Задачи оптимального уравнения

3. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ Задачи оптимального управления относятся к теории экстремальных задач, то есть задач опреде­ления максимальных и минимальных значений. Уже то обстоятельство, что в этой фразе встретилось несколько латинских слов (maximum наиболь­шее, minimum - наименьшее, extremum - крайнее, optimus - оптимальное), указывает, что теория экс­тремальных задач была предметом исследования с древних времен. О некоторых таких задачах писа­ли еще Аристотель (384-322 годы до н.э.), Евклид (III в. до н.э.) и Архимед (287-212 годы до н.э.). Ос­нование города Карфагена (825 год до н.э.) легенда ассоциирует с древнейшей задачей определения за­мкнутой плоской кривой, охватывающей фигуру максимально возможной площади. Подобные зада­чи именуются изопериметрическими. Характерной особенностью экстре-мальных задач является то, что их постановка была порождена актуальными за­просами развития общества. Более того, начиная с XVII века доминирующим становится представле­ние о том, что законы окружающего нас мира явля­ются следствием некоторых вариационных прин­ципов. Первым из них был принцип П. Ферма. Ферма сформулировал метод исследова­ния на экстремум для полиномов, состоящий в том, что в точке экстремума производная равняется нулю. Для общего случая этот метод получен И. Ньютоном (1671) и Г.В.Лейбницем (1684), работы которых зна­менуют зарождение математического анализа.
Начало развития классического вариационного исчисления датируется появлением в 1696 году ста­тьи И. Бернулли (ученика Лейбница), в которой сформулирована постановка задачи о кривой, со­единяющей две точки А и В, двигаясь по которой из точки А в В под действием силы тяжести материаль­ная точка достигнет В за минимально возможное время. В рамках классического вариационного ис­числения в XVIII-XIX веках установлены необхо­димые условие экстремума первого порядка (Л. Эй­лер, Ж.Л. Лагранж), позднее развиты необходимые и достаточные условия второго порядка (К.Т.В. Вейерштрасс. A.M. Лежандр, К.Г.Я. Якоби), построены теория Гамильтона—Якоби и теория поля (Д. Гиль­берт, Л. Кнезер). Дальнейшее развитее теории экстремальных за­дач привело в XX веке к созданию линейного про­граммирования, выпуклого анализа, математичес­кого программирования, теории минимакса и некоторых иных разделов, одним из которых явля­ется теория оптимального управления. Эта теория подобно другим направлениям теории экстремаль­ных задач, возникла в связи с актуальными задачами автоматического регулирования в конце 40-х годов (управление лифтом в шахте с целью наискорейшей остановки его, управление движением ракет, стаби­лизация мощности гидроэлектростанций и др.). Заметим, что постановки отдельных задач, ко­торые могут быть интерпретированы как задачи оптимального управления, встречались и ранее, например в «Математических началах натуральной философии» И. Ньютона (1687). Сюда же относятся и задача Р. Годдарда (1919) о подъеме ракеты на за­данную высоту с минимальными затратами топлива и двойственная ей задача о подъеме ракеты на макси­мальную высоту при заданном количестве топлива. За прошедшее время были установлены фунда­ментальные принципы теории оптимального управ­ления: принцип максимума и метод динамического программирования. Указанные принципы пред­ставляют собой развитие классического вариацион­ного исчисления для исследования задач, содержа­щих сложные ограничения на управление. Сейчас теория оптимального управления переживает пери­од бурного развития как в связи с наличием трудных и интересных математических проблем, так и в свя­зи с обилием приложений, в том числе и в таких об­ластях, как экономика, биология, медицина, ядер­ная энергетика и др. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ Постановка любой конкретной задачи оптимального управления включает в себя ряд факторов: математическую модель управляемого объекта, цель управления (именуемую иногда критерием ка­чества), различного рода ограничения на траекто­рию системы, управляющее воздействие, длитель­ность процесса управления, класс допустимых управлений и т.д. Остановимся на этих факторах подробнее. 1.1. Модели объекта В зависимости от вида рассматриваемого явле­ния и желаемой степени детализации его изучения могут быть использованы различные типы уравне­ний: обыкновенные дифференциальные уравне­ния, уравнения с последействием, стохастические уравнения, уравнения в частных производных и т.д. Предположим ради определенности, что эволюция объекта описывается системой обыкновенных диф­ференциальных уравнений (3.1) Здесь - управление, фазовый вектор системы, - заданная функция, - евклидо­во пространство размерности n. Придавая управле­нию u различные возможные значения, получаем различные состояния объекта, среди которых и вы­бирается оптимальное (то есть наилучшее) в том или ином смысле. Пример 1. Рассмотрим прямолинейное дви­жение тела постоянной массы m под действием уп­равляющего воздействия u, создаваемого установ­ленным на теле двигателем. Обозначим через х координату центра масс тела и предположим, что никакие другие силы на тело не действуют. Тогда в соответствии со вторым законом Ньютона уравне­ние движения тела имеет вид . Последнее уравнение эквивалентно системе двух уравнений первого порядка , . Пример 2. Охота, рыбная ловля, вырубка леса и т.д. представляют собой способы управления окру­жающей средой. Рассмотрим популяцию, числен­ность которой x(t) в момент t регулируется с помо­щью управляющего воздействия u. Тогда для моделирования изменения х(t) может быть исполь­зовано уравнение П.Ф.Ферхюльста (1836) (3.2) где и К - положительные параметры. Уравнение (3.2) возникает при моделировании рака костного мозга (миеломы), в этом случае x(t) - количество клеток миеломы, а член ux(t) отражает предположе­ние, что больные клетки погибают прямо пропор­ционально концентрации введенного лекарства и размеру опухоли. Иногда более удовлетворительно­го соответствия можно достичь, если использовать уравнение (3.2) с запаздыванием n > 0
которое именуется уравнением Г.Е. Хатчинсона (1948). Иные модели управления численностью попу­ляций описываются уравнениями в частных произ­водных, уравнениями В. Вольтерра, стохастически­ми уравнениями и др. и учитывают такие факторы, как миграцию, неоднородность плотности расселе­ния, неоднородность по возрастам и т.д.
1.2. Критерий качества (минимизируемый функционал) Управление системой (3.1) осуществляется для достижения некоторых целей, которые формально записываются в терминах минимизации по u функ­ционалов J, определяемых управлением u и траек­торией х, где (3.3)
Здесь F и заданные скалярные функции. Задача (3.1). (3.3) именуется задачей О.Больца; если , то задачей А.Майера и, наконец, задачей Лагранжа при . 1.3. Ограничения на траекторию В некоторых реальных ситуациях траектория си­стемы не может принадлежать тем или иным частям пространства . Указанное обстоятельство находит отражение в ограничении вида ), где G(t) -заданная область в . В зависимости от конкретно­го типа этих ограничений выделяют различные классы задач управления. В задачах с фиксирован­ными концами начальное состояние и конеч­ное состояние х(Т) заданы. Если же x(t0) (или х(Т)) не задано, то получаем задачу со свободным левым (правым) концом. Задача с подвижными концами - это задача, в которой моменты t0 и T фиксированы, а векторы х(t0) и х(Т) принадлежат соответственно областям G(t0) и G(T). В ряде случаев ограничения носят интегральный характер и имеют вид
Если в задаче (3.1), (3.3) начальное положение x(t0) и конечное х(Т) заданы, моменты начала движения t0 и окончания T свободны, функция и , то получаем задачу о переводе системы (3.1) из положе­ния x(t0) в положение х(Т) за минимально возмож­ное время. Подобного рода задачи именуются зада­чами оптимальными по быстродействию. 1.4. Ограничения на управление Информационные ограничения на управление зависят от того, какая именно информация о систе­ме (3.1) доступна при выработке управляющего воз­действия. Если вектор x(t) недоступен измерению, то оптимальное управление ищется в классе функ­ций u(t), зависящих только от t. В этом случае опти­мальное управление именуется программным. Если же вектор х(t) известен точно при , то опти­мальное управление ищется в классе функционалов и называется синтезом оптимального управ­ления (или управлением по принципу обратной связи). Здесь означает всю траекторию движе­ния на отрезке . Отметим, что принцип об­ратной связи является одним из центральных прин­ципов кибернетики. Техническим примером реализации принципа обратной связи являются центробежные регуляторы И.И. Ползунова (1766) и Дж. Уатта (1784), авиационный автопилот Д. Оль­ховского (1912) и братьев Сперри (1914), гидравли­ческий усилитель Л. Фарко (1873). Кроме информационных ограничений возмо­жен и другой тип ограничений, обусловленный ог­раниченностью ресурсов управления, имеющих вид , где - заданное множество. Подчеркнем, что для детерминированных задач (то есть задач, в которых уравнения движения, кри­терий качества и ограничения известны точно) опти­мальное значение критерия качества (3.3), реализуе­мое в классе программных управлений и управлений по принципу обратной связи, одно и то же. 2. УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ 2.1. Принцип максимума Принцип максимума соответствует принципу Вейерштрасса и методу канонических уравнений Гамильтона в классическом вариационном исчис­лении. Сформулируем необходимые условия опти­мальности в форме принципа максимума для задач Майера (3.4) Здесь - заданное множество, х0 - заданное начальное положение системы. Введем в рассмот­рение скалярную функцию Н и вектор сопряжен­ных переменных с помощью соотношений (3.5) где штрих - знак транспонирования. Предположим, что u(t) - оптиматьное управле­ние, а х(t) и - соответствующие траектория и вектор сопряженных переменных, удовлетворяющие уравнениям (3.4), (3.5). Тогда функция достигает своего максимума по точке u(t) (3.6) Найдем из соотношения (3.6) зависимость u от то есть то есть (3.7) Далее подставим (3.7) в (3.4), (3.5). В результате получим краевую задачу для системы обыкновенных диффе­ренциальных уравнений относительно функций x(t) и , среди решений которой только и может находиться оптимальная траектория. Если опти­мальная траектория x(t) и вектор найдены, то оптимальное управление дается выражением (3.7). Отметим, однако, что поскольку соотношения (3.4) - (3.6) суть лишь необходимые условия оптимальности, то необходимо дополнительное обоснование опти­мальности траектории и управления, найденных из соотношений (3.4)-(3.6). 2.2. Метод динамического программирования Метод динамического программирования явля­ется аналогом метода Гамильтона-Якоби, в кото­ром изучается все поле оптимальных траекторий. Опишем применение метода динамического про­граммирования для задачи (3.4). Выберем и зафикси­руем произвольный момент времени и рассмотрим вспомогательную задачу управления (3.4) на отрезке [t, T]. Обозначим через мини­мальное значение критерия качества во вспомога­тельной задаче при начальном условии , где х - произвольный вектор из . При некоторых предположениях функция V(t, x) удовлетворяет со­отношениям
(3.8) Решив задачу (3.8) и определив функцию V(t,х), мож­но затем найти синтез оптимального управления u(t,x) из соотношения . (3.9) Возможность определять именно синтез оптималь­ного управления является характерной чертой ме­тода динамического программирования, особенно существенной в задачах управления при неполной информации. Использование метода динамическо­го программирования при решении конкретных за­дач сопряжено с необходимостью решать нелиней­ное уравнение в частных производных (3.8), а также с необходимостью дополнительного исследования оптимальности управления, полученного из (3.9).
2.3. Линейно-квадратичная задача Выше была описана универсальная техника ре­шения задач оптимального управления, основанная на применении принципа максимума или метода динамического программирования. Наряду с этими методами при исследовании специальных классов задач оптимального управления могут быть исполь­зованы специальные приемы, эффективные имен­но для данного класса задач. Преимущество этих специальных приемов состоит в том, что с их помо­щью иногда можно проще осуществить аналогич­ное исследование рассматриваемой конкретной за­дачи. Один из таких подходов, опирающийся на тео­рию двойственности выпуклых функций, эф­фективен для задач, линейных по фазовым коорди­натам. При этом вычисление минимума критерия качества в исходной задаче сводится к вычислению максимума некоторого вспомогательного функцио­нала. Это, в частности, дает возможность изучать задачи, в которых оптимального управления не су­ществует. Другой подход, эффективный для линей­ных задач (то есть задач линейных и по фазовым координатам, и по управлениям), основан на ис­пользовании классической проблемы моментов. Отмеченные выше трудности использования об­щих необходимых условий оптимальности также приводят к необходимости выделения конкретных классов задач, для которых оказывается возмож­ным эффективное построение решения. Линейная квадратичная задача представляет собой один из та­ких классов. Проиллюстрируем применение к ней принципа максимума и метода динамического про­граммирования на следующем скалярном примере: (3.10) (3.11) Здесь a, b, g, h, T - заданные постоянные, причем , h > 0, начальное положение системы х0 также задано, ограничения на управление отсутствуют. Требуется определить оптимальное управление сис­темой (3.10) и соответствующее этому оптимальному управлению минимальное значение критерия каче­ства (3.11). Применим вначале принцип максимума. Функция . Поэтому урав­нение (3.5) для сопряженной переменной имеет вид . (3.12) Условие максимума функции Н по u приводит к ра­венству . Следовательно, , то есть (3.13) Подставим выражение (3.13) для оптимального уп­равления в уравнение (3.10). В результате получим краевую задачу относительно переменных x и . (3.14) Будем искать функцию в виде , где функция P(t) подлежит определению. С учетом (3.13) оптимальное управление тогда равняется . (3.15) Кроме того, подставляя выражение для в (3.14), получаем, что функция P(t) есть решение диффе­ренциального уравнения Рикатти (3.16) Уравнение (3.16) интегрируется в явном виде мето­дом разделения переменных. После того как функ­ция Р(t) найдена, оптимальное управление дается выражением (3.15), причем дальнейшие вычисления констант показывают, что минимальное значение критерия качества (3.17) Исследуем теперь ту же задачу (3.10), (3.11), используя метод динамического программирования. Уравне­ния (3.8) с учетом (3.10), (3.11) принимают вид (3.18) Из (3.18) вытекает, что оптимальное управление дает­ся выражением (3.19) Соотношения (3.18), (3.19) означают, что функция V есть решение нелинейного уравнения в частных производных первого порядка (3.20) Решение задачи (3.20) будем искать в виде . Подставляя это выражение в соотношения (3.20) и приравнивая к нулю коэффициенты при х2, заключаем, что функция P(t) удовлетворяет уравнению (3.16). Из уравнения (3.19) далее следует, что опти­мальное управление имеет вид (3.15), а минимальное значение критерия качества дается формулой (3.17). Таким образом, для линейно-квадратической зада­чи принцип максимума и метод динамического программирования позволяют построить опти­мальное управление (3.15) (причем в виде синтеза) и определить минимальное значение критерия каче­ства (3.17). Последнее зависит только от начального положения системы х0 и величины P(0), то есть мо­жет быть определено заранее, до фактической реа­лизации процесса управления. Аналогично и опти­мальное управление может быть найдено в зависимости только от времени t. Для этого надле­жит определить P(t) как решение задачи Коши (3.16), затем подставить управление (3.15) с найденным Р(t) в уравнение (3.10) и решить его, определив х(t), нако­нец, подставить x(t) в (3.15) и получить программное оптимальное управление. 2.4. Задача об успокоении твердого тела Одним из хорошо изученных классов задач оп­тимального управления являются задачи линейного оптимального быстродействия, а также некото­рые задачи успокоения движения твердого тела (возникающие, например, в теории управления ле­тательными аппаратами). Рассмотрим в качестве примера одну из них, именно задачу об успокоении твердого тела, вращающегося относительно центра масс О. Обозначим: , i = 1, 2, 3, - главные цент­ральные оси инерции тела, xi - проекция вектора кинетического момента х на ось Охi, и А, В, С - глав­ные центральные моменты инерции твердого тела. Управление и движением твердого тела осуществля­ется парой поворотных двигателей, которые можно расположить под любым углом относительно тела. Движение тела относительно центра масс описыва­ется уравнениями Эйлера Тело считается успокоенным, если величина мо­дуля кинетического момента не превосходит задан­ной величины . Предположим, что в началь­ный момент времени t0 = 0 значение кинетического момента x(0) задано, причем Пусть далее - первый момент времени, когда |х(Т)| = R. Управляющий момент u, подчи­ненный ограничению , требуется выбрать так, чтобы минимизировать время Т успокоения твердого тела. Используем для решения этой задачи метод динамического программирования. Соответ­ствующее уравнение в частных производных отно­сительно функции V(х) имеет вид (3.21) Вычисляя управление u, доставляющее минимум выражения в квадратных скобках (3.21), получим (3.22) Подставляя (3.22) в (3.21), получим нелинейное урав­нение в частных производных относительно функ­ции V (3.23) Будем искать решение задачи (3.23) в виде
, где - скалярная функция скалярного аргумента , подлежащая определению. Подставляя это выражение для V в (3.23), получим соотношения, оп­ределяющие функцию :
Отсюда вытекает, что . Значит, опти­мальное управление u, успокаивающее тело и ми­нимальное время успокоения V(x) равны
Эти выражения показывают, что , то есть век­тор оптимального управления всегда максимален по величине и направлен против вектора кинетиче­ского момента. 3. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ И ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДАХ В связи со значительными трудностями постро­ения аналитического решения задач оптимального управления исключительное значение приобрели различные приближенные и численные методы их исследования. В зависимости от алгоритми­ческой основы метода он может быть отнесен к той или иной группе. Охарактеризуем некоторые из них. В основе первой группы методов лежит воз­можность сведения задачи оптимального управле­ния к краевой задаче для системы дифференциаль­ных уравнений с помощью принципа максимума с последующим использованием различных алгорит­мов задания недостающих начальных условий. Ко второй группе численных методов относятся те, в которых ищется оптимальное управление с помо­щью итерационных процедур в пространстве управ­лений. При этом используются формулы для прира­щений критерия качества при вариации управления, приводящие либо к методам градиентного типа в пространстве управлений, либо к процедурам по­следовательных приближений. Третью группу со­ставляют численные процедуры, основанные на переборе в пространстве траекторий или методе динамического программирования. Кроме того, имеются методы, эффективные для конкретных классов систем, например для линейных, а также методы, основанные на сведении исходной задачи оптимального управления к задаче математическо­го программирования. Опишем подробнее метод последовательных приближений, основанный на использовании ме­тода динамического программирования для задачи (3.4). Зададимся произвольным допустимым управле­нием (нулевым приближением к оптималь­ному), то есть управлением, при котором существу­ет решение уравнения (3.4) и выполнено ограничение . Решим далее линейное уравнение частных производных
Функция V0(t,х) представляет собой значение кри­терия качества при управлении u0 и начальном усло­вии х(t) = х. После того как функция V0 определена, найдем следующее приближение к опти­мальному управлению из соотношения
Продолжая указанный процесс, можно построить последовательность управлений и функций , которые в некоторых случаях (например, в линейно-квадратическом) сходятся к решению исходной задачи. Описанная процедура естествен­ным образом может быть использована и при при­менении принципа максимума к задаче (3.4). В этом случае необходимые условия оптимальности имеют вид краевой задачи (3.4)-(3.6). Зададимся опять неко­торым допустимым управлением . Далее най­дем при этом управлении соответствующую ему траекторию , решая уравнение (3.4) при . Наконец, подставим u0 и х0 в (3.5) и определим . Зная функции и , определим управление u1(t) из соотношения
. Продолжая итерации, построим последовательнос­ти xi(t), ui(t), которые в некоторых ситуациях сходят­ся к решению исходной задачи оптимального управ­ления (3.4). Так, например, в применении к линейно-квадратичной задаче (3.10). (3.11) этот процесс приво­дит к следующей аппроксимации решения Р(t) не­линейного уравнения Рикатти (3.16) последователь­ностью Pi(t) решений линейных уравнений ()
При этом последовательность равномерно схо­дится к Р(t), причем .

4. ОПТИКО-МЕХАНИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ В ИЗЛОЖЕНИИ ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ Оптико-механическая аналогия - это сходство траектории движения частицы в потенциальном силовом поле с траекторией лучей в оптически не­однородной среде. Траектория материальной точки и траектория светового луча совпадают при опреде­ленном соответствии потенциальной энергии и пе­ременного в пространстве показателя преломления среды. Этот факт был теоретически открыт выдаю­щимся ирландским математиком и физиком У.Р. Га­мильтоном (1805-1865) в 1834 году и уже в на­шем столетии оказал влияние на установление связи между волновой оптикой и волновой (кванто­вой) механикой.
Практическое значение оптико-механической аналогии связано с использованием ее в электрон­ной оптике, которая занимается формированием и фокусировкой пучков электронов (или ионов) для получения с их помощью изображений и созданием на этой основе электронных и ионных микроско­пов и проекторов.
ЗАКОН ПРЕЛОМЛЕНИЯ В ОПТИКЕ Закон преломления является одним из основ­ных законов еометрической оптики: Луч падающий и луч преломленный лежат в одной плоскости с нормалью к границе раздела двух сред. При прохождении света из среды с показателем преломления n1, в среду с показателем преломления n2, от­ношение синуса угла падения к синусу угла преломле­ния равно обратному отношению показателей преломления: (4.1) или (4.1 a) Первая попытка установить количественно за­кон преломления принадлежала, по-видимому, гре­ческому астроному К. Птолемею (II в. н.э.). Птоле­мей объяснял изменение видимого относительного углового положения небесных светил преломлени­ем световых лучей в атмосфере, то есть атмосфер­ной рефракцией. Составленные им таблицы оказа­лись достаточно точными, но так как его измерения относились к сравнительно небольшим углам на­блюдения, то он пришел к неправильному заключе­нию о пропорциональности углов (а не синусов) па­дения и преломления. Эта ошибка была замечена только через тысячу лет (!) арабским ученым Альгазеном (965-1039), но правильного выражения зако­на он дать не смог. Около 1270 года итальянский монах Вителиус написал десятитомную (!) оптическую энциклопе­дию. В ней, в частности, содержались таблицы уг­лов падения и преломления при переходе световых лучей из воздуха в стекло, из воздуха в воду и из во­ды в стекло. Однако приведенные там данные были неточными. Они ввели в заблуждение И. Кеплера (1571-1630), пытавшегося найти форму поверхнос­ти, которая преломляет параллельный пучок так, чтобы он сходился в одной точке. Кеплер был бли­зок к правильному результату — гиперболической поверхности вращения, но отказался от него, так как он не согласовывался с данными Вителиуса. Честь открытия закона преломления принадле­жит голландскому физику В. Снеллиусу (1580-1626) и французскому математику, физику и философу Р. Декарту (1596-1650). К сожалению, книга Снеллиуса, которая содержала этот закон, была вскоре утрачена, так что «Диоптрика» Декарта является первым сохранившимся изданием, содержащим за­кон преломления. После смерти Декарта была поставлена под сомнение независимость его открытия. Утверждали, что Декарт видел книгу Снеллиуса. Возможно, что это было и так, однако сравнительно недавние исследования показали, что Декарт знал закон преломления еще до своей поездки в Голлан­дию, где он познакомился со Снеллиусом. Закон преломления в форме (4.1) для двух сред, разделенных плоской поверхностью, легко обобща­ется на случай неоднородной среды с изменяющим­ся в пространстве показателем преломления. Имен­но такую среду представляет собой атмосфера. Неоднородность показателя преломления в атмо­сфере связана с неоднородностью плотности возду­ха. Будем считать ради простоты, что слой воздуха плоский и что показатель преломления зависит только от высоты. Тогда мы можем мысленно раз­бить этот слой воздуха на тонкие параллельные слои, в каждом из которых показатель преломления будем приближенно считать постоянным и изменя­ющимся скачком от слоя к слою (рис. 1). С умень­шением толщины этих вспомогательных слоев и увеличением их числа мы будем приближаться к реальной ситуации. При переходе из одного слоя в другой луч света будет испытывать преломление в соответствии с законом (4.1): (4.2) На каком-то k-м шаге луч может испытать и полное внутреннее отражение, если окажется, что . Если же полного внутреннего отраже­ния не происходит, то читатель может без труда до­казать, используя (4.2), что угол преломления в i-м слое полностью определяется углом падения в нуле­вом слое и наоборот: (4.3) Поэтому истинное угловое положение светила , которое исследовал Птолемей, может быть опреде­лено по наблюдаемому положению с помощью уравнения (4.4) Напомним, что у поверхности Земли показатель преломления , а полагается равным точно 1. Конечно, простая формула (4.4) справедлива только для светил, высоко стоящих над горизонтом, когда луч света проходит плоский слой атмосферы и можно пренебречь шарообразностью Земли (рис. 2). Изменение плотности воздуха (и вместе с ней показателя преломления) с высотой оказывается выраженным гораздо сильнее, если имеет место сильный перепад температуры с высотой. Напри­мер, в холодных странах плотность воздуха понижа­ется с высотой более резко, чем в странах с умерен­ным климатом. Наоборот, в жарких странах сильное нагревание воздуха у поверхности Земли приводит к тому, что воздух внизу оказывается более разре­женным, чем при несколько больших высотах. По­этому в первом случае имеется область, в которой показатель преломления уменьшается с высотой, а во втором увеличивается. При достаточно резком изменении показателя преломления может возник­нуть мираж, обусловленный полным внутренним отражением лучей. Чтобы объяснить это явление, предположим для определенности, что показатель преломления убывает с высотой. Тогда луч, исходя­щий от какого-то предмета на поверхности Земли, испытает полное внутреннее отражение на высоте h, которую можно найти, согласно (4.3), из уравнения (4.5) где n(0) — показатель преломления воздуха на нуле­вой высоте; - угол, определяющий начальное на­правление луча относительно вертикали; n(h) — по­казатель преломления на высоте h. Наблюдателю тогда будет казаться, что предмет находится навер­ху - это так называемый верхний мираж. Если же показатель преломления возрастает с высо­той, то может возникнуть нижний мираж: наряду с истинным изображением предмета появится изобра­жение внизу и в перевернутом виде. Даже в наших не слишком жарких условиях мы часто наблюдаем нижний мираж: блес­тящие пятна на нагретом шоссе — отражение неба. Оптически неоднородные среды представляют и большой практический интерес. Их используют для конструирования так называемых абсолютных оп­тических приборов, то есть оптических систем, да­ющих резкое (без аберрации) изображение трехмер­ного предмета. Они имеют широкое применение для создания безоболочечных световодов - так называемых сельфоков. В частности, имеются сельфоки, созданные на основе кварцевого стекла с пара­болической зависимостью показателя преломления от радиуса (показатель преломления максимален на оси световода). Интересно, что при диаметре такого световода 0,1 мм и длине 1 км по нему можно пере­дать изображение с разрешающей способностью 500 линий/мм.
ЗАКОН ПРЕЛОМЛЕНИЯ В МЕХАНИКЕ ДЛЯ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ Мы рассмотрели пока лишь вопрос о траекто­рии луча в оптически неоднородной среде и сфор­мулировали алгоритм расчета этой траектории. Теперь рассмотрим, как определяется траектория материальной точки массы m, движущейся в потен­циальном поле U(х,у,z). Ее полная энергия скла­дывается из кинетической и потенциальной и со­храняется (в силу закона сохранения энергии) в процессе движения
(4.6) где V — абсолютная величина мгновенной скорости. Напомним, что потенциальная энергия опреде­ляется как работа по перемещению тела из данного положения в некоторую другую точку, в которой по­тенциальная энергия принимается за нуль. В про­стейшем, известном из школьного курса случае для потенциальной энергии в однородном поле тяжес­ти имеем (4.7) Здесь координата z определяет высоту подъема над поверхностью Земли, принимаемую за уровень, для которого потенциальная энергия полагается равной нулю. Более точное выражение для потенциальной энергии тела над поверхностью Земли следует из за­кона всемирного тяготения ; (4.8) где — постоянная всемирного тяготения, m - мас­са тела, М — масса Земли, R - радиус Земли, r - рас­стояние от поверхности Земли. В данном случае нуль потенциальной энергии выбирается в беско­нечно удаленной точке. Для нас будет важно в дальнейшем, что при движении в потенциальном поле при заданном на­чальном значении энергии абсолютная величина скорости однозначно определяется, согласно (4.6), положением материальной точки в пространстве: (4.9) Для простоты дальнейшего изложения рассмот­рим случай, когда сила, действующая на материаль­ную точку, всюду имеет одинаковое направление, как в первом примере, но может изменяться по ве­личине, как во втором примере. В этом случае по­тенциальная энергия будет зависеть только от од­ной координаты, которая отсчитывается вдоль направления, по которому направлена сила. Аналогично тому, как мы делали при рассмотре­нии траектории луча, разобьем пространство на слои в направлении, перпендикулярном направле­нию силы. В каждом слое скорость материальной точки будем считать приближенно постоянной. Пусть материальная точка массы m, имеющая скорость V1 пересекает границу первого и второго слоев. Во втором слое скорость частицы V2. Соглас­но второму закону Ньютона, , (4.10) где — время прохождения первого слоя. Заметим, что, согласно (4.10), составляющая ско­рости, перпендикулярная силе, не изменяется. Поэтому движение частицы будет происходить в одной плоскости, проходящей через направление начальной скорости и направление силы. Это утверждение представляет собой аналог первой части закона преломления. Выберем в плоскости движения декартову сис­тему координат (х,у), причем ось Оу выберем вдоль направления силы. Тогда из (4.10) следует (4.11) где V1x, V1y, V2x, V2y - проекции скорости в первом и втором слоях на выбранные оси координат, F — со­ставляющая силы вдоль оси Оу. Первое уравнение (4.11) можно заменить на (4.12) где и - углы, которые образуют скорости в пер­вом и втором слоях с направлением силы. А это как раз аналог второй части закона преломления, выражаемой формулой (4.1 а). Напомним еще раз, что в каждом слое абсолют­ная величина скорости однозначно определена. Поэтому угол , под которым скорость направлена к действующей силе в каждом слое, может быть найден с помощью закона преломления (4.12) по углу . Таким образом, для определения траектории материальной точки получается тот же алгоритм, что и для определения траектории луча (рис. 3). Отметим, что роль показателя преломления в рассматриваемом случае играет величина скорости. Очевидно, что траектория луча и траектория части­цы будут в точности совпадать, если показатель преломления пропорционален скорости и направ­ление луча в начальной точке совпадает с направле­нием скорости. Согласно (4.9), первое условие может быть выражено равенством , (4.13) где - произвольный положительный коэффици­ент пропорциональности. Если мы хотим найти одно из возможных потен­циальных полей, в котором частица движется по та­кой же траектории, что и луч в заданной неоднород­ной среде, то это проще сделать для случая Е = 0. Тогда . (4.14) При этом потенциальная энергия U(y) должна быть отрицательной. Величина произвольна. Из ска­занного выше следует, что она не должна влиять на траекторию. На что же она влияет? Так как пока­затель преломления является безразмерной вели­чиной, то очевидно, что зависит от выбираемой единицы энергии. Если масштаб координаты фиксирован, то изменение единиц энергии можно достичь изменяя единицы массы и времени. Таким образом, изменение можно интерпретировать как переход к случаям движения частиц с другими массами или при фиксированной массе в другом масштабе времени (быстрее или медленнее). При определенном выборе единиц величину можно положить равной 1. Таким образом, сформулированная выше опти­ко-механическая аналогия доказана. Правда, она доказана для случая силы, имеющей постоянное направление в пространстве. Но это не умаляет общности результата, поскольку в достаточно ма­лой окрестности направление силы можно считать фиксированным, а оптическую среду – слоисто-однородной.