Поперечные сечения и их геометрические характеристики

Поперечные сечения и их геометрические характеристики Статические моменты сеченияВозьмем некоторое поперечное се чениебруса рис. 1 . Свяжем его с системой координат х, у и рас смотрим дваследующих интеграла Рис.1 1 где индекс F у знака интеграла указывает на то,что интегрирование ведется по всей площади сечения. Каждый из интеграловпредстав ляет собой сумму произведений, элементарных площадок dF на рас стояние

до соответствующей оси х или у .Первый интеграл называется статическим моментом сечения относительнооси х, а второй относительно оси у. Размерность статическогомомента см3. При параллельном переносе осей величиныстатических моментов меняются. Рассмотрим две пары параллельных осей, x1, y1 и x2, y2.Пустьрасстояние между осями x1 и x2 равно b, а между осями y2 и y2 равно а рис. 2 . Положим, что площадь сечения

Fи статические моменты относительно осей x1 и y1,т. е. Sx1, и Sy1 заданы. Требуется определить Sx2 и Sy2.Очевидно, х2 x1 а, y2 y1 b. Искомые статические мо менты будут равны или Таким образом, при параллельном переносе осейстатический момент меняется на величину, равную произведению площади Fна расстояние между осями.Рассмотрим более детально, например, первое изполученных выра жений

Величина b можетбыть любой как положительной, так и отрицательной. Поэтому ее всегда можно подобрать причем единственным образом так, чтобы произведение bF было равно Sx1.Тогда статический момент Sx2, относительно оси x2обращается в нуль.Ось,относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной.Среди семейства параллельных осей она является единственной, и расстояние доэтой оси от некоторой, про

извольно взятой, оси х1 равноРис. 2Аналогичнодля другого семейства параллельных осей Точка пересечения центральных осей называется центромтяже сти сечения. Путем поворота осей можно показать, что статическиймомент относительно любой оси, проходящей через центр тяжести, равеннулю.Нетрудно установить тождественность данногоопределения и обычного определения центра тяжести как точки приложения равно действующихсил веса.

Если уподобить рассмотренное сечение одно родной пластинке, то силавеса пластинки во всех точках будет пропорциональна элементарной площади dF,а момент сил веса относительно некоторой оси пропорционален статическому мо менту.Этот момент сил веса относительно оси, проходящей через центр тяжести, равеннулю. В нуль обращается, следовательно, и статический момент относительноцентральной оси. Моменты инерции сеченияВ дополнение к статическим моментам рассмотрим еще трисле дующих интеграла 2

Через х и у обозначены текущиекоординаты эле ментарной площадки dF впроизвольно взятой системе координат х, y. Первые два интеграла называются осевыми момен тамиинерции сечения относительно осей х и y соответственно. Третий интеграл называется центробежныммоментом инерции сечения относительно осей х, у. Размерностьмоментов инерции см4.Осевые моменты инерции всегда положительны, посколькуполо жительной считается площадь dF. Центробежный момент инерции можетбыть как положительным, так и отрицательным,

в зависи мости от расположениясечения относительно осей х, у.Выведем формулы преобразования моментов инерции припарал лельном переносе осей. Будем считать, что нам заданы моменты инерции истатические моменты относительно осей х1 и y1.Требуется определить моменты инерции относительно осей x2 и y3 Подставляясюда х2 x1 а и y2 y1 b и раскрывая скобки согласно 1 и 2 находим

Если оси x1 и y1 центральные, то Sx1 Sy0.Тогда 4 Следовательно,при параллельном переносе осей если одна из осей центральная осевые моментыинерции меняются на величину, равную произведению площади на квадрат расстояниямежду осями.Из первых двух формул 4 следует, что в семействепарал лельных осей минимальный момент инерции получается относи тельноцентральной оси а 0 или Ь 0 . Поэтому легко запом нить, чтопри переходе от центральных

осей к нецентральным осе вые моменты инерции увеличиваютсяи величины a2F и b2F следует к моментам инерции прибавлять, а при переходеот нецентральных осей к центральным вычитать.При определении центробежного момента инерции поформулам 4 следует учитывать знак величин а и b. Можно,однако, и сразу установить, в какую сторону меняется величина Jxy при параллельном пере носе осей. Для этого следуетиметь в виду, что часть площади, находя щаяся

в I и III квадрантах системыкоординат x1y1, даетполо жительное значение центробежного момента, а части, находящиеся в II и IVквадрантах, дают отрицательные значения. Поэтому при переносе осей проще всегоустанавливать знак сла гаемого abF в соответствии с тем, ка кие изчетырех слагаемых площадей увеличиваются и какие уменьшают ся.ГЛАВНЫЕ ОСИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ Рис. 3Посмотрим, как изменяют ся моменты инерции при по воротеосей

координат. Поло жим, даны моменты инерции некоторого сечения относительноосей х, у не обязательно центральных . Требуется определить Ju, Jv, Juv моменты инерции относительно осей и, v, повернутыхотносительно первой системы на угол a рис. 3 .Проектируемзамкнутый четырехугольник ОАВСО на оси и и v. Так какпроекция ломаной линии равна проекции замыкающей, на ходим u y sin a x cos a, v y cos a x sin a В выражениях 3 , подставив вместо x1 и y1соответственно u и v, исключаем u и v

откуда 5 Рассмотримдва первых уравнения. Складывая их почленно, получим, что сумма осевых моментовинерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей не зависит от угла a и при пово роте осей остаетсяпостоянной. При этомx2 y2 r2гдеr расстояние от началакоординат до элементарной площадки рис. 3 . Таким образом, Jx Jy Jp где Jp полярный момент инерции величинакоторого, естественно, не зависит от поворота осей ху. С изменением угла поворота осей a каждая из величин

Ju и Jv меняется, асумма их остается неизменной. Следовательно, сущест вует такое a, прикотором один из моментов инерции достигает своего максимального значения, в товремя как другой момент инер ции принимает минимальное значение.Дифференцируя выражение Ju 5 по a и приравнивая произ водную нулю, находим 6 При этом значении угла a один из осевых моментов будет наиболь шим, а другой наименьшим. Одновременно центробежный момент инерции Juv при указанном угле a обращается внуль, что легко устанавливается

из третьей формулы 5 .Оси, относительно которых центробежный момент инерцииравен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, назы ваются главнымиосями. Если они к тому же являются централь ными, то тогда они называются главнымицентральными осями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называютсяглавными моментами инерции. Для определения этого первые две формулы 5 перепишем в виде

Далее исключаем при помощи выражения 6 угол a. Тогда Верхнийзнак соответствует максимальному моменту инерции, а нижний минимальному.После того как сечение вычерчено в масштабе и на чертеже показано положениеглавных осей, нетрудно установить, которой из двух осей соответствуетмаксимальный и которой минимальный мо мент инерции.Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегдабудет главной .

Центробежный момент инерции части сечения, расположенной по однусторону от оси, будет равен моменту части, расположенной по другую сторону, нопротивоположен ему по знаку. Сле довательно, Jху 0 и оси хи у являются глав ными.