Задача 1.5.3
По данной схеме механизма произвести
1. Структурный анализ
1.1. Виды звеньев
1.2. Классификация кинематических пар
1.3. Составить кинематическую схему
2. Кинематический анализ
2.1. Построить план механизма
2.2. Построить план скоростей
2.3. Построить план ускорений
3. Кинетостатический расчет механизма
№
вар.
S, мм
l=r/l
qрmax,
град
Vср.,
м/сек
d
Усилие черновое
Усилие чистовое
P'
P''
P'
P''
3
270
0.20
8
2.6
1/26
410
1700
1100
2800
Примечание:
1. Vср=(Sxn)/30; S-M
2. Центр тяжести шатуна lAS2=l/3
3. Вес шатуна G2=gxl, где g=8.0…9.0 кг/м. Вес ползуна принимается G3=(2.5…3) G2
4. Момент инерции шатуна JS2=0.16xm2xl2
5. Кривошип уравновешен, весом кривошипа пренебрегать
1. Структурный анализ
1.1. Виды звеньев
Кривошип – 1; шатуны – 2 и 4; ползуны – 3 и 5; стойки – O, B, D
1.2. Классификация кинематических пар
В механизме имеются только 7 низших кинематических пар: врашательные (5 пар) и поступательные (2 пары)
Врашательные кинематические пары: стойка О – кривошип 1; кривошип 1 – шатун 2; кривошип 1 – шатун 4; шатун 4 – ползун 5; шатун 2 – ползун 3
Поступательные кинематические пары: ползун 5 – стойка D; ползун 3 – стойка B
Количество степеней свободы механизма определяется по формуле Чебышева
W= 3n - 2p2 - p1
где n – количество подвижных звеньев
p2 – количество низших кинематических пар
p1 – количество высших кинематических пар
W= 3x5 - 2x7 = 15 – 14 = 1
1.3. Кинематическая схема
1, 7, 8 – стойки
2 – кривошип
3, 4 – шатуны
5, 6 - ползуны
2. Кинематический анализ
Радиус кривошипа r= S/2 = 270 / 2 = 135 мм = 0.135 м
Из формулы l=r/l определим длину шатуна l =r /l= 135 / 0.2 = 675 мм = 0.675 м
Вес шатуна G2=g xl= 8.5x0.675 = 5.7 кг
Вес ползуна G3=2.5 x G2= 2.5x5.7= 14.25 кг
Центр тяжести шатуна lAS2=l/3= 675/3 = 225 мм = 0.225 м
Момент инерции шатуна JS2=0.16xm2xl2= 0.16x5.7x0.6752 = 0.42 кгxм2
2.1. Строим план механизма (см. рис. 1)
Выбираем масштабный коэффициент при длине кривошипа на плане равной 50 мм
ml =r/50= 135/50 = 2.7
тогда длина шатуна на плане будет составлять lпл= l/ml = 675/2.7 = 250 мм
Верхняя мертвая точка ОВ1=r+l= 675+135 = 810 мм
Нижняя мертвая точка ОВ2=r-l= 675-135 = 540 мм
Верхняя мертвая точка на плане ОВ1пл=lпл+rпл= 250+50 = 300 мм
Нижняя мертвая точка на плане ОВ2пл=lпл-rпл= 250-50 =200 мм
Центр тяжести шатуна на плане lAS2 пл = 225/2.7 = 83.3 мм
2.2. Строим план скоростей (смотри рис. 1.а.)
Из формулы Vср=Sxn/30 определим n= Vср x 30/S, где S – длина шатуна
n = 2.6 x 30/0.675 = 116 об/мин
Угловая скорость кривошипа w1=p xn/30= 3.14x116/30 = 12.1 c-1
Скорость т.А VА=w1xОА= 12.1x0.135 = 1.6335 м/с
Выбираем масштабный коэффициент при длине вектора VА на плане равным 50 мм
mV =r/50= 1.6335 /50 = 0.03267
Для нахождения скоростей напишем два векторных уравнения
VВ= VА+ VАВ
VВ//OB
Выбираем произвольно полюс точку «Р».
Из точки «Р» строим вектор скорости VА Ра длиной 50 мм перпендикулярный кривошипу ОА.
Из точки «Р» строим прямую параллельную ОВ.
Из точки «а» строим прямую перпендикулярную шатуну АВ.
Находим точку пересечения прямых «в». Прямая «Рв» есть вектор скорости VВ, а прямая «Ра» есть вектор скорости VАВ.
Находим числовые значения VВ и VАВ, измерив длины «Рв» и «ва»
VВ=mV xРв= 0.03267 x 39.8 = 1.3 м/с
VАВ=mV xва= 0.03267 x 36.3 = 1.2 м/с
2.3. Строим план ускорений (смотри рис. 1.б.)
Определяем ускорение точки «А» кривошипа. Так как w1=const
aA= anA=w21x АB (м/с2), где АВ=r (м)
anA= 12.12 x0.135 = 19.76 м/с2
От произвольно выбранного полюса «p» в масштабе ma = aA/100= 19.76/100 = 0.1976 откладываем отрезок pа равный 100 мм параллельно кривошипу ОА.
Определяем ускорение точки «В» ползуна:
aВ= aA+anAB+atAB
aВ//OB
Определяем ускорение шатуна «АВ» по формуле anAВ=w22x АB, где w2= VВ /АB следовательно anAВ=V2В/АB= 1.32/0.675 = 2.5 м/с2
Строим вектор ускорения anAВ параллельно шатуну АВ длиной на плане
ad= anAВ/ma = 2.5 /0.1976 = 12.65 мм
Через полюс «p» строим прямую параллельно ОВ, а через точку «d» прямую перпендикулярно шатуну АВ. Находим точку пересечения «в» построенных прямых.
Определим числовые значения ускорений
aAВ= ab x ma= 69.7 x 0.1976 = 13.77 м/с2
atAВ= db x ma= 68.5 x 0.1976 = 13.54 м/с2
Угловое ускорение e= atAВ/ВА= 13.54/0.675 = 20 с-2
Для определения ускорения центра тяжести шатуна найдем центр тяжести на векторе ускорения aAВ. аs2= ab/3= 69.7/3 = 23.2 мм
Определим числовые значение ускорения центра тяжести замерив на плане отрезок ps2= 86.3 мм
aS2= ps2 x ma= 86.3 x 0.1976 = 17.02 м/с2
3. Кинетостатический расчет механизма
Замеряем на диаграмме расстояние АВ=35мм (смотри рис.1.в). Находим действительную длину АВ=0.35 x 675=236.25 мм.
Определяем расстояние ВВ1=16.5 x 2.7= 44.55 мм
Из пропорции
35 мм на диаграмме – 236.25 мм
х мм на диаграмме – 44.55 мм
определяем х= 35 x 44.55/236.25 = 6.6 мм
На прямой АВ диаграммы откладываем расстояние х=6.6 мм от верхней мертвой точки и поднимем перпендикуляр до кривой. От точки пересечения К проводим горизонталь до пересечения с вертикалью АD и замеряем расстояние 37.2 мм. Находим индикаторное давление из пропорции
1700 кг/см2 на диаграмме – 44.2 мм
Рх кг/см2 на диаграмме – 37.4 мм
Рх= 1700 x 37.4/44.2 = 1438.5 кг/см2
Рх= 1438.5 x 9.81 x 104 = 141116850 Па
Сила действующая на поршень Р=p x D2 x Px/4 при диаметре поршня 50 мм
Р= 3.14 x 52 x 1438.5/4 = 28230 кг III – звено (ползун)
R3,4 – реакция поршня на стенки цилиндра
Pu3 – сила инерции
R2,3 – реакция шатуна на поршень
RX2,3 – реакция шатуна на поршень по оси ординат
P – сила действующая на поршень
G3 – вес поршня
RY2,3 – реакция шатуна на поршень по оси абсцисс
Sy=0 R3,4- G3- RY2,3=0 R3,4- 14.25- RY2,3=0 R3,4- 14.25- R2,3 x sin80=0
Sх=0 Pu3+ RX2,3- P=0 Pu3+ RX2,3- 28230=0 Pu3+ R2,3 x cos80- 28230=0
Подставим значение R2,3 найденное во II звене
R3,4=14.25+R2,3 x sin80=14.25-5.817 x sin80=14.25-5.817 x 0.139= 13.44 кг
Pu3= -R2,3 x cos80+ 28230=5.817 x cos80+ 28230=5.817 x 0.99+ 28230=28235.76 кг
II – звено (шатун)
SMA =0 1) RSu x sin410 x AS2- G2 x sin820 x AS2+Mu2-R2,3 x sin80 x AB=0
SMB=0 2) -Mu2 -RSu x sin410 x BS2+ G2 x sin820 x BS2+R1,2 x sin520 x AB=0
Sх=0 3) -R1,2 x cos520+RSu x cos410+ G2 x cos820+R2,3 x cos80=0
Sy=0 4) -R1,2 x sin520+RSu x sin410- G2 x sin820-R2,3 x sin80=0
1) RSu x 0.656 x 22.5- 5.7 x 0.99 x 22.5+Mu2-R2,3 x 0.139 x 67.5=0
2) -Mu2 -RSu x 0.656 x 45+ 5.7 x 0.99 x 45+R1,2 x 0.788 x 67.5=0
3) -R1,2 x 0.616+RSu x 0.755+ 5.7 x 0.139+R2,3 x 0.99=0
4) -R1,2 x 0.788+RSu x 0.656- 5.7 x 0.99-R2,3 x 0.139=0
1) RSu x 14.76- 127+Mu2-R2,3 x 9.382=0
2) -Mu2 -RSu x 29.52+ 254+R1,2 x 53.19=0
3) -R1,2 x 0.616+RSu x 0.755+ 0.792+R2,3 x 0.99=0
4) -R1,2 x 0.788+RSu x 0.656- 5.64-R2,3 x 0.139=0
Сложим 1-ое и 2-ое уравнения
5) RSu x 14.76- 127+Mu2-R2,3 x 9.382-Mu2 -RSu x 29.52+ 254+R1,2 x 53.19=0
5) -RSu x 14.76+ 127 -R2,3 x 9.382+R1,2 x 53.19=0
Из 3-го уравнения найдем R1,2 и подставим его в 4-ое и 5-ое уравнения
3) R1,2 =(RSu x 0.755+ 0.792+R2,3 x 0.99)/0.616= RSu x 1.226+ 1.286+R2,3 x 1.607
4) –(RSu x 1.226+ 1.286+R2,3 x 1.607) x 0.788+RSu x 0.656- 5.64-R2,3 x 0.139=0
5) -RSu x 14.76+ 127 -R2,3 x 9.382+(RSu x 1.226+ 1.286+R2,3 x 1.607) x 53.19=0
4) –RSu x 0.966- 1.013-R2,3 x 1.266+RSu x 0.656- 5.64-R2,3 x 0.139=0
5) -RSu x 14.76+ 127 -R2,3 x 9.382+RSu x 65.21+ 68.4+R2,3 x 85.476=0
4) –RSu x 0.31-R2,3 x 1.405- 6.653=0
5) RSu x 50.45+ 195.4+R2,3 x 76.094=0
Из 4-го уравнения найдем RSu и подставим его 5-ое уравнения
4) RSu=(-R2,3 x 1.405- 6.653)/ 0.31=-R2,3 x 4.532- 21.461
5) (-R2,3 x 4.532- 21.461) x 50.45+ 195.4+R2,3 x 76.094=0
5) -R2,3 x 228.64- 1082.7+ 195.4+R2,3 x 76.094=0
5) -R2,3 x 152.546- 887.3=0
5) R2,3= - 887.3/152.546= -5.817 кг
Найденное значение R2,3 подставим в 4-е уравнение и найдем RSu
4) RSu=-R2,3 x 4.532- 21.461=-(-5.817 x 4.532)- 21.461=26.362-21.461=4.901 кг
Найденные значения R2,3 и RSu подставим в 3-ое уравнение и найдем R1,2
3) R1,2 =RSu x 1.226+ 1.286+R2,3 x 1.607
R1,2 =4.901 x 1.226+ 1.286 -5.817 x 1.607= 6.009+1.286-9.348= -2.089 кг
Найденные значения RSu и R1,2 подставим во 2-ое уравнение и найдем Mu2
Mu2= -RSu x 29.52+ 254+R1,2 x 53.19= -4.901 x sin520 x AО 29.52+ 254-2.089 x 53.19= -1.791кгм
Для проверки воспользуемся 1-ым уравнением и повторно определим Mu2
Mu2= -RSu x 14.76+ 127+R2,3 x 9.382= -4.901 x 14.76+ 127-5.817 x 9.382 = -1.791 кгм
I – звено (кривошип)
SMА =0 1) -R4,1 x sin460 x AО-М=0
SMО=0 2) –R1,2 x sin520 x AО+М=0
Из 2-го уравнения определим М
М=R1,2 x sin520 x AО= -2.089 x 0.788 x 13.5= -22.22 кгм
Из 1-го уравнения определим R4,1
R4,1= -М/ sin460 x AО=22.22/0.719 x 13.5=2.289 кг
Задача 2.5.3
В зубчатом механизме, показанном на схеме ведущее колесо 1 в данный момент имеет угловую скорость w1 и постоянное угловое ускорение e1 направленное согласно схемы.
Определить
1. Передаточные отношения кинематических пар и их знаки
2. Угловые скорости и угловые ускорения звеньев, их направления показать на схеме механизма
3. Время в течении которого угловая скорость увеличится вдвое
4. Величину и направление силы инерции и момента инерции неуравновешенного ведущего звена в начале и конце найденного в предыдущем пункте промежутке времени. Показать рисунком направление вращения, ускорений и инерционных нагрузок
5. Определить общий КПД
6. Вычертить кинематическую схему
Примечание:
1. Зубчатое колесо нормальное с модулем m=1
2. Смещение центра масс ведущего звена относительно оси вращения принять равным модулю m=1
3. Массу и момент инерции ведущего звена относительно оси вращения определить, приняв его за цилиндр с диаметром начальной окружности зубчатого колеса 1 и длиной равной 10 модулям m=1 , плотностью r=7800 кг/м3
4. Для расчетов принять следующие значения КПД: для пары цилиндрических колес – 0.97; для пары конических колес – 0.95; для планетарной передачи внешнего зацепления – 0.5; для планетарной передачи внутреннего зацепления – 0.96
№вар
z1
z2
z3
z4
z5
z6
z7
z8
m1, мм
w1, рад/c
e1, рад/c2
3
21
60
15
24
15
26
20
61
4
150
25
Рис. 1 Кинематическая схема механизма
Количество степеней свободы механизма определяется по формуле Чебышева
W= 3n - 2p2 - p1
где n – количество подвижных звеньев
p2 – количество низших кинематических пар
p1 – количество высших кинематических пар
W= 3x5 - 2x5 - 4 = 15 – 10 – 4 = 1
1. Определяем передаточные отношения кинематических пар, их знаки и угловые скорости звеньев механизма. Передаточным отношением механизма, передающего вращательное движение, в технике принято называть отношением угловой скорости ведущего вала wI, кугловой скорости ведомого вала wII и обозначать его через U I- II, где индексы показывают номера валов. wI
U I- II = ¾¾ ( 1 )
wII
Если через r1 b r2 обозначить радиусы начальных окружных скоростей зубчатых колес, а через z1 и z2 число зубьев, то зависимость (1) можно записать в виде
wI z2 r2
U I- II = ¾¾ = ± ¾¾ = ± ¾¾ ( 2 )
wII z1 r1
Передаточное отношение считается положительным, если ведущий и ведомый вал вращаются в одинаковом направлении. Если вращение звеньев, передаточное отношение которых рассматривается, совершается в противоположных направлениях, то передаточное отношение отрицательно.
wI z2 60 wI 150
U I-II = ¾¾ = ¾¾ = ¾¾ = 2,857 Þ wII = ¾¾ = ¾¾¾ = 52,5 рад/c
wII z1 21 U I-II 2,857
wII z4 24 wII 52,5
U II-III = ¾¾ = - ¾¾ = - ¾¾ = - 1,6 Þ wIII = ¾¾ = ¾¾¾ = - 32,812 рад/c
wIII z3 15 U II-III 1,6
z6 26
UH III-IV = - ¾ = - ¾¾ = - 1,73
z5 15
z8 61
UH IV-V = - ¾ = ¾¾ = 3,05
z7 20
Выведем зависимость, связывающую угловые скорости wIII, wIV, wV звеньев III, IV и V механизма изображенного на рис. 1. Пусть звенья механизма движутся с заданными угловыми скоростями.
Относительное движение звеньев не изменится, если всем звеньям механизма сообщить дополнительное вращение с угловой скоростью равной по величине, но противоположной по знаку угловой скорости звена V.
После сообщения звеньям механизма дополнительного вращения с угловой скоростью - wV звено V будет неподвижно и, следовательно исходный планетарный механизм превратится в обыкновенный /рядовой/ с неподвижными осями О IV и ОV. Угловая скорость звена III будет равна wHIII = wIII - wV.
Угловая скорость звена 8 будет равна wH8 = w8 - wV.
Индекс Н у угловых скоростей wHIII и wH8 показывает, что рассматриваются угловые скорости колес 5 и 8 относительно звена V. Передаточное отношение между звеньями 5 и 8 в преобразованном /обращённом/ механизме UH III-V равно
wHIII wIII - wV
UHIII-V = ¾¾ = ¾¾¾ ( 3 )
wH8 w8 - wV
В левой части выражения (3) стоит передаточное отношение обыкновенного зубчатого механизма с неподвижным звеном V, оно определяется по формуле
z6 • z8 26 • 61
UHIII-V = ( -1 )1 ¾¾¾ = - ¾¾¾ = - 5.287 ( 4 )
z5 • z7 15 • 20
Формула (3) связывает между собой угловые скорости колес 5, 8 и звена V. Задаваясь двумя какими-либо из них, можно всегда определить третью, если известны геометрические размеры зубчатых колес или число их звеньев.
Так в нашем механизме изображенном на рис. 1 угловая скорость звена V равна нулю, ведущим звеном является звено III с угловой скоростью wIII, число зубьев z5 и z8 (число зубьев z6 и z7 однозначно зависит от числа зубьев z5 и z8), то передаточное отношение UIIIН можно найти из уравнения (3)
wIII - wV
UHIII-V = ¾¾¾
w8 - wV
Разделим числитель и знаменатель правой части на wV
wIII _ wV
wV wV
UHIII-V = ¾¾¾¾ ( 5 )
w8 _ wV
wV wV
wIII w8
¾¾ = UIIIH; ¾¾ = 0 т. к. w8 = 0 по условию. ( 6 )
wV wV
Тогда выражение (5) можно преобразовать к виду
UIIIН - 1
UHIII-V = ¾¾¾ = - UIIIН + 1 Þ UIIIН = 1 - UHIII-V = 1 – (- 5.287) = 6.287 ( 7 )
0 – 1
Из формулы (6)
wIII - 32,812
wV = ¾¾ = ¾¾¾¾ = - 5.219 рад/с
UIIIH 6.287
Для определения wIV запишем следующее выражение
wIII - wV
UHIII-IV = ¾¾¾ ( 8 )
wIV - wV
Так как
z6
UH III-IV = - ¾ , wIV - можно выразить из формулы (8) в следующем виде:
z5
wIII - wV wIII - wV wIII - wV + wV • UH III-IV wIII - wV - wV z6/ z5
wIV - wV = ¾¾¾¾ Þ wIV = ¾¾¾¾ + wV = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ =
UH III-IV UH III-IV UH III-IV -z6/ z5
-32,812 + 5,219 + 5,219 • 26/15
= ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = 10,7 рад/с
26/15
2. Определяем угловые ускорения звеньев механизма.
Угловое ускорение определяется по формуле
eI eI 25
U I-II = ¾ Þ ускорение II звена eII = ¾¾ = ¾¾¾ = 8,75 рад/с2
eII U I-II 2,857
eII 8,75
Ускорение III звена eIII = ¾¾ = ¾¾¾ = - 5,469 рад/с2
U II-III - 1,6
eIII - 5,469
Ускорение IV звена eIV = ¾¾ = ¾¾¾ = 3,161 рад/с2
U III-IV - 1,73
eIV 3,161
Ускорение V звена eV = ¾¾ = ¾¾¾ = 1,036 рад/с2.
U IV-V 3,05
3. Определяем время в течении которого угловая скорость увеличится в двое по формуле w = w0 + et, для нашего случая
2wI = wI + eIt Þ t = (2wI - wI)/eI = wI/eI = 150/25 = 6 c
4. Определим силу инерции ведущего звена по формуле P = -G • aO1, где G =10•S•r. Площадь найдем по формуле S = p • R12, где R1 = m1 • z1/2 = 1 • 21/2 = 10,5 мм.
Площадь S = p • R12 = 3,14 • 10,52 = 346,4 мм2. Вес G = 10 • S • r = 10 • 346,4 • 7,8 = 27019 г = 27,019 кг.
Определим aO1 для начального момента времени по формуле
aO1 = ar2+ at2
где ar = eI • ОО1 = 25 • 1 = 25 рад • г/с2
at = wI2 • r = 1502 • 10,5 = 236250 рад • г/с2
aO1 = 252 + 2362502 = 236250 рад • г/с2
P = -G • aO1 = - 27019 • 236250 = - 6 • 109 рад • г2/с2
Определим aO1 для конечного момента времени t = 6 c по формуле
aO1 = ar2+ at2
где ar = eI • ОО1 = 25 • 1 = 25 рад • г/с2
at = wI2 • r = 3002 • 10,5 = 945000 рад • г/с2
aO1 = 252 + 9450002 = 945000 рад • г/с2
P = -G • aO1 = - 27019 • 945000 = - 26 • 109 рад • г2/с2
Инерцию ведущего звена определим по формуле
G • r 27019 • 10,5
J = ¾¾ + G • (ОО1) 2 = ¾¾¾¾¾¾ + 27019 • 12 = 1516441 г • мм2
2 2
Момент инерции ведущего звена найдем по формуле
Ми = - J • eI = - 1516441 • 25 = - 37911034 г • мм2 • рад /с2
5. Общий КПД определим по формуле
h = hцn1 • hкn2 • hплнn3 • hплвn4 = 0,97 • 0,95 • 0,5 • 0,96 = 0,44
5. Кинематическая схема