Умова перпендикулярності прямих

: к
^/
=.

8. Рівняння прямої, що проходить через дану точку (х₁
,у₁
)
:

у-у₁
=к(х-х₁
)

9. Рівняння прямої, що проходить через дві точки (х₁
,у₁
)
і (х₂
,у₂
)
:

10. Рівняння прямої, що відтинає відрізки а
і в
на осях координат:

11. Загальне рівняння прямої:

Ах+Ву+С=0, (А²
+В²

¹
0).

12. Відстань від точки (х₁
,у₁
)
до прямої Ах+Ву+С=0:

d
=

13. Рівняння кола з центром (х₀
,у₀
)
і радіусом R
:

(х-х₀
)²
+(у-у₀
)²
=
R²

14. Канонічне рівняння еліпса з півосями а
і в
:

(1)

Фокуси еліпса F(c;0)
i F^/
(-c;0)
, де с²
=а²
-в²

15. Фокальні радіуси точки (х,у)
еліпса (1):

r=a-Ex; r^/
=a+Ex,

де Е=
- ексцентриситет еліпса.

16. Канонічне рівняння гіперболи з півосями а
і в
:

(2)

2

нерівностями a
£
x
£
b, y₁
(x)
£
y
£
y₂
(x), z₁
(x, y)
£
z
£
z₂
(x, y)

де y_i
(x)
, z_і
(x, y), (і=1, 2)
– неперервні функції, то потрійний інтеграл в прямокутних координатах від неперервної функції f(x, y z)
можна обчислити за формулою:

.

Для заміток.

І. Аналітична геометрія на площині.

1. Паралельне перенесення системи координат:

х
^'

=х-а, у
^'

=у-в,

де О
^'

(а;в)
- новий початок, (х;у)
- старі координати точки, [
х
^'

;у
^'

]
- її нові координати.

2. Поворот системи координат (при нерухомому початку):

х=
х
^'

cos
a
-
у
^'

sin
a
; y=
x
^'

sin
a
+
y
^'

cоs
a
,

де (х,у)
- старі координати точки, [х^'
,у^'
]
- її нові координати, a
- кут повороту.

3. Відстань між точками (х₁
,у₁
)
і (х₂
,у₂
)
:

d=

4. Координати точки, що ділить відрізок з кінцями (х₁
,у₁
)
і (х₂
,у₂
)
в даному відношенні l:

x=
y=
.

При l=1, маємо координати середини відрізка:

х
=у
=.

5. Площа трикутника з вершинами (х₁
,у₁
), (х₂
,у₂
)
і (х₃
,у₃
)
:

S
=.

6. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:

у=кх+в,

де к=
tg
j
(кутовий коефіцієнт) - нахил прямої до осі Ох
,

в - довжина відрізка, що відтинає пряма на осі Оу
.

7. tg
q
=
- тангенс кута між прямими з кутовими коефіцієнтами к
і к^/
.

Умова паралельності прямих: к^/
=к
.

1

24. Параметричні рівняння еліпса з півосями а
і в
:

x=a cos t, y=b sin t.

25. Параметричні рівняння циклоїди:

x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)
.

II.

Диференціальне числення функцій

однієї змінної.

1. Основні теореми про границі:

а)

б)

Зокрема,

в)

2. Чудові границі:

а) б)

3. Зв'язок між десятковими та натуральними логарифмами:

lg x=
М ln x,
де М=
lg e=0,43429…

4. Приріст функції у=
f(x),
що відповідає приросту
аргументу х
:

5. Умова неперервності функції у=
f(x)
:

Основна властивість неперервної функції:

6. Похідна

Геометрично y ^/
=
f ^/
(x)
- кутовий коефіцієнт дотичної до

4

XI. Подвійні та потрійні інтеграли.

1. Подвійним інтегралом від функції f(x, y)
, розповсюдженим на область S
, називається число:

, (1)

де (х_і
, у_і
) є
D
S_i
(
і=1, 2,…
n)
і d
– найбільший діаметр комірок D
S_i

.

Якщо f(x, y)
³
0
, то геометрично інтеграл (1) являє собою об’єм прямого циліндроїда, побудованого на основі S
і обмеженого зверху поверхнею z=f(x, y)
.

2. Якщо область інтегрування S
стандартна відносно осі Оу
і визначається нерівностями a
£
x
£
b
, y₁
(x)
£
y
£
y₂
(x)
,

де y₁
(x),y₂
(x)
– неперервні функції, то подвійний інтеграл в прямокутних декартових координатах від неперервної фуункції f(x, y)
виражається формулою:

.

3. Подвійний інтеграл в полярних координатах j
і r
,

де x=r cos
j
, y=rsin
j
має вигляд:

Якщо область інтегрування S
визначається нерівностями:a
£
j
£
b
, r₁
(
j
)
£
r
£
r₂
(
j
),
то

4. Якщо r
=
r
(х, у)
– поверхнева густина пластини S
, то її

маса є (2)

25

(фізичний зміст подвійного інтегралу). Зокрема, при r
=1
отримуємо формулу площі пластинки

5. Статистичні моменти пластинки S
відносно координатних осей Ох,Оу
виражаються інтегралами:

,

де r
=
r
(х, у)
– поверхнева густина пластинки S.

6. Координати центра мас пластинки S
визначаються за

формулами: , , (3)

де m
– маса пластинки.

Для однорідної пластинки в формулах (2), (3) приймаємо r
=1
.

7. Моменти інерції пластинки S
відносно координатних осей Ох
і Оу
виражається інтегралами:

, ,

де r
=
r
(х, у)
– поверхнева густина пластинки.

8. Потрійним інтегралом від функції f(x, y z),
розповсюдженим на область V
, називається число:

, (4)

де (
x_i
, y_i
, z_i

) є
D
V_i

(i=1, 2, 3,…n)
, d
– найбільший діаметр комірок D
V_i

.

Якщо f(x, y z)
є густиною в точці (x, y z),
то потрійний інтеграл (4) являє собою масу, що заповнює об¢єм V
.

9. Об¢єм тіла V
дорівнює: .

10. Якщо область інтегрування V
визначається

26

Фокуси гіперболи F(c;0)
і F^/
(-c;0)
, де с²
=а²
+в²

17. Фокальні радіуси точки (х,у)
гіперболи (2):

r=
±
(Ex-a), r^/
=
±
(Ex+a),

де Е=
- ексцентриситет гіперболи.

18. Асимптоти гіперболи (2):

у=
.

19. Графік оберненої пропорційності

ху=с (с
¹
0)

- рівностороння гіпербола з асимптотами х=0, у=0.

20. Канонічне рівняння параболи з параметром р
:

у²
=2рх

Фокус параболи: F(p/2, 0)
:рівняння директриси: х=-(р/2)
; фокальний радіус точки (х,у)
параболи: r=x+(p/2)
.

21. Графік квадратного тричлена

у=Ах²
+Вх+С

- вертикальна парабола з вершиною

22. Полярні координати точки з прямокутними координатами х
і у
:

r
tg
j
=

Прямокутні координати точки з полярними координатами

r
і j
.

x=
r
cos
j
, y=
r
sin
j
.

23. Параметричні рівняння кола радіуса R
з центром в початку координат:

x=R cos t, y=R sin t.
(t
- параметр)

3

f
¢
^/

(x₀
)=0
або f
¢
^/

(x₀
)
не існує.

б) Достатні умови екструмуму функції f(x)
в точці x₀

:

1) f
¢
^/

(x₀
)=0, f
¢
^/

(x₀
-h₁
)f
¢
^/

(x₀
+h₂
)<0
при довільних досить малихh₁
>0
і h₂
>0
, або

2) f
¢
^/

(x₀
)=0, f
¢¢
^/

(x₀
)
¹
0

12. - Графік функції y=f(x)
вгнутий (або випуклий вниз) якщо f
¢¢
^/

(x)>0
i випуклий (випуклий вверх), якщо f
¢¢
^/

(x)<0.

- Необхідна умова точки перегинy графіка функції

y=f(x)
при x=x₀
: f
¢¢
^/

(x₀
)=0
або f
¢¢
^/

(x₀
)
не існує.

- Достатня умова точки перегину при х=х₀

:

f
¢¢
(x₀
)=0, f
¢¢
^/

(x₀
-h₁
)f
''
(x₀
+h₂
)<0
при будь-яких досить малих h₁
>0, h₂
>0.

13. Якщо функція f(x)
неперервна на відрізку [
a
,
b
]
і f(
a
)f(
b
)<0,
то корінь x
рівняння f(x)=0
наближено можна обчислити за формулами:

а) (метод хорд)

б) , де f
¢
(
a
)
¹
0; f(
a
)-f
¢
(
a
)>0
(метод дотичних).

14. Диференціал незалежної змінної х
: dx=
∆
x
. Диференціал функції у=
f(x):dy=y
¢
dx
. Зв’язок приросту ∆
y
функції з диференціалом dy
функції:

∆
y=dy+
a
∆
x
, де a
→0
при ∆
х→0
.

Таблиця диференціалів функцій
.

1) duⁿ
=nu^n-1
du
; 7) d(ctg u)=-

2) da^u
=a^u
ln a du (a>0); de^u
=e^u
du
; 8) d(arcsin u)
=

3)d(log_a
u)=
; 9) d(arccos u)=
-

6

9. Таблиця 2
.

Характер частинного розв¢язку z-неоднорідного рівняння у
¢¢
+ру
¢
+
qy=f(x)
(p
i q
- сталі) в залежності від правої частини f(x).

A, B, C
– сталі невизначенні коефіцієнти.

Х.Криволінійні інтеграли.

1. Криволінійний інтеграл першого роду від неперервної функції f(x, y)
, взятий по кусково гладкій кривій К
:x=x(t)
, y=y(t) (t
є
[
a
,
b
])
, дорівнює

(1)

Якщо крива К
задана рівнянням у=у(х) (
a
£
x
£
b
)
, то

23

Аналогічно визначається криволінійний інтеграл першого роду для випадку просторової кривої К
.

Якщо f(x, y
)
є лінійна густина лінії К
, то інтеграл (1) являє собою масу лінії К
.

2.Криволінійний інтеграл другого роду від пари неперервних функцій Х(х, у), У(х, у)
, взятий по кусково гладкому шляху К
:x=x(t), y=y(t) (t
є
[
a
,
b
])
, визначається за формулою:

(2)

Якщо шлях К
задано рівнянням у=у(х) (х є
[
a
,
b
]
)
, то

.

Фналогічно визначається криволінійний інтеграл другого роду для просторової кривої К
.

Фізично інтеграл (2) являє собою роботу змінної сили

F={X(x, y), Y(x, y)}
вздовж шляху К
.

3. Якщо виконується умова Х(х, у)
dx+Y(x, y)dy=dU(x, y)
, то інтеграл (2) незалежить від шляху інтегрування К
і

, (3)

де (х₁
,у₁
)
– початкова точка шляху і (х₂
,у₂

) – кінцева точка шляху.

Фізично інтеграл (3) являє собою роботу сили, що має потенціал U(x, y)
.

24

графіка функції у=
f(x)
в точці з абсцисою х
.

Правила і формули диференціювання:

а) C
¢
=0;
б) (U+V-W)
¢
=U
¢
+V
¢
-W
¢
;

в) (CU)
¢
=CU
¢
;
г) (UV)
¢
=U
¢
V+V
¢
U;

д)
е)

є) ; и) (х
ⁿ

)
¢
=
n x^n-1
, x
¢
=1;

і) (
sin x
)
¢
=cos x;
ї) (
cos x
)
¢
=-sin x;

й) (
tg x
)
¢
=sec²
x;
к) (
с
tg
х
)
¢
=-cosec²
x;

л)м) (а
^x

)
¢
=a^x
ln a, (e^x
)
¢
=e^x
.

н) (а
rcsin x
)
¢
=
o) (arccos x)
¢
=
;

п) (
arctg x
)
¢
=
р) (arcctg x)
¢
=

7. Теорема Лагранжа про кінцеві прирости диференційовної функції:

f(x₂
)-f(x₁
)=(x₂
-x₁
)f
¢
^/

(
x
),
де x
є (х₁
,х₂
).

8. Функія у=
f(x)
зростає, якщо f
¢
^/

(x)>0
,і спадає, якщо f
¢
(x)<0
.

9. Правило Лопіталя для невизначеностей виду
або :

якщо границя з права існує.

10. Локальна формула Тейлора:

f(x)=f(x₀
)+f
¢
^/

(x₀
)(x-x₀
)+…+

де f⁽ⁿ⁾
(x)
існує в деякому повному околі точки х₀

.

11.а) Необхідна умова екстремуму функції f(x)
в точці x₀

:

5

6) .

7)

8)

9) .

10) .

11) .

12) де a
¹
0
.

13)

14)

3. Основні методи інтегрування.

а) метод розкладу:

, де f(x)=f₁
(x)+f₂
(x)

б) метод підстановки: якщо x=
j
(t)
, то

в) метод інтегрування частинами:

4. Формула Ньютона-Лейбніца: якщо f(x)
- неперервна і F
¢
(x)=f(x)
, то

.

5. Визначений інтеграл, як границя інтегральної суми:

8

де , (
n=1, 2,…
)
.

IX.

Диференціальні рівняння.

1. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними.

X(x)Y(y)dx+X₁
(x)Y₁
(y)dy=0

має загальний інтеграл: (1)

Особливі розв¢язки, що не входять в інтеграл (1), визначаються з рівнянь: Х₁
(х)=0
і У₁
(у)=0.

2. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку:

P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0
,

де P(x, y)
і Q(x, y)
– щднорідні неперервні функції одинакового степеня, розв¢язуються за допомогою підстановки y=u
*
x
(u
– нова функція).

3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку:

a(x)y
¢
+b(x)y+c(x)=0

можна розв¢язати за допомогою підстановки y=u
*
v
,

де u
– не нульовий розв¢язок однорідного рівняння

a(x)y
¢
+b(x)y=0
, а v
– нова функція.

4. Інтегровані випадки диференціального рівняння другого порядку:

а) якщо y
¢¢
=f(x)
, то загальний розв¢язок:

;

б) якщо y
¢¢
=f(у)
, то загальний інтеграл:

;

в) якщо y
¢¢
=f(у
¢
)
, то загальний інтеграл рівняння можна

21

знайти з співвідношення: , де у
¢
=р
.

5. Випадки пониження порядку для диференціального рівняння другого порядку:

а) якщо у
¢¢
=
f(x, y
¢
)
, то приймаючи у
¢
=р(х)
, отримуємо:

;

б) якщо у
¢¢
=
f(у, y
¢
)
, то приймаючи у
¢
=р(у)
, отримуємо:

.

6. Загальний розв¢язок лінійного однорідного диференці-ального рівняння другого порядку:

у
¢¢
+р(х)у
¢
+
q(x)y=0
має вигляд

у=С₁
у₁
+С₂
у₂

,

де у₁

і у₂

– лінійно незалежні частинні розв¢язки.

7. Загальний розв¢язок лінійного неоднорідного диференці-ального рівняння другого порядку:

у
¢¢
+р(х)у
¢
+
q(x)y=f(x)
має вигляд ,

де - загальний розв¢язок відповідного неоднорідного рівняння; z
– частинний розв¢язок даного неоднорідного рівняння.

8. Таблиця 1
.

Загальний вигляд розв¢язків однорідного рівняння у
¢¢
+ру
¢
+
qy=0
(p
i q
- сталі) в залежності від коренів характеристичного рівняння k²
+pk+q=0
.

22

(a>0,a
¹
1); d(ln u)=

4) d(sin u)=cos u du
; 10) d(arctg u)=
;

5) d(cos u)= -sin u du
; 11) d(arcctg u)=

6) d(tg u)=
12) df(u)=f
¢
(u)du
.

15.Малий приріст диференційованої функції:

f(x+
∆
x)-f(x)
»
f
¢
(x)
∆
x

16. Диференціал другого порядку функції у=
f(x)
, де х
- незалежна змінна (
d²
x
)=0
:

d²
y=у
''
dx²

.

III. Інтегральне числення.

1. Якщо dy=f(x)dx
, то y=
(незвичайний інтеграл).

2. Основні властивості незвичайного інтеграла:

а)

б) в) (А¹0)

г)

Таблиця найпростіших невизначених інтегралів
.

1) (
m
¹
-1
)
.

2) , (при х
<
0
i при x
>0
).

3) ;

4) (a
>0, a
¹
1
)
.

5) .

7

де h=(b-a)/n, x₀
=a, x_n
=b, y=f(x), y_i
=f(x₀
+ih), (i=0,1,2,…,n)
.

11. Формула Сімпсона:

де h=(b-a)/2.

12. Невласний інтеграл:

13.Площа криволінійної трапеції обмеженої неперервною лінією у=
f(x) (f(x)
³
0)
, віссю Ох
і двома вертикалями х=а
, х=
b (a<b)
: .

14. Площа сектора обмеженого неперервною лінією r
=
f(
j
)
(r
i j
- полярні координати) і двома промінями j
=
a
,
j
=
b
(
a
<
b
):
.

15. Довжина дуги гладкої кривої y=f(x)
в прямокутних координатах х
і у
від точки х=а
до точки х=
b (a<b)
:

.

16. Довжина дуги гладкої кривої r
=f(
j
)
в полярних координатах j
і r
від точки j
=
a
до точки j
=
b
(
a
<
b
)
:

,

17. Довжина дуги гладкої кривої х=
j
(t)
y
=
y
(t)
, задано параметрично(t₀
<T)
:

18.Об’єм тіла з відомим поперечним перерізом S(x)
:

10

9. Ряд Маклорена.

10. Розклад в степеневі ряди функцій:

а) , при ê
x
ú
< 1
;

б) ln(1+x) = , при –1
<x
£
1
;

в) , при ê
x
ú
£
1
;

г) , при ê
x
ú
<
+
¥
;

д) ,

при ê
x
ú
<
+
¥
;

е) , при ê
x
ú
<
+
¥
;

ж) ,

при ê
x
ú
< 1
.

11. Ряд Тейлора
.

12. Ряди в комплексній області: .

13. Абсолютна збіжність рядів з коиплексними членами. Якщо ряд збігається, то ряд

19

також збігається (абсолютно).

14. Формули Ейлера:
, .

15. Тригонометричний ряд Фур
¢
є
кусково-гладкої функції f(x)
періоду 2
l
має вигляд:

, (1)

де , (
n=0, 1, 2,…
)
;

, (
n=1, 2,…
)
.

(коефіцієнти Фур¢є функції f(x)
). Для функції f(x)
періоду 2
p
маємо ,

де , (
n=0, 1, 2,…
)
.

В точках розриву функцій f(x)
сума ряду (1) дорівнює

16. Якщо 2l
– періодична функція f(x)
парна, то

,

де , (
n=0,1, 2,…
)
.

Якщо 2l
– періодична функція f(x)
непарна, то

,

20

де і

6. Основні властивості визначеного інтегралу (розглядувані функції неперервні):

а) ; б)

в) г)

д)

е)

ж)

7. Теорема про середнє: якщо f(x)
- неперервна на [a,b]
, то

, де а
<c<b
.

8. Формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі:

9. Формула заміни змінної у визначеному інтегралі:

де а=
j
(
a
),
b
=
j
(
b
)
.

10. Формула трапецій: ,

9

z=r(cos
j
+isin
j
)
, де r=
ê
z
ú
;
j
=Arg z

5. Теореми про модуль та аргумент:

а) ê
z₁
+z₂

÷
£
ê
z₁

ú
+
ê
z₂

ú
; б) ê
z₁
z₂

÷
£
ê
z₁

ú
ê
z₂

ú
,

Arg z₁
z₂
=Arg z₁
+Arg z₂

;

в) Arg =Arg z₁
-Arg z₂
; (z₂

¹
0)
;

г) ê
zⁿ

÷
=
ê
z
ú
ⁿ
; Arg zⁿ
=n Arg z
(n
- ціле).

6. Корінь з комплексного числа:

, (k
=0,1,2,…,
n-1
)

7. Показникова формула комплексного числа:

z = r e<sup>i

j</sup>

,
деz =
ê
z
ú
,
j
= Arg z
.

8. Визначник другого порядку:

.

9. Розв’язок системи знаходяться за формулами: х=
D
х/
D
; у=
D
у/
D
(правило Крамера), де

.

10. Розв’язок однорідної системи: визначається за формулами: х=
D
₁

t, y=-
D
₂

t, z=
D
₃

t;
(-
¥
<t<
¥
),

де -

мінори матриці .

12

3. Повний диференціал функції z = f(x, y)
від незалежних змінних х, у
:

де dx=
D
x, dy=
D
y
.

Якщо U = f(x, y, z)
, то .

4. Малий приріст диференційованої функції:

5. Похідна функції U
= f(x, y)
по напряму l
, заданому одиничним вектором {cos
a
, cos
b
}
дорівнює:

.

Аналогічно, якщо U = f(x, y, z)
і{cos
a
, cos
b
, cos
g
}
– одиничний вектор напряму l,
то

6. Точки можливого екстремуму диференціальної функції U = f(x, y, z)
визначаються з рівнянь:

f
¢
_х

(
x, y, z
)=0;
f
¢
_y

(
x, y, z
)=0;
f
¢
_z

(
x, y, z
)=0

7. Градієнтом скалярного поля U = f(x, y, z)
є вектор

Звідси .

8. Якщо P(x, y)dx + Q(x, y)dy
є повним диференціалом в області G
, то

17

((
x, y)
є
G)
.

(ознака повного диференціалу.).

VIII.

Ряди.

1.Основне означення: .

2. Необхідна ознака збіжності ряду:

якщо ряд збігається, то .

3. Геометрична прогресія: , якщо ê
q
ú
< 1
.

4. Гармонічний ряд 1 + 1/2 + 1/3 + …
(розбігається).

5. Ознака Даламбера
. Нехай для ряду (
U_n
>0
)
існує

Тоді: а) Якщо l < 1
, то ряд збігається;

б) Якщо l > 1
, то ряд розбігається, U_n

непрямує до 0
.

6. Абсолютна збіжність
. Якщо ряд збігається, то ряд також збігається (абсолютно).

7. Ознака Лейбніца
. Якщо і при , то знакозмінний ряд V₁
-V₂
+V₃
-V₄
+…
- збігається.

8. Радіус збіжності степеневого ряду а₀
+а₁
х+а₂
х²
+…
визначається за формулою:, якщо остання має зміст.

18

.

19. Об’єм тіла обертання:

а) навколо осі Ох
: (
a<b
)

б) навколо осі Оу
: (
c<d
)

20. Робота змінної сили F=F(x)
на ділянці [a,b]
:

ІV. Комплексні числа, визначники та системи рівнянь.

1. Комплексне число z=x+iy
, де х=
Re z, y=Im z
- дійсні числа, і²
=-1.

Модуль комплексного числа:

Рівність комплексних чисел
:

z₁
=z₂

Û
Re z₁
=Re z₂
, Im z₁
=Im z₂

2. Спряжене число для комплексного числа z=x+iy:

3. Арифметичні дії над комплексними числами z₁
=x₁
+iy₁

, z₂
=x₂
+iy₂

:

a)

б)

в) (
z₂

¹
0
)

Зокрема Re z =1/2 (z+), Im z= (z-)/2і
, ú
z
ê
²

=z
.

4. Тригонометрична форма комплексного числа:

11

V.

Елементи векторної алгебри.

1. Сумою векторів , ,
є вектор .

2. Різницею векторів і є вектор , де

- - вектор, протилежний вектору .

3. Добутком вектора на скаляр є вектор такий що , де і , причому напрям вектора співпадає з напрямком вектора , якщо k > 0
, і протилежний до нього, якщо k < 0
.

4. Вектор і колінеарні, якщо (k
- скаляр).

Вектори , , компланарні, якщо ,(k,l
-скаляри)

5. Скалярним добутком векторів і є число

, де j
=
<(
,
)
.

Вектори і ортогональні, якщо * = 0
.

Якщо і , то .

6. Векторним добутком векторів і є вектор ,

де , , (
j
=
<(a,b)
)
,

причому а, b, с
- права трійк.

Якщо і , то , де

i, j, k
- одиничні вектори (орти), напрямлені згідно з відповідними осями координатами.

7. Мішаний добуток являє собою об’єм (зі знаком) паралелепіпеда, побудованого на векторах а, b, с
.

Якщо , , , то

14

.

VI.

Аналітична геометрія в просторі.

1. Декартові прямокутні координати точки М(х, у,
z
)
простору Оху
z
є:

x=r_x
, y=r_y
, z=r_z

, деr=
- радіус-вектор точки М
.

2. Довжина та напрям вектора а=
{a_x
,a_y
,a_z
}
визначаються формулами: ;

cos
a
=a_x
/a; cos
b
=a_y
/a; cos
g
=a_z
/a,

(cos²

a
+cos²

b
+cos²

g
=1),

де cos
a
, cos
b
, cos
g
- напрямні косинуси вектора а
.

3. Відстань між двома точками M₁
(x₁
,y₁
,z₁
)
i M₂
(x₂
,y₂
,z₂
)
:

.

4. Рівняння площини з нормальним вектором N={A,B,C}
¹
0
, що проходить через точку M₀
(x₀
,y₀
,z₀
)
є N
*
(r-r₀
)=0,
…(1)

де r
- радіус-вектор текучої точки площини M(x,y,z)
і r₀

- радіус-вектор точки М₀

.

В координатах рівняння (1) має вид:

А(х-х₀
)+В(у-у₀
)+С(
z-z₀

)=0
абоAx+By+Cz+D=0
(2)

де D= -Ax₀
-By₀
-Cz₀

(згальне рівняння площини).

5. Відстань від точки M₁
(x₁
,y₁
,z₁
)
до площини (2) дорівнює:

6. Векторне рівняння прямої лінії в просторі:

r=r₀
+st
(3)

15

де r{x,y,z}
- текучий радіус-вектор прямої; r₀
{x₀
,y₀
,z₀
}
- радіус-вектор фіксованої точки прямої, s{m,n,p}
¹
0
- напрямний вектор прямої і t
- параметр (-
¥
<t<+
¥
)
.

В координатній формі рівняння прямої (3) має вигляд:

.

7. Пряма лінія як перетин площин визначається рівняннями: (4)

Напрямним вектором прямої (4) є S=N
*
N
¢
, де N={A,B,C}
, N
¢
={A
¢
,B
¢
,C
¢
}
.

8. Рівняння сфери радіуса R
з центром (
x₀
,y₀
,z₀

)
:

.

9. Рівняння трьохосьового еліпса з півосями a,b,c
:

.

10. Рівняння параболоїда обертання навколо осі О
z
:

x²
+y²
=2pz
.

VII.

Диференціальне числення функції

декількох змінних.

1. Умова некперервності функції z=f(x,y)
:

,

або

Аналогічно визначається неперервність функції f
(
x, y, z
)
.

2. Частинні похідні функції z = f(x, y)
по змінних х, у
:

16

11. Визначник третього порядку:

де - алгебраїчні

доповнення відповідних елементів визначника.

12. Розв’язок системи визначається за формулою Крамера х=
D
х/
D
; у=
D
у/
D
; z=
D
z/
D
,

де

.

13. Розв’язок однорідної системи , якщо

знаходяться з підсистеми: .

13