Теорема о подгруппах группы
Всякая подгруппа группы изоморфна , причем .
Доказательство.
Мы знаем, что подгруппа G группыимеет не более чем n образующих и потому для нее можно записать первое каноническое разложение: , где (m+k) n. Поскольку все элементы имеют бесконечный порядок, G не содержит конечных циклических подгрупп. Таким образом, k=0 и теорема доказана.
Теорема о подгруппах конечной коммутативной группы.
Для всякого числа m делящего порядок n конечной коммутативной группы G в ней найдется подгруппа H порядка m.
Доказательство.
Используем разложение G в прямую сумму циклических подгрупп : Имеем : n=. Поскольку m делит n, можно записать: m=, где каждое делит . Пусть . Теперь достаточно положить: .
Замечание.
Вообще говоря, подгруппа H не единственна (в отличие от случая подгруппы циклической группы ). Например, если , где число p простое, то каждый неединичный элемент имеет порядок p и значит входит в циклическую подгруппу порядка p. Две такие подгруппы либо совпадают, либо пересекаются только по нейтральному элементу. Значит G содержит в точности подгрупп порядка p.
Теорема о порядках элементов конечных коммутативных групп
Пусть G- конечная циклическая группа и - ее первое каноническое разложение, так что каждое делит . Тогда множество порядков всех элементов G совпадает с множеством всевозможных делителей числа .
Доказательство.
Поскольку все являются делителями , =0 и потому G=0. С другой стороны, если q делит , то (а значит и G !) содержит элемент g порядка q.
Следствие.
Если число m взаимно просто с порядком n конечной коммутативной группы G, то mG=G.
В самом деле, в этом случае для каждого прямого слагаемого группы G m=.
Второе каноническое разложение
Напомним, что если числа p и q взаимно просты, то . Поскольку любое натуральное n можно разложить в произведение простых множителей, , где все простые попарно различны, имеем: . Используя разложение конечной абелевой группы в сумму циклических подгрупп, получаем отсюда, что всякая такая группа может быть представлена в виде суммы таких циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Объединим слагаемые, относящиеся к одному простому числу p в подгруппу .
Определение.
Подгруппа называется p-компонентой группы G. Группа G, порядок которой равен степени простого числа p называется p-примарной.
Итак, всякая конечная абелева группа G раскладывается в прямую сумму p-компонент: , где p-простое число, делящее порядок G, а всякая p-компонента, в свою очередь, в прямую сумму примарных циклических подгрупп: . Прямая сумма, стоящая в правой части этого равенства обозначается , а выражение, стоящее в показателе степени p,- типом компоненты . Порядок равен , где - количество 1 в показателе, - количество 2 и т.д. Таким образом компонента является примарной группой. Только что построенное разложение конечной абелевой группы называется вторым каноническим разложением.
Пример.
Пусть . Поскольку 12=, 72=, имеем: .
Замечание.
Если - две подгруппы примарной циклической группы и st, то . Отсюда вытекает, что примарная циклическая группа не может быть разложена в прямую сумму своих подгрупп. Таким образом, второе каноническое разложение конечной абелевой группы - это представление ее в виде суммы наименьших (далее не разложимых) слагаемых. Для сравнения заметим, что первое каноническое разложение - это представление группы в виде суммы наибольших циклических слагаемых.
Теорема единственности для разложения в сумму компонент.
Компоненты конечной коммутативной группы G определены однозначно. Точнее, пусть - разложение порядка n группы G в произведение простых чисел, . Тогда .
Доказательство.
Из разложения мы видим, что =0. Если же (p,q)=1, то q = . Поскольку при ji делится на, а =1, отсюда и следует утверждение теоремы.
Теорема единственности определения типа примарной группы.
Тип примарной группы определен однозначно. Точнее, если p-компонента группы G представлена в виде прямой суммы циклических подгрупп: =, то .
Доказательство.
Пусть G=- разложение G в сумму p-компоненты и остальных компонент. Таким образом, (ord(),p)=1 и потому =. С другой стороны, = при m>k (равно 0 в противном случае). Поэтому
ord()=. Обозначая ord()=N, получаем:
ord(G)=N. Отсюда: ord(G)/ ord(G)= откуда и следует утверждение теоремы.
Замечание.
Обращаем внимание на существенное отличие в формулировке свойства единственности в двух последних теоремах. В первой из них утверждается единственность каждой из подгрупп , тогда как во второй подгруппы, составляющие прямые слагаемые, определены, вообще говоря, неоднозначно, но их количество и порядок каждой из них находятся уже единственным образом.
Количество неизоморфных конечных абелевых групп данного порядка.
Обозначим через ab(n) количество попарно неизоморфных абелевых групп порядка n. Ввиду единственности разложения такой группы в сумму примарных компонент, разложению в произведение простых отвечает равенство ab(n)=ab()ab() .ab(). Если p- любое простое число, и G-
группа порядка и типа (1,1, .1,2,2, k) то m=1+1+ .+1+2+2+ .+ .+k. Каждому представлению числа m в виде суммы положительных целых слагаемых (причем порядок слагаемых не играет роли) отвечает определенный тип абелевой группы порядка . Такое представление числа m называется его разбиением и обозначается . Таким образом, поскольку тип группы определяется однозначно, ab()=.
Примеры.
Составим прежде всего следующую табличку разбиений:
m
разбиения
1
1
1
2
2;1+1
2
3
3;2+1;1+1+1
3
4
4;3+1;2+2;2+1+1;1+1+1+1
5
5
5;4+1;3+2;3+1+1;2+2+1;2+1+1+1;1+1+1+1+1
7
6
6;5+1;4+2;4+1+1;3+3;3+2+1;3+1+1+1;2+2+2;2+2+1+1;2+1+1+1+1;1+1+1+1+1+1
11
1. ab(16)= =5. Соответствующие абелевы группы порядка 16 следующие: , , , ,. Первые канонические разложения для них имеют вид: , , , , .
2. ab(72)=ab(8)*ab(9)= =6. Соответствующие группы суть: , , , , , . Первые канонические разложения для них имеют вид: , , , , , .
В заключение приведем табличку количества Г(n) попарно неизоморфных групп и ab(n) абелевых групп данного порядка n.
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Г(n)
1
1
2
1
2
1
5
2
2
1
5
1
2
1
ab(n)
1
1
2
1
1
1
3
2
1
1
2
1
1
1