Разностные уравнения

1.Разностные уравнения Уравнение вида 1.1 где k -фиксированное, а n - произвольное натуральное число, -члены некоторой числовой последовательности, называется разностным уравнением k-го порядка. Решить разностное уравнение означает найти все последовательности , удовлетворяющие уравнению 1. Разностное уравнение часто используются в моделях экономической динамики с дискретным временем, а также для приближенного решения дифференциальных уравнений.

Разностное уравнение вида 1.2 где , K некоторые функции от n ,называется линейным разностным уравнением k- порядка . В случае, когда коэффициенты являются константами, методы решения данного класса уравнений во многом аналогичны решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Продемонстрируем это для разностных уравнений 2-го порядка 1.3 также как для линейных дифференциальных уравнений, общее решение уравнения 1.3 определяется по формуле 1.4 где xn некоторое частное решение 1.3,

Xn общее решение соответствующее однородному уравнению случай К0. Для нахождения общего решения однородного уравнения необходимо вначале решить характеристическое уравнение 1.5 после этого могут возникнуть 3 варианта. 1. Оба корня и действительны и различны. Тогда общее решение находится по формуле 1.6 где и - произвольные константы. 2. Оба корня действительны и равны , тогда 1.7 3.

В случае комплексно сопряженных корней 1.8 Пример. Найдем частное решение этого уравнения. Воспользуемся для этого методом неопределенных коэффициентов. Будем искать частное решение в виде . Подставляя это выражение в наше уравнение, получим Следовательно, p2, а значит, Решая характеристическое уравнение находим . Таким образом, общее решение уравнения имеет вид 2.Динамическая модель

Кейнса Рассмотрим простейшую балансовую модель, включающую в себя основные компоненты динамики расходной и доходной частей экономики. Пусть Yt, Ft, St, It соответственно национальный доход, государственные расходы, потребление и инвестиции. Все эти величины рассматриваются, как функции времени t. Тогда справедливы следующие соотношения 2.1 где at коэффициент склонности к потреблению 0 at 1 bt автономное конечное потребление kt норма акселерации. Все функции, находящиеся в уравнении 1.9 положительны.

Поясним смысл уравнения 9. Сумма всех расходов должна быть равной национальному доходу этот баланс отражен в первом уравнении. Общее потребление состоит из внутреннего потребления, некоторой части национального дохода в народном хозяйстве, плюс конечное потребление эти составляющие показаны во втором уравнении. Наконец, размер инвестиций не может быть произвольным он определяется произведением нормы акселерации, величина которой характеризуется уровнем технологий и инфраструктуры данного государства, на определенный

национальный доход. Будем полагать, что функции at, bt, kt, и Et заданы они являются характеристиками функционирования и эволюции данного государства. Требуется найти динамику национального дохода или Y как функцию времени t. Подставим выражение для St из второго уравнения и It из третьего уравнение в первое уравнение. После приведения подобных получаем дифференциальное неоднородное

линейное уравнение первого порядка для функции Yt 2.2 Т.к. существуют достаточно сложная и простая формы решения этого уравнения, поэтому мы проанализируем более простой случай, полагая основные параметры a,b,k постоянными числами. Тогда уравнение 2.2 упрощается до случая линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами 2.3 2.4 обозначим , в результате подучим 2.5 отсюда,

2.6 Нетрудно видеть, что эта величина положительна. Используя формулу 2.7 получим общее решение однородного уравнения 2.8 2.9 2.10 в результате общее имеет вид 2.11 Как известно, общее решение неоднородного уравнения есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения. В качестве частного решения уравнения 2.3 возьмем так называемое равновесное решение, когда , т.е.

3.Модель Самуэльсона-Хикса Модель делового цикла Самуэльсона-Хикса динамическая модель Кейнса является примером линейного разностного уравнения. В этой модели используется так называемый принцип акселерации, т.е. предположение, что масштабы инвестирования прямо пропорциональны приросту национального дохода. Данное предположение характеризуется следующим уравнением 3.1 где коэффициент - фактор акселерации

величина инвестиций в период величины национального дохода соответственно в -м и -м периодах. Предполагается также, что потребление на данном этапе зависит от величины национального дохода на предыдущем этапе, т.е что 3.2 условие равенства спроса и предложения имеет вид 3.3 Подставляя в 3.3 выражение для из 3.1 и выражение для из 3.2, находим 3.4 Уравнение 3.4 известно как уравнение Хикса. Оно представляет собой линейное неоднородное разностное

уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами если предположить, что на протяжении рассматриваемых периодов величины a и V постоянны . Замечание. Мы можем легко найти частное решение уравнения 3.4, если положим, что 3.5 т.е. использовав в качестве частного решение равновесное решение . Из 3.4 в силу 3.5 имеем 3.6 откуда 3.7 заметим также, что выражение в формуле 3.7 носит название мультипликатор Кейнса и является одномерным аналогом матрица полных затрат.

Пример. Рассмотрим модель Самуэльсона-Хикса при условии, что . В этом случае уравнение 3.4 принимает вид 3.8 его частным решением будет 3.9 найдем корни характеристического уравнения имеем Таким образом, общим решением соответствующего однородного уравнения является где и - произвольные константы. Следовательно, общим решением уравнения будет Замечание. В зависимости от значений a и V возможны 4 типа динамики.

Она может быть растущей или затухающей и при этом иметь или не иметь колебательный характер. Так, в рассмотренном выше примере динамика носила колебательный характер с возрастающей амплитудой. Пример запишем характеристическое уравнение 4.Модельрынка с запаздыванием сбыта В реальности часто складывается такая рыночная ситуация, что цикл производства продукции отстает от цикла ее реализации. Это характерно, например, для сельского хозяйства.

Да и в промышленном производстве предложение формируется на основе цены в предшествующий период. Таким образом, функция предложения сдвинута S сдвинута по времени относительно цены P, т.е. будем полагать , что StSPt-1, в то время как функция спроса D одномоментно отвечает цене DtDPt. Для простоты рассмотрим линейные зависимости спроса и предложения от цены 4.1 Условие равновесия предполагает равенство предлагаемого и востребованного товара

DtSt, откуда с учетом4.1 имеем 4.2 Поделим обе части этого равенства на b и перейдем, для удобства на шаг вперед по времени, получаем линейное неоднородное разностное уравнения первого порядка относительно цены P с постоянными коэффициентами 4.3 Характеристическое уравнение имеет вид и имеет единственный корень, равный bd. Частное же решение уравнения 4.3 удобно искать в виде постоянной величины после подстановки в это уравнение оно легко определяется 4.4 Величина является равновесной ценой.

Общее решение уравнения 4.3 определяется формулой 4.5 где C произвольная постоянная. Пусть в начальный момент времени известна цена задача Коши, тогда подстановкой в равенство 4.5 находим , так что в окончательном виде получаем 4.6. Проанализируем полученное решение. В зависимости от входных параметров задачи b,d , формул 4.3 динамика цены во времени мажет быть разной. Здесь возможны 3 варианта а 1 текущая цена расходится с равновесной

ценой с увеличением размаха колебаний вокруг нее. б 1 текущая цена стремится к равновесной с колебаниями около нее. в 1 две точки равновесия в зависимости от четности t имеет место колебание от одной точки к другой. 5. Модель рынка с запасами В этой модели предполагаются запасы товара как разность между предложением S и спросом D. Примем следующие допущения. 1. Спрос Dt и предложение St представляют собой линейные функции от текущей цены

Pt 5.1 2. Цена, устанавливаемая на рынке, зависит от объема запаса продукции на предшествующий период, причем разница в ценах во времени пропорциональна отрицательной величине запаса с некоторым коэффициентом k при наличии запаса цена на товар в последующий период падает 5.2 где - запасы товара. Подстановка соотношений 5.1 в 5.2 приводит к линейному разностному уравнению первого порядка с постоянными коэффициентами относительно цены Pt 5.3 5.4 Пусть - значение цены в начальный момент времени t0 , тогда

решение этого уравнения имеет вид 5.5 где - равновесная цена, или стационарное решение уравнения 5.3. Сходимость Pt во времени к значению P существенно зависит от величины и знака основания степени в 5.5 . Рассмотрим все возможные случаи сочетания этих параметров задачи. а , откуда - монотонная сходимость Pt к равновесному значению P б 0 ,откуда , т.е. Pt P в , откуда - сходимость цены Pt к равновесному значению

P с колебаниями около него г -1, т.е две точки равновесия P и P0 на каждом шаге по времени цена перескакивает с одного значения на другое д , т.е цена Pt расходится с увеличением амплитуды колебаний. Все указанные случаи приведены на рисунке в виде соответствующих серий дискретных отрезков. 6. Уравнение снабжения логистики Пример известно, что рост количества бактерий в сосуде удовлетворяет уравнению логистики, с постоянным

k0.2. Пусть в начальный момент времени количество бактерий составляло 1 от максимально возможного значения m. За какое время количество бактерий достигнет 80 от максимума. Решение воспользуемся формулой при t0 y0.01m подставляя это выражение получим 7.Продуктивная модель Леонтьева Приведены данные по балансу за некоторый период между 5-ю отраслями промышленности. Найти варианты конечного потребления м валового выпуска, а также матрицу коэффициентов прямых затрат

и определить является ли она продуктивной. удовлетворяет первому условию продуктивности т.е. первое увеличится на 52,2, второе га 35,8, а третье на 85 соответственно. 8.Динамичкская модель Леонтьева В параграфе 7 была рассмотрена продуктивная модель межотраслевого баланса безотносительно ко времени, т.е. все ее компоненты полагались осредненными за некоторый временной интервал. В реальности продукт, предназначенный для внутреннего и конечного потребления в период t, определяется

не текущим выпуском, а выпуском в последний период t1. Эта задержка производства обусловлена многими факторами, в частности инерцией планирования и перестройки, мобилизации внутренних ресурсов и изменением транспорта сырья и т.д. С учетом этого система уравнений баланса в предложении о постоянстве доли внутреннего потребления каждой отраслью, будем иметь следующий вид рассчитать вариант валового выпуска на момент времени t2, если все

компоненты конечного потребления увеличить на 30 за каждый период. Решение Таким образом, при указанном темпе роста продуктивность конечного потребления необходимо через 2 временных цикла повысить компоненты валового выпуска соответственно на 12, 18, и 6 по сравнению с их величинами на начальный момент времени. 9,Паутинные модели рынка