1.
Рассмотрим выпуклый четырёхугольник. Две диагонали делят его на четыре треугольника. Обозначим их площади (в порядке обхода) S1, S2, S3, S4. Тогда произведения площадей «крест-накрест» равны: S1S3 = S2S4. (Рис. 1.)
Рис. 1.
S1
m n
S4 α S2
p k
S3
Это легко доказать, обозначив отрезки диагоналей m, n, k, p, зная, что синусы всех четырёх углов при пересечении диагоналей равны синусу одного из них sin α:
S1 = mn sin α,
S2 = nk sin α,
S3 = kp sin α,
S4 = pm sin α, откуда получаем требуемое равенство.
2.
Попробуем разделить выпуклый четырёхугольник на четыре четырёхугольника средними линиями. Средней линией четырёхугольника будем называть отрезок, соединяющий середины противоположных сторон. (Рис. 2.)
Рис. 2.
Обозначим площади четырёхугольников как S1, S2, S3, S4 .
Соединим точку пересечения средних линий О с каждой вершиной четырёхугольника. В получившихся треугольниках ОАВ, ОВС, ОСD, ODA отрезки средних линий будут являться медианами. Как известно, медиана треугольника делит его площадь пополам. Пусть площади указанных треугольников будут соответственно x, y, z, t. Тогда S1 + S3 = x + y + z + t, S2 + S4 = x + y + z + t, или
S1 + S3 = S2 + S4. (•)
То есть, суммы площадей противоположных четырёхугольников «крест-накрест» равны.
M B
A S2
S1
L
S0
N
S4
D S3
К
Рис. 4. С
Рассмотрим ещё раз тот же четырёхугольник, соединив середины сторон M, N, K, L последовательно (рис. 3.).
Поскольку ML является средней линией в треугольнике ABD, то она отсекает треугольник ALM, подобный ABD и составляющий по площади 1/4 часть площади ABD. Аналогично треугольник CNK. Значит, в сумме площади треугольников AML и CNK составляют 1/4 площади четырёхугольника ABCD. Аналогично 1/4 площади четырёхугольника ABCD составляет сумма площадей треугольников MBN и DKL. Следовательно, сумма площадей «угловых» треугольников составляет 1/4 + 1/4 = 1/2 площади четырёхугольника ABCD – половину. Но тогда на долю внутреннего четырёхугольника MNKL также остаётся половина. В результате имеем: S1 + S2 + S3 + S4 = S0.
Заметим, что средние линии четырёхугольника делят друг друга пополам, как диагонали параллелограмма MNKL (ML – средняя линия в треугольнике ABD, параллельна BD и равна её половине, то же самое NK в треугольнике BDC).
3.
Рассмотрим теперь выпуклый четырёхугольник с линиями, делящими противоположные стороны на три равные части (см. рис. 5.) и поставим задачу:
Рис. 5.
В
А
D
C
в каком отношении нахо- дятся площади внутренних четырёхугольников?
Для этого решим сначала упрощенную задачу: какую часть площади четырёх- угольника составляет средняя часть, если про- вести только две линии, делящие лишь одну пару противоположных сторон на три равные части
(рис. 6.).
Рис. 6.
В
N
M
Q
А P
hA hM hB
D K L C
Проведём перпендикуляры к стороне CD из точек А, M, B, обозначив их как hA, hM, hB.
Пусть AQ – прямая, параллельная CD, которая пересекает перпендикуляр МК в точке Р. Из подобия треугольников АМР и АВQ или, т.к.
АВ = 3 АМ, , откуда (••).
Рассмотрим тот же четырёхугольник ABCD на рис. 7. Пусть Р – точка пересечения отрезков АС и MD, а Q – точка пересечения отрезков МС и ВL. Площадь треугольника DMC SDMC = DC•hM = =•3•LC•hM =•3•LC•(hA + hB) = LC•hA + LC•hB = SDAL + SBLC.
Рис. 7.
В
N
M
А
Р Q
D K L C
Отсюда, вычитая из равных площадей SDMC и SDAL + SBLC их общую часть SDPL + SLQC, получаем:
SPMQL = SAPD + SQBC, т.е. сумма площадей «крайних» треугольников равна площади «внутренне- го» четырёхугольника.
Сложим площади треуголь- ников DMC и ABL и сравним эту сумму с площадью четырёхугольника АВСD. С одной стороны в сумме «не хватает» площадей «крайних» треугольников APD и QBC, а с другой площадь четырёхугольника PMLQ «лишняя», т.к. присутствует дважды: один раз как составная часть площади треугольника DMC, другой – как часть площади треугольника ABL. Но поскольку SPMQL = SAPD + SQBC, то получается, что
SABCD = SDMC + SABL.
В силу того, что KL составляет от DC, площадь треугольника MLK составляет от площади треугольника DMC. Аналогично площадь треугольника MNL составляет от площади треугольника ABL. Значит, площадь четырёхугольника MNKL составляет от площади SDMC + SABL, то есть, от площади всего четырёхугольника ABCD.
Итак, если четырёхугольник разделён на три части двумя прямыми, делящими две противоположные стороны на три равные части (рис. 8.), то площадь средней части составляет одну треть от площади всего четырёхугольника:
Рис. 8.
S1 S2 S3
, откуда (•••), иными словами, площади S1, S2, S3 составляют арифметическую прогрессию. 4.
Рис. 9.
N В
А
T О R
D
L
C
Другая вспомогательная задача: в каком отношении выше названные прямые делят друг друга?
Оставим из четырёх прямых две: LN и RT. Из того, что BN и BR состав- ляют одну треть от АВ и ВС соответственно, а DT и DL две трети от DA и DC, следует, что треугольник BNR подобен треугольни- ку АВС, а треугольник DTL – треугольнику ADC. Значит, NR cоставляет одну треть от АС, а TL – две трети от АС, т. е. NR : TL = 1 : 2. Кроме того, NR и TL параллельны АС, а значит, параллельны друг другу. Но тогда треугольники ONR и OTL подобны, и ON : OL = OR : OT = 1 : 2. Отсюда следует, что те самые исходные прямые в четырёхугольнике АВСD делят друг друга на три равные части.
Заметим, что если разделить четырёхугольник не четырьмя, а другим количеством прямых так, чтобы его противоположные стороны разделились ими на равные части, то каждая из этих прямых разделилась бы на равные части. Докажем это.
Рис. 10.
N В
А
T О R
D
L
C
Пусть эти прямые делят четырёхугольник в каждом направлении на «n» полосок (т.е. n×n клеток), и пусть NL отделяет m полосок слева, а TR – k полосок снизу (рис. 10.).
Пусть далее вектор таков, что его модуль равен ּDС , т.е.
Аналогично Будем считать векторы и базисными. Для того, чтобы четырёхугольник ABCD был однозначно определён, введём ещё вектор , равный = α + β. Здесь α и β таковы, что четырёхугольник ABCD невырожденный и выпуклый. Понятно, что Очевидно также, что
Вычислим следующие векторы:
Поскольку векторы коллинеарны, а также коллинеарны векторы и так как то где х и у – некоторые коэффициенты, найдя которые, мы узнаем, в каком отношении делятся отрезки NL и TR точкой их пересечения О.
Распишем последнее равенство через базисные векторы:
x(n – k + αk) + βkx + y(m – αm) − y(βm + n) = m − k, или
(x(n – k + αk) + y(m – αm) – m) + (βkx − y(βm + n) + k) = 0.
Так как векторы и неколлинеарны и ненулевые, то последнее равенство возможно тогда и только тогда, когда оба коэффициента перед этими векторами одновременно равны нулю:
(n – k + αk)х + (m – αm)у – m = 0,
βkx − (βm + n)у + k = 0.
Решим эту систему относительно х и у.
Из второго уравнения у = Подставив в первое, получим:
х = Из предыдущего у =
Это означает, что TR делится точкой О так же, как АВ точкой N, и DC точкой L, и что NL делится так же, как AD и ВС.
Итак, доказано, что если прямые делят каждую пару противоположных сторон четырёхугольника на «n» равных частей, то отрезок каждой прямой, находящийся внутри четырёхугольника, делится на «n» равных частей.
5.
Рис. 11.
В
А а a + d a + 2d
a + q a + d + q
a + 2d + q
D a + 2q a + 2q + d
a + 2d + 2q
C
Вернёмся к четырёхуголь- нику, разделённому че- тырьмя прямыми так, что- бы противоположные сто- роны делились на равные части (рис. 11). Как мы теперь знаем, каждый из отрезков этих прямых, заключённый внутри четы-рёхугольника, делится на равные части. А значит, площади трёх клеточек каждой горизонтальной, а также каждой вертикальной полосы составляют арифметическую прогрессию. Таким образом, если площадь левой верхней клеточки равна «а», то справа от неё будет клеточка с площадью а + d, а ещё правее a + 2d. Ниже клеточки с площадью «а» будет клеточка с площадью a + q, а ещё ниже a + 2q. Площадь центральной клеточки можно выразить из формулы (•), рассматривая четыре смежные клеточки как четырёх-угольник со средними линиями (суммы площадей «крест-накрест» равны). Это будет a + d + q. По той же схеме или по правилу арифметической прогрессии выражаем остальные площади.
Замечаем, что в каждом горизонтальном ряду площади составляют прогрессию с одной и той же разностью «d», а в каждом вертикальном – с разностью «q».
Арифметические прогрессии составляют также площади по диагоналям: по одной с разностью d + q, по другой d – q.
Заметим также, что суммы площадей противоположных – угловых – клеточек равны (2a + 2d + 2q). Равны также площади противо- положных – не угловых – клеточек (тоже 2a + 2d + 2q). Сумма площадей угловых клеточек равна сумме площадей не угловых (центральная клеточка не в счёт). Что касается центральной клеточки, то её площадь составляет 1/9 площади всего четырёх- угольника.
6.
Если разделить четырёхугольник прямыми так, чтобы каждая пара противоположных сторон разделилась на «n» равных частей, то, как мы знаем, каждый отрезок прямой, заключённый внутри четырёхугольника, разделится на «n» равных частей. Рассмотрим одну из горизонтальных или вертикальных полос, разбитых на «n» клеточек (рис. 12).
Рис. 12.
a a + d a+2d a+3d
Площади первых трёх клеточек образуют арифметическую прогрессию. Площади второй, третьей и чет- вёртой – тоже. Таким образом, все четыре площади образуют одну арифметическую прогрессию, так как отличаются на одну и ту же величину. Далее третья, четвёртая и пятая клеточки и т. д. – площади всех клеточек будут членами этой прогрессии.
Аналогично, как в предыдущем случае , убеждаемся, что все «горизонтальные» прогрессии имеют одну и ту же разность, а все «вертикальные» - также одну и ту же (не всегда совпадающую с первой). Одинаковые разности и у прогрессий в направлении диагоналей.
Пусть четырёхугольник разбит известными нам прямыми на n×n клеточек, где n – чётное (рис. 13).
Раскрасим клеточки в шахматном порядке и разобъём их на четвёрки, что можно сделать, т. к. n – чётно. Внутри каждой четвёрки выполняется правило суммы «крест-накрест». Значит, во всём четырёхугольнике сумма площадей чёрных клеточек равна сумме площадей белых.
Пусть число клеток четырёхугольника нечётно, а именно(4n + 1)×(4n + 1).
Тогда (рис. 14) выделим четвёрки смежных клеток, начиная от углов. В каждой четвёрке сумма площадей чёрных клеток равна сумме площадей белых. Но останутся две центральные полосы: одна горизонтальная, другая вертикальная. Каковы там эти суммы? Если «а» – площадь центральной клетки, то в силу её симметричного расположения как влево-вправо, так и вверх-вниз на одинаковом удалении стоят клетки одного цвета. По свойству арифметической прогрессии сумма площадей этих двух клеток равна 2а. Значит, сумма площадей чёрных клеток равна сумме площадей белых – не считая площади самой центральной клетки.
Учитывая то же свойство в выделенных четвёрках, заключаем, что во всём четырёхугольнике сумма площадей чёрных клеток равна сумме площадей белых – не считая площади центральной клетки.
7.
Что происходит, если четырёхугольник разбит на (4n + 3)×(4n + 3) клетки? В этом случае нельзя ни выделить четвёрки смежных клеток, ни две центральные полосы при этом.
Выделим полосы по периметру четырёхугольника (рис. 15). В оставшемся четырёхугольнике будет выполняться последнее правило, т. к. число клеток в нём (4n + 1)×(4n + 1). Что касается клеток по выделенному периметру, то обозначим площади клеток, стоящих в серединах, как «а», «b», «с», «d». Очевидно, что они одного цвета, допустим, белого. Тогда клеток чёрного цвета в каждом звене периметра чётное количество, а белого – на одну меньше. Если чёрного цвета «2k» штук, то белого «2k – 1».
Используя свойство арифметической прогрессии, выразим сумму площадей чёрных клеток.
В звене с к
леткой «а»: 2ka;
в противоположном звене с клеткой «b»: 2kb;
в звене с клеткой «с» площади крайних клеток уже учтены, поэтому там искомая сумма равна 2с(k – 1);
аналогично в звене с клеткой «d»: 2d(k – 1).
Всего по периметру: 2k(a + b + c + d) – 2(c + d).
Белые клетки.
В звене с клеткой «а»: 2(k – 1)a + a = 2ak – a;
в звене с клеткой «b»: 2bk – b;
в звене с клеткой «с»: 2сk – c;
в звене с клеткой «d»: 2dk – d.
Всего 2(a + b + c + d) – (a + b + c + d).
Поскольку сумма площадей (а + b), а также (с + d) противополож- ных клеток есть удвоенная площадь центральной клетки исходного четырёхугольника, то эти суммы равны: а + b = c + d, поэтому
a + b + c + d = 2(c + d). Отсюда следует, что суммы площадей чёрных и белых клеток по периметру равны, а следовательно, в нашем четырёхугольнике действует предыдущее правило: сумма площадей чёрных клеток равна сумме площадей белых – не считая площади центральной клетки.
МАТЕМАТИКА
ДЕЛЕНИЕ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА
ПРЯМЫМИ ЛИНИЯМИ
Автор:
ДУЛАЕВ БОРИС
11 А класс
Лицей №1 (физико-математический)
Научный руководитель:
Брусков А. Л.
НОРИЛЬСК 2005 г.