 40. Первообразная и ее свойства. 41. Неопределенный интеграл и его свойства. 42. Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

Интегрирование по частям. 43. Основные свойства из алгебры многочленов. Интегрирование рациональных дробей. 44. Интегрирование иррациональностей. 45. Интегрирование тригонометрических выражений. 46. Определенный интеграл. Ограниченность интегрируемой функции 47. Свойства определенного интеграла, 48. Теорема о среднем.

49. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость. 50. Формула Ньютона - Лейбница 51. Формулы замены переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям. 52. Площадь плоской фигуры. 53.Несобственные интефалы. Основные определения и свойства. 54. Несобственные интегралы от неотрицательных функций.

Признак сравнения и предельный признак сравнения. 55. Абсолютная и условная сходимость. Главное значение несобственного интеграла. 1 пространствоМнож всех упорядоченных наборов n действ чисел с определенными на этом мн-ве функциями px,y называется n-мерным арифметическим пространством и обозн Rn. Открытые и замкнутые множ в прос-ве R Множ xR назыв открытым если весь

Х лежит в R то для любой точки xX 0 такая что Ux, принадл Х любое открытое множ содерж данную точку называется его окрестностью. Точка х принадл пространству R назыв точкой прикосновения Х содержащейся в R если любая окрестность этой точки содержит точки множ-ва Х Множ-во содерж все свои точки прикосновения называется замкнутым

Метрическое пр-во. Метрическим пространством называется пара x, состоящая из мн-ва Х и действит не отриц функции опред на множ Х и удовл след св-вам 1 x,y0 xy1 2 px,y py,x x,yX 3 px,y px,zpz,y x,y,z X в этом случае функция метрикой число рх,у- расст му точками х и у 2Если каждому значению перем величины х принадл мн-ву Е соотв одно и только одно значение величины у то у называется ф-ей от оси х или зависимой переменной определенной на множ

Е, х называется аргументом или независ переменной. Если кажд знач х принадл некоторому мн-ву Е соотв одно или несколько знач переменноой величины у то то у называется многозначной функцией. Ф-ия у от х заданная цепью равенств уfu ux и т.п. назыв сложной ф-ией или композицией ф-ий f и u Ф-ия заданная ур-нием не разрешенным относит завис перееменной назыв неявной пример ххх ууу1 у неявная ф-ия от х пусть на множ

Т заданы 2 ф-ии хt уt TX TY причем для функции ф существует обратная tx X T тогда на множ Х опред ф-ия fXY следующим равенством fxx ф-ия f назыв параметрич заданной ф-иями t t обр ф-ия пусть fХY взаимно однозначное отображение множ Х на множ Y тогда опред отображение gYX yY gyx где хХ такой что fxy такое отображ называется обратным к f и обознач f в степ -1 3Пусть Х какое либо мн-во всякое отобр f

NX называется послед эл-тов Х элемент fn n-ый член последовательности и обозн хn cама послед fNX обозн Xn или Хn n1,2,3 число а назыв пределом послед Xn и обозн Аlimnxn если 0 n nN тако что при n n выполн нер-во Хn-А нер-во эквивал след. А- xn A обознач на граф чертеже эти точки тогда данное нер-во означ что все члены послед начиная с нек номера попадают в интервал

А-А. Если Хn имеет предел то он единственный Док-во предп обратное limnxna limnxnb a b a r b для 1r-a 0 n1 при n n1 xn-a 1r-a a-r xn-a r-a xn r при n n1 для 2b-r 0 n2 такое что при n n2 xn-b 2b-r r-b xn-b b-c xn r при n n2 пусть nomaxn1,n2 при n no xn r xn r что невозм. ab Теор док.Т Сходящаяся последовательность ограничена. Док Пусть последовательность аN сходится к числу а.

Возьмем какое-либо эпсилон, вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь ность ограничена. 4послед xn назыв б м п если limnxn0 послед xn назыв б б п если она имеет своим пределом бесконечнось. Если xn ббп то 1xn бмп Док-во т.к xn ббп 0 nn такое что при n n вып неравенство xn 1 1xn при n n limn 1xn0

Tпроизвед беск малой на огранич есть бмп док-во пусть xn- бмп а уn- огранич M 0 такое что уn M при n пусть 0 тогда тк xn- бмп nn при n n Xn M при n n xnynxnyn MM limnxnyn0 чтд Т Если n0 n n0 aNbNcN и Lim aNa, Lim cNc, причем ac, то Lim bNb abc. Док Возьмем произвольно Е 0, тогда n n n cN aE n n n a-E aN. При n maxn0,n ,n a-

E aNbNcN aE, т.е. n maxn0,n ,n bNОa-E,aE Т переход от к пределу в неравенствах Если Lim xNx, Lim yNy, n0 n n0 хNyN, тогда xy Док-во от противного Пусть х у по определению предела n0 n n0 хN-х Eберем Е х-у2 n0 n n0 yN-y E. n maxn0 , n0 хN-х х-у2 уN-у х-у2, т.е. получаем 2 интервала у-Е,уЕ х-Е,хЕ, причем у-Е,уЕЗх-Е,хЕЖ. n maxn0 , n0 хNОх-

Е,хЕ уNОу-Е,уЕ учитывая, что х у получаем n maxn0 , n0 хN yN - противоречие с условием. 5 О предела ф-ции Пусть fx определенна в некоторой окрестности т. а за исключунием быть может самой этой точки а. Число А называется пределом ф-ции при xa если E 0 E 0 x 0 x-a вып. fx-A E O limxafx Если Eбол 0 E 0 x 0 x-a fx E limxafx O limxafx Если E 0 E 0 x 0 x-a вып fx E O limxafx-

Если E 0 E 0 x 0 x-a вып fx -E O limxfxA Если 0 0 x x вып fx-A O limxfx Если Eбол 0 E 0 x x вып fx E Односторонние пределы Правым левым пределом ф-ции fx ghb xa0-0 называется число А 0 0 при x a- x a fx-A Alimxa0-0fxТеорема о единственности предела Если ф-ция fx имеет limxa, то он единственный. Д Предположим обратное пусть limxafxA limxafxB выберем

окрестности точек А и В так, чтобы они не пересекались UA UB, тогда для данного 1 0 при x 0 x-a fx-A fxUA 2 22 0 при x 0 x-a 2 fx-B fxUB Пусть 0max1,2, тогда при х уд. 0 x-a 0 вып. fxUAE, fxUBE Эти две окрестности пересекаются, что противоречит выбору этих окрестностей т.о. АВ Ч.т.д.Теорема об орграниченности на нек окрестности .а fx

Если при xa fx имеет конеч limA , то она ограничена в некоторой окрестности точки а.Док-во Т.к. limxafxA, то для 1 0 при x 0 x-a вып. fx-A 1 fxfx-AAfx-A fx-AA 1A при х уд 0 x-a -это означает что fx ограничена .а ББ и БМ ф-цииО Ф-ция fx называется БМ ха если limxafx0 o ф-ция ББ если limxafx- T Если fx бб при ха, то 1fx бм при ха.

Если fx бм при ха и она отлична от 0 в некоторой окрестности . a, то 1fx бб при ха Док Возьмм E 0 E 0 при x уд. 0 x-a fx 1E 1fx E при x уд 0 x-a 1fx бм при xa Пусть fx бм при xa и 1 0 x, уд. 0 x-a 1 fx0 возьмм Eбол 0 тогда 2 0 при 0 x-a 2 fx 1Eбол, пусть min,2 при x , 0 x-a вып-ся fx0, fx 1E 1fx E 1fx бб при ха T Сумма двух б.м при xa есть бм при xa

Д Пусть limxaf1x0 limxaf2x0 0, тогда 11 0 при х 0 x-a 1 f1x 2 22 0 при x, 0 x-a 2 f2x 2 Пусть min1,2 x 0 x-a f1xf2x f1xf2x22 limxaf1xf2x0 TПроизведение бм при xa на ф-цию ограниченную в некоторой окрестности есть бм при xa Док Пусть limxagx0, а ф-ция gx ограничена в U,1 т.е. 0 х Ua,1 gx 0 2 0 при x, 0 x-a 2 gx Пусть min1,2 x,

0 x-a fxgxfxgx limxafxgx0 6 Т о связи ф-ии и ее пределов.Для того чтобы А было lim ф-ии fx при ха Аlimafx fxAx Где x б м ф-ия при ха док-во Пусть Аlimха fx предположим xfx-A и докажем что x-б м ф при ха. Возьмем 0 завис от такое что 0 такое что х, 0 x-a fx-A xfx-A таким образом x бмф при ха пусть fx xA где x бмф при ха тогда при 0 0 такая что х

удв 0 x-a выполняется x fx-Ax limхаfxA Арифмитические операции над пределами ф-ций Т пусть сущ предел f1x при ха А и сущ limхаf2xB 1сущ limf1xf2xAB 2 сущ limf1xf2xAB 3 сущ limf1xf2xAB при В0 1-e св-во тк limхаf1xA и limхаf2xB f1xA1x f2xB2x где 12 бм ф-ии при ха тогда f1xf2xAB12 ABx где х бмф т.к. сумма 2х бм limхаf1xf2xAB предельный переход в неравенство пусть limхаf1xb1 limхаf2xb2 и b1 b2 тогда Ua, такая что х Ua, f1x f2x док-во возьмем число с леж между b1 и b2 b1 c b2 11c-b1 0 1 0

так что хUa, f1x-b1 1 c-b1 b1-c f1x-b1 c-b1 f1x c 2 Для 2b2-c 2 0 так что хUa, f2x-b2 b2-c c-b2 f2x-b2 b2-c c f2x пусть min12 хUa, f1x c c f2x f1x f2x Тпусть limхаf1xb1 limхаf2xb2 и Ua, так что хUa, f1x f2x b1 b2 док противоп утверждение те b1 b2 в силу предыдущ теоремы сущ Ua, так что хUa1,1 f1x f2x o min12 хUa1,o f1x f2x по усл f1x f2x- по док-ву противор b1 b2 чтд Т Пусть существует limxax limxafx причм limxaxA limxaxA и в некоторой окр-ти

Ua, вып-ся xfxx тогда limxafxA Док-во E 0 2 0 x 0 x-a 2 A-E x AE 3 0 x, 0 x-a 3 A-E x AE Пусть min1,2,3 x 0 x-a A-E xfxx AE fx-A E 7Теорема о пределе сложной ф-ции Пусть limxafxA limyAgyB и в некоторой Ua,1 определена сложная ф-ция gfx и fxА тогда limxagfxlimyAgy Док-во E 0 т.к. limyAgyB 0 y , 0 y-A gy-B E т.к. limxafxA для

Е1 1 x , 0 x-a 0 fx-A x, 0 x-a gx-B E limxagfxBlimyAgy 8сравнение ф-ций fx есть O-большое от ф-ци от ф-ции gx на мн-ве Е и пишут fx Ogx на E , если C 0 fxCgx x E fxO1 на E fx ограничена на Е т.е. С 0 fxC xE Пусть ф-ция fx и gx определены в некоторой окрестности . а за исключением быть может самой этой . fx есть o-малое от gx при xa и пишут fxogx, xa , если в некоторой выколотой окрестности

а имеет место fxExgx, где limxfEx0 xox, x0 fxogx , xa Exx hxogx, xa xhxog0ogxogx xa fx есть O-большое от gx при xa, если Ua fxOgx на Ua пишут fxOgx, xa Ф-ции fx и gx называется эквивалентами xa, если эти ф-ции определены и отличны и отличны от 0 в некоторой окрестности . а за исключением быть может самой этой точки и существует предел limxafxgx1 пишут fxgx xa Т Для того, чтобы ф-ция fx и gx были эквивалентны, необходимо и достаточно

fxgxogx xa gx0 xa Док-во Пусть fxgx , xa тогда по определению gx отлично от 0 в U0 и limxafxgx1 Ex, Ex0 при xa fxgx1Ex fxgxExgxgxogx, xa. Обратно Пусть fxgXogx xa , gxoxa fxgxExgx, где limxaEx0 fxgx1Ex limxafxgx1 fgx xa Сранение бесконечно малых ф-ций Пусть fx и gx б.м. ф-ции при xa gx0 в некоторой Ua O Если отношение fxgx при xa имеет конечный и отличный от 0 предел, то ф- ции называются б.м. одного

порядка. Если fxgx0 то fx само является бесконечно б.м. более высокого порядка по сравнению с gx при xa O Ф-ция fx называется б.м. к-ого относительно б.м. gx при xa, Если ф-ция fx и gkx б.м. одного порядка при xa 9Непрерывность ф-ции в точке Ф-ия назыв непрерывной в точке а если дельтаfafah-fa определена в окр точки h0 и для 0 0 такое что h h fah-fa Для того чтобы ф-ия была fx была непрерывна в т а необход и достаточно чтобы сущ fa0, fa-0

и fa0fafa-0Одностороняя непрерывность Ф-ция наз. непрерывной справа слева если существует fa0limxa0fx fa-0limxa-0fx и fa0fa fa-0fa классифик точек разрыва если для ф-ии fx в т а fa0, fa-0 конечные значения но ф-ия в точке а имеет разрыв. то говорят что она имеет разрыв 1-го рода если ф-ия в точке а имеет разрыв не 1-го рода то такой разрыв называется разрывом второго рода.Теорема о сохранении знака непрерывной ф-ции пусть ф-ия fx непрерывна в т а и fa0 тогда существует окрестность

точки а Ua и с 0 такое что fx c xUa, 1fa 0 fx -c xUa при fa 0 Док-во возьмем fa2 0 тогда 0 такое что xUa fx-fa fa2 fx fafa2 fxfa-fa2 1 fa 0 fafa xUa fa2 fx c fa2 2 fa 0 fa-fa xUa fa2 fx c - fa2 0 fx -c чтд 10Св-ва непрерывных ф-ций на промежутках Т Больцано-Каши Пусть ф-ция fx определена и непрерывеа на отр a,b и принимает на его концах значения разных знаков. Тогда существует . с принадлежащая интервалу a,b в которой fc0

T2 Пусть ф-ция fx определенна и непрерывна на промежутке Xc,d,c,d,c,d,c,d и принимает в т. a,b X , a b AfafbB, тогда для любого числа С лежащего между А и В ca,b fсС Док Рассмотрим ab вспомогат ф-цию xfx-C Пусть для определнности A B A C B ф-ция x непрерывна на a,b и принимает на его концах разные знаки afa-CA-C 0 bfb-CB-C 0 по теореме Больцана Каши сa,b c0 fc-

C0 fcC ТФ-ция fx непрерывная на отр a,b ограничена на этом отрезке.Т Ф-ция fx-непрерывна на отрa,b в некоторых точках этого отрезка минимального и мах значения . a,b fminfx xa,b fmaxfx xa,b f fx f x a,b. Равномерная непрерывность Ф-ция yfx определнная на мн-ве ХRn называется равномерно непрерывной на Х если для 0 0 x ,x X,x ,x fx -fx Прим fx равномерно непрерывна на всей числовой прямой т.к. для 0 x

,x R, x -x Т Картера ф-ция непрерывная на огран замкн. мн-ве равномерно непрерывна на нм. 11 Т о непрерывн сложн ф-ии Пусть ф-ия fx непрерывна в т. а, a ф-я gy непрер в т b fa тогда сущ ф-ияgfx в некоторой окр точки а которая непрерывна в точке а Док-воВозьмем 0 тогда из непрерывности ф-ии gу в т b следует что сущ число 0 так что у у-b так что ф-ия gy определена и gy-gb из непрерывности ф-ии gx в т а 0 х опред на а-а и ха-а fx-fa .

На интервале а-а опред сложная ф-ия gfx причем ха-а gfx-gfa по опред непрерывности gfx непрерывна вт а чтд. 12 Непрерывность обратной ф-ции Пусть уfx непрерывна при х a,b уA,B и пусть она строго возрастает, тогда ф-ция xy также непрерывна Д Пусть y0A,B x0y0, fx0y0 x0a,b возьмм 0 столь малое, что x0 x0a,b Пусть y1fx0- y2fx0 Тогда в силу строго возрастания ф-ции f yy1,y2xyx0 x0 тогда для у из

A,B получаем a,b мы получили на нм 0 удовлетв этому условию мы не взяли существ окрестность в . 0 у1,у2 уу1,у2 соответсвует yx0-x0 Если это утверждение справедливо для мал то оно справедливо для ф-ция - непрерывна в т. н0 по определению. Пусть у0В х0y0b Возьмм b-a Пусть y1fx0- тогда в силу строгого возрастания ф-ции f yy,y0 xy при отображении пойдт в а x0 x0 ф-ция непрерывна в . у0 по определению. аналогично рассматривается случай с убыванием.

13 Непрерывность элементарных ф-ций 1fxC непрерывна на всей числовой прямой. fxfxh-fxC-C0 limh0fx0 2 fxx fxxh-xh limh0h0 3fxxn, nN непрерывна на всей числовой прямой, непрерывна как произведение непрерывных ф-ций по индукции xnxn-1x 4fxa0xna1xn-1an-непрерывная на всей числовой прямой как сумма конечного числа непрерывных ф-ций 5RxPxQxa0xna1xn-1anb0xmb1xm-1 bm-непрерывна на всей числовой прямой за исключением тех х, при которых значение знам. обращ в 0 как частное двух непрерывных ф-ций.6 fxsinx

Лемма xR, sinx x Рассмотрим еденичную окружность.OB,oxx OB ,oxx 0 x 2 т.к. длина отрезка соед две точки не превосходит длины дуги окружности соединяющей теже точки BB BAB BB 2Rsinx BAB дуг2Rx 2Rsinx 2rx sinx x Если -2 x 0 то sinx-sinxsin-x -xx 0 -x 2 Если x 2 sinx 1 2 x док что sinx- непрерывна. fxsinxh-sinx2sinh2cosxh2 2sinh2 limh0sinh20 7.fxcosx непрерывна на всей числовой прямой fxcosxh-cosx2sinh2sinxh2 2h2 h0 8fxax непр на

всей числ пр,a 0 faxh-axaxah-1 limh0axah-10 9fxlogax a 0 a1 непрерывна на 0, 10arcsinx, arccosx на всей числ. пр. 14 Понятие числового ряда пусть дана числовая последовательность an составленный из членов этой последовательности символ. а1а2а3аn назыв беск числовым рядом а1а2-члены этого ряда для обознач исп сумма n 1-ых членов ряда назыв частичной суммой ряда если предел послед частичных сумм конечный то говорят что ряд сход в прот случае расход Т необход условие сходимости если ряд аn сход то limnan0

док-во если ряд an сх то limnSnSlimnSn-1 тогда limnan limnSn-Sn-1 limnSn-limnSn-10 т док. Т Критерий Коши Для сх-ти ряда n1,an 0 n такое что при n n и р Z p 0 вып неравенство аnan1an2anp n1 1n в степ 1 сход 1 расход n n Пусть 1 1n1n112n-1 1n1n112n-1 12n12n12nn2n12 для 12 при n pn-1 вып-ся нер-во ananp ряд расх. Пусть 1, 2-1 0 расходится частичная сумма ряда S2k11213141516171812k-11 12k 1n11n212n 1n1n1nnn1n-11n 112121-12

S2k ограничена сверху т.к. n k n 2k Sn S2k ряд сход. 15 Св-ва сходящихся рядов Если n1an сх-ся то сх-ся и любой его остаток, если сходится какой либо остаток то сходися и сам ряд. Д Пусть km1ak-остаток ряда. Обозначим Аna1an n-ая частная сумма ряда 1,an A sam1ams s-ая частная сумма km1ak, тогда A sAms-Am т.к. limnaAn limSAmS limSA SlimsAmS-Am km1ak cx-cя

Пусть km1ak сх-ся AmSAS Am nms AnA n-mAm n m Т.к. limsA SlimnA nm limnAlimnAn-nAm n1an ряд сх. Следствие Если ряд 1,an сх-ся и nkn1,ak limnn0 Док Пусть An1,nak, AlimnAn AAnnnA-A1 limnnA-limnAn0 Т Если ряды n1,an и n1,bn сх-ся и -число, то n1,anbn сх-ся и n1,an сх-ся Д Пусть Аnk1,nak, Bnk1nbk AlimnAn, BlimnBn limnAnBnAB, limnAnA

Т.к. AnBna1b1anbn- n-ая частичная сумма ряда n1,anbn и Ana1an- n-ая частичная сумма ряда то данные ряды сходятся. 16T признак сравнения пусть даны 2 ряда n1 an и n1 bn аn 0 bn 0 n1,2,3 и no такое что при n no аn bn те из сходимости ряда An расход ряда Bn и наоборот. Док-во пусть ряд Вn сход кno1 bk сход Аn ano1anom,

Bnbno1bnon M 0 такое что Bn M n An Bn M kno1 ak сх-ся k1 ak сход Предельный признак сравненияЕсли сущ предел limn anbn k то 1.0 k из сход bn следует сходимость an 2.0 k из расх bn следует расходимость an док-во если 0 к 1 no такое что при n no anbn k k1 an n1bn n no из сх bn следует сходимость an aк сходится 0 к к2 к и 1 к no такое что при n no anbn k2 k anbn 1 k при n no аn k2bn k из расход bn аn расх ак а bn k Утв. 17Признак

Даламбера не предельныйпр Тейлора an an 0 n1,2,3 Если аn1an q 1 n1,2,3 ряд сход если q 1 ряд расх Док-во аn a1a2a1a3a2anan-1 a1qqa1qn-1 q 1 т.к. n1,qn-1 cх-ся как бесконечная n1,аn cх-ся Пусть аn1an 1 аn1 an a1 0 limnan0 ряд расход Признак Дплмбера предельный Пусть существует предел limnan1ank 1k 1 ряд сх 2k 1 ряд расх. Док-во k 1 0 k 1 n0 n n0 an1an kq 1 kn01,ak сх-ся n1an сх-ся.

Пусть k 1 k 0 k- 1 n0 при n n0 an1an k- 1 n1an расход Радик Признак Коши пусть дан ряд an 0 кор n-ой степаn q 1 ряд сх-ся если кор n-ой степаn 1 ряд расход cледствие пусть limкор n-ой степаnk k 1 ряд сх к 1 ряд расход 18 O Знакопеременными рядами называют n1-1n-1an, an 0Т Лейбница пусть дан знакоперем ряд -1n-1 сn cn 0 1Cn1

Cn n1,2,3 2LimnCn0 то ряд сход Док-во рассм частичные суммы ряда c чтными номерами S2k можно представить в виде S2kc1-c2c3-c4c2k-1-c2k Т.к. каждая из скобок положительна то данная частичная сумма образует возрастающую последовательность по усл теоремы S2kc1-c2-c3 c2n-2-c2n-1-c2n c1 limnS2nS Рассм теперь сумму с нечтными номерами S2k1S2kC2k1 т к limC2k1 0 limkS2k1limkS2kS

Из вышесказанного следует limnSnlimnS2k limkS2k1S Док-ть самим Оценка остатка ряда При выполнении Т Лейбница знак остатка ряда совпад со знаком своего 1-го члена и не превосходит его по модулю 19 Ряд n1an наз абс сход если сход ряд an. Если an cх а an - расх то такой ряд наз усл сх. Теорема о связи между сх абс и об Если ряд абсолютно сходится то он и просто сходится

Док Пусть ряд n1an -абс сх n1аn -сх-ся по критерию Коши 0 n при n n и pZ p 0 вып-ся нер-во anan1anp ananp по критерию Коши n1an-сх-ся.Св-ва абс сх рядов Т1 Если n1an абс сход, то ряд полученный из него произвольной перестановкой членов также абс сх и имеет тужу сумму. Т2 Если ряды n1an и n1bn абс сх то ряд сост из возм попарн произведений aibi взятых в произвольном порядке также абсолютно сход и сумма его произведению сумм рядов an и bn

Признаки Даламбера и Каши для рядов с произвольными членами При исследовании ряда n1an на абс сход к ряду из модулей его членов могут быть применены все признаки сходимости для знакоположительных рядов. Т1an-1an limnan-1ank при k 1 ряд n1an- сход при k 1 ряд n1an-сх при k 1 ряд n1an- расх Т2 Если для посл-ности nan klimn nan при k 1 ряд n1an-сх при k 1 ряд n1an- расх. 20Ряды с комплексными членами О Посл-ность znxniyn, n1,2 имеет своим пределом число z0x0y0

Если для 0 n при n n вып zn-z0 Для того чтобы посл-ность znxniyn сход необходимо и достаточно чтобы последовательность хn сход х0 и посл. yn сход у0. Док-во Пусть z0limnzn 0 n при n n zn-z0 Т.к. zn-z0xn-x0yn-y0 zn-z0 xn-x0 и zn-zo yn-y0 при n n вып. нер-во xn-x0 zn-z0 yn-y0 zn-z0 по опр. limnXnx0 а limnyny0 Пусьт дана пос-ность компл. чисел Zn. Если существует предел последовательности его частичных сумм в

этом случае этот предел называют суммой ряда. В проти вном сл ряд расх. Т Для того чтобы ряд znxniyn сходился и имел своей суммой число si Необх. и достаточно чтобы сход ряды n1,xn и n1,уn и имели своими суммами числа и - соответственно Snk1,nxkik1,nyk и если ряд n1,zn сх то limnzn0 Д Пусть znxniyn т.к. n1,zn сх n1,xn сх и n1,уn сх limnxnlimnyn0 limnznlimnxnilimnyn0 чтд. О Ряд zn назыв абс сход если сход ряд мод zn если сход ряд zn а ряд zn расход

то усл. сход. Т Абсолютно сходящийся ряд сходится.Д Пусть n1,zn абс сход n1,zn -сх Т.к. xn xnynzn, yn zn znxniyn по признаку сравнения n1,xn -cх и n1,yn -сх n1,xn сх и n1,уn-сх n1,zn cх Т Для того чтобы ряд абс сходился znxniyn необходимо и достаточно, чтобы ряды xn и yn абс сход Д Пусть n1,xn и n1,уn сх znxnyn yn2xnynyn xnynxnyn то по признаку сравнения n1,zn - cх-ся. 21Производная диф O Производной fx в т. х0- называется предел отношение приращения ф-

ции к соответсвующему приращению аргумента, когда последние 0 fx0limx0fx0x-fx0x O Aconst Вырожение Ах назыв. дифференциалом ф-ции f в т. х0 и обозначают dy или dfx Приращение х обозначают dx и называют дефференциалом независимой переменной т.о. dyAdx Т Если у ф-ции fx в . x0 существут производная то ф-ция непрерывна в . х0 Док-во Пусть yfx0x-fx0 т.к. limx0yxf x0 yxf x0x, где x 0 при х0 yf x0xx, где х0 при х0 yf x0xxx limx0y0

в fx-непрерывно в т.х0 Oyfx-определнная в Ux0 в т.х0 называется дифференцируемой при хх0 исли е приращение уfx0x-fx0, x0xUx0 можно представить в виде уАхох, х0Т Для того, чтобы ф-ция yfx была дифференцируема, необходимо и достаточно чтобы она в этой точке имела дифференциал. Док-во Пусть yfx диффер-ма в х0 y fx0x-fx0 Axox, x0 limx0yx limx0AoxxA т.о. в т. х0 f x0limx0yxA

Обратно Пусть ф-ция yfx имеет в т. х0 f x0limx0yxyxf x0x, limx0x0 yf x0x xx yf x0xox, x0 ф-ция f- дифференцируема в т. х0 22 Геометрический смысл произ Пусть ф-ция yfx- определена и непрерывна на ab x0, x0xa,b, y0fx0, y0yfx0x M0x0,y0 Mx0x,y0yкартинка проведм секущую MM0 е ур-ние имеет вид yy0kxx-x0, kxyx Всилу непрерывности yfx в т.х0 у0 при х0 M0Mxy0 при х0 В этом случае говорят что MM0 О Если limx0kxk0 то прямая уравнение которой yy0kxx-x0 получается из ур-

ния kxyx при х0 называется наклонной касательной к графику ф-ции уfx в . х0,у0 Т.к. kxyx, то k0limx0kx limx0yxf x0 уравнение касательной имеет вид yy0f x0x-x0 f x0tg причм yy0k0x-x0 называется предельным положением yy0kxx-x0 касательная есть предельное положение секущей при M0M т.к. f x0x-x0dy то dyy-y0 где у-текущая ордината касательной. Т.е. дифференциал ф-ции в . х0 есть приращение ординаты касательной.

Уравнение нормали. Нормалью к графику ф-ции yfx в . х0,у0 называется прямая роходящая через эту точку перпендикулярно касат к графикуэтй ф-ции. Его можно написать, зная точку, через которую она проходит и угловой коэффициент k-1f x0 y-fx0-1x-x0f x0 x и y точки на нормали 23 Пусть ф-ции Ux и Vx дифференцируемы в . х тогда dU-VU-V dxU -V dxU dx-V dxdU-dV 2dUVUV dxU VV UdxU XdxV

UdxVduUdv 3dUVUVdxUVvUdxVUVdx-V UdxVVdu-UdvV 24 Производная от сложной ф-ии. Dh Пусть zfy - дифф. в точке y0 yx дифф. в точке х0 . y0x0 тогда сложная ф-ия zfx- дифф. в точке х0 и справедлива формула z xz yy xf y x dzdxdzdy dydx ДокТ.к. zfy - дифф. в точке y0 zf y0yy Т.к. yx- дифф. в точке х0 y x0xx zf y0 x0xf y0xy Т.к yx - дифф. в точке х0 а значит непрерывна в этой точке x0y0. xf x0xy limx0x limx0xx limx0f x0xxyx

limx0yx limx0yy limx0yx x0 fxf y0 x0xx, где limx0xx0 fx xz xf y0 x0 25 Производная от обратной ф-ии. Пусть yfx в точке х0 имеет 1 f x0, 2 на промежутке, содержащем х0, обратную ф-цию yf-1xy 3 y0fx0 тогда в . х0 существует f 0, равная y01f x0. Док-во Пусть xy и двум различным значениям х соответсвует е различных значений у. xx0yy0x0 y0 yx1yx Пусть yfx дифф. в точке x0 тогда limx0y0x0y0 f x0limx0yx limy01yx1limy0xy1 y0 f x00 y01f x0 26

Логарифмическая производная yuxvx,ux 0 lnyvxlnux yyv xlnuxvxu xux y uvv lnuvu u lny y y-логарифмическая производная ф-ции Производные основных элементарных ф-ций 1 yConst yc-c0limx0yxC 0 2 ysinx y cosx 3cosx -sinx 4 ax axlna 5arcsinx 11-x 6arccosx -11-x 7 arctgx 11x 8 arcctgx -11x 9 lnx 1x 10 x x-1 27 Производные и дифференциалы выс. порядковО Пусть yfx fnxfn-1x т.о. если говорят что у ф-ции yfx в . существует производная n-ого порядка то это означает, что в некоторой окресности . х0 определено произведение

n-1 ого порядка, которая сама имеет производную в . х0 fn-1x0 Эта последняя производная и наз. n-ого порядка от ф-ции f Дифференциал n-ого порядка О dnfxddn-1fx При взятии дифференциала следует учитывать, что величина dx есть произвольное не зависящее от х число которое надо рассматривать как постоянный множитель при взятии производной dyddydf xdxdf xdxf xdx dnyfnxdxn fndnydxn uvn unv

Cn1 un-1v Cn2 un-2v C1n un-kvk uvn k0nCkn un-kvk,формула Лейбница, Где Cnk nkn-k , 0 1, v0 v. u vn k0nCkn un-kvk - бином Ньютона. формула Лейбница доказывается по индукции. 28 Параметрическое дифференцирование Пусть xxt, yyt определены в окрестности t0 ttx x0xt0 Определена сложная ф-ция Фхуtx которая называется параметрически заданным уравнением.

Предположим что xt и gt имеют производные в т. х0 тогда ф-ции Фхуtx также имеют производную в . х0 и она равна Ф xy tt0x tt0 Действительно по правилу дифференцирования сложной ф-ции Ф x0y tt0t xx0 t xx01x tt0 Фэх0y tt0x tt0 x t00 Если ф-ция xt и gt имеет производную x t0 y t0 то Ф x0 равно Ф x xx0y tx xxx0y tx tttt0t xxx0y ttt0x tt0-y tt0xtt t0x tt0 29

Теорема Ферма. Если функция fx имеет производную в точке с и достигает в этой точке наибольшеенаим значение, то f с0. Доказательство. Для определенности будем считать, что fx имеет в точке с локальный максимум. По определению производной имеем f climxfcx-fcx Так как у нас fc f x xUс, то для достаточно малых x 0 fcx-fcx откуда в пределе при x0 получим, что f с 0. Если же x 0, то fcx-fcx 0 поэтому, переходя к пределу при x0 в этом неравенстве, получаем, что f с 0.Из

соотношений вытекает, что fc0. 30 Теорема Ролля. Если функция yfx непрерывна на а, b, дифференцируема на а, b и f а fb, то существует точка c0а,b, такая, что fc0. Доказательство. Если f постоянна на а, b, то для всех ca, b производная fc0. Будем теперь считать, что f непостоянна на а, b. Так как f непрерывна на а, b, то существует точка x1 а, b, в которой f достигает максимума на а, b и существует точка х2а, b, в которой f достигает минимума

на а, b. Обе точки не могут быть концевыми точками отрезка а,b, потому что иначе maxfxminfxfa fb и f была бы постоянной на а, b. Следовательно, одна из точек x1,х2 принадлежит к интервалу а, b. Обозначим ее через c. В ней достигается локальный экстремум. Кроме того, fc существует, потому что по условию fx существует для всех ха, b. Поэтому по теореме Ферма f c0. Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл.

Если выполнены условия теоремы, то на графике функции yfx существует точка c,fc касательная в которой параллельна оси х. 31 ТеоремаЛагранжа. Пусть функция fx непрерывна на отрезке а, b и имеет производную на интервале а,b. Тогда существует на интервале а, b точка с, для которой выполняется равенство fb-fab-afc а с b. Док-во tgkfb-fab-a существует т. с в которой касат. к графику параллельна стяг прям концов крив. Рассмотрим вспомогательную функ-цию Fxfx-fa-fb-fax-ab-a данная функ-ция удовлетворяет всем условиям

теор Ролля, т.к. она непрерыва на a,b в силу непрерывнотси fx и x-a и имеет на интервалеa,b F xf x-fb-faf-a xa,b и Fa0Fb по теореме Ролля сa,b F c0 f c-fb-fab-a0 Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл, если записать ее в виде fb-fab-af c a c b Левая часть этого равенства есть тангенс угла наклона к оси х хорды, стягивающей точки a, fa и b,fb графика функции yfx, а правая часть есть тангенс угла наклона касательной к графику в некоторой

промежуточной точке с абсциссой са, b. Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая есть график непрерывной на а, b функции, имеющей производную на a, b, то на этой кривой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе с а с b такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой а, fа и b, fb 32ТеоремаКоши. Если функции fx и gx непрерывны на а, b и дифференцируемы на а, b, и gx0 в а, b, то существует точка ca, b такая, что fb-fagb-gaf cg c

Доказательство. Отметим, что gb-ga0, так как в противном случае, по теореме Ролля нашлась бы точка g такая, что gc0, чего быть не может по условию теоремы. Составим вспомогательную функцию Fxfx-fa-fb-fagx-gagb-ga В силу условия теоремы эта функция F непрерывна на а, b, дифференцируема на а, b и Fa0, Fb0. Применяя теорему Ролля, получим, что существует точка ca, b, в которой

Fc0 Но F xf x-fb-fag xgb-ga поэтому, подставляя вместо х точку c, получаем утверждение теоремы. 33Правило Лапиталя 1Ф-ции fx и gx опред на полуинтервале a,b 2 limxa0fxlimxa0gx0 3 Существуют произв конечн f x and g x на a,b y 0 4 Сущесвует конечн или нет limxa0f xg xk тогда limxa0fxgxk Док-во доопределим ф-ции fx и gx при xa наложив f0g00 Тогда мы получим непрерывные на отрезке ab ф-ции т.к. в т.a знак а f и g совпадают со значениями пределов,

а в остальных точках непрерывность вытекает из существования производных По теореме Коши. fxgxfx-fagx-gaf cg c где a c x gx0 т.к. если gx0g0 a,x g 0-это не возможно по условию. Если xa ca limxa0fxgx limxa0f xg xk T2Пусть 1f,g опр и непр на положит c c 0 2 limxfxlimxagx0 3Сущкон произв f x and g x на c, g x0 4 limxaf xg xk Тогда limxafxgxk д Замена t1x, если xt0 по условию 2 limt0f1x limt0g1x0

По усл 4 limt0f 1tg 1tk по т1 limxafxgx limxaf xg xk T31Ф-ции fx и gx опред на полуинтервале a,b 2 limxa0fx limxa0gx 3 Существуют произв конечн f x and g x на a,b y 0 4 Сущесвует конечн или нет limxa0f xg xk тогда limxa0fxgxk 34 Ф-ла Тейлора Т Путь ф-ция yfx опред и непр на a,b и имеет в т.хa,b производные до порядка n включительно f x,f x fnx fxfx0f x0x-x01 f x0x-x02 fnx0x-x0nnox-x0n-формула

Тейлора с остаточным членом Пеано. fxfx0f x0x-x01 f x0x-x02 fnx0x-x0nnfn1cx-x0n1n1-формула Тейлора с остаточным членом Лагранжа. Pnxfx0f x0x-x01fnx0x-x0nn-ф-ла Тейлора в степени n, а ф-ция rnxfx-Pnx-остаточный член ф-лы Тейлора При х0 ф-ла Маклорена. Д Найдм многочлен PnxA0A,x-x0n Pnx0fx0, Pn x0f x0 Pnnx0fnx0 1 Дифференцируя данный многочлен получим

PnxA0a1x-x0Anx-x0nPnx0fx0,Pn x0f x0 Pnnxnfnx0 Pn xA12A2x-x0nAnx-x0n-1 P nx2A232A3x-x0.nn-1Anx-x0n-2 Pnnnn-1n-2An Px0A0fx0 Pnxfx0f x0x-x01fnx0x-x02fnx0x-x0nn Pnx0fx0, Pn x0-f x0 Pnnx0fnx0 rnxfx-Pnx Т.к. деференцир rnn-1x диф-фма в x0 то limxx0rnn-1xx-x0 limxx0 rnn-1x-rnn-1x0x-x0rnnx0 Раскрывая по правилу Лапиталя получим limxx0rnxx-x0n limxx0rn xnx-x0n-1 limxx0rnn-1xnx-x0rnnxn0 rnxox-

x0n,xx0 35Разложение основных элементарных ф-ций по формуле Маклорена. 1fxex, f01, fkxex, fk01, ex1xx2xnnoxn, x0 2fxsinx, f00, f xcosx, f x-sinx, f x-cosx, fIVxsinx, fkx-1msinx, k2m -1m-1cosx, k2m-1 m1,2, f2m-10-1m-1 полагая n2m получим sinxx-x33x55 1n-1x2m-12m-1ox2m,x0 cosx1-x2x42-x66 1mx2m2mox2m1,x0 4fxln1xf0ln10, f x11x, f x-11x, f x21x3,fkx-1k-1k-11xk fk0-1k-1k-1 Подставим в формулу Тейлора l1xx-x2x33 1n-1xnnoxn,x0 5fx1x f01, f x1x-1, f x-11x-2 fkx-1-k11x-k fk0-1-k1 1x1x-1x2-1-n1xnnoxn,

x0 36 Признак монотонности ф-ции. Т Пусть ф-ция fx дифференцируема на a,b, для того, чтобы ф-ция возрасталаубывала на этом интервале необходимо и достаточно чтобы во всех точках этого интервала выполнялось f x 0 f x 0 Если во всех точках интервала f x 0 f x 0, то ф-ция строго возрастает убывает на интервале ab Д Пусть f-возрастает убывает x0a,b, x 0, тогда fx0x-fx0 0 x0 y 0 yx 0 yx 0 f x0limx0yx 0 f x0 0 Пусть xa,b f x 0 f x 0 a x1 x2 b по теореме Лагранжа fx2-fx1fcx2-x1, x1 c x2

Т.к. x2-x1 0, f c 0 f c 0 fx2-fx1 0 fx2-fx1 0 fx2 fx1 fx2 fx1 ф-ция возрастает убывает Если f x 0 xa,b f x 0,xa,bf c 0 f c 0fx2-fx1 0 fx2-fx1 0 37ТПусть x0 является точкой экстремума ф-ции fx, тогда производная в этой точке 0 либо не существует. Док Т.к x0 экстремум Ux0, xUx0, fx fx0 или fx fx0 т.е. в . x0 ф-ция yfx принимает наибольшее или наименьшее значение в окр.Ux0, по теорме Ферма произв если она сущ то 0

Т Достаточное условие экстремума Пусть ф-ция yfx дифференцируема в некоторой окресности . x0 за исключением быть может самой точки х0 в которой она непрерывна. Тогда если при переходе через точку х0 производная ф-ции меняет знак т.е. 0 xx0,x0 f x 0 or f x 0, а xx0 x0 f x 0 or fx 0 то х0 является экстремумом при этом для x,x0 f x 0,a для xx0 x0 f x 0 то x0 макс , а для xx0 x0 f x 0, а для xx0,x0 f x 0 то xo-мин.

До Пусть для xx0 x0 f x 0 для xx0,x0 fx 0. По теореме Лагранжа ffx-fx0f x-x0 между х0 и х Если х x0 x-x0 0 x0 x , f 0f 0. Если х x0 x-x0 0, x x0, f 0f 0 fx fx0 x0-макс x-min аналогично 38 Пусть yfx определена и непрерывна на промежутке Х ф-ции называется выпуклой вогнутой если x1,x2 X выполняется нер-во fq1x1q2x2 q1fx1q2fx2 fq1x1q2x2 q1fx1q2fx2, где q1 0,q2 0, q1q21

Геом интопрет xq1x1q2x2 x1 x2 q1 0,q2 0, q1q21 тогда т.х лежит между точками х1 и х2Док-во x-x1q1x1q2x2-x2x1q1-1q2x2-x1q2q2x2q2x2-x 1 0x x1x2-xx2-q1x1-q2x2x1-q2-q1x1x2q1-q1x1q2x 2-x1 0x1 x x2Замyfx-выпкклавогнута тогда для х q1x1q2x2 q1x2-xx2-x1 q1x-x1x2-x1 выполнено неравенство fx-fx1x-x1 fx2-fxx2-x1 1 Т1 Пусть ф fx опред. и непрерыв. на пром. Х и имеет на этом пром. кон . произв. Для того чтобы выпуклавогнута f x- возраталаубывала на

Х Док-во Пусть ф-ция выпукла на Х и х1 х х2 Тогда вып нер-во 1 переходя в этом нер-ве к пределу хх1 или хх2 получим f x1 fx2-fx1x2-x1 xx1 fx2-fx1x2-x1 f x2 xx1 f x f x2 производная возрастает Обр Пусть произв. возрост. то по теор Лагранжа fx2-fx1x2-x1f Причм т.к. f 1 f 2 выполнено нер-во 1 ф-ция выпукла. Т Пусть ф-ция yfx определена и непрерывна вместе со своей производной на промежутке

Х и имеет на этом промежутке конечную вторую производную, для того чтобы ф-ция была выпуклой вогнутой на X необходимо и достаточно, чтобы на этом промежутке выполнялось нер-во f x 0 f x 0 Док f-выпуклаявогнутая f возрастаетубывает f 0 f 0 . перегиба Пусть yfx дифференцируема в . x0 и yex-ур-ние касательной к графику ф-ции уfx в . х0. Если при переходе через . х0 выражение fx-ex- меняет свой знак то . х0 называется точкой перегиба.

TДостаточное условие точки перегиба. Если х0 является точкой перегиба ф-ции fx и вэтой точке существует вторая производная, то она равна 0 Д Уравнение касательной к графику ф-ции yfx в т. х0 имеет вид Lxfx0f x0x-x0 Разложим ф-цию fx в окр. т. х0 по Тейлору с остаточным членом в форме Пеано fxfx0f x0x-0f x0x-x02xx-x0, x0 при xx0 fx-Lxf x02xx-x02 Если предположить что f x0 то т.к. х0 при хх0 в достаточно малой окр. т. х0 знак в правой чсти аоследнего

равенства совпадает со знаком f x при переходе через т. х0 выражение fx-Lx не меняет знак, значит т. х0 не является точкой перегиба, а это противоречит условию f x00 ТДостаточное условие . перегиба Пусть ф-ция yfx дифференцируема в . х0 и дважды дифференцируема в некоторой выколотой окрестности Ux0, Если при переходе через . х0 f меняет знак, то это точка перегиба.Док-во Рассмотрим fx-Lxfx-fx0-f x0x-x0по теореме Лагранжа лежит между х и х0 f x-x0-f x0x-x0Т

Лагранжа леж меду и х0x-x0f -f x0x-x0-x0f Т.к. т-ка лежит между х0 их то т-ки х и лежат по одну сторону от т. х0 х-х0-х0 0 поэьому знак fx-Lx совпадает со знаком f Т.к. т. лежит между и х0 то т-ки х и лежат по одну сторону от т. х0 Если при переходе через т. х0 вторая производная меняет знак то и вырожение fx-Lx- также меняет свой знак х0-т. перегиба. 39 АсимптотыПусть кривая задана ур-нием yfx где х

Aconst и ф-ция fx непрерывна при всех x A. Пусь прямая L задана ур-нием yaxb. Если расстояние от точки А x,fx до прямой L стремиться к 0 при неограниченном возрастании х, то прямая называется асимптотой кривой гаммы соответсвующей х Аналогично при х-Найдм расстояние до пр L xfx-ax-b1a Т.к. прямая L является асимптотой то limxx0 limxfx-ax-b0 limxfxx-a-bx0 limxfxx-a0 a limxfxx b limxfx-

ax. Для отыскания асимтоты необходимо вычислить limxfxx если этот lim несущ то асимтоты соответсвующей к стремлению х нет. Если этот предел существует и а то находим b тогда yaxb является асимтотой. Пусть функ-ции yfx определена возможно в односторонней окрестности т. х0 и если для этой ф-ции выполняется хотябы одно из равенств limxх0-0fx limxх00fx то прямая хх0 называется вертикальной асимптотой. 40 O Ф-ция Fx называется первообразной для ф-ции fx на промежутке

Х если эта ф-ция Дифференцирунма на этом промежутке и во всех точках промежутка выполняется равенство F xfx T Для того чтобы две дифференцируемые ф-ци Fx и x были первообразными для одной и той же ф-ции fx необходимо и достаточно чтобы они отличались на const Док-воПусть Fx первообразная для fx тогда тогда F xfx Fxc F xfxFxc-первообразная для fx Если Fx и x первообразные для fx то рассмотрим ф-цию хFx-x для не

xF x- xfx-fx0 Пусть х1,x2X по теореме Лагранжа х2-х1 cx2-x10 т.е x2x1 xcconst T Если F1x и F2x-две первообразные для fx на a,b, то F1x-F2xC на a,b, где C- некоторая постоянная. 41 OПусть ф-ция fx определено на Х мн-во всех первообразных ф-ции fx на пром Х называется неопределнным интегралом и обозначается fxdx Если Fx-первообразная для fx то fxdxFxC Cв-ва 1Если ф-ция

Fx дифференцируема на Х, то F xdxF xC 2Если ф-ция fx имеет первообразную на Х то для всех точек из этого промежутка dfxdxfxdx 3Пусть f1 and f2 имеют на промежутке Х первообразную тогда ф-ция f1f2 также имеет на этом промежутке первообразную и выполнено равенство f1xf2xdxf1xdxf2xdx д пусть F1x-первообразная для f1x, F2x-первообразная для f2x, тогда F1xf2x-непрерывна для f1xf2x, т.к.

F1xF2x F1 xF2 x f1xf2x 5Если Fx первооб для fx, то faxbdx1aFaxbC д в самом деле 1aFaxb 1aaF axbfaxb 42 Метод замены переменой в неоп Пусть fx определена и непрерывна на соответствующем интервале и хt непрерывно дифференцируема ф-ция на некотором интервале изменения t, тогда fxdxft tdtCftdtC-ф-ция интегрирования замены переменной. Т по частям Пусть ф-ция Ux,Vx дифференцируема на некотором промежутке Х и существует UxV xdx тогда существует интеграл VxU xdxUxVx-

UxV xdx ф-ла дифференцирования по частям. Док-во Т.к. ф-ция Ux и Vx дифференцируемы на промежутке Х то по правилу дифференцирования произведения получим UV U VUV U VUV -UV Т.к. существует итегралл UV dx по условию Если UV dxUVC то U VdxUV dx-UV dxUV-UV dxC производную постоянную к U VdxUV-UV dx Пример exsinxdxexsinx-excosxdxU xex V xsinxexsinx-excosx-exsinxdx exsinxdxexsinx-excox-

exsinxdx 2exsinxdxexsinx-excosx exsinxdxexsinx-excosx2 43По основной теореме алгебры каждый многочлен степени n имеет n корней с учтом кратности PnzA1z-z1k1z-zsks, k1ksn Пусть а-корень кр-ти м многочлена PnzPnzz-amQn-mz a-корень кр-ти m многочлена Pnz Пусть многочлен Pnx- имеет действительный коофицент, тогда PnxPnx xR По доказанному Если комплексное число а является многочленом

Pnx то а является также корнем этого многочлена той же кратности. Т.к. z-az-a является многочленом с действительным многочленом Pnxx-a11x-arrx-z11x-zsbsx-zssx-a11x-arrx p1xq11xpsxqss Pj4-qj 0, j1 s a1 arR, Pj,qjR Лема Пусть Px и Qx многочлены с действительными коофицентами, причм степень degPx degQx Сущ а корень кратности м многочлена Qx,

Qxx-amQ1x, Q1a0 то сущ действительное число А и многочлен с действительными числами P1x ,AR такие, что PxQxAx-amP1xx-am-1Q1x Пусть Px и Qx многочлены с действительными коофициентами, причм degPx degQx z1aib, b0-является корнем кратности m Qx, т.е. имеет место равенство QxxpxqmQ1x, Q1z10, p4-q 0 то сущ M и NR и многочлен с действ. кооф. P1x такие что имеет место равенство

PxQxMxNxpxqmP1xx2pxqm-1Q1x При любых действит M и N имеет место PxQxMxNxpxqmPxQx-MxNxpxqmMxNxpxqmPx-MxNQ 1xxpxqmQ1x TПусть Px and Qx многочлены с действ многочленами причм degPx degQx и для Qx имеет место QxAx-a11x-arrxp1xqxpsxqsps, a1 arR,p1q1 psqsR, Pj4-qj 0, j1 s Тогда существуют числа Aij, I1 r j1

I Mij,Nij, I1 s j1 I PxQxA11x-a11 A11x-a1A21x-a22A22x-a22M11xN11xp1xq11M11 xN11xp1xq1Ms1xNs1xpsqssMsxNssxpsxqs. Из этого следует что от правильной рациональной дроби сводиться к интегралу следующих простейших дробей 1.Adxx-aAlnx-aC 2.Adxx-amAx-a-mdxA1-mx-am-1C 3.MxNdxxpxqM2lnxpxqN-MP21aarctgxP2aC 4.MxNdxxpxqmM21-mxpxqm-1N-MP2dttam 44 Ф-цию вида Rx,maxbcxd называют дробно линейной иррациональностью.

С помощью замены tmaxbcxd рационализируем интеграл. tmaxbcxd xb-dtmctm-a рациональная ф-ция от t dxmtm-1ad-bcdtctm-a Rx,maxbcxddxRb-dtmctm-a,t mtm-1ad-bcdtctm-aR1tdt. R1t-рациональная. Вида Rx,axbxcdx, -квадратичная иррациональность где а, b, c постоянные числа. Если трхчлен axbxc имеет действительные корни х1 х2 то axbxcax-x1x-x2 и Rx,axbxcRx,x-x1x-x2ax-x1R1x,x-x2x-x1 поэтому пусть axbxc не имеет действит корней и а 0.

Тогда подстановка Эйлера taxbxc xa axbxct-2xtaax xt-c2tab рациональная функ-ция от t Ч.Т.Д Если а 0 с 0 axbxc 0 то можно сделать замену axbxcxtc 45 Интегрирование выр Rcosx,sinx Рационализация Rcosx,sinxdx достигается подстановкой ttgx2 - x , универсальная sinx2tgx21tgx22t1t, cosx1-tgx21tgx21-t1t, x2arctgt, dx2dt1t, Rcosx,sinxdxR1-t1t,2t1t2dt1t R1tdtЕсли функция Rx, у обладает свойствами четности или нечетности по

переменным х или у, то могут употребляться и другие подстановки, также рационализирующие интеграл.Пусть Ru,vPu,vQu,v ucosx, vsinx.где P и Q многочлены от u и v. 1 Если один из многочленов P Q четный по v, a другой нечетный по и, то подстановка tcosx рационализирует интеграл. 2 Если один из многочленов Р, Q четный по и, а другой нечетный по и, то подстановка tsinx рационализирует интеграл. 3 Если Р и Q а оба не изменяются при замене и, v соответственно на и, v или

б оба меняют знак, то интеграл рационализируется подстановкой t tg x или tctgx. 46 OРазбиением a,b называется произвольное мн-во точек xi, I0,1 i удовлетворяющее условию x0a x1 x2 xi-1 xi Каждый из отрезков xi-1,xi называется отрезком разбиения Пусть ф-ция yfx определена на a,b и произвольное разбиение этого отрезка, в каждом отрезке разбиения в произвольном образе выберем . ixi-1,xi I1 i и рассмотрим сумму f,1 iI1ifIx -интегральная сумма

Определение Число I называется опред ф-ции yfx на отрab и обозначается abfxdx Если E 0 EE 0 при любом разбиении мелкости E и любом выборе . ixi-1,xi, I1 i I1ifix-I E При этом пишут Ilim 0 TЕсли ф-ция интегрируема на отр. a,b то она ограничина на этом отрезке Док-во Пусть ф-ция yfx интегрируема на a,b но не является ограниченным. на этом отрезке. На этом отрезке рассмотрим произвольное разбиение отрезка a,b то она ограничена хотя бы на одном на

одном отр. разбиения. Пусть это будет отр.xj0-1,xj0 Тогда на этом отрезке существует последовательность точек njo 0 limnfnjo Рассмотрим сумму I1ifIxifioxjo I1ifxifjoxjoB Зафиксируем произвольным образом ixi-1,xi ijo limf,1 0n ilimfjoxjoB m 0 существует n0 f,1 jon i m Отсюда , что интегральная сумма при мелкости разбеения 0 не могут стремится ни к какому конечному результату. Предположим, что

Ilim0E 0 E 0 , E и любой выбор точек i выполняется нер-во -I E-II -II EI MEI при любом разбиении в частности при при E можно выбрать точки 1 i такие, что M ф-ция не может быть не ограничена на отрa,b. Ч.Т.Д. 47OДля ф-ции yfx определнной в . а положим по определению аa fxdx0, а для ф-ции yfx интегрируемой на отр.a,b положим по опред bafxdx-abfxdx Св-во1 abdxb-a действительно ф-ция fx1 на a,b по этому при

любом разбиении и любом выборе . i fi1i1ifixii1ix1x1-x0x2-x1x3-x2xi-x-1xi-x 0b-a lim0b-a Св-во2 Пусть f,g интегрируемы на отр a,b , тогда ф-ция fg также интегрируема на отра,b и имет место равенство abfxgxdx abfxdx abgxdx док Пусть xi ii io ixi-1,xi ,тогда Efgi1ifigixiii1fixiii1gixifg Т.к. f и g - интегриремы на a,b то lim0fabfxdx lim0gabgxdx lim0fgabfxdxabgxdx т.о. ф-ция fg -интегрируема на отрa,b и имеет место равенство abfxgxdxlim0fgabfxdxabgxdx

Св-во 3Пусть ф-ция yfx интегрируема на отрa,b тогда для любого действительного числа ф-ция fx - интегрируема на отр a,b и имеет место равенство abfxdxabfxdx Св-во 4 Пусть a c b и ф-ция yfx интегрируема на отрa,c и b,c тогда она интегрируема на отрa,b и имеет место равенство abfxdxaсfxdxсbfxdx Св-во5 Если yfx интегрируема на отр a,b то она интегрируема на любом отр c,d a.b лежащем в этом отрезке. Св-во6 Если ф-ции f и g интегрируемы на a,b то ф-ция f-g также интегрируема

на a,b Св-во 7 Пусоть fx - итегр-ма на a,b и на этом отр inffx 0 M 0 xa,b fx M Тогда 1fx - также интегрируема на a,b Св-во Пусьт fx -интегр-ма на a,b и хa,b fx0 тогда abfxdx0 48 T о среднем Пусть 1 f и g интегрируема на a,b 2 m fx M, для хa,b 3 На отр.a,b ф-ция gx Сохраняет знак. т.е. она либо не положительна, либо не отрицательна

тогда сущ mM и abfxgxdxabgxdx Док-во Т.к. на отрa,b mfxM то умножив это нер-во на gx получим mgxfxgxMgx при gx0 mgxfxgxMgx при gx0 Т.к. f и g интегрируемы на a,b то интегрируя нер-во получим mabgxdxabfxgxdxMabgxdx при gx0 mabgxdxabfxgxdxMabgxdx при gx0 Если abgxdx0 то из полученного нер-ва находим abfxgxdx0 рав-во abfxgxdxabgxdx выполнено при любом Пусть abgxdx0 при gx0 abgxdx 0, а при gx0 abgxdx 0 Разделим нер-ва на abgxdx в обоих случаях получим mabfxgxdxabgxdxM

Пологая abfxgxdxabgxdx получаем утверждение теоремы abfxgxdxabgxdx Следствие При дополнительном предположении что ф-ция yfx непрывна на отрa,b существует a,b такое, что abfxgxdxfabgxdx 49 Пусть ф-ция yfx интегрируема на отрa,bтогда она интегрируема на отрa,x при axb по св-ву опред Fx axftdt, xa,b которая называется интегралом с переменным верхним пределом от ф-ции Fx T1 Если ф-ция yfx интегрируема на a,b, то Fх непрерывна на a,b.

Док-во пусть xa,b xxa,b Рассмотрим приращение FFxx-Fx axxftdt-axftdt Т.к. ф-ция yfx интегрируема на a,b C 0. fxС xa,bFxxxftdtС xxxdtСx limx0F0 Значит А- непрерывна в т. х Ч.Т.Д. T2 Пусть yfx интегрируема на a,b и непрерывна в x0 a,b Fx axftdt дифференцируема в . х0a,b и имеет место равенство

F x0fx0 Док-во Пусть x0xa,b FFx0x-Fx0 axxftdt- ax0ftdt ax0ftdt x0xxftdt- ax0ftdt xx0xftdt Ft-fx01x, x0x0xftdt-fx0x1x x0x0x Ft-fx0dt1x x0x0xft-fx0dt Т.к. ф-ция fx непрерывна в х0 то для любого E 0 0 приx-x0 Efxfx0 E Пусть x EEt из промежутка от х0 до х0х выполняется нер-во t-x0x Ft-fx E Fx-Ff01x x0x0xft-fx0dt 1xE xx0xdtE limx0Fxfx0F x0fx0

Ч.Т.Д. 50 Ф-ла Ньтона-Лейбница abfxdxФb-ФаФхаb 1 T основная теорема интегрального исчисления Пусть ф-ция yfx непрерывна на a,b и Фх-какая либо из е первообразных. 1 Док-во Fx axftdt тогда ф-ции Fx и Фx первообразные для fx на a,b FxФхС axftdtФхС Если xa то aаftdt0 0ФаС С-Фа axftdtФх-Фа Поллагая в равенстве xb приходим к вормуле 1 Ч.Т.

Д. 51замена переменной 1fx непр наa,b 2xt непрерывна вместе со своей производной на a,b 3 a ,b 4t ta,b Тогда abfxdx abft tdt Док-во по условию теоремы на отр, определена сложная ф-ция ft Fx-первообр fx на a,b тогда определена Ft, которая по теореме умножения сложной ф-ции является первообразной для ft t на , По условию теоремы подъинтегральных ф-ций в равенстве abjxdx abjt tdt непрерывны на рассматриваемых отрезках оба интеграла существуют. По теор Ньютона-

Лейбница abfxdx Fb-Fa abft tdt F-FFb-Fa abfxdx Ч.Т.Д. Т по частям Пусть ux и vx непрерывны со своими производными на a,b тогда abu xvxdxuxvxba- abuxv xdx Док-во Произведение uxvx имеет на a,b непрерывную производную uxvx uxv xu xvx по этому по теореме Ньютона-Лейбница uxvxab ab uxv xu xvxdx abuxv xdx abu xvxdx откуда abu xvxdxuxvxba- abuxv xdx 52Площадь плоской фигуры Заключим фигуру Р в прямоугольник со сторонами параллельными осм

Ох и Оу прямоуг обозн R Разабьм прам R на мн-во мелких прямоуг. Обозначим А фигуру полученную объединением прямоуг , целиком лежащих в плоскости R, а через В фигуру полученную объедин прямоугольников лежащих в Р. A-A B-B Пусть d- наибольшая диагональ прямоугольников разбиения, если при d0 A и B к одному и томуже пределу, то фигура Р-наз квадрируемой, а е площадь считается равной

Пусть ф-ция fx непрерывна на a,b и fx0 xab и ограничена снизу осью Ох а по бокам xa, xb. Пусть xii0ii-произвольное разбиение отр a,b gix,y, xxi-1,xi, 0ymiinffx Gix,y, xxi-1,xi, 0yMisupfx Sgi1imixi SGi1iMixi T Для того, чтобы ф-ция fx огр на a,b была интегрируема на этом отр. необходимо и достаточно lim0Sg-SG0 Д т.к. ф-ция fx нерерывна на отрa,b то она интегрируема на этом отр. по критерию итегрируемости

lim0SG lim0SgS abfxdx сектор Сектор ограничен кривой rf, где f непрерывна на , и f0 , Пусь -произвольное разбиение gi,r, i-1,i, 0rmiinff Gi,r, i-1,i, 0rMisupf Т.к. ф-ция fx-непрерывна на отр, то она интегрируема на этом отрезке Площадь сектора gimi2 и GiMi2 Sg12i1imi SG12i1iMi по критерии итегрируемости lim0SG lim0SgS12 fd P-квадрируема и Sp12 fd. 53 Пусть yfx определна на a, и интегрмруем на ab несобственный интеграл по

промежутку a, под ф-ей fx обозначен следующий предел afxdxlimb abfxdx. Если указанный предел конечен ,то интеграл afxdx называется сходящимся, если бесконечен или не существует, то расходящийся. Пусть сa, abfxdx acfxdx cbfxdx Т По св-ву пределов afxdx cущ когда сущ limb abfxdx Док Существование интеграла 2 эквивалентно существованию предела, что в свою очередь эквивалентно выполнению

условия Коши для любого E 0 существует b0 где а b0 b, такое, что выполняется неравенство Fb -Fb для всех b и b, удовлетворяющих неравенствам b0 b b b. Но Fb -Fb b b fxdx теорема доказана. O Несобственным интегралом по промежутку ab от ф-ции fx называется следующий предел abfxdx lima0 abfxdx. Если указанный предел конечен то называется сход, если бесконечен или не сущ то расх. О aсfxdx и сbfxdx при a c b сходятся одновременно то abfxdx- также сходится.

Св-ва fx определена на a,b интегрируема на любом отр. a b и fx при хb-0, если b Св1 abfxdx limb-0 F-FaFxba abfxdx limb-0 F Д Пусть a b тогда по ф-ле Ньютона-Лейбница abfxdxF-Fa по св-ву пределов abfxdx limb-0 F-FA2 abf1xdx и abf2xdx -сходятся, то ab f1x abf2xdx abf1xdx abf2xdx До Пусть a b a f1xf2xdx a f1xdxa f2xdx т.к. по усл. теор limb-0a f1xdx и limb-0a f2xdx то сущ левой

части полученного равенства переходя в этом рав-ве к пред. получ утв3Если fx gx, xa,b b abfxdx, abgxdx сход , то abfxdx abgxdx Д a b afxdx agxdx переходя в данном нер-ве к limb-0 получаем утв4 Пусть ux и vx непрерыны вместе со своими производными на a,b abuxv xdxuxvxba- abu xvxdx Д Пусть a b тогда по ф-ле интегрирования по частям для опр auxv xdx yxvxa - au xvxdx по св-ву пределов Если сущ пределы любых выражений в последнем равенстве то сущ предел 3-его

При сущ ук пределов переходя в последнем рав-ве к пред пол. утв. 5 fx непрерывно на a,b, xt непрерывна вместе со своей производной на , и возрастает на этом промежутке, причм для t a t blimtb-0t тогда имеет место abfxdx ft tdt Д Пусть , т.к. ф-ция непр на , то она отрораж. отр , на a, по теореме о замене переменной в опред получ утв. 54 Будем считать что fx определн на a,b - a b

T1 Пусть fx0 xa,b и интегрируема на любом отрезке a Для того чтобы интеграл abfxdx сходился необходимо и достаточно, чтобы все интегралы afxdx, a b были ограничены в совокупности т.е. M 0 afxdx M T2 признак сравнения Пусть функция fx и gx не отрицательные на промежутке ab и fxOgx, xb-0, тогда если abgxdx- сходится, сходится и abfxdx Если abgxdx расход abfxdx расход.

Док-во Т.к. fxOgx, xb-0 то существует левая окрестность . В для любого х. Т.к. abgxdx сход abfxdx сх по Т1,0,b 0gxdxMMconst x0,b 0fxdxC 0gxdxCM все интегралы 0fxdx ограничены в совокупности, по этому в теореме 1 0bfxdx-схabfxdx сх Аналогично если abfxdx-расход abgxdx- расх Предельный признак сравнения Пусть для не отрицательных ф-ций на a,b fx,gX0 существует возможно бесконечный предел limxb-0fxgxk,

тогда 1 при 0k из сходимости abgxdx сх-тьabfxdx 2 при 0 k из расходимости abgxdx расх-тьabfxdx В часности при 0k abgxdx и abfxdx сход или расход одновр.Док-во 1. 0k По определению предела для E1 0,b x0,b fxgx-k E1 k-1 fxgx k1 т.к. gx0 fx k1gx fxogx, xb-0 по Т2 если abgxdx сх, то abfxdx-сх. 2 Пусть 0 k тогда по опред предела для E1 при k k2 при k 0,b x0,b fxgx 1 при k fxgx-k k2 при k при

к gx fx при k fxgx k2 gx 2fxk gxOfx, xb-0 по Т2 если abgxdx расход abfxdx расх. 55abfxdx-называется абс. сход если сходится ab fxdx Если abfxdx-сх , а ab fx dx расх то abfxdx- называется условно сход. ТЕсли интеграл абсолютно сходится то он и просто сходится. В самом деле, из сходимости интеграла ab fx dx следует, что для любого

E 0 на интервале а, b найдется точка b0 такая, что если b0 b b b, то E b b fx dx b b fxdx т. е. для интеграла abfxdx выполняется условие Коши. Так как ab fxdx ab fx dx то после перехода к пределу при bb для абсолютно сходящегося интеграла ab fxdx получим ab fxdx ab fx dx Глав зн не соб Пусть ф-ция yfx определена на всей числовой прямой и интегрируема на любом конечном отрезке. Главным значением несобственного -fxdx называется v.p. fxdxlim

-fxdx Главное знач совпадает со значением по этому гл. знач имеет смысл рассматривать несобственный интеграл. Пусть ф-ции fx интегрируема на отр. a,c-E,cE,b, E 0 Гл. зн. несоб. наз v.p. abfxdxlimE0 aC-Efxdx CEbfxdx 56 Интегральный признак сходимости рядов Пусть fx непрерывна, возрастает на 1 Тогда n1,fn и 1fxdx сходятся или расходятся одновременно

Док-во Т.к. ф-ция непрерывна на полуинтервале 1, то она интегрируема на люблм отрезке 1,1, т.к. ф-ция не возрастает на 1, то для к1,2,3 fk fx fk1, при k x k1 kk1fxdx kk1fk1dx fk kk1fxdx fk1 k1,nfkSn k1,n 1n1fxdx kk1fxdx k1,nfk1Sn1-f1 Sn 1n1fxdx Sn1-f1 Если 1fxdx сх M 0 1 1fxdx M Sn1-f1 1n1fxdx M Sn1 Mf1 n След-но частичные суммы ряда ограничены сверху ряд сходится Если ряд сходится то сущ М, то для любого n1,2,3 все частичные суммы ограничены сверху 1n1fxdx

Sn M n Т.к. для любого 1, n N n 1nfxdx 1fxdx n1fxdx 1n1fxdx M т.о. все интегралы от 1 до fxdx ограничены в совокупности, значит 1fxdx-сход. ЧТД 1. Понятие n-мерного арифметического пространства Rn. Метрика. Метрические пространства. Открытые и замкнутые множества в Rn. 2. Общее определение функции. Сложная, неявно и параметрически заданная функции, обратная функция.

3. Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела числовой последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности. 4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. Переход к пределу в неравенствах. 5. Понятие предела функции. Односторонние пределы. Теорема о единственности преЯсла.

Теорема об ограниченности на некоторой окрестности точки а функции fх, имеющей конечный предел при х а. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства. 6. Связь функции с ее пределом. Арифметические операции над пределами функций. Предельный переход в неравенствах. 7. Теорема о пределе сложной функции. 8. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Сравнение бесконечно малых функций.

9. Непрерывность функций в точкеке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции их классификация. Теорема о сохранении -знака непрерырывной функции. 10. Свойства непрерывных функций на промежутках. Равномерная непрерывность. 11. Теорема о непрерывности сложной функции. 12. Теорема о непрерывности обратной функции. 13. Непрерывность элементарных функций. 14. Понятие числового ряда. частичные суммы, определение сходимости

ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Исследование на сходимость ряда 15. Свойства сходящихся рядов. 16. Ряды с неотрицательными членами. Признак сравнения и предельный признак сравнения. 17. Признаки Даламбера и Коши. 18. Знакопеременные числовые ряды Теорема Лейбница для знакочередующегося ряда. Оценка остатка ряда.

19. Абсолютная и условная сходимость. Теорема о связи между сходимостью рядов и Свойства абсолютно сходящихся рядов. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов. 20. Ряды с комплексными членами. 21. Производная и дифференциал функции. Необходимое условие существования производной. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.

22. Геометрический смысл производной и дифференциала. Уравнение касательной и нормали к графику функции. 23. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями. 24. Производная сложной функции. 25. Производная обратной функции. 26. Логарифмическая производная. Производные основных элементарных функций.

27. Производые и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. 28. Параметрическое дифференцирование. 29. Теорема Ферма. Геометрическая ннтерпритадия. 30. Теорема Ролля. Геометрическая интерпрнтация. 31. Теорема Лагранжа. Геометрическая интерпретация. 32. Теорема Коши. 33.

Правило Лопиталя. 34. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано. 35. Разложение основных элементарных функции по формуле Маклорена. 36. Признак монотонности функции. 37. Необходимое условие экстремума функции. Достагочное условие экстремума функции. 38. Выпуклость и точки перегиба. 39. Асимптоты. 40. Первообразная и ее свойства. 41.

Неопределенный интеграл и его свойства. 42. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям. 43. Основные свойства из алгебры многочленов. Интегрирование рациональных дробей. 44. Интегрирование иррациональностей. 45. Интегрирование тригонометрических выражений. 46. Определенный интеграл. Ограниченность интегрируемой функции 47.

Свойства определенного интеграла, 48. Теорема о среднем. 49. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость. 50. Формула Ньютона - Лейбница 51. Формулы замены переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям. 52. Площадь плоской фигуры. 53.Несобственные интефалы.

Основные определения и свойства. 54. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признак сравнения и предельный признак сравнения. 55. Абсолютная и условная сходимость. Главное значение несобственного интеграла. 56. Интегральный признак сходимости ряда.