Треугольник РЕЛО (Трикутник Рьоло)

АНЩЕНКО СЕРГЙ ОЛЕКСАНДРОВИЧ Трикутник Рьоло Треугольник РЛО ЗМСТ Стор. Вступ 1. Кнематична властивсть трикутника Рьоло 1. Окреслення чотирикутника складеним обертанням трикутника Рьоло 2. Окреслення n-кутника складеним обертанням m-кутника Рьоло 3. Розрахунок контурв n-кутникв, що окреслен трикутником

Рьоло 4. Окреслення правильного чотирикутника складеним обертанням трикутника Рьоло 5. Окреслення правильного чотирикутника складеним обертанням сочевицеподбного контуру 2. Практичне застосування трикутника Рьоло 13 Висновки 16 Лтература 17 ВСТУП Ще з часв Древнього Сходу, вд цивлзац гипту Вавилона дйшли до нас древн математичн тексти, що свдчать про ту велику увагу, що придляли наш предки

розвитку геометр 1. У гипт Вавилон не було великих земельних площ, господарча дяльнсть вимагала проведення значних ригацйних робт, земельного упорядкування, зокрема установки границь длянок псля повеней, що приносили рчковий мул, який руйнував границ земельних надлв. Змцнення централзованих держав сприяло створенню мст, розвитку торгвл. Виникали математичн задач, звязан з вимром площ полв, обмв гребель зерносховищ т. д.

Термнв трикутник, чотирикутник, фгура тод ще не було. У папрусах, що дйшли до нас, мова йшла про пряме, косе чи кругле поле, длянку з границею, довжиною шириною. Площ прямокутникв, трикутникв трапецй древн люди вже тод обчислювали за точними правилами, що зайвий раз доводило, наскльки важливими для повсякденного життя були ц прост геометричн фгури. У Древнй Грец протягом трьох столть учен створили теор, глибину яких змогли по-справжньому зрозумти

й оцнити лише математики XIX-XX столть. Слава засновника давньогрецько математики належить Пфагору Самоському, що перетворив геометрю з зборв рецептв ршень рзних задач в абстрактну науку. Ця наука розгляда вже не площ полв, мстксть зерносховищ, дамб чи штабелв цегли, а геометричн фгури-абстракц, деалзац визначених властивостей реальних обктв. З часом знання людства в галуз геометр розширювалися й удосконалювалися, але не вгасав науковий практичний

нтерес до найпростших геометричних фгур, зокрема до трикутника плоско фгури, утворено зднанням трьох точок прямими лнями. Усм вдом рвносторонн, рвнобедрен, тупо- гострокутн трикутники, прямокутн трикутники, що широко використовуються для ршення простих задач повсякденного життя побудови нших плоских просторових фгур, обчислень площ, об мв т.д Менш вдом деяк нш види трикутникв, наприклад 2, 3 - педальний трикутник щодо даного трикутника АВС трикутник, вершини якого основами перпендикулярв, опущених з довльно точки

Р, що знаходиться у середин трикутника АВС на сторони трикутника АВС - ортоцентральний трикутник окремий випадок педального трикутника, при якому довльна точка Р точкою перетину висот трикутника АВС - серединний трикутник щодо трикутника АВС трикутник, побудований шляхом зднання середин сторн даного трикутника АВС - рзницевий трикутник трикутник, довжини сторн якого складають арифметичну прогресю - бсектральний

трикутник трикутник, вершинами якого точки перетину бсектрис даного трикутника АВС з протилежними сторонами. З розвитком науки про трикутники в побут учених та й не тльки х увйшли характерн назви деяких точок лнй трикутника - чевана вдрзок, що здну вершину трикутника з деякою точкою на протилежнй сторон - висота чевана, опущена пд прямим кутом на протилежну сторону трикутника - бсектриса чевана, що подля навпл кут при данй вершин, з яко вона опущена - медана чевана, що здну вершину трикутника

з серединою протилежно сторони - центр кола, описаного навколо трикутника точка перетину трьох перпендикулярв, що подляють навпл сторони трикутника - центр кола, вписаного в трикутник точка перетину бсектрис трикутника - ортоцентр трикутника АВС центр кола, вписаного в ортоцен-тричний трикутник вдносно трикутника АВС - центрод точка, що подля вдстань вд ортоцентра до центра описаного навколо трикутника кола у вдношенн 21 - пряма Ейлера пряма, що здну ортоцентр, центрод центр описаного навколо трикутника кола - коло девяти

точок коло Ейлера коло, на якому лежали основи трьох висот довльного трикутника, середини трьох його сторн середини трьох вдрзкв, що зднують його вершини з ортоцентром. Потреба в дослдженн характерних точок лнй трикутникв виникла як з науково цкавост, так з чисто практичними цлями. якщо в стародавност найбльш широко використовувався на практиц прямокутний трикутник Пфагора рзницевий трикутник з спв-вдношенням сторн 345, то в наш час найбльший нтерес викликають незвичайн

властивост так званого трикутника Рьоло. 1. Кнематична властивсть трикутника Рьоло Цей криволнйний трикутник А1В1С1 див. рис.1 названий на честь нмецького математика та нженера Франца Рьоло, який найбльш повно вивчив його властивост. Рис.1. Схема окреслення чотирикутника обертанням трикутника Рьоло Побудувати трикутник Рьоло досить просто. З кожно вершини рвностороннього трикутника слд провести

дугу кола, що здну дв нш вершини. Отриманий криволнйний трикутник вдноситься поряд з колом до так званих кривих постйно ширини коли вн котиться, верхн нижн точки контуру перемщуються вздовж паралельних прямих. 1. Окреслення чотирикутника складеним обертанням трикутника Рьоло Але найбльш вдома кнематична властивсть трикутника Рьоло. Якщо обертати трикутник А1В1С1 навколо центра

О1 описаного навколо нього кола з радусом О1А1, а центр трикутника О1 обертати в протилежну сторону в три рази швидше по колу з центром N, то трикутник окреслить фгуру, що незначно вдрзняться за формою вд чотирикутника рис.1. Зокрема, за один оберт центра О1 направо по колу з радусом О1N два кути чотирикутника будуть оформлен вершиною

А трикутника Рьоло по одному вершинами В С, тобто через кожну чверть оберту навколо центру N трикутник Рьоло буде знаходитися в положеннях А2В2С2, А3В3С3 А4В4С4. Однак виконан на рис.1 побудови показують невелику кривину сторн чотирикутника, про яку також вказують нженери-експери-ментатори 4, 5. За хнми даними, найбльше вдхилення сторони чотирикутника А1А4 вд деально прямо ма мсце в точц D, для яко справедлива рвнсть

А1D А4D. Трикутник Рьоло при обертанн контак-ту з точкою D серединою сво сторони. З ясумо, як обчислити це вдхилення. Позначимо R радус описаного бля трикутника Рьоло кола r O1N. Тод А1В1А2В2А3В3А4В4 R , ND r R R 1 З трикутника А1NA4 одержумо А1N r R NE r R 2 2 З урахуванням, що

DE ND NE, з рвнянь 1 2 визначимо DE r R - 1 r R , або DE R 1 2 r1 2 0,025R 0,293r 3 Таким чином, вдхилення DE сторони квадрата вд деально прямо залежить, у першу чергу вд радуса r не може бути усуненим, тому що R r не можуть дорвнюватися нулю. 1.2. Окреслення n-кутника складеним обертанням m-кутника Рьоло рунтуючись на отриманих Францем Рьоло результатах, розглянемо бльш загальну задачу обертання m-

кутника Рьоло з рзними швидкостями навколо центрв обертання для окреслення замкнуто фгури у форм n-кутника n m. Розглянемо кнематику утворення трикутником Рьоло кутв А1В2С3 А4А1В2. Для того, щоб кут А1В2С3 був утворений вершиною В трикутника Рьоло, необхдно за час t перемстити трикутник по годинниковй стрлц на кут 2рn навколо центра N, але при цьому прокрутити його проти годинниково стрлки на кут 2рn 2рm.

Визначимо кутов швидкост обертання трикутника Рьоло б 2рnt 2рmt 2рm n tmn, в 2рnt, де б кутова швидксть обертання трикутника Рьоло навколо центра О1 описаного бля нього кола в кутова швидксть обертання центра О1 навколо центра N. Установимо, чому дорвню спввдношення швидкостей б в 1 n m. 4 Таким чином, у результат аналзу утворення чотирикутника за допомогою трикутника Рьоло встановлено, що цей процес окремим випадком утворення n-кутника в результат складеного обертання

m-кутника. Спввдношення 4 показу, що n-кутник може бути окресленим, якщо на процес обертання центра О1 m-кутника навколо центра N накласти обертання в протилежну сторону m-кутника навколо його центра О1 з кутовою швидкстю б, що вдрзняться в nm раз вд кутово швидкост в. Формула 4 також показу 1 оскльки n m, то кутов швидкост б в завжди будуть протилежн за знаком 2 трикутник Рьоло при обертанн з рзними швидкостями б в може окреслювати будь-який правильний n-кутник n m, наприклад,

шестикутник, якщо б - в, дев ятикутник, якщо б -2 в т.д. 3 можна замсть трикутника Рьоло використовувати нш фгури з m-ним числом кутв 4 з практичною метою, на наш погляд, замсть трикутника Рьоло можна застосовувати сочевицеподбний контур m2 нструменти детал, що мають цей контур, простш у виготовленн, менш за габаритами як наслдок, дешевш. 1.3. Розрахунок контурв n-кутникв, що окреслен трикутником

Рьоло Науковий практичний нтерес виклика не тльки необхднсть обчислювання вдхилення DE, але й встановлення координат контурв n-кутникв, що окреслен m-кутниками на зразок трикутника Рьоло. Спочатку визначимо координати будь-яко точки контуру трикутника Рьоло при сталих б в. Рис.2. Схема для визначення координат контуру трикутника Рьоло. Задамо кутом г точку G на контур трикутника

Рьоло при подальшому оберт трикутника Рьоло точка G переходить у точку Е контуру чотирикутника. Позначимо центральний LACGц. Тод ABGц2. Хай OGRг. Визначимо Rг. З трикутникв АСЕ та АОЕ АЕ 26R2-6R2cosц, АЕ 2R2 Rг2-2Rrгcosг, звдки cosц5R22RRгcosг- Rг26R2 З трикутника Е СВ за теоремою косинусв За теоремою синусв з трикутника

ОВЕ мамо RгBE sin30oц2 sin120o-г, звдки Нехай трикутник АВС обертаться навколо центру О з кутовою швидкстю б. У систем координат, що зв язана з центром О, визначимо координати точки G XGRгsinг-б YGRгcosг-б Якщо центр О обертаться навколо центру N з кутовою швидкстю в, то точка G перемщуться у точку

Е у систем координат, що зв язана з центром N, набува координати, як можна обчислити за формулами XGrcosв Rгsinг-б 5 YGrsinв Rгcosг-б. 6 Визначимо в загальному вигляд вдхилення D E див рис.3. Рис.3 Схема для визначення вдхилення D E . Рвняння прямо v, тобто сторони AB1 n-кутника, до яко належить точка D , ма вигляд YkXRr. 7 Як вдомо, коефцнт ktgщ, де щ кут мж прямою v та вссю х.

В нашому випадку для окреслення чотирикутника щ45о, а для n-кутника щ180оn. Визначимо рвняння прямо u, часткою яко вдхилення D E Yk1Xb1, 8 k1tgшtgщ90o-ctgщ-1k. Координати точки Е дозволяють обчислити b1 b1YE -kXE . Рвняння 7 та 8 утворюють систему, ршенням яко координати точки D XDkYE XE kRrk21, YDk2YE kXE kRrk21. Таким чином за вдомими координатами точок

D E можемо обчислити вдхилення D E за формулою 1.4. Окреслення правильного чотирикутника складеним обертанням трикутника Рьоло Францем Рьоло вказувалося, що при окресленн трикутником Рьоло чотирикутника утвориться невелика неперекрита трикутником площа чотирикутника. У данй робот цей висновок був сформульований у вигляд формули 3.

Я взяв соб за мету що потрбно зробити для усунення кривини сторн чотирикутника. Один з варантв передбача рис.4 утворення чотирикутника таким трикутником Рьоло, що ма радус кривини с R. Оскльки на рис.1 чотирикутник ма опукл сторони, вважамо, що радус кривини сторн трикутника Рьоло, що дорвню, недостатнй для забезпечення паралельност сторн чотирикутника. З цього виплива с . Рис.4. Схема окреслення правильного чотирикутника обертанням трикутника

Рьоло з змненим радусом кривини сторн Для сегмента А2LB2M запишемо с LA22 LM2 2LM. 9 З трикутника O2B2L визначимо LA2 LA2 2 10 Висота сегмента LM частиною катета прямокутного трикутника A1NM LM NM NL, для якого NM A1Ncos45, тобто NM r R 2 11 NL NO2 O2L Враховуючи, що NO2 r, а з трикутника O2B2L

O2L R 2, одержимо NL r R2 12 Таким чином, з урахуванням формул 11, 12 LM r 2 1 R - 12 13 Пдставляючи вирази 10 11 у формулу 9, визначимо необхдний радус кривини с3R2R22Rr2r23- 2Rr1- 4R 1 r 2 14 Знаменник формули 14 буде позитивною величиною при виконанн нервност R r2 - 1 1.5. Окреслення правильного чотирикутника складеним обертанням сочевицеподбного контуру Для визначення оптимальних спввдношень параметрв, що забезпечують точну геометричну форму чотирикутника,

окресленого обертанням сочевицеподбного контуру, звернемося до рис.5. Рис.5. Схема окреслення чотирикутника обертанням сочевицеподбного контура З прямокутного трикутника NCB з урахуванням позначення NO2 r спввдношення мж висотою O2C шириною a сочевиц дорвню r a2cos рn r O2C 15 Для сочевиц АВ справедлив рвност a2с sin ц,

O2C с 1 cos ц, звдки a2 4с2 1 cos2 ц, пдставляючи значення О2С в формулу 15, одержимо сacosрn 2r1 cosрn4 a2 4acosрn 8r1 -cosрn, де a ширина сочевиц, при цьому a 2с cos рn. Практичне застосування трикутника Рьоло Властивост трикутника Рьоло, як виявив Франц Рьоло, а потм нш учен, широко використовуються у всляких областях технки. На вдмну вд математикв нженери технки надали трикутнику

Рьоло власну назву рвновсний контур чи скорочено - РК. Окреслення чотирикутника при обертанн РК було використано в конструкцях натирача пдлоги для ефективного миття натирання пдлог у кутах кмнат, ущльнювача бетонних сумшей при виготовленн квадратних бетонних стйок. Виготовлено нструменти для свердлння фрезерування квадратних отворв. РК використовують у кулачках грейферних механзмв кноапаратв, насосах, редукторах, роторно-поршневих

двигунах. Наприклад, у вигляд РК виконаний ротор двигуна Ванкеля 4, 6. Кулачок у вигляд РК-контура, якщо його закрпити з ексцентриситетом, при обертанн може створювати вбрац. Враховуючи незалежнсть даметра вд кута повороту в ряд кулачкв, що обертаються, можна забезпечити хн щльне прилягання, сталий зазор мж ними. Значна робоча поверхня кулачкв, що обертаються, дозволя ефективно виконувати захват розмел рзних матералв 6.

Найбльш повно розглянуту нами вище кнематичну властивсть РК застосували в технологях 5 пристроях авт. свд. 1375383, 1426676, 1516191 для виготовлення розтрубв на кнцях цилндричних труб. В результат були удосконален токарськ верстати пристосування до них, що забезпечили яксну роздачу квадратних шестигранних розтрубв, необхдних для зднання труб рзно конфгурац в розтин. Процеси роздач використовували нструменти з РК-контуром, рзн спввдношення кутових швидкостей нструмента,

труб приводв нструмента для роздач. У промисловост сльському господарств успшно працюють пристро детал, що використовують деяк нш властивост рвновсного контуру, не звязан з його обертанням. Ц властивост встановлен поки тльки експериментально вимагають теоретичного обрунтування. Для передач крутильного моменту з вала на шестрню використовують головним чином шлцов чи шпонков зднання. Коли форму розтину валв отворв насаджених на них шестерень виготовили у вигляд

РК, то встановили, що 1 для передач того ж самого крутильного моменту площа хнього поперечного розтину може бути зменшена на 30 2 знос таких зднань у 3 рази менше 3 крутильна жорстксть у 3 рази вище 4 вал шестрня автоматично центруються, що зменшу вбрацю шум. Зднання вал-шестрня з РК у розтин широко застосовують на автомобльних, тракторних, комбайнових верстатобудвних заводах. Здатнсть деталей з РК у розтин до самоцентрування при контакт з ншими деталями, ефективнй передач

зусиль меншого зносу використана в конструкц нструмента для гвинтового прошивання труб авт. свд. 1279690, що використовувався в трубопрокатному цеху ММК м. ллча. Для виготовлення труби треба було спочатку виготовити порожню заготвку з круглого зливку металу. Отвр у зливку роблять за допомогою нструмента, що ма форму подовжено бочки з передньою частиною особливо форми носком. Носок виготовляли у вигляд закругленого попереду конуса, на поверхн якого робили

подовжн пази з розтином у вигляд шлца. Проте носок сильно зношувався, а одержувана порожня заготвка риса нервномрну товщину стнок. лише коли носок виготовили з розтином у вигляд рвновсного контуру, стйксть нструмента зросла, нструмент при прошиванн не змщався убк вд центра зливка, а порожн заготвки стали мати бльш рвномрну товщину стнок. Якщо корпус плавучо бурово установки виконати в план у вигляд РК-контура, вн завжди само орнтуться одним з свох кутв назустрч теч 6.

При вирубц отворв у металевих аркушах використовують нструмент матриц вирубн пуансони з спецальними формами крайок, що ржуть, наприклад, навкруги, елпсом, чи прямокутником трикутником. Якщо в пуансон крайку, що рже, виконати рвновсним контуром, то знижуться зусилля деформування, зменшуються вдходи металу створються бльш яксна поверхня 14, авт.свд. 376186. Трикутник Рьоло фгура стало кривини, тобто нормаль мж двома паралельними дотичними прямими

до РК-контура сталою величиною. Але трикутник Рьоло при однакових з кругом того ж даметру площах ма бльшу ширину у довльно вибраному напрям, що дозволя використовувати РК-контур в якост поперечного розтину паль для слабких рунтв 6. Варто також згадати про поки що фантастичн можливост використання РК для виготовлення колс. Удосконалювання форми цього великого винаходу людства вдбуваться в тепершнй

час 8. нженери установили, що на твердих дорогах колеса автомоблв повинн бути круглими, при рус по пухкому снгу чи пску квадратними, хати по болоту найкраще на пелюсткових колесах. Але вс ц форми колс можна замнити на колесо у форм трикутника Рьоло. Треба лише привод в автомоблях зробити таким, як у винаходах, що використовуються при ротацйнй роздач розтрубв на трубах. Тод по твердому рунт автомобль буде плавно хати при спввдношенн кутових швидкостей

в-3б, а по нших рунтах, змнюючи спввдношення б в, можна реалзовувати рух автомобля, наприклад, як в ожеледь, з накинутими на шини ланцюгами чи так, як перемщуться павук в0. Так унверсальн колеса були б корисними мсячному всюдиходов, болотоходам, тягачам, що працюють в умовах вчно мерзлоти т.д. Висновки 1. Вивчено трикутник Рьоло рвновсний контур його складене обертання бля двох центрв. Теоретично розрахован кутов швидкост обертання б, в трикутника

Рьоло коло центра описаного навколо нього кола б ншого довльно обраного центра в, що дозволяють трикутнику окреслювати фгури, близьк за формою до правильних багатокутникв. Визначено погршност розмрв багатокутникв, що окреслюються. 2. На пдстав виведено залежност мж швидкостями б, в, числом граней трикутника Рьоло багатокутника, що окреслються, показана можливсть окреслення будь-яких правильних n-кутникв шляхом

обер-тання з швидкостями б в будь-якого m-кутника за умови n m 2. 3. Запропоновано з практичною метою замсть трикутника Рьоло використовувати сочевицеподбний контур m 2. нструменти та детал, що риси б контур сочевиц, простше було б виготовити, тому що вони б риси меншу вагу, дв замсть трьох криволнйних поверхонь, що обробляються як наслдок, були б дешевш. 4. Отриман формули, як дозволяють обчислити координати довльно обрано точки

контуру трикутника Рьоло в процес його складеного обертання навколо двох центрв з окресленням контурв будь-яких n-кутникв n 3. 5. Теоретичним шляхом отриман формули, що визначають необхдн радуси кривини сторн трикутника Рьоло m3 соче-вицеподбного контура m2, як забезпечують прямолнйнсть сторн багатокутникв, що окреслюються. 6. Надан приклади практичного використання трикутника Рьоло, заснованого на його властивост окреслювати правильн багатокутники при складеному обертанн, а

також ефективно передавати моменти, що крутять, самоцентруватися при контактах деклькох деталей. Лтература 1. А. Г. Конфорович. Визначн математичн задач. Кив, Радянська школа, 1981. 189с. 2 А. Кушнр. Трикутник у задачах. Кив, Либдь, 1994 104с. 3. Г. С. М. Коксетер, С. Л. Грейтцер. Нов зустрч з геометрю. М Наука, 1978. 223с.

4. Технка наука, 1982, 7, с.14-15. 5. Суднобудвна промисловсть, 1990, вип.13, с.46-50. 6. Правила гри без правил. Скл. А. Б. Селюцький Петрозаводськ, Кареля, 1989 280с 7. Д. А. Вайнтрауб, Ю. М. Клепков. Холодне штампування в дрбносерйному виробництв. Довдковий посбник. М Машино-будування, 1975 240с. 8.

Технка наука, 1983, 10, с.19-21.