кратные несобственные интегралы

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 1. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ВДОЛЬ ЛИНИИ 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 4. ВЫЧЕСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 11 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 12 ЛИТЕРАТУРА 13 ВВЕДЕНИЕ

Математический анализ – общеобразовательная математическая дисциплина, объектом изучения которой является большая область математики, связанная с понятиями функций, производной и интеграла. Дисциплина «Математический анализ» отражает важное направление развития современной математики. В ней рассматриваются вопросы, связанные с методами вычислений, что важно для нашей специальности. Интегральное исчисление, раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов

и их приложения. Интегральное исчисление тесно связано с дифференциальным исчислением и составляет вместе с ним одну из основных частей математического анализа (или анализа бесконечно малых). Центральными понятиями интегрального исчисления являются понятия определённого интеграла и неопределённого интеграла функций одного действительного переменного. Так же не малую роль играет понятие кратные интегралы.

Кратный интеграл - интеграл от функции нескольких переменных. Определяется при помощи интегральных сумм, аналогично определённому интегралу от функции одного переменного. В зависимости от числа переменных различают двойные, тройные, n-кратные интегралы. Так же существуют кратные несобственные интегралы. И целью моей курсовой работы является раскрыть один из разделов кратных интегралов – кратные несобственные

интегралы. 1. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть G – область в Rn, функция f: G R, интеграл не существует из-за того, что либо область G не ограничена, либо функция f не ограничена в области G, либо и то, и другое, но на каждом замкнутом кубируемом подмножестве функция f интегрируема по Риману. При выполнении всех перечисленных выше условий (1) будем называть несобственным кратным интегралом.

2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ВДОЛЬ ЛИНИИ Пусть функция F (x, y) непрерывна на открытом круге однако неограниченна на нём. При этом мы предполагаем, что при приближении к любым точкам окружности x2 + y2 = a2 функция F стремиться к бесконечности. Тогда для любого положительного b < a интеграл существует, но интеграл от F на Ga в обычном смысле не существует. Из существования интеграла по

Ga в римановском смысле должна следовать ограниченность F на Ga. Однако может случится, что существует предел Предел I называется интегралом от F по Ga в несобственном смысле и обозначают как обычный риманов интеграл Площадь сферы ׀Sa׀, соответствующей Ga нам пришлось определить при помощи не простого риманова интеграла, а несобственного интеграла

Мы рассмотрели пример несобственного интеграла, когда подынтегральная функция неограниченна вдоль линии. 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Рассмотрим несобственный интеграл (1) зависящий от параметра x = (x1,…,xm). Будем считать, что интеграл имеет единственную особенность в точке Точнее, мы рассматриваем область Ω точек y = (y1,…,yn) n-мерного пространства, в которой происходит

интегрирование и область G точек x = (x1,…,xm) – область параметров. Так как мы интегрируем по Ω, а в дальнейшем будем интегрировать и по G, то будем считать, что обе области Ω и G и имеют кусочно-гладкую границу. Что же касается функции f (x,y), то предполагается, что она непрерывна на за исключением точек (x, y0), где она имеет особенность. На Ω в окрестности каждой точки (x, y0) функция f (x, y), вообще

говоря, неограниченна. Мы предполагаем, что несобственный интеграл (1) существует для всех Это значит, что для каждого существует конечный предел (2) где (3) и Ωε = Ω U (y0, ε) есть множество точек y Ω, из которого выкинут шар радиуса ε с центром в точке y0. Важно отметить, что интеграл (3) – это обыкновенный интеграл Римана (собственный), и так как функция f (x, y) непрерывна на при любом ε >

0, то для него выполняются известные свойства: 1) Fε (x) непрерывная функция от 2) Законно менять местами порядок интегрирования (4) 3) Законно дифференцировать под знаком интеграла (5) при дополнительно условии, что частная производная непрерывна на . Возникает вопрос, сохраняются ли свойства 1) – 3) при ε =0, т.е. сохраняются ли они для несобственного интеграла (1). Это, вообще говоря, не так.

Однако если на сходимость к F (x) и к наложить дополнительное условие равномерной сходимости, то свойства 1) – 3) сохраняются. В связи с этим полезно понятие равномерной сходимости несобственного интеграла. По определению интеграл (1) сходящийся равномерно на (или по ), если т.е. равномерно на . Другими словами, интеграл (1) сходится равномерно на , если выполняется: для любого η > 0 существует ε0 > 0 такое, что К равномерно сходящимся интегралам можно применить теорию

равномерно сходящихся последовательностей функции, связанную с теорией равномерно сходящихся рядов. Мы знаем, что если последовательность функций Fn (x) (n=1, 2,…), непрерывных на множестве , сходится равномерно на , то предельная функция F (x) непрерывна на , и тогда (6) Мы знаем также, что дополнительно считать, что частные производные существуют и непрерывны на и, кроме того, , равномерно на , то функция F (x) имеет производную , равную :

При доказательстве этих свойств не имеет значения тот факт, что n, возрастая, пробегает натуральные числа. Можно считать также, что n = ε стремиться непрерывно к нулю (ε → 0). Поэтому указанные свойства автоматически переносятся на равномерно сходящиеся несобственные интегралы. Понятие равномерной сходимости для несобственных интегралов, зависящих от параметра, столь же важно, как и для функциональных рядов. Теорема 1. Если интеграл (1) равномерно сходиться на и функция f (x,

y) непрерывна на за исключением точек (x, y0), то интеграл (1) есть непрерывная функция от x. При этом В самом деле, из непрерывности и равномерной сходимости на следует, что F(x) непрерывна на . Далее, В этой цепи мы воспользовались (во втором равенстве) формулой верной, потому что Fε и F непрерывны на G и Fε → F равномерно на , и (в четвёртом равенстве) формулой (4).

Теорема 2. Если, кроме того, что выполняются условия теоремы 1, известно, что частная производная непрерывна на за исключением точек (x, y0), и интеграл равномерно сходится на , то имеет место равенство т.е. законно дифференцировать под знаком интеграла. В самом деле, Во втором равенстве этой цепи применено свойство: если функция и непрерывны на и обе при ε → 0 равномерно сходятся на соответственно

F(x) и ψ(x), то на . В четвёртом равенстве применено свойство (5), верное для любого ε > 0. 4. ВЫЧЕСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ Интеграл Эйлера-Пуассона Рассмотрим Это – несобственный двойной интеграл. Возьмём в качестве исчерпывающей последовательности последовательность кругов Тогда А теперь возьмём в качестве исчерпывающей последовательности последовательность квадратов

Тогда ЗАКЛЮЧЕНИЕ Торричелли и П. Ферма в 1644. Точные определения несобственных интегралов даны О. Коши в 1823. Различие условно и абсолютно сходящихся несобственных интегралов установлено Дж. Стоксом и П. Г. Л. Дирихле (1854). Ряд работ математиков 19 в. посвящен вычислению несобственных интегралов в случаях, когда соответствующая первообразная не выражается через элементарные функции. Значения многих несобственных интегралов приводятся в различных таблицах.

Несобственные интегралы имеют важное значение во многих областях математического анализа и его приложений. В теории специальных функций (цилиндрических функций, ортогональных многочленов и др.) одним из основных способов изучения является изображение функций в виде несобственных интегралов, зависящих от параметра, например. К несобственным интегралам относится и Фурье интеграл, а также интегралы, встречающиеся при других интегральных преобразованиях. Решения краевых задач математической физики записываются кратными

несобственными интегралами с неограниченной подынтегральной функцией. В теории вероятностей важное значение имеет несобственный интеграл ЛИТЕРАТУРА 1. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа М.: Наука, 2000. 2. Ильин В.А Позняк Э.Г. Математический анализ М.: Наука, 1999. 3. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике

М.: Наука, 2003. 4. Бугров Я.С Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: учебник для вузов. 3-е изд испр. – М: Наука. Гл. ред. физ-мат. мет 1989 464с. 5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления М.: Наука, 1999. 6. Сборник задач по математике для втузов.

Специальные разделы математического анализа (под редакцией А.В.Ефимова и Б.П. Демидовича). – Т.2 М.: Наука, 2004.