Моделирование значений случайных векторов

Содержание 1. Аннотация 2. Введение 3. Необходимые сведения 4. Исходные данные и обозначения 5. Вывод неизвестных коэффициентов системы уравнений 6. Реализация программы в среде Matlab 7. Примеры работы программы 8. Заключение 9. Список литературы 1. Аннотация. Решение многих прикладных задач требует моделирования случайных векторов. В работе приводится метод моделирования случайных векторов с одинаковым для всех

координат одномерным законом распределения, заданной матрицей ковариации и математическим ожиданием составляющих. Для решения этой задачи используется система алгебраических уравнений с неизвестными коэффициентами. По соответствующему алгоритму разработана программа имитации значений векторов по заданной ковариационной матрице и математическим ожиданиям составляющих с треугольной матрицей преобразования. Изучена возможность покоординатных преобразований.

Проведена проверка датчика псевдослучайных чисел системы MATLAB. 2. Введение. Решение многих прикладных задач, таких как проведение модельных (машинных) экспериментов с помощью математического моделирования требует моделирования случайных векторов. Предполагая определенные свойства объекта исследования и характеристики измерительной аппаратуры, исследователь имитирует результаты измерений, обрабатывает их тем или иным способом и сравнивает результат с заложенными

ранее характеристиками объекта. Особенно необходимы такие эксперименты при решении некорректных обратных задач. При этом необходимо моделировать не только закономерное влияние на результат измерения свойств объекта исследования и аппаратные искажения, но и случайные погрешности измерений, т.е. случайные величины (вектора) с заданным законом распределения. Результат эксперимента, как правило, представляет собой массив отсчетов (вольтамперная характеристика, спектр излучения источника света, пространственное распределение

яркости в изображении и т.п.). Если отсчеты считать независимыми случайными величинами (их средние значения отражают какие-то закономерности, но к средним прибавлена случайная погрешность), то задача сводится к генерации значений независимых случайных величин (погрешностей) с нулевым средним и заданным законом распределения. В общем случае эту задачу легко решить с помощью генератора случайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0,1), который встроен практически во все языки программирования высокого

уровня. Однако в реальных экспериментах, особенно если они выполняются быстро с помощью автоматизированных измерительных систем, погрешности измерения в различных экспериментальных точках могут быть коррелированны. Ниже описывается метод моделирования случайных векторов с одинаковым для всех координат одномерным законом распределения, заданной матрицей ковариации и математическим ожиданием составляющих. Для решения этой задачи предлагается использовать систему алгебраических уравнений с неизвестными коэффициентами.

Алгоритм получения очередного случайного вектора заключается в следующем: — по заданным ковариационным матрицам и математическим ожиданиям составляющих случайных векторов вычисляются значения неизвестных коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений; — моделируется случайный вектор , координаты которого независимы и имеют заданное одномерное распределение; — с помощью указанной системы алгебраических уравнений получается случайный вектор . Доказано, что при выполнении условий реализуемости системы линейных

алгебраических уравнений закон распределения координат совпадает с одномерным законом распределения координат , а значения коэффициентов ковариации любой пары равны соответствующим элементам заданной матрицы коэффициентов ковариации. Моделирующая программа, использующая предложенный метод, определяет значения коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений и проверяет выполнение условий реализуемости этой системы. В случае невыполнения условий реализуемости программа указывает на необходимость корректировки

задаваемой матрицы коэффициентов ковариации. Если указанные условия реализуемости выполнены, то программа позволяет выбрать количество (объем выборки) и размерность моделируемых векторов. По окончании моделирования программа проверяет соответствие параметров закона распределения координат исходным требованиям, а также находит оценки для полученных в результате моделирования коэффициентов ковариации координат. Программа реализована в вычислительной среде

MATLAB. 3. Необходимые сведения. Ниже приводятся необходимые сведения и определения из линейной алгебры и теории вероятности. Математическое ожидание случайной величины обладает следующими свойствами. 1. Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной, т.е. , . 2. Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, т.е. . 3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий, т.е.

. 4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. . Можно доказать, что для случайных величин и для независимых случайных величин . Дисперсия случайной величины обладает следующими свойствами. 1. Дисперсия постоянной величины равно нулю, т.е. , . 2. Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии возведя его в квадрат, т.е. .

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равно сумме их дисперсий, т.е. . Можно доказать, что для случайных независимых величин Линейное преобразование случайных векторов . Предположим, что - случайный - мерный вектор с математическим ожиданием и корреляционной матрицей . Введем матрицу преобразования размером и сформируем мерный вектор Можно показать справедливость следующих выражений , . - вектор математического ожидания

Если - случайный - мерный вектор, координаты которого являются центрированными случайными величинами, то для выражения справедливо . 4. Исходные данные и обозначения. Исходными данными для поставленной задачи являются характеристики моделируемого случайного – мерного вектора : - ковариационная матрица, , , - вектор математического ожидания, . В качестве вектора берется случайный вектор, координаты которого распределены по нормальному закону

с параметрами: - нулевой вектор математического ожидания, центрированная случайная величина равна самой случайной величине , - дисперсия, - ковариационная матрица. То есть координаты вектора независимы (отсутствует корреляция между компонентами вектора). Вектор задается с помощью генератора случайных чисел, встроенного в систему MATLAB, для этих целей подходит функция , которая формирует массив, соразмерный с матрицей , элементами

которого являются случайные величины, распределенные по нормальному закону с математическим ожиданием 0 и среднеквадратическим отклонением 1. 5. Вывод неизвестных коэффициентов системы линейных уравнений. Координаты выходного вектора могут быть получены из нормально распределенных независимых случайных величин - координат вектор следующим образом: или . Можно переписать систему линейных уравнений в матричном виде: , где , , , .

Найдем элементы матрицы , выразив их через элементы матриц , , , . Так как , поэтому будем рассматривать центрированные случайные величины, прибавив к которым соответствующие математические ожидания, получим искомые координаты выходного вектора. Для этого рассмотрим ковариацию двух случайных величин . Так как , аналогично , используя приведенные выше свойства математического ожидания, и учитывая, что

из исходных данных , получим . т.к. , таким образом, между элементами ковариационных матриц , , и элементами матрицы линейного преобразования установлена следующая