"Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц"

Министерство Образования Российской Федерации Марийский Государственный Технический Университет Кафедра Высшей математики Расчетно-графическая работа По дисциплине Вычислительная математика на тему Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц Выполнил студент гр. МИЭ 31 Веприков Д.О. Проверил доцент каф.

ВМ Пайзерова Ф. А. Йошкар Ола, 2001г. Содержание. 1 Собственные значения и собственные векторы. 1.1 Математическое обоснование метода. 1.2 Метод итераций. 1.3 Метод Леверрье-Фаддеева. 3.1 Основные пункты алгоритма метода Леверрье-Фаддеева. 1.4 Численное решение задачи нахождения собственных значений матриц методом

Леверрье-Фаддеева. 2 Приложение 2.1 Структурная схема алгоритма метода Леверрье-Фаддеева. 2.2 Листинг программы на алгоритмическом языке Pascal. 1 Собственные значения и собственные векторы. Задачи нахождения собственных значений и соответствующих им собственных векторов возникают в самых различных научных задачах. Например, при анализе динамических систем собственные значения определяют

частоты колебаний, а собственные векторы характеризуют их форму. В электро-радиотехнических устройствах собственные значения матриц определяют характеристические постоянные времени и режимы работы этих устройств. 1.1 Математическое обоснование метода. Рассмотрим квадратную матрицу n-ого порядка Собственные значения i квадратной матрицы A есть действительные или комплексные числа, удовлетворяющие условию ,

E единичная матрица собственный вектор матрицы A, соответствующий некоторому собственному значению . Матрица называется характеристической матрицей матрицы A. Т.к. в матрице по главной диагонали стоят , а все остальные элементы равны нулю, то характеристическая матрица имеет вид Определитель этой матрицы называется характеристическим определителем и равен В развернутом виде он является многочленом n-ой степени относительно , т.к. при вычислении этого определителя

произведение элементов главной диагонали дает многочлен со старшим членом , т.е. и называется характеристическим многочленом. Корни этого многочлена собственные значения или характеристические числа матрицы A. Числа называются коэффициентами характеристического многочлена. Ненулевой вектор называется собственным вектором матрицы A, если эта матрица переводит вектор X в вектор , т.е. произведение матрицы

A на вектор X и произведение характеристического числа на вектор X есть один и тот же вектор. Каждому собственному значению матрицы соответствует свой собственный вектор . Для определения координат собственного вектора составляется характеристическое уравнение . Переписав его в векторном виде и выполнив умножение, получим систему линейных однородных уравнений Определитель этой системы равен нулю, т.к. из этого условия были определены собственные значения матрицы

A. Следовательно, система имеет бесконечное множество решений. Ее можно решить с точностью до постоянного множителя как систему однородных уравнений. Решив эту систему, мы найдем все координаты собственного вектора X. Подставляя в систему однородных уравнений поочередно , получаем n собственных векторов. При определении собственных значений и принадлежащих им собственных векторов решается одна и двух задач 1.

Определение все собственных значений и принадлежащих им собственных векторов матриц 2. Определение одного или нескольких собственных значений и принадлежащих им собственных векторов. Первая задача состоит в развертывании характеристического определителя в многочлен n-й степени т.е. в определении коэффициентов с последующим вычислением собственных значений и, наконец, в определении координат собственного вектора . Вторая задача заключается в определении собственных значений итерационными

методами без предварительного развертывания характеристического определителя метод итераций. Методы первой задачи метод Данилевского, метод Леверрье-Фаддеева относятся к точным, т.е. если их применить для матриц, элементы которых заданы точно рациональными числами, и точно проводить вычисления по правилам действий с обыкновенными дробями, то в результате будет получено точное значение коэффициентов характеристического многочлена, и координаты собственных

векторов окажутся выраженными точными формулами через собственные значения. Обычно собственные векторы матрицы удается определить, используя промежуточные результаты вычислений, проведенных для определения коэффициентов характеристического многочлена. Для определения того или иного собственного вектора, принадлежащего собственному значению, это собственное значение должно быть уже вычислено. Методы решения второй задачи итерационные.

Здесь собственные значения получаются как пределы некоторых числовых последовательностей, так же, как и координаты принадлежащих им собственных векторов. Т.к. эти методы не требуют вычисления коэффициентов характеристического многочлена, то он менее трудоемки. Некоторые свойства собственных значений векторов Все n собственных значений любой симметричной матрицы aijaji i,j 1,2 n вещественны. Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям симметричной

матрицы, ортогональны , при при . Собственный вектор матрицы, умноженный на произвольное число, также является собственным вектором. Подобные матрицы , где P неособая матрица, имеют одинаковые собственные значения, их собственные вектора связаны соотношением Характеристическое уравнение решается ранее изложенными методами решения нелинейных уравнений. Однако задача осложняется тем, что среди собственных значений часто встречаются кратные.

Кроме того, для произвольной матрицы непросто вычислить сами коэффициенты характеристического многочлена. Ряд задач требует нахождения только наибольшего или наименьшего собственных значений. В общем случае ставится задача о нахождении всех собственных значений и собственных векторов, т.е. полная проблема собственных значений. Предположим, что поставлена задача определения наибольшего собственного числа матрицы и наибольшего собственного вектора при нем.

Наиболее подходящим методом для нахождения наибольшего собственного числа и собственного вектора является метод итераций. 1.2 Метод итераций. Для решения частичной проблемы собственных значений отыскания наибольших и наименьших собственных чисел, применяется метод простой итерации решения систем уравнений С помощью итерационных методов можно определить наибольшее по модулю собственное число матрицы A без раскрытия определителя. Итак, пусть - характеристическое уравнение - его корни, являющиеся собственными

значениями матрицы . Предположим, что , т.е. наибольшее по модулю собственное число. Тогда для нахождения приближенного значения корня используется следующая схема - произвольно выбирают начальный вектор Y - составляют последовательные итерации - выбирают из этой последовательности два последних значения, и принимают за наибольшее собственное число следующее соотношение , где - соответствующие координаты векторов . Таким образом, взяв достаточно большой номер итерации m, можно с любой степенью

точности вычислить наибольший по модулю корень характеристического уравнения матрицы. Для нахождения этого корня может быть использована любая координата вектора , в частности можно взять среднее арифметическое соответствующих отношений для разных координат. 1.3 Метод Леверрье-Фаддеева. Этот метод относится к группе тех, которые решаются методами развертывания определителей. Этот метод был предложен Леверрье и упрощен советским математиком

Фаддеевым. Метод Леверрье основан на формулах Ньютона для сумм степеней корней алгебраического уравнения и заключается в следующем. Пусть - характеристический многочлен матрицы , и - полная совокупность корней характеристического многочлена. Рассмотрим суммы иначе каждая сумма есть след матрицы . Тогда при справедливы формулы Ньютона откуда получаем при при при Следовательно, коэффициенты характеристического многочлена можно легко определить, если известны суммы

. Таким образом, схема раскрытия характеристического многочлена состоит в следующем 1 вычисляют степени 2 определяют - суммы элементов главных диагоналей матриц 3 по вышеприведенным формулам Ньютона находим коэффициенты . Видоизмененный метод Леверрье, предложенный Фаддеевым, заключается в вычислении последовательности матриц по следующей схеме 1.3.1 Основные пункты алгоритма метода Леверрье-Фаддеева.

1. Ввод исходной матрицы , где n размерность матрицы. 2. Вычисление коэффициентов . 3. Решение характеристического уравнения определение . В качестве метода решения характеристического уравнения выбран уединения корней уравнения и метод хорд. 4. Задание начальных единичных векторов . 5. Вычисление собственного вектора , соответствующего . 6. Нормировка вектора . 7. Конец алгоритма. При решении данной задачи использовались и некоторые вспомогательные

процедуры например процедура возведения в степень. 1.4 Численное решение задачи нахождения собственных значений матриц методом Леверрье-Фаддеева. Используя метод Леверрье-Фаддеева, найти собственные числа матрицы, а так же наибольший собственный вектор Решение. Определяем коэффициенты характеристического уравнения посредством построения последовательности матриц Результаты дальнейших вычислений примут вид

Получим характеристическое уравнение Решая это уравнение методом хорд, предварительно уединив корни на некотором промежутке, получаем следующие значения собственных чисел Вычислим собственный вектор при наибольшем собственном числе матрицы методом итераций. Итак, используя метод итераций, определить первое наибольшее собственное значение и первый собственный вектор матрицы . Решение. Выбираем начально-свободный вектор

Вычисляем Дальнейшие вычисления можно свести в Таблицу1. A2,6 1,2 -0,11,2 2,1 1,6-0,1 1,6 0, Y01.001.001.00Y13.704.902.304.133.764.05 Y215.2718.419.313.993.903.80Y360.8671.88 35.383.96 3.903.88Y4240.96280.59137.223.94 3.913.90Y5949.491097.95534.633.933.923.9 1Y63732.754300.492089.483.93 3.923.91Y714656.7916853.498179.093.923.9 23.92 Дальнейшие итерации можно прекратить. Собственное значение наибольшее . Нормированный собственный вектор . 2 Приложение 2.1

Структурная схема алгоритма метода Леверрье-Фаддеева. Процедура Trace формирования следа матрицы AMatrix. Процедура VInter формирования последовательности матриц Bmatrix. Структурная схема процедуры AConsistance. Структурная схема метода хорд для решения характеристического уравнения.

Процедура уединения коренй характристического уравнения. 2.2 Листинг программы на алгоритмическом языке Pascal. Метод Лаверрье-Фаддеева Метод нахождения собственных чисел матриц M 1024,0,0Освобождение памяти для потомка uses Dos,Crt const N10 MainTextColor15 DiagonColor2 OutPutI3

OutPutJ7 ScaleI10 ScaleJ3 type TMatrixarray1 N,1 N of real TVecarray1 N of real Процедура решает задачу ввода порядка исходной матрицы procedure ReadRangevar Rangeinteger begin writelnБлок ввода данных writeВведите порядок исходной матрицы AMatrix readRange end Процедура считывания исходной матрицы procedure InputMatrixvar AMatrixTMatrixRangeinteger var i,j,cols,rowsinteger begin

RowsRange ColsRange writelnВведите исходную матрицу for i1 to cols do for j1 to rows do begin GoToXYOutPutIScaleIi,OutPutJScaleJj readAMatrixi,j end end procedure PlotSameMatrixvar CEquivalTMatrixAMatrixTMatrixRangeintege r var i,jinteger begin for i1 to Range do for j1 to Range do begin CEquivali,jAMatrixi,j end ClrScr end Процедуры форматированного выводапечати матриц

AMatrix procedure CoordAMatrixvar AMatrixTMatrixRangeinteger var i,j,kinteger begin for i1 to Range do for j1 to range do begin GoToXYOutPutIScaleIi,OutPutJScaleJj if ij then TextColorDiagonColor else TextColorMainTextColor writeAMatrixi,j42 end end procedure CoordVMatrixvar VMatrixTMatrixRangeinteger var i,jinteger begin for i1 to

Range do for j1 to range do begin GoToXYOutPutIScaleIi,OutPutJScaleJj writeVMatrixi,j42 end end Суммирование диагональных элементов след матрицы function TraceRangeintegerAMatrixTMatrixreal var i,Ninteger diagsumreal begin Diagsum0 Trace0 NRange for i1 to N do begin DiagsumdiagsumAMatrixi,i TraceDiagsum end end Промежуточная матрица V procedure

VIntervar VMatrixTMatrixBMatrix,AMatrixTMatrixRang einteger Pkreal var i,j,m,i0integer begin ClrScr TextColorMainTextColor writeln Промежуточная матрица Bn readln for i1 to Range do for j1 to Range do begin if ij then BMatrixi,jAMatrixi,j-Pk else BMatrixi,jAMatrixi,j VMatrixi,jBMatrixi,j CoordVMatrixVMatrix,

Range end readln end Процедура формирования матрицы A последовательности матриц procedure AConsistancevar AMatrixTMatrixCEquival,VTMatrixRangeinte ger var i,j,kinteger begin ClrScr for i1 to Range do for j1 to Range do begin AMatrixi,j0 end for k1 to Range do for i1 to Range do begin for j1 to

Range do begin AMatrixk,iAMatrixk,iCEquivalk,jVj,i end CoordAMatrixAMatrix,Range end end Промежуточная функция возведения в степень function powxrealyintegerreal begin if x0 then pow0 if x 0 then powexpylnx if x 0 and y mod 20 then powexpyln-x if x 0 and y mod 2 0 then pow-expyln-x end Окончательная функция function fxrealiintegerPVecTVecRangeintegerreal var kinteger begin k1 if Range4 then fpowx,4-PVeckpowx,3-PVeck1powx,2 -

PVeck2x-PVeck3 if Range3 then fpowx,3-PVeckpowx,2-PVeck1x-PVeck2 end Derivative -вторая производная function FderivxrealiintegerPVecTVecRangeintegerr eal var kinteger begin k1 if Range4 then Fderiv12powx,2-6PVeckx-PVeck12 if Range3 then Fderiv6x-2PVeck end Реализация метода хорд для решения характеристического уравнения procedure

ChordMethoodvar X,Yrealx1,x2,epsreali,RangeintegerPVecTV ec var Ya,Yb,Ykreal Xk,Xnreal kinteger begin Yafx1,i,PVec,Range Ybfx2,i,PVec,Range YFderivx1,i,PVec,RangeВторая производная if YaY 0 then begin Xkx1YkYaXx2 YYb end else begin Xkx2YkYb Xx1YYa end repeat XnXXXn-YY-YkXn-Xk YfX,i,PVec,Range until absX-

Xk eps writelnLambda ,X54 writelnroot Y ,Y readln end Реализация метода уединения и уточнения коренй посредством метода хорд procedure Rootlimitvar alpha,betarealvar LVecTVecvar RootNuminteger i,RangeintegerPVecTVec const steph0.09 var x1,x2,y1,y2real Ya,Yb,Yk,Yreal Xk,Xn,Xreal epsreal kinteger begin k0 x1alpha x2x1steph y1fx1,i,

PVec,Range while x2 beta do begin y2fx2,i,PVec,Range if y1y2 0 then begin TextColorMainTextColor writelnКорень лежит в этих пределах,x154 x254, Процедура уточнения корней характеристического уравнения ChordMethoodX,Y,x1,x2,eps,i,Range,PVec kk1 LVeckX end else x1x2 x2x1steph y1y2 end RootNumkЧисло действительных корней характеристического уравнения end

Тело программы var AMatrix,CEquival,BMatrix,VMatrixTMatrix XSelfVec,LVec,UEMatrixTVec PCharacteristicParam,Pk,Pn,Lambda,Maxrea lПараметр p характеристического уравнения матрицы Range,k,k1,i,j,numinteger i0,minteger Cols,Rowsinteger PVecTVec Параметры характеристического уравнения уравнения

Ya,Yb,Ykreal Xk,Xn,x1,x2real X,Yreal alpha,beta,epsreal RootNuminteger begin ClrScr TextColorMainTextColor Pn0 Pk0 ReadRangeRangeПроцедура считывает порядок матрицы InputMatrixAMatrix,RangeСчитываем исходную матрицу PlotSameMatrixCEquival,AMatrix,Range Блок вычисления коэффицентов характеристического уравнения матрицы

ClrScr TextColorMainTextColor writelnКоэффиценты характеристического уравнения for k1 to Range-1 do begin PkTraceRange,AMatrixk Pk - коэффицент характкристич. уравнения PVeckPk writePk,k Pk94 readln VInterVMatrix,BMatrix,AMatrix,Range,Pk AConsistanceAMatrix,CEquival,VMatrix,Ran ge GoToXY39,1 writelnМатрица A,k1 readln end PnTraceRange,

AMatrixRange PVeck1Pn Вектор параметров P writelnP,Range Pn92 readln ClrScr writelnВектор коэффицентов P for k1 to Range do begin GoToXYOutPutIScaleIk,OutPutJ TextColorMainTextColor writePVeck83 end readln Блок вычисления собственных чисел матрицы ClrScr TextColorMainTextColor writeln writelnВедите пределы, в которых располагаются корни уравнения.

writeEnter alpha readlnalpha writeEnter beta readlnbeta writeEnter eps readlneps Rootlimitalpha,beta,LVec,RootNum,i,Range ,PVec ClrScr TextColorMainTextColor writeВектор собственных чисел for k1 to RootNum do begin GoToXYOutPutIScaleIk,OutPutJ writeLVeck84 end readln end. Литература. 1. Воробьева Г.Н Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике

Учеб. Пособие для техникумов М. Высш. Школа, 1990. 2. Гловацкая А.П. Методы и алгоритмы вычислительной математики. Учеб. Пособие для вузов М. Радио и связь, 1999. 3. Численные методы. Учебник для техникумов и вузов. М. Высшая школа, 1976.