Содержание
Содержание. 2
Введение. 3
Глава 1. Объем производства трикотажных изделий. 4
Глава 2. Объем производства сахара. 10
2.1. Линейная регрессия. 10
2.2. Гиперболическая регрессия. 15
Глава 3. Производство хлебобулочных изделий. 21
3.1. Степенная модель. 21
3.2. Параболическая модель. 26
Заключение. 34
Литература. 35
Введение
Чаще всего необходимо знать будущие значения таких показателей, как цена товара на рынке, объем спроса, объемы собственных продаж, объемы производства и продаж конкурентов, рыночная конъюнктура, структура товарного ассортимента конкурентов. Ценность таких знаний существенно возрастает в агрессивной рыночной среде с изменчивым характером спроса, в условиях сезонности и цикличности.
Прогноз может быть экспертным, а может быть рассчитан математически с помощью прогнозных моделей. Математический прогноз является объективным, открытым и научно обоснованным. Только математические прогнозные модели позволяют осуществлять многовариантное моделирование. Математическая прогнозная модель — это математическая модель экономической системы: рынка в целом, отдельного предприятия или группы взаимосвязанных предприятий. Такая модель разрабатывается для расчета прогнозных значений одного или нескольких показателей исследуемой систем.
Применение прогнозных моделей допустимо в условиях стационарности исследуемой системы. Это значит, что должны быть известны правила игры на рынке и эти правила не должны сильно изменяться с течением времени. По своей сути, прогнозная модель — это модель правил игры на рынке. Изменяться могут факторы и стратегии рыночных игроков. Эти изменения учитываются моделью, что и позволяет ей рассчитывать точные прогнозы.
Математическая прогнозная модель представляет собой набор формул с коэффициентами, которые формируются в процессе разработки модели, на стадии численного моделирования. В формулы подставляются факторы, отобранные в процессе разработки модели, на стадии качественного моделирования.
Цель работы: выявить закономерность и получить прогноз на объемы производства некоторых товаров с помощью эконометрических моделей.
В работе используются данные, представленные в таблице ниже.
Таблица 1. Данные к работе
год
номер наблюдения
Трикотажные изделия, млн. шт.
Сахар-песок, тыс. т
Хлеб и хлебобулочные изделия, тыс. т
2000
1
129
6058
9069
2001
2
126
6567
8467
2002
3
123
6197
8346
2003
4
121
5835
8006
2004
5
118
5752
8092
2005
6
117
5588
7868
2006
7
115
5243
7702
Глава 1. Объем производства трикотажных изделий
Обозначим ln(f)=y, ln(a)=alpha, ln(b)=beta. Получим [2]
Оценим линейную регрессию. Для регрессии вида
найдем коэффициенты по формулам
Вычислим
Тогда
Откуда [4]
Тогда линейная регрессия будет иметь вид
Смысл коэффициента beta заключается в том, что при изменении значения X на 1 единицу Y меняется на -0,019 единиц
Параметры показательной регрессии
Нарисуем точки и регрессию:
Среднее Y
Подсчитаем оценку дисперсии ошибки, т.е.
Среднее X
Найдем оценки дисперсий коэффициентов регрессии [6]
по формулам
Получим
Эластичность показательной регрессии
Подсчитаем функцию эластичности по формуле
В нашем случае
или.
Значение эластичности в средней точке
Показывает, что при изменении X на 1% Y меняется на
Процентов [8].
Изучение качества линейной регрессии
Доверительные интервалы для оцененных параметров
уровень доверия
Количество степеней свободы=5
Критическое значение статистики Стьюдента
Доверительный интервал для beta
равен
Не можем на данном уровне значимости принять гипотезу beta=0 т.к. НЕ попадает в доверительный интервал.
Доверительный интервал для alpha
равен
Мы НЕ можем на данном уровне значимости принять гипотезу alpha=0 т.к. НЕ попадает в доверительный интервал.
Критерий Фишера значимости всей регрессии
Коэффициент корреляции
где
показывает, что связь СИЛЬНА
Коэффициент детерминации
показывает, что регрессия объясняет 97,78 процентов вариации признака.
Убедимся в значимости модели с помощью статистики Фишера [10]
которая БОЛЬШЕ критического значения
Следовательно, регрессия ЗНАЧИМА
Проверим значимость коэффициента корреляции
поэтому выборочный коэффициент корреляции ЗНАЧИМО отличается от нуля.
Средняя ошибка аппроксимации [8]
Колеблемость признака
Колеблемость - это отклонения уровней динамического ряда от тренда, т.е. остатки регрессии. Найдем остатки регрессии (т.е. очищаем признак от тренда)
Нарисуем график остатков
Среднее линейное отклонение уровней ряда от тренда описывается показателем
т.е. среднее абсолютное отклонение от тренда равно
Амплитуда колебаний есть разность максимального и минимального отклонения и показывает максимальный разброс отклонений [12].
Прогноз
Точечный прогноз для
Глава 2. Объем производства сахара
2.1. Линейная регрессия
Для регрессии вида
Вычислим
Тогда
Откуда
Тогда линейная регрессия будет иметь вид
Смысл коэффициента beta заключается в том, что при изменении значения X на 1 единицу Y меняется на -173, 14 единиц [14]
Нарисуем точки и регрессию:
Подсчитаем оценку дисперсии ошибки, т.е.
Среднее X
Найдем оценки дисперсий коэффициентов регрессии
Получим
Эластичность
В нашем случае [15]
или
Значение эластичности в средней точке
Показывает, что при изменении X на 1% Y меняется на -0,117 процентов.
Изучение качества регрессии
Доверительные интервалы для оцененных параметров
уровень доверия
Количество степеней свободы = 5
Критическое значение статистики Стьюдента
Доверительный интервал для beta
равен
Не можем на данном уровне значимости принять гипотезу beta=0 т.к. НЕ попадает в доверительный интервал [13].
Доверительный интервал для alpha
равен
Мы НЕ можем на данном уровне значимости принять гипотезу alpha=0 т.к. НЕ попадает в доверительный интервал.
Критерий Фишера значимости всей регрессии
Коэффициент корреляции
показывает, что связь сильна и отрицательна
Коэффициент детерминации
показывает, что регрессия объясняет 75,45
процентов вариации признака.
Убедимся в значимости модели с помощью статистики Фишера
которая БОЛЬШЕ критического значения
Следовательно, регрессия ЗНАЧИМА
Проверим значимость коэффициента корреляции [9]
поэтому выборочный коэффициент корреляции ЗНАЧИМО отличается от нуля.
Средняя ошибка аппроксимации
Колеблемость признака
Найдем остатки регрессии (т.е. очищаем признак от тренда)
Нарисуем график остатков [11]
Среднее линейное отклонение равно
Амплитуда колебаний есть разность максимального и минимального отклонения и показывает максимальный разброс отклонений.
Прогноз
Точечный прогноз для
Интервальный прогноз с вероятностью 95% [7]
или
2.2. Гиперболическая регрессия
Приведем массив данных, найдя и обратное значение для независимой переменной
обозначим
Построение регрессии
Для регрессии вида
найдем коэффициенты. Вычислим
Тогда
Откуда
Смысл коэффициента beta заключается в том, что при изменении значения X на 1 единицу Y меняется на 763,58 единиц. Тогда гиперболическая регрессия будет иметь вид
Нарисуем точки и регрессию:
Дисперсионный анализ
Среднее Y
Остаточная вариация (RSS)
Общая вариация (TSS)
Объясняемая вариация (ESS)
Правило сложения дисперсий выполняется
Подсчитаем оценку дисперсии ошибки, т.е.
Среднее X
Найдем оценки дисперсий коэффициентов регрессии
Получим
Эластичность
Подсчитаем функцию эластичности по формуле
В нашем случае
или
Значение эластичности в средней точке
Показывает, что при изменении X на 1% Y меняется на -0,268 процентов.
Изучение качества регрессии
Доверительные интервалы для оцененных параметров
уровень доверия
Количество степеней свободы =5. Критическое значение статистики Стьюдента
Доверительный интервал для beta
равен
Можем на данном уровне значимости принять гипотезу beta=0 т.к. попадает в доверительный интервал.
Доверительный интервал для alpha
равен
Мы НЕ можем на данном уровне значимости принять гипотезу alpha=0 т.к. НЕ попадает в доверительный интервал.
Критерий Фишера значимости всей регрессии
Коэффициент корреляции
показывает, что связь СРЕДНЕЙ силы
Коэффициент детерминации
показывает, что регрессия объясняет 28, 89 процентов вариации признака.
Убедимся в значимости модели с помощью статистики Фишера
которая Меньше критического значения
Следовательно, регрессия НЕЗНАЧИМА
Проверим значимость коэффициента корреляции
поэтому выборочный коэффициент корреляции НЕЗНАЧИМО отличается от нуля. Средняя ошибка аппроксимации
Колеблемость признака
Найдем остатки регрессии (т.е. очищаем признак от тренда)
Нарисуем график остатков
Среднее абсолютное отклонение от тренда равно
Амплитуда колебаний есть разность максимального и минимального отклонения и показывает максимальный разброс отклонений.
Прогноз
Точечный прогноз для
Интервальный прогноз с вероятностью 95%
Выводы. Гиперболическая регрессия оказалась незначима, следовательно обладает плохими прогнозными свойствами.
Глава 3. Производство хлебобулочных изделий
3.1. Степенная модель
Обозначим ln(f)=y, ln(a)=alpha, ln(t)=x
Получим
Для регрессии вида
Вычислим
Тогда
Откуда
Тогда линейная регрессия будет иметь вид
Смысл коэффициента beta заключается в том, что при изменении значения X на 1 единицу Y меняется на -0,0078 единиц
Нарисуем точки и регрессию:
Подсчитаем оценку дисперсии ошибки [5], т.е.
Среднее X
Найдем оценки дисперсий коэффициентов регрессии
Получим
Эластичность
В нашем случае
или
Значение эластичности в средней точке
Показывает, что при изменении X на 1% Y меняется на -0,01 процентов.
Изучение качества регрессии
Доверительные интервалы для оцененных параметров
уровень доверия
Количество степеней свободы 5.
Критическое значение статистики Стьюдента [3]
Доверительный интервал для beta
равен
Не можем на данном уровне значимости принять гипотезу beta=0 т.к. НЕ попадает в доверительный интервал.
Доверительный интервал для alpha
равен
Мы НЕ можем на данном уровне значимости принять гипотезу alpha=0 т.к. НЕ попадает в доверительный интервал.
Критерий Фишера значимости всей регрессии
Коэффициент корреляции
показывает, что связь сильна
Коэффициент детерминации
показывает, что регрессия объясняет 96, 43 процентов вариации признака.
Убедимся в значимости модели с помощью статистики Фишера
которая БОЛЬШЕ критического значения
Следовательно, регрессия ЗНАЧИМА
Проверим значимость коэффициента корреляции
поэтому выборочный коэффициент корреляции ЗНАЧИМО отличается от нуля.
Средняя ошибка аппроксимации
Колеблемость признака
Найдем остатки регрессии (т.е. очищаем признак от тренда)
Нарисуем график остатков
Амплитуда колебаний есть разность максимального и минимального отклонения и показывает максимальный разброс отклонений.
3.2. Параболическая модель
Приведем массив данных
Для регрессии вида
найдем коэффициенты
Найдем обратную матрицу
Дополнительные миноры
Их определители
Союзная матрица
Союзная транспонированная матрица
Делим каждый элемент на определитель, получаем
Найдем
Уравнение регрессии имеет вид
Нарисуем график
Среднее значение регрессоров и Y
Коэффициенты эластичности
равны
Стандартизованные коэффициенты
Тогда
Парные коэффициенты корреляции
Частные коэффициенты корреляции
Колеблемость признака
Найдем остатки регрессии (т.е. очищаем признак от тренда)
Нарисуем график остатков
Cреднее абсолютное отклонение от тренда равно
Амплитуда колебаний есть разность максимального и минимального отклонения и показывает максимальный разброс отклонений.
Доверительные интервалы для параметров регрессии
Дисперсия ошибок определяется по формуле
Дисперсия
Количество степеней свободы =4. Критическое значение статистики Стьюдента
Уровень доверия 95% Доверительный интервал для
равен
Не можем на данном уровне значимости принять гипотезу т.к. НЕ попадает в доверительный интервал. Доверительный интервал для
равен
Не можем на данном уровне значимости принять гипотезу т.к. НЕ попадает в доверительный интервал. Доверительный интервал для
равен
Не можем на данном уровне значимости принять гипотезу т.к. НЕ попадает в доверительный интервал.
Все коэффициенты значимы, значит и вся регрессия значима.
Заключение
В работе мы определили, что физический объем производства падает, во всяком случае по данным трем товарам. Это обусловлено общей макроэкономической ситуацией, при котором изобилие нефтедолларов ведет к укреплению рубля, замещению отечественного производства импортом. Прогнозные значения показывают снисходящие тренды.
Прогнозирование - это самостоятельная отрасль науки, которая находит широкое применение во всех сферах человеческой деятельности. Существует большое разнообразие видов и способов прогнозирования, разработанных с учетом характера рассматриваемых задач, целей исследования, состояния информации. Этим вопросам посвящено много книг и журнальных статей. Мы здесь не ставим целью рассказать о теории прогнозирования в целом. Наша задача - показать на примере линейной регрессии применение эконометрических моделей в прогнозировании значений экономических показателей.
В обыденном понимании прогнозирование - это предсказание будущего состояния интересующего нас объекта или явления на основе ретроспективных данных о прошлом и настоящем состояниях при условии наличия причинно-следственной связи между прошлым и будущим. Можно сказать, что прогноз - это догадка, подкрепленная знанием. Поскольку прогностические оценки по сути своей являются приближенными, может возникнуть сомнение относительно его целесообразности вообще. Поэтому основное требование, предъявляемое к любому прогнозу, заключается в том, чтобы в пределах возможного минимизировать погрешности в соответствующих оценках. По сравнению со случайными и интуитивными прогнозами, научно обоснованные и планомерно разрабатываемые прогнозы без сомнения являются более точными и эффективными. Как раз такими являются прогнозы, основанные на использовании методов статистического анализа. Можно утверждать, что из всех способов прогнозирования именно они внушают наибольшее доверие, во-первых, потому что статистические данные служат надежной основой для принятия решений относительно будущего, во-вторых, такие прогнозы вырабатываются и подвергаются тщательной проверке с помощью фундаментальных методов математической статистики.
Литература
1. Голуб Л. А. Социально-экономическая статистика. 2003
2. Бурцева С. А. Статистика финансов. 2004
3. Громыко Г.Л. Теория статистики. 2007
4. Елисеева И. И., Силаева С. А., Щирина А. Н. Практикум по макроэкономической статистике. 2007
5. Елисеева И.И. Общая теория статистики: Учебник для ВУЗов. – М.: Финансы и статистика, 2004.
6. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник. - М.: ИНФРА-М, 2002.
7. Ефимова М. Р., Бычкова С. Г. Практикум по социальной статистике. 2005
8. Теория статистики: Учебник. / Под ред. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 2002.
9. Назаров М. Г. Курс социально-экономической статистики. 2003
10. Палий И.А. Прикладная статистика. 2007
11. Курс социально-экономической статистики: Учебник для вузов / Под ред. Проф. М.Г.
12. Практикум по социальной статистике: Учеб.пособие/ Под ред. И.И.Елисеевой.-М.: Финансы и статистика, 2002.
13. Экономическая статистика: Учебник / Под ред. Ю.Н. Иванова. - М.: ИНФРА-М, 2002.
14. Кибанов А.Я. «Экономика и социология труда: Учебник». – М.: ИНФРА-М, 2003. – 584с.