Пример решения задачи по разделу
«Переходные процессы»
Задача. Дана
электрическая цепь, в которой происходит коммутация (Рис. 1). В цепи действует
постоянная ЭДС Е. Требуется определить закон изменения во времени токов и
напряжений после коммутации в ветвях схемы.
Задачу следует
решить двумя методами: классическим и операторным. На основании полученного аналитического
выражения построить график изменения искомой величины в функции времени в
интервале от t =
0 до t = , где – меньший по модулю корень характеристического уравнения.
Параметры цепи:
R1 = 15 Ом; R2 = 10 Ом; С = 10 мкФ; L = 10 мГ; Е = 100 В.
Решение.
Классический метод.
Решение задачи
получается в виде суммы принужденного и свободного параметра:
i(t) = iпр(t) + iсв(t); u(t) = uпр(t)+
uсв(t),
(1)
где , а .
1. Находим токи и напряжения
докоммутационного режима для момента времени t = (0–). Так как сопротивление
индуктивности постоянному току равно нулю, а емкости – бесконечности, то
расчетная схема будет выглядеть так, как это изображено на рис. 2. Индуктивность
закорочена, ветвь с емкостью исключена. Так как в схеме только одна ветвь, то
ток i1(0–) равен току i3(0–), ток i2(0–)
равен нулю, и в схеме всего один контур.
Составляем
уравнение по второму закону Кирхгофа для этого контура:
,
откуда
= 4 А.
Напряжение на
емкости равно нулю [uC(0–) = 0].
2. Определим
токи и напряжения непосредственно после коммутации для момента времени t = 0+. Расчетная схема приведена на рис.
3. По первому закону коммутации iL(0–) = iL(0+), т.е. ток i3(0+) = 4 А. По второму закону коммутации uC(0–) = uC(0+) = 0.
Для контура, образованного ЭДС Е,
сопротивлением R2 и емкостью С, согласно второго закона Кирхгофа
имеем:
или
;
i1(0+) = i2(0+) + i3(0+)
= 14 А.
Напряжение на
сопротивлении R2 равно Е – uC(0+) = 100 В, напряжение на индуктивности
равно напряжению на емкости.
3. Рассчитываем принужденные составляющие
токов и напряжений для . Как и для докоммутационного режима индуктивность
закорачивается, ветвь с емкостью исключается. Схема приведена на рис. 4. и
аналогична схеме для расчета параметров докоммутационого режима.
= 10 А;
= 100 В; ;
4. Определяем
свободные составляющие токов и напряжений для момента времени t = 0+, исходя из выражений i(0+) = iпр(0+) + iсв(0+) и u(0+) = uпр(0+) + uсв(0+).
iсв1(0+) = 4 А; iсв2(0+) = 10 А; iсв3(0+) =
–6 А; uсвL(0+) = uсвС(0+) = 0; .
5. Определяем
производные свободных токов и напряжений в момент времени непосредственно после
коммутации (t =
0+), для чего составим систему уравнений, используя законы Кирхгофа для схемы,
изображенной на рис. 3, положив Е = 0.
;
(2)
Производную
тока через индуктивность можно найти, используя выражение: , а производную напряжения на емкости – из уравнения . Т.е.
и ,
откуда
; (3)
Подставляя (3)
в (2), после решения получаем:
; ; ;
Все полученные
результаты заносим в таблицу.
i1
i2
i3
uL
uC
uR2
t =
0+
14
10
4
0
0
100
10
0
10
0
0
100
4
10
–6
0
0
0
–105
–105
0
106
106
–106
6. Составляем
характеристическое уравнение. Для этого исключим в послекоммутационной схеме источник
ЭДС, разорвем любую ветвь и относительно разрыва запишем входное сопротивление
для синусоидального тока . Например, разорвем ветвь с сопротивлением R2:
.
Заменим jw на р и приравняем полученное уравнение
нулю. Получим:
или
R2CLp2 + pL + R2 = 0.
Откуда находим
корни р1 и р2.
р1
= –1127, р2 = –8873.
7. Определим
постоянные интегрирования А1 и А2. Для чего
составим систему уравнений:
;
или
;
Например,
определим постоянные интегрирования для тока i1 и напряжения uL. Для тока i1 уравнения запишутся в следующем виде:
4 = А1i + А2i;
.
После
решения: А1i = –8,328 А, А2i = 12,328 А.
для напряжения uL:
;
.
После
решения: = 129,1 В, = –129,1 В.
8. Ток i1 cогласно
(1) изменяется во времени по закону:
i1(t) = 10 – 8,328е–1127t +
12,328e–8873t,
а напряжение uL:
uL(t) = 129,1e–1127t – 129,1 e–8873t.