Лекции по теории функции комплексного переменного

Понятие функции комплексного переменного. Пусть нам задано некоторое множество Е, если z можно отожествлять с каждым числом множества Е, то z назқвается коплексной переменной, а множество Е ее областью определения. Мы знаем что Е лежит на плоскости в сфере Римана и ее составляет множество точек. Определение.

Если каждому значению z который он принимает из множества Е по некоторому закону составляет определенное к - числовое значение тогда говорят что, на множестве Е задана функция и это соотношение обозначим: Если представить то и заданная функция на некотором множестве Е эквивалентно заданию этой функции на и . Если соотносящие значения функции обозначит через точку плоскости, то получим Е. Заданная функция на множестве Е означает установления соотношения

Е и Е’ при котором каждому числу сопоставляет определенное значение из . В этом случаи говорят что множество Е отображается на Е’ при помощи функции . , . Очень часто обратные функции бывают многозначными. Например, . Понятие области и линии Жордана. Пусть нам задано некоторое множество Е точек на плоскости, если точка с некоторой окрестностью принадлежащей множеству

Е то точка называется внутренней точкой. Множество состоящее из одних внутренних точек называется открытым множеством, множество Е называется связанным если для любые две точки этого множества можно соединить некоторой ломанной все точки которой принадлежат этому множеству Е. Определение: Областью мы называем открытые связанные множества. Простой пример области: открытый круг. Если нам задана некоторая область тогда точка плоскости разбивает

на два множества по отношению к этому множеству: 1) все точки принадлежат множеству . 2) все точки не принадлежат множеству . Точки второй группы будут двоякого типа: А) точки которые имеют в достаточно малой окрестности не содержащие точки области , такие точки называются внешними точками области Б) те точки какую окрестность бы мы не брали они содержат область , и они называются граничными точками. Совокупность всех граничных точек называется границей и обозначается .

Область со своей границей называется замкнутой областью и обозначается . Область называется ограниченной если ее можно вклеить внутрь круга. Пусть нам заданы две непрерывные функции на , тогда . Изобразим на плоскости некоторый круг . Если двум различным значениям парам t которое соответствует начальным и конечным точкам круга за исключением, соответствующие две различные точки круга , то такой

круг назовем Жордановой кривой. Если переменная t начиная с возвратная меняется до то точки описывают на плоскости круг в определенном направлении, это направление круга называется положительным направлением круга . Если начало Жордановой кривой совпадает с концом, то эта кривая называется замкнутой кривой Жордана. Любая замкнутая Жорданово кривая разбивает плоскость на две области, первая область состоит из всех внутренних точек по отношению кривой и не содержит бесконечно удаленных точек, вторая из всех

внешних точек содержит бесконечно удаленные точки. Положительное направление кривой при движении точки в этом направлении внутренность кривой оставалась слева. Область состоящая из внутренности Жордановой кривой обладает тем свойством, что к-л кривой из этой области мы не брали она будет принадлежать своей внутренности, эта область называется односвязной областью, область не обладающая этим свойством называется многосвязной.

Например внутренность многогранника называется односвязной, а внешность не будет односвязной. Берем теперь точки принадлежащие не принадлежащие . Такая область называется n+1- односвязными. Непрерывные функции комплексного переменного. Пусть мы имеем однозначную функцию в некоторой области комплексной плоскости. Пусть точка а – буде предельной точкой области . Опр.

Функцию назовем стремящейся к А при , если для любого . Это можно записать в виде: Пусть теперь точка находится внутри области и выполняется соотношение То функция называется непрерывной. Это можно выразить : . Если то функция является равномерной непрерывной. Если то функция является неравномерной непрерывной.

Если две функции и непрерывны в точке (некоторая область ) тогда: То функция называется равномерной непрерывной. Пример: . Возьмем Ясно что беря достаточно малой, можно правую часть сделать меньше . - этот многочлен непрерывен во всех точках. Используя 3) можно написать . Теорема Кантора. Если функция - непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она равномерно непрерывна в

ней. Для доказательства на понадобиться Лемма Гейне - Борелля. Лемма. Если каждая точка является центром некоторого круга , то из совокупности можно выделить конечное число кругов, которые покрывают замкнутое множество. Доказательство. Пусть утверждение Леммы неверно, т.е для покрытия бесконечное множество кругов этой системы, т.к. -ограниченно, то можно вклеить во внутрь некоторого квадрата, со сторонами параллельными

осям координат. (1) Все начиная с достаточно большого и части -это противоречие. Лемма доказана. Доказательство(теоремы). Т.к. функция непрерывна в , то для каждой точки существует некоторый круг с центром в этой точке и радиуса какие бы точки не брали, выполняется неравенство: В качестве совокупности кругов покрывающих берем круги отличенные от кругов тем, что ее радиус меньше в два раза, т.е . Наименьший из этих кругов обозначается через покажем что - есть та которая участвует

в определении равномерной непрерывности. Действительно, возьмем производные точки . Пусть , с радиусом , , Теорема Кантора доказана. Пример. , . 1) 2) Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейштраса. Понятие равномерной сходимости функционального ряда. Пусть (1) Ряд каждый член которого является однозначной в области и путь для любого ряд (1) сходится.

Следовательно сумма однозначна в . Кроме этого, если в для каждые непрерывны на , то будет ли непрерывной Например: (2) Для . Определение. то ряд (1) равномерно сходится к сумме. Пример-2. (1) равномерно сходиться к и непрерывны в точке то непрерывны в точке . - фиксированная точка, где - добавок. (3) Условия: . - сумма первых членов ряда, она непрерывна в точке . Следствие: если ряд (1) равномерно сходится в области и каждый член непрерывен в этой области то сумма

непрерывна в этой области. Пример3. признак равномерной сходимости функционального ряда (Признак Вейштраса). Если каждый член (1) то (1) абсолютно и равномерно сходится на множестве Е. Доказательство абсолютной сходимости. . Доказательство равномерной сходимости. . Степенные ряды. Теорема Абеля. Формула Коши – Адамара. Области сходимости степенного ряда. Ряд вида: (1)

Где - комплексные числа, - комплексная переменная. Степенной ряд (общий вид): . Определение. Областью сходимости степенного ряда совокупность всех точек z к которых (1) сходится. В области сходимости любого степенного ряда принадлежит z=0. (2) Область сходится только к нулю. . Первая теорема Абеля. 1) Пусть (1) сходится к точке следовательно согласно необходимому условию сходимости ряда . сходятся

к нулю. . (4) очевидно (5) . (6) . не стремиться к нулю при . Теорема. Для каждой степени ряда (1) существует круг с центром в точке (0,0), R=R что во всех внутренних точках ряд (1) абсолютно сходится, а во внешности расходится. Верхний предел последовательности неотрицательных чисел. Пусть имеем последовательность (7) . Последовательность (7) не ограничена.

В этом случаи . последовательность (7) неограниченна. . Е- совокупность всех предельных точек . Если Е состоит из конечного числа точек, то среди этих точек найдем точек лежащих правее всех. Это верхний предел . Но Е- может быть бесконечным множеством. . Формула Коши – Адамара. Теорема (Коши - Адамара). (1) Доказательство ( ).

Если , то . Пусть в точке (1) сходится. , - ограниченно т.е. существует . Доказательство ( ). Если , существует , Доказательство ( ). Каждая точка для каждой точки Например. . . Дифференцирование функции комплексного переменного. Необходимость и достаточность условия существования производной. Понятие производной. Пусть в некоторой области задана функция для любого , функция имеет приращение:

, (1) Определение. Если при отношения (1) стремиться к определенному конечному приделу, то функция называется дифференцируемой в точке z. Значит этого предел называют производной и обозначают Понятие аналитической функции. Если функция дифференцируема в некоторой точке то функцию мы назовем моногенной в этой точке. Если функция в каждой точке некоторой области моногенна, то она называется аналитической или регулярной в этой области. Из определения аналитичности функции следует что….

Например: (1) - это функция дифференцируема в точке . . Рассмотрим 2-ой случай. . - существует. - не существует. При 1) 2) 2) если брать функцию , то ясно что эта функция не дифференцируема нигде, т.е. предел не существует . 3) - эта функция тоже нигде не дифференцируема. III. Дифференциал функции комплексного переменного.

Пусть в точке моногенна т.е. следовательно приращение функции можно записать в виде: (2) - линейная часть приращения, называемая дифференциалом комплексного переменного в точке : Из (2) следует, если , то , т.е функция непрерывна. IV. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции. Условия Коши – Римана (Даламбера - Эйлера). Если - однозначная функция, , то является функцией двух

переменных. Функции всегда дифференцируемы, но не дифференцируема. Пусть , то Сравнивая (3) и (4), получим: (5) Необходимые условия существования производной условия Коши – Римана (Даламбера - Эйлера). Доказательство. Пусть функции - дифференцируемы в некоторой точке и выполняется условие (5) в этой точке. Т.к. дифференцируемы то (6) (7) . Таким образом мы доказали, что условие

Коши – Римана достаточно для дифференцирования функций . Пример 4. Где дифференцируема функция? Решение: - всюду в комплексной плоскости дифференцируема и производная равна самой , т.е. . Гармонические функции. Постановка аналитичных функций по заданной гармоничной части. I.Действительная и мнимая части алалитичных функции как сопряженные гармоничные функции. Пусть однозначно и окончательно в некоторой области .

В дальнейшем мы докажем, что пока она имеет в области производные всех порядков следовательно функции имеет непрерывные производные всех порядков, в том числе все непрерывные части производной второго порядка области и кроме того, эти функции удовлетворяют условию Коши – Римана, т.е (1) Если первое равенство дифференцировать по х, а второе по у, получим: Сложив их получим: . Точно также в (1) дифференцируя первое равенство по у, а второе по х получим:

Аналогично . Функции - как дифференцируемые функции двух переменных имеющие частные производные 2-го порядка удовлетворяющие уравнению Лапласа: - оператор дифференцирования. Определение. Если действительная функция от двух переменных дважды непрерывна дифференцируема в и в ней удовлетворяет уравнению Лапласа, то она называется гармоничной функцией в области . Следовательно, Действительно и при мнимой части область гармоничны в этой области, т.к. они связаны

с условием Коши – Римана, они называются сопряженными гармоничными функциями. II. Построение аналитичной функции с помощью заданной вещественной или мнимой гармоничной ее частей. Пусть в некоторой односвязной области задана гармоничная функция которая в ней является вещественной частью некоторой аналитичной функции в области . Тогда требуется восстановить функцию означает что нужно найти ко всем при мнимой части, так мы доказали что если функция аналитична в некоторой области , то

функции удовлетворяют условию (1) Коши – Римана: используя эти условия мы можем найти частные производные функции : Функции дифференцируемы и их частные производные выражаются через производные второго порядка от функции : Следовательно значение интеграла , не зависит от пути соединения функции х с у. Поэтому эта функция является однозначной в области . Исследуем частные производные функции : (2) . Пример. -эта функция гармонична во всей области плоскости

и удовлетворяют уравнению Лапласа: По формуле (2) Восстановим функцию: Показательные, тригонометрические и гиперболические функции и их свойства. Формулы Эйлера. Мы знаем что: Имеют радиусы сходимости равные бесконечности. В дальнейшем будем доказывать что любой степенной ряд внутри круга сходимости представляет собой аналитическую функцию следовательно суммы всех этих рядов аналитичны на всей комплексной плоскости.

Если вместо z в этих рядах подставить x, то суммой соответственных рядов будут , и в случаи z суммы этих рядов соответственно обозначаются через . Свойства этих функций. Покажем что как функции комплексного переменного имеют все свойства функции . Например: (4) В (4) заменим на : Функции при вещественном значении z никак не связаны, но в комплексной плоскости существует связь между ними которую обнаружил

Эйлер: (6) Для доказательства заменим на : В (6) заменим на : (7) (8) Формулы (6) и (8) называются формулами Эйлера. Теперь докажем формулы сложения и вычитания для функций : По формуле (6) Заменяя на , на и учитывая четность и нечетность функций соответственно: . Заменяя = : - основное тригонометрическое тождество. . Заменим на в I и II: В формуле сложения вместо t подставляем , получим:

Т.о. функции имеют период в комплексной плоскости. Исследуем нули функции : 1) следовательно не имеет нулей. 2) По формуле (8) Аналогично 3) В комплексной плоскости . Гиперболические функции и их свойства. Гиперболическим косинусом назовем функцию: (13) - функция четная. Гиперболическим синусом назовем функцию: (14) - функция нечетная.

Основное тождество для гиперболических тригонометрических функций: Понятие интеграла от функции комплексного переменного и ее основные свойства. Понятие интеграла от комплексной функции. Определение 1. Кривая С называется гладкой, если она имеет непрерывные вращательную касательную в каждой своей точке. Кривая С называется гладкой если она имеет уравнение и

Определение 2.Кривая С называется кусочно – гладкой если она состоит из конечного числа гладких частей. Допустим что на некоторой гладкой кривой С задана функция . Эту кривую разделим при помощи точек на n частей и для каждой части определим произведение: Где . Образуем сумму: (1) Определение 3. Если (длина ) стремиться к нулю, сумма (1) стремиться к определенному конечному пределу, то мы говорим что функция интегрируема по кривой

С, а значения этого предела: (2) Мы назовем интегралом кривую С по функции и обозначим: . 2) Существование интеграла. Если функция - непрерывна на гладкой кривой С, то интеграл существует. Доказательство. Для доказательства обозначается . Соответственно . Сумму (1) можно написать следующим образом: .

Так как функции - непрерывны на кривой С, то достаточное условие существования криволинейного интеграла второго рода от этих функций . Поэтому пределы: Существуют и они равны между собой . То из (3) мы получим: (4) Вычисление интеграла. В интеграле (4) мы воспользуемся параметрическим уравнением гладкой кривой , через : (5) Определение. Если кривая С кусочно - гладкая и она состоит и последовательно проходимых частей то по определению интеграла по

всей кривой мы называем суммой интегралов по всей кривой. . Нетрудно заметить что формула (5) имеет место и для кусочно гладкой кривой. Свойство интегралов. , если менять направление С, то интегральная сумма: - меняет знак. . Для постоянной . . Если кривая С такова, что точка . Эта кривая такова что . Доказательство. Составим интегральную сумму . .

Доказательство. . Функция аддитивности функции как функция области. Пусть область состоит из кусочно гладких замкнутых кривых . Тогда -называется функцией границы области. Эту функцию будем рассматривать как функцию области. Выполняется следующее утверждение. Если область мы разделяем на m взаимно непрерывающих частей при помощи конечного числа кусочно гладких кривых и части обозначаются через .

Тогда - аддитивность. . Теорема (о предельном переходе под знаком интеграла). Если функция при каждом фиксированном из некоторого множества комплексной плоскости Е непрерывна на некоторой кусочно гладкой кривой С и при предельной точки на кривой С, тогда пределный переход под знаком интеграла: По условию теоремы По Теорема( о равенстве повторных интегралов). Если функция на непрерывна, где - произвольные кусочно

- гладкие кривые, тогда функция Непрерывна на кривой и выполняется следующее равенство: - условие существования повторных интегралов.