Теория устойчивости

Одной из основных задач теории автоматического регулирования является изучение динамических процессов, происходящих в автоматических системах. Автоматические системы при нормальной эксплуатации должны поддерживать определенный режим работы объекта регулирования при действии на него многих возмущающих факторов. Такое поведение может быть достигнуто лишь в системах автоматического регулирования, обладающих устойчивостью по отношению к этим воздействиям. Устойчивость системы означает, что малое изменение входного сигнала

или какого-нибудь возмущения, начальных условий или параметров не приведут к значительным отконениям выходного сигнала. Это определение раскрывает физический смысл понятия устойчивости. Теория устойчивости, основоположниками которой являются великий русский ученый А.М. Ляпунов и великий французский ученый А.Пуанкаре, представляет собой важный раздел прикладной математики. Создателями современной теории устойчивости являются русские ученые

Н.Г. Четаев, Е.А. Барбашин, Н.П. Еругин, Н.Н. Красовский. 1. Понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости по Ляпунову. Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений (1) с начальными условиями x ( t 0 ) = x 0 (2) где x = ( x 1 , x 2 , , x n ) - n - мерный вектор; t О I = [t 0 , + Ґ [ - независимая переменная, по которой производится дифференцирование; f ( t, x ) =

( f 1 ( t , x ) , f 2 ( t , x ) , , f n ( t , x ) ) - n - мерная вектор - функция. Комментарии к задаче Коши (1), (2). Для простоты восприятия эту задачу можно сначала трактовать как задачу Коши для скалярного дифференциального уравнения первого порядка вида x’= f ( t , x ) с начальным условием x ( t 0 ) = x 0 . С целью упрощения все рисунки п. 1 0 ,если нет специальных оговорок, приводится для случая n = 1.

Так как задача теории устойчивости впервые возникла в механике, то переменную t принято интерпретировать как время, а искомую вектор-функцию x ( t ) - как движение точки в зависимости от времени в пространстве R n+1 (рис.1) Пусть задача Коши (1), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Тогда через каждую точку ( t 0 , x 0 ) области единственности решений проходит только одна интегральная кривая. Если начальные данные ( t 0 , x 0 ) изменяются, то изменяется и решение.

Тот факт, что решение зависит от начальных данных, обозначается следующим образом: x ( t ) = x ( t ; t 0 , x 0 ). Изменение этого решения в данной математической модели с изменением начальных данных ( t 0 , x 0 ) приводят к существенному изменению решения x ( t ; t 0 , x 0 ) , приводит к тому, что такой моделью нельзя пользоваться, поскольку начальные данные ( t 0 , x 0 ) получаются из опыта, а изменения не могут быть абсолютно точными. Естественно, что в качестве математической модели пригодна лишь та

задача Коши, которая устойчива к малым изменениям начальных данных. Определим понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости в смысле Ляпунова. Для этого отклоение решения x ( t ) = x ( t ; t 0 , x 0 ) , вызванное отклонением D x 0 начального значения x 0 , будем записывать следующим образом: | x ( t ; t 0 , x 0 + D x 0 ) - x ( t ) | = | x ( t ; t 0 , x 0 + D x 0 ) - x ( t ; t 0 , x 0 ) |.

Определение 1. Решение x ( t ) = x ( t ; t 0 , x 0 ) системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если оно непрерывно по x 0 на интервале I = = [ t 0 , + Ґ [ , т.е. " e > 0 $ d > 0 такое, что " D x 0 | D x 0 | Ј d Ю | x ( t ; t 0 , x 0 + D x 0 ) - x ( t ) | Ј e " t і t 0 . Если, кроме того, отклонение решения x ( t ) стремится к нулю

при t ® + Ґ для достаточно малых D x 0 , т.е. $ D > 0 " D x 0 . | D x 0 | Ј D Ю | x ( t ; t 0 , x 0 + D x 0 ) - x ( t ) | ® 0 , t ® + Ґ . (3) то решение x ( t ) системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении (или асимптотически устойчивым). Аналогично определяются различные типы устойчивости решения в отрицательном направлении.

Комментарий к определению 1. 1) Геометрически устойчивость по Ляпунову решение х ( t ) можно интерпритировать следующим образом ( рис.1 ) : все решения x ( t ; t 0 , x 0 + D x 0 ) , близкие в начальный момент t 0 к решению x ( t ) (т.е. начинающиеся в пределах d - трубки ) , не выходят за пределы e - трубки при всех значениях t і t 0 . 2) Асимптотическая устойчивость есть устойчивость с дополнительным условием (3) : любое решение

x 1 ( t ) , начинающееся в момент t 0 в D - трубке, с течением времени неограниченно приближается к решению x ( t ) (рис.2). Трубка радиуса D называется областью притяжения решения x ( t ). Решение x 2 ( t ), начинающееся при t = t 0 за пределами области притяжения, но в пределах d - трубки, не покидает e - трубку, хотя может и не приближаться к решению x(t). Определение 2. Решение x ( t ) = x ( t ; t 0 , x 0 ) системы (1) называется неустойчивып по

Ляпунову в положительном направлении (или неустойчивым), если оно не является устойчивым в положительном направлении. Аналогично определяется неустойчивость в отрицательном направлении. Комментарий к определению 2. Геометрически неустойчивость по Ляпунову означает, что среди решений, близких в начальный момент t 0 к решению х ( t ) , найдется хотя бы одно, которое в некоторый момент t 1 ( свой для каждого такого решения) выйдет за пределы e - трубки

(рис.3). Приведем примеры из механики, иллюстрирующие определения различных типов устойчивости для одномерного случая, т.е. n = 1. Рассмотрим маятник, состоящий из точечной массы m, укрепленной на невесомом стержне длиной l (рис.4). Выведем маятник из состояния I, отклонив стержень на угол a ; тогда, как известно из опыта, он будет стремиться занять вновь положение I. Если пренебречь сопротивлением окружающей среды, то маятник будет колебаться возле положения

I сколь угодно долго с амплитудой, равной начальному отклонению это модель устойчивого положения равновесия. Если же учитывать сопротивление окружающей среды, то амплитуда колебаний маятника будет уменьшаться и в итоге он снова займет положение I - это модель асимптотически устойчивого положения равновесия. Если маятник находится в положении II, то малейшее его смещение приведет к удалению маятника от состояния II - это модель не устойчивого положения равновесия. x 0 t

Рис.3 Рис.4 Исследование устойчивости произвольного решения x ( t ) системы (1) всегда можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения некоторой преобразованной системы. Действительно, в системе (1) произведем подстановку y ( t ) = x - x (t). Тогда получим систему y’ = F ( t, y ). (4) где F ( t , y ) = f ( t , y ( t ) + x ( t ) ) - f ( t , x ( t ) ) , F (t, 0) є 0 " t і t 0 .