Мир глазами
Поля Дирака: объединение идей квантовой механики и релятивизма
Недостаточность
“классической” квантовой механики.
По своему
построению квантовая механика является существенно нерелятивистской теорией:
используемое в уравнении Шредингера выражение для оператора Гамильтона является
обобщением классической формулы для энергии. Для множества реальных приложений
теории (физика кристаллов, химия, биология) требование малости скоростей не
является существенным ограничением: диапазон энергий, с которыми приходится
иметь дело в земных условиях недостаточен для разгона объектов до
релятивистских скоростей. Однако существует целый ряд разделов естествознания,
развитие которых сделало актуальным вопрос о разработке релятивистской
квантовой теории. К ним прежде всего следует отнести разделы физики,
занимающиеся взаимодействием света с веществом: зародившаяся в результате попыток
понять физическую природу света квантовая механика оказалась неспособной
адекватно описать ультрарелятивистскую частицу - фотон. Релятивистская теория
микромира необходима физике ядра и элементарных частиц, поскольку изучаемые в
ее рамках процессы с участием сильных взаимодействий сопровождаются обменом
большими порциями энергии, что неизбежно связано с возникновением высоких
скоростей. Космологические теории эволюции Вселенной и Большого Взрыва требуют
развития аппарата описания вещества в экстремальных (с нашей точки зрения)
состояниях. Наконец, наличие плохо связанных друг с другом релятивистской и
квантовой теорий, каждая из которых по-своему “объясняла” классическую
концепцию, являющуюся предельным случаем каждой из них, неизбежно ставило
вопрос об их объединении. Попытки обобщения квантовой механики и придания ей
релятивистски инвариантной формы делались буквально с первых шагов ее создания,
но до сих пор еще не привели к созданию законченной и полностью свободной от
внутренних противоречий теории.
S-матрица.
Дополнительной сложностью, присущей релятивистской теории является несохранение
числа частиц, участвующих в процессе. В частности это означает, что любая
рассматриваемая система должная обладать бесконечным числом степеней свободы.
Поскольку сама процедура измерения координат частицы в принципе может приводить
к рождению новых частиц, она становится принципиально бессмысленной.
Релятивистская квантовая теория отказывается не только от описания
пространственного положения микрообъектов, но и от описания процессов с их
участием в виде происходящих последовательно (друг за другом) промежуточных
событий. Расчеты поддаются лишь амплитуды вероятностей переходов системы из
исходного состояния при , в котором все входящие в нее частицы находятся так далеко
друг от друга, что взаимодействие между ними пренебрежимо мало в одно из
допустимых законами сохранения конечное состояние при , в котором продукты реакции вновь являются практически
свободными объектами. Набор амплитуд таких переходов образует s-матрицу, вычисление которой и является
задачей релятивистской квантовой теории.
Уравнение
Клейна-Гордона было первой удачной попыткой обобщения уравнения Шредингера на
случай релятивистского описания электромагнитных взаимодействий микрообъектов.
В основе предложенного вывода лежала идея заменить нерелятивистский оператор
Гамильтона в уравнении Шредингера
на его
релятивистский аналог, вид которого устанавливался на основании сравнения
классических (не квантово-механических) выражений для релятивистской и
нерелятивистской функций Гамильтона:
,
где учтена
возможность взаимодействия зарядов с электрическим и магнитным полями,
описываемыми потенциалами и A.
Основная
математическая трудность, возникающая при попытке перевести релятивистскую
формулу (3) на язык квантово-механических операторов состояла в том, что
операция извлечения корня из оператора не определена. Предложенный выход
состоял в переходе к уравнению второго порядка, возникающего при возведении в
квадрат операторного аналога уравнения (3), где сам оператор Гамильтона
согласно (1) заменялся на оператор дифференцирования по времени:
.
Полученное
таким образом уравнение могло быть легко протестировано на хорошо изученном
частном случае описания фотона (q=0, m=0).
Подстановка указанных значений приводит к обыкновенному уравнению Д’Аламбера,
описывающему распространение света в вакууме.
Уравнение
Клейна-Гордона в настоящее время считается правильным релятивистским обобщением
уравнений квантовой механики, не учитывающих наличие спина у микрообъектов. Оно
адекватно оисывает поведение частиц с нулевым спином.
Список
литературы
Для подготовки
данной работы были использованы материалы с сайта http://study.online.ks.ua/