Введение
Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процесс широко распространены в природе и технике, например качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи. Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электромагнитные и другие. Однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной физической природы. Например ,единый подход к изучению механических и электромагнитных колебаний применялся английским физиком Д. У. Релеем (1842-1919), а А.Г. Столетовым, русским инженером-экспериментатором П.Н. Лебедевым (1866-1912). Большой вклад в развитие теории колебаний внесли: Л.И. Мандельштам (1879-1944) и его ученики.
Целью данной курсовой работы является изучение колебаний магнитного диполя (витка с током). В соответствии с целью автор работы ставит перед собой следующие задачи:
1. Определить положение устойчивого равновесия и рассмотреть колебания магнитного диполя (витка с током) в однородном магнитном поле.
2. Найти собственную частоту колебаний системы, задав её параметры.
3. Построить графики и фазовые траектории.
Основой для выполнения курсовой работы служат учебные пособия по физике и математике Савельева И.В. и Пискунова Н.С.
1. Гармонические колебания и их характеристики.
Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально совершенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую колебания). Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых колеблющаяся величина изменятся со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам :
1. Колебания встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому;
2. Различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний.
Гармонические колебания величины s описываются уравнением типа
s =A cos (w0 t +j), (1)
где:
n А - максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания,
n w0 - круговая (циклическая) частота,
n j - начальная фаза колебания в момент времени t=0,
n (w0 t +j) - фаза колебания в момент времени t.
Фаза колебания определяет значения колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус изменяется в пределах от 1 до -1, то s может принимать значения от +А до -А.
Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом колебания, за который фаза колебания получает приращение равное 2p, т.е.
w0(t+T)+ j=(w0t+ j)+2p,
откуда
T=2p/w0 (2)
Величина, обратная периоду колебаний,
n=1/T (3)
т. е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний. Сравнивая (2) и (3), получим
w0=2p n.
Единица частоты - герц (Гц): 1 Гц - частота периодического процесса, при которой за 1 секунду совершается 1 цикл процесса.
Запишем первую и вторую производные по времени от гармонически колеблющейся величины s:
(4)
(5)
т. е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды величин (5) и (4) соответственно равны и .Фаза величины (4) отличается от фазы величины (1) на p/2, а фаза величины (5) отличается от фазы величины (1) на p. Следовательно, в моменты времени, когда s=0, приобретает наибольшие значения; когда же s достигает максимального отрицательного значения, то приобретает наибольшее положительное значение (см. рисунок 1).
Рисунок 1.
Из выражения (5) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний
, (6)
где s =A cos (w0 t +j). Решением этого уравнения является выражение (1).
Гармонические колебания изображаются графически методом вращающегося вектора амплитуды, или методом векторных диаграмм.
Для этого из произвольной точки О, выбранной на оси x под углом j,равнымначальной фазе колебания, откладывается вектор А, модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого колебания (см. рисунок 2).
Рисунок 2.
Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью w0, равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси x и принимать значения от -А до +А , а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону s =A cos (w0 t +j). Таким образом, гармоническое колебание можно представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора амплитуды А, отложенного из произвольной точки оси под углом j, равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью w0 вокруг этой точки.
В физике часто применяется другой метод, который отличается от метода вращающегося вектора амплитуды лишь по форме. В этом методе колеблющуюся величину представляют комплексным числом. Согласно формуле Эйлера, для комплексных чисел
(7)
где - мнимая единица. Поэтому уравнение гармонического колебания (1) можно записать в комплексной форме:
(8)
вещественная часть выражения (8)
представляет собой гармоническое колебание. Обозначение Re вещественной части опускают и записывают в виде
В теории колебаний принимается, что колеблющаяся величина s равна вещественной части комплексного выражения, стоящего в этом равенстве справа.
2. Колебания витка с током в магнитном поле
Рассмотрим замкнутый проводящий контур, по которому течёт ток I, помещённый в однородное магнитное поле . Поле , в зависимости от его ориентации по отношению к контуру по разному воздействует на контур. Для простоты рассмотрим плоский контур в виде рамки, изображённый на рисунке 3. Результаты, в целом, будут справедливы для контура произвольной формы.
a I
I 0
α
b
Рисунок 3. Замкнутый проводящий контур.
Силы ампера, действующие на разные участки контура, будут перпендикулярны одновременно и направлению вектора, и сторонам рамки. При этом на стороны а рамки будут действовать силы в плоскости рамки, стремящиеся сжать либо растянуть рамку. На стороны же b будут действовать противоположные силы под углом α к плоскости рамки, которые будут стремиться привести её во вращение. Эти последние две силы образуют пару сил, которая создаёт вращательный момент рамки.
Плечо силы , действующей на каждую из сторон b, равно , сила , следовательно, полный момент пары сил равен:
, (9)
где S=ab- площадь рамки.
Из рисунка 3 видно, что момент направлен вдоль оси вращения. Поэтому выражение для момента можно записать в векторной форме:
. (10)
Таким образом, однородное магнитное поле создаёт вектор момента сил, направленный перпендикулярно вектору и нормали n плоскости контура. Как видно из полученного выражения, момент силы не зависит от координат выбранной точки, а определяется только площадью контура.
Величина называется магнитным моментом тока, протекающего по контуру. Направление совпадает с направлением нормали к контуру. Таким образом, всякий ток, протекающий по замкнутому контуру, можно характеризовать вектором магнитного момента (рис. 4).
S
I
Рисунок 4. Вектор магнитного момента.
В терминах магнитного момента вращательный момент контура можно записать в виде:
. (11)
Отсюда видно, что составляющая магнитной индукции , нормальная к плоскости контура, не вносит вклад во вращательный момент, .
Максимальный момент контура с электрическим током играет такую же роль по отношению к внешнему магнитному полю, что и электрический дипольный момент по отношению к электрическому полю.
Из (11) видно, что величина N будет минимальна (равна нулю) при параллельной , т.е. когда направление поля перпендикулярно плоскости рамки. Таким образом, магнитное поле заставляет контур с электрическим током поворачиваться до тех пор, пока направление нормали к плоскости контура не совпадёт с направлением , причём равновесие будет устойчивым при .
3. Численное решение задачи.
Рассмотрим следующую задачу. Тонкий провод в виде кольца массой m=0,003кг. свободно подвешен на неупругой нити в однородном магнитном поле индукции B=0,00665Тл. По кольцу течёт ток силой I=2А. Найти период Т малых крутильных колебаний контура и составить уравнение колебаний контура.
S
0
R
φ
Рисунок 5. Силы, действующие на контур (виток с током).
Магнитный момент, действующий на виток с током:
.
Момент инерции витка относительно оси вращения:
.
Тогда основное уравнение динамики вращательного движения в данном случае примет вид:
. (12)
Будем рассматривать малые колебания. Тогда: sinφ≈φ. Поэтому из (12):
;
. (13)
Т.к. , то . Тогда из (5):
. (14)
Характеристическое уравнение для (14):
поэтому общее решение для (14):
, (15)
.
Выражение (15) – уравнение гармонических колебаний витка с током в магнитном поле.
Собственная частота колебаний:
; (16)
;
период колебаний:
; (17)
.
Выражение (15) можно представить в виде:
. (18)
отсюда: (19)
Приравниваем (15) и (19):
; тогда:
(20)
(21)
Зададим в (15) начальное условие: .
Тогда: .
Уравнение колебаний контура примет вид:
. (22)
Построим график функции (22):
Заключение
В данной курсовой работе рассмотрены основные положения теории гармонических колебаний, проведён анализ колебаний витка с током в магнитном поле, получены выражения механического момента, действующего на контур с током, выведено уравнение колебаний контура, найдены период и частота колебаний, построен график колебаний контура.
Список литературы
1. И.В. Савельев. Курс общей физики. Издание пятое. т. 1, глава 9, т.2 глава 13.
2. М.И. Рабинович. Введение в теорию колебаний и волн. М., 1979 г.
3. Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов., т.2, М., Наука, 1978г.
4. Г. Пейн. Физика колебаний и волн. М., 1969 г.
5. Г.С. Горелик. Колебания и волны. М., 1969 г.
6. Д.В. Сивухин. Общий курс физики. Механика, т.1, электричество, т.3.М., 1977 г.
7. А.А. Покровский. Демонстрационный эксперимент по физике. Том 2. – М. «Просвещение», 1972г.